电动力学第二章郭硕鸿第三版

第二章静电场

静电场：静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场

一．主要内容：应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时间变化的静电场问题。

本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解静电场的场强，而是通过静电场的标势来求解。

首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和边值关系。在后面几节中陆续研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远处的展开式。

知识体系：

1.静电场的微分方程：0=??E

D ρ??= 边值关系：()

12-?E E n

()

21n D D σ?-=

静电场的能量：12W E DdV ∞=

??1

V W dV ρ?=? 2.静电边值问题的构成：

引入电势：

212

S S

???εεσ

?=????-=-????

1122121

S S S S S S n n n

ρ?ε????εεσ????=-??

=??

???-=-????

?????

或

3．静电边值问题的基本解法：（1）镜像法（2）分离变量法

条件：电势满足拉普拉斯方程：20??= （3）电多极矩 (4) 格林函数法二．内容提要：

1．静电场的电势及其微分方程：（1）电势和电势梯度

因为静电场为无旋场,即0=??E

，所以可以引入标量函数?，引入

后

?-?=E

电势差：空间某点电势无物理意义，但两点间电势差有意义

选空间有限两点Q P →

?-=-Q

P Q l d E ??

参考点：

（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点

)(0

∞→=∞Q ? ?

∞?=P

P l d E ?

（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。

电荷分布在有限区域时的几种情况的电势

（1）真空中点电荷

300()44P

Qr Q

P dl r r

?πεπε∞

'=?='?

无限大均匀线性介质中点电荷： r

Q πε?4=

（2）电荷组： ∑

==n

i i

i r Q P 1

04)(πε?

（3）连续分布电荷：无穷远处为参考点

'=V

V d x P 04)()(περ?

（2）电势满足的微分方程和边值关系

泊松方程：ε

?-=?2

○

1 其中ρ仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。 ○2对0=ρ的区域：电势满足拉普拉斯方程：20??= 边值关系

A.两介质界面上边值关系

??-=??-??=σ

?ε?ε??S

S S

S n n 1

12221

B.导体与介质界面上的边值关系

.S const n

εσ=??

??=-???

n S

E Q dS dS n

n σ?

σε???=

=-=-=????

C.导体与导体界面上的边值关系

12212

1S S S S n n ????σσ?=?

???=????

其中12,σσ 是导体的电导率（3）静电场的能量

（S 为分界面）

2W E DdV ∞

?? 用电势表示： 1

W dV ρ?=

? 注意：○

112

ρ?不是静电场的能量密度; ρ是自由电荷密度,而?则是空间所有电荷的电势

○2 12

W dV ρ?=?只适用于静电场。 2．唯一性定理： A ．均匀单一介质

当区域V 内自由电荷分布ρ（x）已知，?满足ε

?-=?2，

若V 边界上S ?已知，或V 边界上

n ???

已知，则V 内场（静电场）唯一确定。 B. 均匀单一介质中有导体

当区域V 内有导体存在，给定导体之外的电荷分布ρ（x），当○

1S ?或S

n ???

已知，○

2每个导体电势i ?或带电量，则V '内电场唯一确定。静电边值问题的构成：

1122121

S S S S S S n n n

ρ?ε????εεσ????=-??

=??

???-=-????

?????

或

3．静电边值问题的基本解法：（1）镜像法：

理论依据：唯一性定理，采用试探解的方法。

1．镜像法概念、条件

镜像法：用假想点电荷来等效地代替导体或介质边界面上的面电

荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。

条件：①所求区域内只能有少许几个点电荷（只有点电荷产生的

感应电荷才能用点电荷代替。）或是简单的连续分布。

②导体边界面形状规则，具有一定对称性。 ③给定边界条件。

要求：①做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、

Q 大小不

——边界条件

能变）。泊松方程不能改变。所以假想电荷必须放在所求区域

之外。

②不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大

小和位置。

③一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。 ④坐标系根据边界形状来选择。

（2）分离变量法：

条件：电势满足拉普拉斯方程：20??=

A.空间处处0=ρ，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。

B.在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势0?为已知，则区域V 中电势可表示为两部分的和

???'+=0

?不满足02=??，但表面上的电荷产生的电势?'使02='??满足，

仍可用拉普拉斯方程求解。

注意：边值关系还要用S ?而不能用S ?'。

拉普拉斯方程20??=的通解：

轴对称通解： ∑++

n n n

n n P R

b R a R )(cos )(),(1

θθ? )(cos θn P 为勒让德函数，θθcos )(cos 110==P P

)1cos 3(2

)(cos 22-=

θθP … 球对称通解：若?与Φ,θ均无关，即?具有球对称性，则通解为：

b a R +

=)(? 解题步骤

1．选择坐标系和电势参考点

坐标系选择主要根据区域中分界面形状参考点主要根据电荷分布是有限还是无限

2．分析对称性，分区域写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解

3．根据具体条件确定常数

（1）外边界条件：电荷分布有限 0=∞?

导体边界可视为外边界，S ?给定，或给定总电荷Q ，或给定σ （接地 0=S ?）

电荷分布无限，一般在均匀场中，z e E E

z E r E 00cos -=-→∞θ? （直角坐标或柱坐标）

（2）内部边值关系：介质分界面上

S n

??=??=22

21?ε?ε?? 表面无自由电荷

4．电多极矩

讨论电荷分布在小区域内,而场点又距电荷分布区较远,即 l <

Q dv ρ'=?式中

——体系的总电荷

P x dv ρ''=?——体系的电偶极矩

()3D ij

x dv x x ρ''=''?——电四极矩

（1）意义：小区域内电荷体系在远处的电势可以看成是位于原点的点电荷，偶极子，电四极子，电八极子等产生的势的叠加。

P x dv P ρ''=?（2）电偶极矩依赖于原点的选取，但当系统中正、负电荷数量一样多时，与原点无关。

()

()001

44V x x dv r

ρ?πεπε'

0001

11114446ij

ij i j Q

P R R R

x x πεπεπε=-??++???∑

D ()()()0

???=++

3i i i i i i

P q x q x x '''

= =∑∑D （3）对点电荷系统，0P =（4）当电荷分布关于原点对称时

（2）小区域电荷体系在外电场中的相互作用能

其中()()()00,i e W q q x dV ?ρ'==?是点电荷在外电场中的相互作用能

()()()1

00e i e W p p E ?=??=-?是电偶极子在外电场中的相互作用能

()()2

106

i e W ?=??D:是电四极子在外电场中的相互作用能

电偶极子在外电场中受的力

()()()

1e e i F W p E p E =-?=??=??

若外电场均匀0F =

电偶极子在外电场中受的力矩

e L p E =?

三．重点与难点

本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法。本章难点：镜象法、分离变量法（柱坐标）、电多极矩。

()

i e W x dv

ρ?=?()()()0

i i i W W W =++

郭硕鸿《电动力学》课后答案

第 40 页电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??，所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明：（1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++=

电动力学作业

电动力学习题

第一章习题练习一 1. 若a 为常矢量, k z z j y y i x x r )'()'()'(-+-+-=为从源点指向场点的矢量, k E ,0为常矢量,则=??)(2a r _____ , =???)(r a ___,=??r ___,=??r ,=?r _____, =??)(r a ______, =? ?r r ______, =? ?r r ______，=????)(A _______. =???)]sin([0r k E ________, 当0≠r 时,=??)/(3r r ______. =???)(0r k i e E _______, =??)]([r f r ________. =??)]([r f r ____________ 2. 矢量场f 的唯一性定理是说：在以 s 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的_______ 和____________,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 f 在V 内唯一确定. 练习二 3. 当下列四个选项(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普适常数)中的_ ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 4. 电荷守恒定律的微分形式为_______________,若J 为稳恒电流情况下的电流密度,则J 满足 _______________. 5. 场强与电势梯度的关系式为__________.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为

)4/(30R R P πε? ?=，则该点的场强为__________. 6. 自由电荷Q 均匀分布于一个半径为 a 的球体内,则在球外)(a r >任意一点D 的散度为 _____________, 内)(a r <任意一点D 的散度为 ____________. 7. 已知空间电场为b a r r b r r a E ,(3 2 +=为常数），则空间电荷分布为______. 8. 电流I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内，则在导线外)(a r >任意一点B 的旋度的大小为 ________, 导线内)(a r <任意一点B 的旋度的大小为___________. 9. 均匀电介质（介电常数为 ε ）中,自由电荷体密度为f ρ与电位移矢量D 的微分关系为 _____________, 缚电荷体密度为P ρ与电极化矢量P 的微分关系为____________,则P ρ与 f ρ间的关系为________________________________. 10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P ，若在介质中挖去半径为R 的球形区域，设空心球的球心到球面某处的矢径为R ，则该处的极化电荷面密度为_____________. 11. 电量为q 的点电荷处于介电常数为ε的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为___________. 12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J ,磁化电流密度为M J ,磁导率μ,磁场强度为H ，磁

电动力学复习总结电动力学复习总结答案

第二章静电场一、填空题 1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b r a ,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为。答案： 02a R ε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3 002cos cos =-+E R E r r φθθ,0E 为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 . 答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v v r R E E e e r θθθ 3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是；介质分界面上电势的边值关系是和；有导体时的边值关系是和。答案： σφ εφσφεφεφφερφ-=??=-=??-??=- =?n c n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。答案：z y x e b e ax e axy ? ??+--22 5、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。答案：0n ? σε?=-? 6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。答案： -（1- ε ε0 ） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1 ()() 8x x W dv dv r ρρπε''= ??v v 的适用于情形. 答案：全空间充满均匀介质 8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。答案： 3 4qR R πεv 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生

的电势为等于 . 答案： 04q a πε 10、无电荷分布的空间电势极值.(填写“有”或“无”) 答案：无 11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。答案：唯一性定理, 求解区以外空间 12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。答案：零 13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。答案：212014() R q a R a a πε- 二、选择题 1、泊松方程ε ρ φ- =?2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场答案： C 2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．2363y x + B. 222532z y x -+ C. 32285z y x ++ D. 2237z x + 答案： B 3、真空中有两个静止的点电荷1q 和2q ，相距为a ，它们之间的相互作用能是 A ．a q q 0214πε B. a q q 0218πε C. a q q 0212πε D. a q q 02132πε 答案：A 4、线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ρφ21; B.E D ? ??21; C. ρφ D. E D ??? 答案：B 5、两个半径为12,R R ,124R R =带电量分别是12,q q ,且12q q =导体球相距为a(a>>12,R R ),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的 A. 16,25倍 B. 1,倍 C. 1,4倍 D. 1 ,16倍答案： A

(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 21??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：

3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。（2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d

5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ? = ρ，利用电荷守恒定律0=??+ ??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?=的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

电动力学习题解答

第二章静电场 1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r K r P =，电容率为ε。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）P ?-?=p ρ2 222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内（3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 2002 00 )(4d εεεεπερε-= = = ?外外 r KR r )(d 00εεεε?-= ?=?∞r E 外外 )(ln d d 0 0εε εε?+-= ?+?=??∞r R K R R r r E r E 外内内（4）???∞-+-=?=R R r r r R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2 0))(1(2εεεεπε-+=K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑++ =n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以 00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当 0R R →时，0Φ→? 所以 010 1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n n n P R b P R E θθ? 即： 002010000/, /R E R b R b =Φ=+?

电动力学二章答案

习题二 1．将一个位于真空中的带电导体球切成两半，求它们之间的排斥力．设球的半径为 0R ，球的电势为0V ．答案： .?2 2 00z e V F πε= 解：0 004R q V πε= ， 0004V R q πε=，.0 0R V εσ= z z e V e R F ?2 ?22002 002πεπεσ=?= ２．内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质． ⑴证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消．因此内部无磁场． ⑵求f λ随时间的衰减规律． ⑶求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度． ⑷求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率． ⑵;0t f e ε σλλ-= ⑶2 2??? ? ??r f πελσ； ⑷.ln 22 2a b l f πε λσ 解：⑴r f e r D ?2πλ= ，.?2r f e r D E πελε== .?2r f f e r E J πεσλσ= = .?21r f D e t r t D J ??=??=λπ 对两式求散度，并且由 f D ρ=?? ，0=??+??t J f f ρ

得 f f t λε σ λ- =??，所以 0=??+t D J f 。因为介质是非磁性的，即H B μ=，故任意一点，任意时刻有 000=??? ? ????+=??=??t D J H B f μμ ⑵由 f f t λε σ λ- =??，解这个微分方程得 ()t f e t ε σ λλ-=0 ⑶()2 22/r E E J p f f πελσσ==?= ⑷长度为l 的一段介质耗散的功率为 .ln 222222 a b l rldr r f b a f πελσππελσ=??? ? ??? 能量密度()2 2/, 21r t w D E w f πελσ-=???= 长度为l 的一段介质内能量减少率为 .ln 2222a b l rldr t w f b a πελσπ? =??- ３．一很长的直圆筒，半径为R ，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为σ．在外力矩的作用下，从0=t 时刻开始，以匀角加速度α绕它的几何轴转动，如图所示． ⑴试求筒内的磁感应强度B ； ⑵试求筒内接近内表面处的电场强度E 和玻印廷矢量S ； ⑶试证明：进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为??? ? ??2022B l R dt d μπ．答案： ⑴ωσμ R B 0=； ⑵ωασμe e Rr E r ??21 0?= ； r e r R S ?2 1 2320ασμ-= ．

《电动力学(第二版)》(郭硕鸿)第二章习题

第二章习题 1. ε ε0 R (1) 2 2 323222323211r K r K r r K r K r r K r K r K r K P -=-?--=-?--=??-??? ? ???-=??? ????-=?-?=r r r r r P ρ ()2 P R K K R R σ∧ ∧ =?=?=r P R n r (2) E E P 0001εεεεχ??? ? ??-==e ()2 K r εε=ε= =ε-εε-ε00P r D E () 2r K f 0r D εεερ= ??-=??= (3) R r <<0 ()r K r E d r 2 2 4? ??-==?εεεπε0S D ()r K E 0εε-= R r > ()r K r E d R 2 2 04???-==?εεεπε0S D ()2 00r KR E εεεε-= ()()r KR dr r KR r out 002 00 εεεεεεεε?-=-=? ∞ ()()()()??? ? ??+??? ??-= ? ? ? ??-+-=-+-=??∞ 000000200ln ln εεεεεεεεεεεεεεεε?r R K r R K K dr r K dr r KR R R r in (4) ()()()()2 000202002 0200202 02 00212ln ln 2ln ln 2ln 24ln 2121 ? ??? ??-???? ? ?+=???? ??++--=???? ? ?++--= ???? ? ?+??? ??-= ???? ??+??? ??--== ??????εεεεπεεεεεπεεεεεπεεεεεπεπεεεεεεε?ρK R R R R R R R K dr R r K dr r R K dr r r R K r K dV W R R R in f e 0 2. (1) 边界条件：设未放置导体球时，原点电位为0?，任意点电位则为 ?-=?-=z R E d 0 0001cos θ???0l E 球外空间0=ρ，电位?满足拉普拉斯方程 02=?? 解为：()∑∞ =+??? ? ? +=01cos n n n n n n P R b R a θ? 放入导体球后：01, ??→∞→R

电动力学习题集答案

电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y y ')j (z z ')k 为从源点指向场点的矢量 , E , k 为常矢量,则！ (r 2 a ) =(r 2 a ) (r a 2r a , )a ) ddrr r a 2r r r 2 r i j — k (x x ') (y y ') (z z ') i j k — ！ 2(x x ') (x x ') ,同理，？ x (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 / r 2 (x x ')(y y ')(z z ') (y y ') (x x ') （ (y y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') # 2 , z 2 2 (z z ') r 【 r e e e x x x ！ r (x-x') r (y-y') y (z-z') 3 z ， ' x y z x x ' y y ' z z ' 0， x (a r ) a ( r ) 0 , : ) r r r r r r r 0 r rr ( r 1 1 r 《 a ， , ( ) [ a (x -x' )] [ a (y - y')] … j [a (z -z')] a r i k x y z * r r r r 1 r 1 r … r 3 r 2 3 r ， ( A ) __0___. r r , [E sin(k r )] k E 0 cos(k r ) __0__. (E 0e ik r ) , 当 r 0 时 , ! (r / r ) ik E 0 exp(ik r ) , [rf (r )] _0_. [ r f ( r )] 3f (r )r # s 3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以为界面的区域V 内, 若已知矢量场在V 内各点的旋度和散度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则在内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足 4. 电荷守恒定律的微分形式为 — J t J 0 . 5. 场强与电势梯度的关系式为， E .对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为

电动力学答案

2．一平面电磁波以045=θ从真空入射到24=ε的介质。电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数。解：由 1 122sin sin εμεμθθ = ' ' 1r 2r 12sin sin εεεεθθ=='' 1 2 s i n s i n 450= ''∴θ 解得 030=''θ 由菲涅耳公式： θ εθεθεθε''+''-=' sin sin sin sin E E 2121 = =+= 3 12cos cos cos 2E E 211+= ''+=' 'θεθεθε 由定义:

3 2323131E E R 2 2 +-=? ??? ??+-='== 3 2321 22 223312cos cos E E T 2 1 22 +=???? ??+=''''= = εεθθ 7．已知海水的1 1m 1s ,1-?==σμ,试计算频率ν为50,9 61010和Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度. 解: ωμσ α δ2 1 = = , 72m 1 1042502 7 50 =????= -=ππδ γ , 5m .01 1042102 7610 r 6 =????= -=ππδ 16mm 1 1042102 7 910r 9 =????= -=ππδ

2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是 )/1/(2'22c v v v += （1） ∴在1'∑系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为 220/'1c v l l -= （2）将（1）代入（2）即得： )/1/()/1(22220c v c v l l +-= （3）此即是在1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。 3. 静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S ’，于是相对于地面参考系S ，车长为 220/1c v l l -=，（1）车速为v ，球速为 )/1/()(200c v u v u u ++= （2）所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁 l t v t u +?=? 所以 )/(v u l t -=? （3）将（1）（2）代入（3）得：2 2 0200/1)/1(c v u c v u l t -+= ? （4） 4. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。解：取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参考系'∑。取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系与'∑的原点，如图。在∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标为 ) /1(/1/1'2 2 02 2 0c v c v l c v vt l x --=--=右 )/1(/1/1'2 20 220c v c v l c v vt l x +--= ---= 左即：)/1(/1'220c v c v l d --=右,)/1(/1'2 20 c v c v l d +--=左时间差为 2220 /12''c v c vl c d c d t -= -= ?右左 5. 有一光源S 与接收器R 相对静止，距离为0l ,S-R 装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射率n ）中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。（1）液体介质相对于S-R 装置静止；

电动力学-第二章练习题

第二章一、选择题 1、静电场的能量密度等于（） A ρ?21 B E D ?2 1 C ρ? D E D ? 2、下列函数（球坐标系a 、b 为非零常数）中能描述无电荷区电势的是（） A a 2r B a b r +3 C ar(2r +b) D b r a + 3、真空中两个相距为a 的点电荷1q 和2q ，它们之间的相互作用能是（） A a q q 0218πε B a q q 0214πε C a q q 0212πε D a q q 02132πε 4、电偶极子p 在外电场e E 中所受的力为（） A (??P )e E B —?(?P e E ) C (P ??)e E D (e E ??)P 5、电导率为1σ和2σ，电容率为1ε和2ε的均匀导电介质中有稳恒电流，则在两导电介质面上电势的法向微商满足的关系为（） A n n ??=??21?? B σ?ε?ε-=??-??n n 1122 C n n ??=??2211?σ?σ D n n ??=??122211σσ?σ 6. 用点像法求接静电场时，所用到的像点荷___________ 。 A) 确实存在；B) 会产生电力线；C) 会产生电势；D) 是一种虚拟的假想电荷。 7.用分离变量法求解静电场必须要知道__________ 。 A) 初始条件；B) 电场的分布规律；C) 边界条件；D) 静磁场。 8.设区域V 内给定自由电荷分布)(x ρ，S 为V 的边界，欲使V 的电场唯一确定，则需要给定（）。 A. S φ或S n ??φ B. S Q C. E 的切向分量 D. 以上都不对 9.设区域V 内给定自由电荷分布()ρx ,在V 的边界S 上给定电势s ?或电势的法向导数 s n ???，则V 内的电场（） A ．唯一确定 B. 可以确定但不唯一 C. 不能确定 D. 以上都不对 10.导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是( ) A. 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 B. 导体内部电场为零 C. 导体表面电场线沿切线方向 D. 整个导体的电势相等 11.一个处于x ' 点上的单位点电荷所激发的电势)(x ψ满足方程（） A. 2()0x ψ?= B. 20()1/x ψε?=- C. 201()()x x x ψδε'?=- - D. 201()()x x ψδε'?=- 12.对于均匀带电的球体，有（）。 A. 电偶极矩不为零，电四极矩也不为零 B. 电偶极矩为零，电四极矩不为零 C. 电偶极矩为零，电四极矩也为零 D. 电偶极矩不为零，电四极矩为零

电动力学第二章答案

1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r K r P =，电容率为ε。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）P ?-?=p ρ2222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内（3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 200200)(4d εεεεπερε-= = = ?外外 r KR r )(d 00εεεε?-= ?=?∞r E 外外 )(ln d d 0 0εεεε?+-=?+?=??∞r R K R R r r E r E 外内内（4）???∞-+-=?=R R r r r R K r r r K V W 42200222022 202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2 0))(1(2εεεεπε-+=K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑++ =n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当0R R →时，0Φ→? 所以010 1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n n n P R b P R E θθ? 即：002 010000/, /R E R b R b =Φ=+? 所以) 2(,0,),(3 010000≥==-Φ=n b R E b R b n ? ?? ?≤Φ>+-Φ+-=)() (/cos /)(cos 00 02 3 0000000R R R R R R E R R R E θ?θ?? （2）设球体待定电势为0Φ，同理可得

电动力学练习题

8.cos ()B e ?θ球坐系 .z D a e 2.63x y C xye y e + 23.x y z A xe ye xe ++ .x y C axe aye - .() D are ?柱坐标系 .x y B aye axe -+ .()r A are 柱坐标系0 0 ./,A E E ρε??=??= 00.,B E E ??=??= 0 .,B C E E t ???=??=-?0 ./,B D E E t ρε???=??=-?p p B are ?=333()x y z J c x e y e z e =++21() n J J ?-=和。电动力学练习题第一章电磁现象的基本规律一.选择题 1.下面函数中能描述静电场强度的是( ) 2.下面矢量函数中不能表示磁场强度的是（）变化的磁场激发的感应 3.电场满足（） 4.非稳恒电流的电流线起自于（） A.正点荷增加的地方； B.负电荷减少的地方； C.正电荷减少的地方； D.电荷不发生改变的地方。 5.在电路中负载消耗的能量是（） A.通过导线内的电场传递的； B.通过导线外周围的电磁场传递的； C.通过导线内的载流子传递； D. 通过导线外周围的电磁场传递的，且和导线内电流无关。二、填空题 1.极化强度为的均匀极化介质球,半径为R,设与球面法线夹角为θ，则介质球的电偶极矩等于_____，球面上极化电荷面密度为_____。 2.位移电流的实质是_________. 3.真空中一稳恒磁场的磁感应强度（柱坐标系）产生该磁场的电流密度等于_______。 4.在两种导电介质分界面上，有电荷分布，一般情况下，电流密度满足的边值关系是____。 5.已知某一区域在给定瞬间的的电流密度：其中c 是大于零的常量。此瞬间电荷密度的时间变化率等于___ ，若以原点为中心，a 为半径作一球面，球内此刻的总电荷的时间变化率等于_____。 6.在两绝缘介质的界面处，电场的边值关系应采用 ()21 ,n D D ?-= 21()n E E ?-=。在绝缘介质与导体的界面(或两导体的界面处)稳恒电流的情况下，电流的边值关系为 7.真空中电磁场的能量密度w =_____________，能流密度 S =_________。 8.已知真空中电场为23r r E a b r r =+（a ，b 为常数）,则其电荷分布为______。 9.传导电流与自由电荷之间的关系为:f J ??= _____________

电动力学习题解答2

第二章静电场 1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r K r P =，电容率为ε。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）P ?-?=p ρ2 222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内（3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 2002 00 )(4d εεεεπερε-= = = ?外外 r KR r )(d 00εεεε?-= ?=?∞r E 外外 )(ln d d 0 0εε εε?+-= ?+?=??∞r R K R R r r E r E 外内内（4）???∞-+-=?=R R r r r R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2 0))(1(2εεεεπε-+=K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑++ =n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以 00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当 0R R →时，0Φ→? 所以 010 1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n n n P R b P R E θθ? 即： 002010000/, /R E R b R b =Φ=+?

郭硕鸿电动力学习题解答完全版(1_6章)

1. 根据算符?的微分性与矢量性推导下列公式 ?(Ar ? Br) = Br × (?× Ar) + (Br ??)Ar + Ar × (?× Br) + (Ar ??)Br Ar × (?× Ar) = 1 ?Ar 2 ? (Ar ??)Ar 2 解 1 ?(Av ? Bv) = Bv × (?× Av) + (Bv ??)Av + Av × (?× Bv) + (Av ??)Bv 首先算符?是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题 ?将作用于 Av 和Bv 又?是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式 cv × (av ×bv) = av ?(cv ?bv) ? (cv ?av)bv 可得上式其中右边前两项是 ?作用于 v v A 后两项是?作用于 B v v 2 根据第一个公式令 A B 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数证明 ?f (u) = df ?u du ?? Ar(u) = ?u ? dAr du r ?× Ar(u) = ?u × . dA du 证明 1 ?f (u) = ?f (u) er x + ?f (u) er y + ?f (u) er z = df du ? e x + r ?u er y + df ?ur ? ? e z = df ?u ?u ?x ?y ?z du ?y du ?z du 2 ?Ar y (u) ?y dAr y (u) du ?Ar x (u) + ?x + ?Ar z z(u) = dAr x (u) ? ?u + ? ?u + dAr z (u) ? ?u r ?z = ?u ? du ?? Ar(u) = dA ?z du ?x ?y dz 3 r r r e z ? e e ?Ar y )er x + (?Ar ? ?z ?Ar ?Ar x )er z = ?y r r x y ?× Ar(u) = = (? x ? ? )e y + ( y ? ?x ? ? A A r z z ?x ?y A y (u) A z (u) ?z ?y ?z ?x r r r A x(u)

郭硕鸿《电动力学》课后标准答案

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 21??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??，所以 A A A A A A )()()(21??-??=??? 即 A A A A )()(22 1 ??-?= ???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )( ， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?) ()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??= d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ??+??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A e e e e e e ??=??+??+???++= （3）u A u A u A z u y u x u u u z y x z y x d /d d /d d /d ///d d ??????=??e e e A z x y y z x x y z y u u A x u u A x u u A z u u A z u u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d ( ??-??+??-??+??-??= z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([]) ()([??-??+??-??+??-??= )(u A ??= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为

电动力学作业第一章 2

填空题 1. 当下列四个选项(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普适常数)中的_ ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 电荷守恒定律的微分形式为_______________,若为稳恒电流情况下的电流密度,则满足_______________. 3. 场强与电势梯度的关系式为__________.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为 )4/(30R R P πε? ?=，则该点的场强为__________. 4. 自由电荷Q 均匀分布于一个半径为a 的球体内,则在球外)(a r >任意一点D 的散度为 _____________, 内 )(a r <任意一点 D 的散度为 ____________. 5. 已知空间电场为b a r r b r r a E ,(3 2 +=为常数），则空间电荷分布为______. 6. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，则在导线外)(a r >任意一点B 的旋度的大小为 ________, 导线内)(a r <任意一点B 的旋度的大小为___________. 7. 均匀电介质（介电常数为 ε ）中,自由电荷体密度为f ρ与电位移矢量D 的微分关系 J J

为_____________, 缚电荷体密度为P ρ与电极化矢量P 的微分关系为____________, 则P ρ与f ρ间的关系为________________________________. 8. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P ，若在介质中挖去半径为R 的球形区域，设空心球的球心到球面某处的矢径为R ，则该处的极化电荷面密度为_____________. 9. 电量为q 的点电荷处于介电常数为ε的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为 ___________. 10. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J ,磁化电流密度为,磁导率μ,磁场强度为H ，磁化强度为M ，则=??H ______,=??M ______,M J 与f J 间的关系为 _______________. 11. 在两种电介质的分界面上,E D ,所满足的边值关系的形式为 __________________________,______________________. 12. 介电常数为ε的均匀各向同性介质中的电场为E . 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝, 则缝中电场强度为______________. 13. 介电常数为 ε的无限均匀的各项同性介质中的电场为E ，在垂直于电场方向横挖一窄缝，则缝中电场强度大小为______________________. M J

电动力学试题及其答案(1)

电动力学(A) 试卷班级姓名学号题号一二三四总分分数一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 r = 。 2、已知矢量A 和标量，则 )(A 。 3、区域V 内给定自由电荷分布、，在V 的边界上给定或，则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式、、、。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为。 8、相对论的基本原理为，。 9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式

为。二、判断题（每题2分，共20分） 1、由0 E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该点散度有贡献。（） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。（） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。（） 5、只要区域V 内各处的电流密度0 j ，该区域内就可引入磁标势。（） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。（） 7、在0 B 的区域，其矢势A 也等于零。（） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。（） 9、由于A B ，矢势A 不同，描述的磁场也不同。（） 10、电磁波的波动方程012222 E t v E 适用于任何形式的电磁波。（）三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符的矢量性和微分性，证明 0)( r 式中r 为矢径，为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0 ，求证此平面电磁波的磁场强度为 j t z c c E B )sin(0 四、计算题（每题10分，共30分） 1、迅变场中，已知)cos(0t r K A A , )cos(0t r K ，求电磁场的E 和B 。