郭硕鸿《电动力学》课后答案

电动力学答案

第一章电磁现象的普遍规律

1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式：

B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??

A A A A )()(2

21??-?=???A

解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=??

B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c

B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=

（2）在（1）中令B A =得：

A A A A A A )(2)(2)(??+???=??，

所以 A A A A A A )()()(21??-??=???

即 A A A A )()(22

??-?=

???A

2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：

u u f u f ?=

?d d )( ， u u u d d )(A A ?

?=??， u

u u d d )(A

A ??=?? 证明：

（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??=

?)()()()(z y x z u

u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u

f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ??+??+??=??)()()()(A z

u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d

u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A

e e e e e e ??=??+??+???++=

（3）u

A u A u A z u y u x u u

u z y x z

y x d /d d /d d /d ///d d ??????=??e e e A

x y y z x x y z y

u u A x u u A x u u A z u u A z u

u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (

??-??+??-??+??-??=

z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])

()([??-??+??-??+??-??=

)(u A ??= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=

为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为

从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：

r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及

)]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

（1）证明：222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=

○

1 r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1(r e e e =-+-+-=? r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1('r e e e -=------=?

可见 r r '-?=?

○2 3211d d 1r

r r r r r r r -=?-=???

??=??? ??? 32'1'1d d 1'r r r r r r r r =?-=???

??=??? ???

可见 ()()r r /1'/1-?=?

○

3 r r r r ??+??=??=??)/1()/1(])/1[()/(3

333r r r r 0301d d 43=?-=+????? ??=

r r

r r r r ○4 r r r r ??+??=??=??3

331)/1(])/1[()/(r

r r r 03

334=+?-=r

r r r r ， )0(≠r

（2）解：

○13])'()'()'[()(=-+-+-???

+??+??=??z y x z y x z z y y x x z

y x e e e e e e r ○

2 0'

///=---??????=??z z y y x x z y

x z

y x

e e e r

○

3 ])'()'()')[(()(z y x z y x z z y y x x z a y a x a e e e r a -+-+-??

+??+??=?? a e e e =++=z z y y x x a a a

○

4 r a r a a r a r r a )()()()()(??+???+??+???=?? 因为，a 为常向量，所以，0=??a ， 0)(=??a r ，又0=??r Θ，a r a r a =??=??∴)()(

○

5 )]sin([)sin()()]sin([000r k E r k E r k E ???+???=??? 0E 为常向量，00=??E ，而k r k r k r k r k )cos()()cos()sin(?=???=??，

所以 )cos()]sin([00r k E k r k E ??=???

○

6 )]cos()]sin([)]sin([000r k E k E r k r k E ??=???=??? 4. 应用高斯定理证明

S f ?=????S

V d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明

??=??L

??l S d d

证明：（I ）设c 为任意非零常矢量，则

?????=???V

V V )]([d d f c f c

根据矢量分析公式 )()()(B A B A B A ???-???=???，令其中f A =，c B =，便得

c f c f c f c f ???=???-???=???)()()()(

所以 ??????=???=???V

V V V )(d )]([d d c f f c f c ?

??=S c f d )(

f S c f S c ????=??=d )d (

因为c 是任意非零常向量，所以

???=??f S f d d V

（II ）设a 为任意非零常向量，令a F ?=，代入斯托克斯公式，得

???=???l F S F S

d d （1）（1）式左边为：????+??=???S

S a a S a d ][d )(???

?????-=???=S S

S a S a d d ?? ?????=???-=S

S ??S a S a d d

????=S

?S a d （2）

（1）式右边为：???=?l a l a d d ?? （3）所以 ???=???l a S a d d ??S

（4）

因为a 为任意非零常向量，所以

??=??l S d d ??S

5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V

x x p ?

ρ，利用电荷守恒定律

0=??+

??t ρJ 证明p 的变化率为：?=V V t t

d ),'(d d x J p

证明：方法（I ）

????

==V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ????-=??=V V V V t

t 'd )'('d ),(x'J x'x'ρ

????-=???-=?V V V 'x V t

'd )'('d )'(d d 1111J e 'x J e p

'd ])'()('[11V 'x 'x V J J ??+?-?=?

??+?-=V

x S

V J 'x 'd 'd 1S J 1

因为封闭曲面S 为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故

0'd 1=??S 'x S J ，

?=?V x V J t

'd d d 11e p

同理 ?=?V x V J t 'd d d 22e p ， ?=?V x V J t

'd d d 33e p

所以 ?=V

V t 'd d d J p

方法（II ）

????

==V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ????-=??=V V V V t

t 'd )'('d ),(x'J x'x'ρ

根据并矢的散度公式g f g f fg )()()(??+??=??得： J x J x J x J Jx +??=??+??=??')(')(')()'( ??+??-=V V V V t

'd 'd )('d d J Jx'p

??+?-=V V 'd )'(d J Jx S ?=V V 'd J

6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ?=

的旋度等于标量3/R R m ?=?的梯度的负值，即?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，

方向由原点指向场点。

证明：3

/)/1r r r -=?（

Θ ])1

[()]1([)(

3m m r m A ????=???-?=???=??∴r r r m m m m ])1

[()]1([1)(1)(???-???-???+???=r r r r

m m ]1

[1)(2r

r ?-???=

其中 0)/1(2

=?r ，（0≠r ）

)(???=??∴m A ，（0≠r ）

又 )]1

([)(3r

r ??-?=??=?m r m ?

m m m m ])1

[()1)(()()1()]1([???-???-????-????-=r r r r

)((r

???-=m

所以，当0≠r 时，?-?=??A

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静

止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（1）设场点到球心距离为r 。以球心为中心，以r 为半径作一球面作为高斯面。

由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r 处场强大小相同。

当1r r <时，01=D ， 01=E 。

当21r r r <<时， f r r D r ρππ)(3

431322

231323)(r r r D f ρ-=∴ ， 2

1323)(r r r E f

ερ-= ，

向量式为 r E 3

1323)(r r r f

ερ-=

当2r r >时， f r r D r ρππ)(3

44313232

2313233)(r r r D f ρ-=∴ 2

0313233)(r r r E f

ερ-=

向量式为 r E 3

13233)(r r r f

ερ-=

（2）当21r r r <<时，

)()(2

2202D D E D P εεερ-

?-?=-?-?=?-?=p f ρε

εε)1()1(020--=??-

-=D 当1r r =时，

0)1()()(1

2020212=--=-

?-=-?-==r r p D D D n P P n ε

εεσ

当2r r =时，

f r r p r r r ρεεε

σ2

13202

023)1()1(2

--=-=?==D P n

8. 内外半径分别为1r 和2r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流f J ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。

解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半

径为r 。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当 1r r < 时，由安培环路定理得：0,011==B H

当 21r r r << 时，由环路定理得：)(22

122r r J rH f -=ππ

所以 r

r r J H f 2)

(2122-=

， f J r

r r B 2)

(2122-=

向量式为 r J e

B ?-=-=

f f r

r r J r r r 2

21221222)

(?2)

(μμθ

当 2r r > 时，)(221223r r J rH f -=ππ

所以 r r r J H f 2)

(21223-=

， f J r r r B 2)

(212203-=

μ 向量式为 r J e B ?-=-=f f r

r r J r r r 2

212202122032)

(?2)(μμθ （2）当 21r r r << 时，磁化强度为

r J H M ?--=-=f r

r r 2

2120202)()1()1(μμ

μμ 所以 f M J H H M J )1()1(])1[(0

2020-=??-=-??=??=μμ

μμμμ 在 1r r = 处，磁化面电流密度为

=?=

0d 21

1l M r M πα 在 2r r = 处，磁化面电流密度为

?---=?-=f M

J r r r r 2

22122022)()1(d 210μμ

παl M

向量式为 f M r r r J α2

212202)()1(---=μμ

9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ的)

/1(0εε--倍。

证明：在均匀介质中 E E P )()1/(000εεεεε-=-=

所以 D E P ??--=??--=?-?=)/1)(()(00εεεεερp

f f ρεερεεε)/1(]/)[(00--=--=

10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 证明: 线圈1在线圈2的磁场中受的力:

21112B l F ?=d I d ,

而 ??=

312

22024l r d I r l B πμ， ????

??=??=∴12

31212212

103

122211012)

(4)(4l l l l r d d I I r d I d I r l l r l l F πμπμ

)(412

213121*********

10???-???? ???=l l d d r r d d I I l l r r l l π

μ (1) 同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：

)(421

123212132121212

1021???-???? ???=

l l d d r r d d I I l l r r l l F π

μ (2) (1)式中：

0)1(122

121212221212231212123121212＝一周???????-?==?=???? ???l l l l l l l r d r dr d r d d r d d l l r l l r l l 同理(2)式中： ??=????

???21

03212121l l r d d r l l

)(412213

122102112???-=-=∴l l d d r I I l l r

F F πμ 11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，电容率为1ε和2ε，今在两板

接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度1f ω和2f ω；（2）介质分界面上的自由电荷面密度3f ω。(若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)

解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为1E 和2E ，电位移分别设为1D 和2D ，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为

03=f ω

取高斯柱面，使其一端在极板A 内，另一端在介质1内，由高斯定理得：

11f D ω= 同理，在极板B 内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：

22f D ω-= 在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：

21D D =

所以有 111εωf E = ， 2

2εωf E =

由于 E )(d 2

2111221111εεωεωεωl

l l l l E f f f +=+=?=?

所以 =-=21f f ωω E

)(

εεl l +

当介质漏电时，重复上述步骤，可得：

11f D ω=， 22f D ω-=， 312f D D ω=-

213f f f ωωω--=∴

介质1中电流密度 111111111//εωσεσσf ===D E J

介质2中电流密度 2312222222/)(/εωωσεσσf f +===D E J 由于电流恒定，21J J =，

2312111/)(/εωωσεωσf f f +=∴

21212211223)1()(f f f ωεσσεωεσεσσεω-=-=

∴

再由 E 221

1l E l

E d +=?=

?l E 得

E )(22

1111122112111l l l f f f σσεωεσεωσεεω+=+=

221111/σσεωl l f +=∴

E 2

1121

2l l σσεσ+=E

)(312

f f f ωωω+-=2

1122

1l l σσεσ+-=E

11212213

l l f σσεσεσω+-=E 12.证明：

（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足

12tan tan εεθθ=

其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足

12tan tan σσθθ= 其中1σ和2σ分别为两种介质的电导率。证明：（1）由E 的切向分量连续，得

2211sin sin θθE E = （1）

交界面处无自由电荷，所以D 的法向分量连续，即

2211cos cos θθD D =

222111cos cos θεθεE E = （2）

（1）、（2）式相除，得

12tan tan εεθθ=

（2）当两种电介质内流有恒定电流时

222111,E J E J σσ==

由J 的法向分量连续，得

222111cos cos θσθσE E = （3）

（1）、（3）式相除，即得

12tan tan σσθθ= 13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。证明：（1）设导体外表面处电场强度为E ，其方向与法线之间夹角为θ，则其切向分量

为θsin E 。在静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上E 的切向分量连续，所以

0sin =θE

因此 0=θ

即E 只有法向分量，电场线与导体表面垂直。

（2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为α，则电流密度E J σ=与导体表面夹角也是α。导体外的电流密度0='J ，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以

0sin =ασE

因此 0=α

即J 只有切向分量，从而E 只有切向分量，电场线与导体表面平行。

14.内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质。

（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。（2）求f λ随时间的衰减规律。

（3）求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度。

（4）求长度l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。解：（1）以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面，其半径为r ，长度为L ，其中

b r a <<

则由高斯定理得： L D rL f ?=?λπ2 （1）

所以 r

D f πλ2=

， t r J f

D ??=λπ21 （2）

再由电流连续性方程得：)/(/2t L t q J rL f f ??-=?-?=?λπ （3）

所以 D f

f J t

r J -=??-

=λπ21 （4）即f J 与D J 严格抵消，因此内部无磁场。（2）由 E J σ=f 得： r D J f

f λπεσεσ?==

2 （5）联立（2）（4）（5）得0d d =+f f t λε

λ （6）

所以

0d d =+

t f

λλ t

f Ce

σλ-= （7）

设初始条件为

f t f

λλ==，则由（7）式得0f C λ=

所以，t

f f e

σλλ-=0 （8）

（3） 2

2???

? ???==r E p f πελσσ （9）

（4）将上式在长度为l 的一段介质内积分，得

??=?????

???=???? ???=V

b a f f f a b l r rl r V r P ln 2d 22d 2222

2πεσλππελσπελσ （10）

由 2

21E w ε= 得：

a b l r rl r V w W f b a f V ln 4d 2221d 2122

πελππελε=????

??==?? 所以 t

a b l t W f

f d d ln 2d d λπελ?= （11）由（6）（10）（11）得：t

P d d -=

即总的能量耗散功率等于这段介质的静电能减少率。

第二章静电场

1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2

/r K r P =，电容率为ε。

（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；

（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。

解：（1）P ?-?=p ρ2

222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r

)(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内

200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内

（3）)/(/0εεε-==P D E 内内

r f

r V

e e D E 2002

)(4d εεεεπερε-=

?外

外

r )(d 00εεεε?-=

?=?∞

r E 外外

)(ln d d 0

0εε

εε?+-=

?+?=??∞r R K R

R r

r E r E 外内内

（4）???∞-+

-=?=R R r r

r R K r r r K V W 4

2200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2

0))(1(2εεεεπε-+=K R

2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）

导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为

极轴，球心为原点建立球坐标系。

当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为

∑++

n n n

n n P R b R a )(cos )(1

θ? 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以 00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n

当 0R R →时，0Φ→?

所以 0101000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n

n n

P R b P R E θθ? 即： 002010000/,/R E R b R b =Φ=+?

所以 )

2(,0,),

010000≥==-Φ=n b R E b R b n ?

?≤Φ>+-Φ+-=)()

(/cos /)(cos 00

0000000R R R R R R E R R R E θ?θ??

（2）设球体待定电势为0Φ，同理可得

?≤Φ>+-Φ+-=)()

(/cos /)(cos 00

0000000R R R R R R E R R R E θ?θ??

当 0R R →时，由题意，金属球带电量Q

φθθθ?θε?εd d sin )cos 2cos (d 2

000

00000

R E R E S n

Q R R ??+-Φ+

=??-== )(40000?πε-Φ=R

所以 00004/)(R Q πε?=-Φ

?≤+>++-=)(4/)

(cos )/(4/cos 000023

00000R R R

Q R R R R E R Q R E πε?θπεθ?? 3. 均匀介质球的中心置一点电荷f Q ，球的电容率为ε，球外为真空，试用分离变量法求

空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：（一）分离变量法

空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为?'，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形

式为：

）（）（内θ?cos 1

n n

n n P R b R a ∑++

=' ）

（）（外θ?cos 1n n

n n n n P R d

R c ∑++=' 当∞→R 时，0→'外

?，0=∴n c 。当0→R 时，内

?'为有限，0=∴n b 。所以）

（内

θ?cos n n

n n P R a ∑=' ，）（外θ?cos 1

n n

P R d ∑+=' 由于球对称性，电势只与R 有关，所以

)1(,0≥=n a n )1(,0≥=n d n

0a ='内

?， R d /0='外? 所以空间各点电势可写成R Q a f πε?40+=内

R Q R d f πε?40+=外

当0R R →时，由外内??= 得： 000/R d a = 由 n

??=??外内?ε?ε

得：

002002

44R d R Q R Q f f

επεεπ+=

，)1

1(400εεπ-=f Q d 则 )1

(

4000ε

επ-=

R Q a f

所以）

（内εεππε?1

14400-+=R Q R Q f f ）（外εεππε?1

1440-+=R Q R Q f f R

Q f 04πε=

（二）应用高斯定理

在球外，R>R 0 ，由高斯定理得：f p f Q Q Q Q d =+==??

总外s E 0ε，（整个导体球

的束缚电荷0=p Q ），所以 r f

Q e E 2

04πε=

外，积分后得：

R Q dR R

Q d f

R R f 02

044πεπε???∞∞

==?=R E 外外在球内，R

s E 内ε，所以

r f R Q e E 2

4πε=

内，积分后得：

Q R Q R

Q d d f f f R R R

4440

0πεπεπε?+

?+?=??∞

R E R E 外内内结果相同。

4. 均匀介质球（电容率为1ε）的中心置一自由电偶极子f p ，球外充满了另一种介质（电

容率为2ε），求空间各点的电势和极化电荷分布。

解：以球心为原点，f p 的方向为极轴方向建立球坐标系。空间各点的电势可分为三种电

荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献，其中电偶极子产生的总电势为314/R f πεR p ?。所以球内电势可写成：

314/'R f i i πε??R p ?+=；球外电势可写成：31o o 4/'R f πε??R p ?+=

其中i '?和o '?为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。由于对称性，i '?和o '?均与φ无关。考虑到0→R 时i '?为有限值；∞→R 时0'o →?，故拉普拉

斯方程的解为：

)(cos 0R R P R a n n

n n i ≤='∑）

（θ? )(cos 01o

R R P R

b n

n n n

≥='∑+）（θ? 由此 )(cos 4/031R R P R a R n n

n f i ≤+?=∑）

（θπε?R p （1） )(cos 4/0131o R R P R b R n n n

n f ≥+?=+-∑）

（）

（θπε?R p （2）边界条件为：0

R R R R i

===?? （3）

o 2

R R R R i

==??=???ε?ε （4）

将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较)cos θ（n P 的系数，可得：

)1(0

,0≠==n b a n n

211211)2(2/)(R p a f εεπεεε+-= )2(2/)(211213

011εεπεεε+-==f p R a b

于是得到所求的解为：

)()2(2)

(4)2(2cos )(403

021121313

211213

1R R R R R R p R

f f f f i ≤?+-+?=+-+

R p R

p R p εεπεεεπεεεπεθ

εεπε?

)

()2(43)2(2)(4)2(2cos )(403

213

211213122112131o R R R

R R R p R f f f f f ≥+?=

?+-+

?=+-+?=εεπεεπεεεπεεεπεθεεπε?R p R p R p R p 在均匀介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，只有球心处存在极化电荷。

p ρεεεε

εεεεερ)1/()1(][])[(101010101-=??-=-?-?=-?-?=?-?=D D E P

所以 f p p p )1/(10-=εε

在两介质交界面上，极化电荷面密度为

o 020121)()()(E e E e p p e ?--?-=-?=r i r r p εεεεσ

o 0201)

()

(R R i

??-+??--=?εε?εε

由于0

o 2

R R i R

??=???ε?ε，所以

θεεπεεεε??εσcos )2(2)(3)(

211210o

00R p R R f R i p +-=??-??= 5. 空心导体球壳的内外半径为1R 和2R ，球中心置一偶极子p 球壳上带电Q ，求空间各点的电势和电荷分布。

解：以球心为原点，以p 的方向为极轴方向建立球坐标系。在1R R <及2R R >两均匀区域，电势满足拉普拉斯方程。通解形式均为

）（）（θcos 1

n n

n n P R b R a ∑

++ 当∞→R 时，电势趋于零，所以2R R >时,电势可写为

）

（θ?cos 1o n n

n n P R b

∑+= (1) 当0→R 时，电势应趋于偶极子p 激发的电势：

20304/cos 4/R p R f πεθπε=?R p

所以1R R <时，电势可写为

）（θπεθ?cos 4cos 2

0n n

n i P R a R p ∑+=

(2) 设球壳的电势为s ?,则

s n n n n R P R b

?θ?==∑+）（cos 12

o 2

(3) s n n

n n R i

P R a R p ?θπεθ?=+=∑）

（cos 4/cos 12101

(4) 由(3)得： 20R b s ?= ；)0(0

≠=n b n

由(4)得： s a ?=0 ；3

1014/R p a πε-= ；)1,0(0

≠=n a n

所以 R R s /2o ??= (5)

310204/cos 4/cos R pR R p s i πεθ?πεθ?-+= (6) 再由 Q R R R

R s S

==????2220o 0

4d π?ε?εS 得： 204/R Q s πε?= (7)

将(7)代入(5)(6)得：

R Q 0o 4/πε?= )(2R R >

)(414cos 44cos 31

2303

102020R R Q R R pR R Q R p i R p R p ?-+?=-+=πεπεθπεπεθ? 在2R R =处，电荷分布为：

R Q

R D R n π?εσ=

??-== 在1R R =处，电荷分布为：

4cos 3'1

R p R

D R i n πθ

?εσ-

=??=-=

6. 在均匀外电场0E 中置入一带均匀自由电荷f ρ的绝缘介质球（电容率为ε），求空间各点的电势。

解：以球心为原点，以0E 的方向为极轴方向建立球坐标系。将空间各点的电势看作由两

部分迭加而成，一部分1?为绝缘介质球内的均匀自由电荷产生，另一部分2?为外电场0E 及0E 感应的极化电荷产生。前者可用高斯定理求得，后者满足拉普拉斯方程。由于对称性，2?的形式为

)(cos )()1(θn n

n n n n

P R b R a

∑+-+

对于1?，当0R R >时，由高斯定理得：

23013/R R D f ρ= ， 203

013/R R E f ερ=

当0R R <时，由高斯定理得：

3/2R D f ρ= ， ερ3/2R E f =

1?的球外部分： ??+=0

203

01o )3/(d )3/(R R

R f f dR R R R R ερερ?

ερερερ6/3/3/2

0020030R R R R f f f --= （1）

1?的球内部分： ερερ?6/)3/(d 20

021R dR R R E f R

f R

i -==?=?? （2）

对于2?，当∞→R 时，θ?cos 02R E -→，所以

)(cos cos 010o2R R P R

b R E n n

n n

>+-=∑

+）（θθ? 当0→R 时，2?为有限，所以

)(cos 02R R P R a n n

n n i <=∑）

（θ?

边界条件为：0R R =时，2o2i ??=，0

o 0

R i R R

??=???ε

?ε。即：

???=+--=+-∑∑∑∑-+-+-)(cos )(cos )1(cos )(cos )(cos cos 1

0)2(0

0000)1(000θεθεθθθθn n n n n n n n n n

n n n n n P R na P R b n R E P R a P R b R E 比较)(cos θn P 的系数，解得：

)2/(30001εεε+-=E a

)2/()(03

0001εεεε+-=R E b

)1(0

≠==n b a n n

所以 )()2/(cos )(cos 02

030000o2R R R

R E R E >+-+-=εεθεεθ? (3)

)()

2/(cos 300002R R R E i <+-=εεθε? (4)

由(1) (2) (3) (4)得:

???

???≤+-

-≥+-+-++-

(2cos 36)

()2(cos )(cos 3)21

(300

002

0000030020R R R E R R R R R E R E R R R f f f εεθ

εερεεθεεθερεερ?

7. 在一很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀的电流J f 0。今在液体中

置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论21σσ>>及

12σσ>>两种情况的电流分布的特点。

解：本题虽然不是静电问题，但当电流达到稳定后，由于电流密度J f 0与电场强度E 0成正比（比例系数为电导率），所以E 0也是稳定的。这种电场也是无旋场，其电势也满足拉普拉斯方程，因而可以用静电场的方法求解。

(1)未放入小球时，电流密度J f 0是均匀的，由J f 002E σ=可知，稳恒电场E 0也是一个均

匀场。因此在未放入小球时电解液中的电势0?便是均匀电场E 0的电势。放入小球后，以球心为原点，E 0的方向为极轴方向，建立球坐标系。为方便起见，以坐标原点为电势零点。在稳恒电流条件下，0/=??t ρ，所以：

0=??J (1)

由(1)式可推出稳恒电流条件下的边界条件为:

0)(12=-?J J n (2) 设小球内的电势为1?，电解液中的电势为2?，则在交界面上有：

21R R ??= (3)

211

R R R R R R ==??=???

σ?σ (4) 将E J σ=及?-?=E 代入(1)，得：

0)(2=?-=??=???σσE J

可见?满足拉普拉斯方程

考虑到对称性及∞→R 时0E E →，球外电势的解可写成：

)(cos cos 01

2R R P R b R J n n

n n

f >+-

=∑

+）（θθσ? (5) 其中利用了020E J σ=f 。

考虑到0→R 时电势为有限值，球内电势的解可写成：

)(cos 01R R P R a n n

n n <=∑）

（θ? (6) 因为选0=R 处为电势零点，所以00=a ，将(5) (6)代入(3) (4)得：

）（）（θθθσcos cos cos 010

020

n n n

n n

n n n f P R a P R b R J ∑∑

=+-

+ (7) ）

（）（θσθθσσcos ]cos )1(cos [10120

202n n n n n n n n f P R na P R b n J ∑∑-+=+-- (8) 由(7)(8)两式可得:

)2/(32101σσ+-=f J a , 2213

00211)2/()(σσσσσ+-=R J b f

)1(0

,0≠==n b a n n

所以： )2/(3)2/(cos 32102101σσσσθ?+?-=+-=R J f f R J (0R R ≤)

222130021202)2/(cos )(/cos R R J R J f f σσσθσσσθ?+-+-=

322103

02120)2/()(/R R f f σσσσσσ+?-+?-=R J R J (0R R ≥)

由此可得球内电流密度:

)2/(3)2/()(32101210111111σσσσσσ?σσ+=+??=?-==f f J R J E J

电解液中的电流密度为: 22222?σσ?-==E J

])(3[)2()(305

0213

210R R R f f f J R R J J -?+-+=σσσσ

(2)两导体交界面上自由电荷面密度

)()(12012E E e D D e -?=-?=r r f εω)//(11220σσεJ J e -?=r

210021)2/(cos )(3σσσθεσσ+-=f J

(3) 当21σσ>>，即球的电导率比周围电解液的电导率大的多时，

)2/()(2121≈+-σσσσ ，

)2/(3211≈+σσσ

所以， 013f J J ≈

]/)(3)[/(02033

002f f f R R R J R R J J J -?+≈ 2

00/cos 3σθεωf f J ≈

当21σσ<<时，同理可得：

01≈J

]/)(3)[2/(02033

002f f f R R R J R R J J J -?-≈ 2

002/cos 3σθεωf f J -≈

8. 半径为0R 的导体球外充满均匀绝缘介质ε，导体球接地，离球心为a 处（a >0R ）置

一点电荷f Q ，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。解：以球心为原点，以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。将空间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势

θπε?cos 24/221Ra a R Q f -+=，

二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的2?。后者在球内和球外分别满足拉普拉斯方程。考虑到对称性，2?与φ无关。

由于0→R 时，2?为有限值，所以球内的2?解的形式可以写成

∑=n

n n n i P R a )(cos 2θ? （1）

由于∞→R 时，2?应趋于零，所以球外的2?解的形式可以写成

∑

+=n

n n

P R

b )(cos 12o θ? （2）由于

∑=-+n

n n P a R a Ra a R (cos))/()/1(cos 222θ

∑=n

n n

f P a R a Q (cos))/()4/(1πε? （3）

当0R R ≤时，21i ???+=内

∑∑+=n

n n n n

n n f P R a P a R a Q )(cos (cos))/()4/(θπε （4）

当0R R >时，21o ???+=外

∑

∑++=n

n n n

n n f P R b P a R a Q )(cos (cos))/()4/(1

θπε （5）因为导体球接地，所以 0=内? （6）

==R R 内外?? （7）

将（6）代入（4）得: 14/+-=n f n a Q a πε （8）

将（7）代入（5）并利用（8）式得: 11

204/++-=n n f n a R Q b πε （9）

将（8）（9）分别代入（4）（5）得:

)(00R R ≤=内? （10）

]/cos 2)/(cos 2[

4120

RR a R R a Q R Ra a R Q f

θθ

πε

?++-

-+=

外,

)(0R R ≥ （11）

用镜像法求解：设在球内r 0处的像电荷为Q ’。由对称性，Q ’在球心与Q f 的连线上，根据边界条件：球面上电势为0，可得：（解略）

a R r /200=， a Q R Q f /'0-=

所以空间的电势为

]/cos 2)/(cos 2[41)'(4120220202221a

RR a R R a Q R Ra a R Q r Q r Q f f f θθπεπε?++--+=+=外 )(0R R ≥

9. 接地的空心导体球的内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为a 处(a <1R )置一点电荷Q 。用镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？

解：假设可以用球外一个假想电荷'Q 代替球内表

面上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接

地，球外表面电量为零，由对称性，'Q 应在球心与Q 的连线上。

考虑球内表面上任一点P ，边界条件要求：

0'/'/=+R Q R Q (1)

式R 为Q 到P 的距离，R’为'Q 到P 的距离，因此，对球面上任一点，应有

=-=Q Q R R /'/'常数 (2)

只要选择'Q 的位置，使OPQ P OQ ??~'，则

==a R R R //'1常数 (3)

设'Q 距球心为b ，则a R R b //11=，即a R b /2

1= (4) 由（2）（3）两式得: a Q R Q /'1-=

]/cos 2//cos 2[412124121220a

R R a R R a Q R Ra a R Q θθπε?-+--+=

导体内电场为零，由高斯定理可知球面上的感应电荷为Q -，分布于内表面。

O Q '

Q 1R R 'R P

由于外表面没有电荷，且电势为零，所以从球表面到无穷远没有电场，0=外?。 10. 上题的导体球壳不接地，而是带总电荷0Q ，或使具有确定电势0?，试求这两种情况的

电势。又问0?与0Q 是何种关系时，两情况的解是相等的？

解：由上题可知，导体球壳不接地时，球内电荷Q 和球的内表面感应电荷Q -的总效果是

使球壳电势为零。为使球壳总电量为0Q ，只需满足球外表面电量为0Q +Q 即可。因此，导体球不接地而使球带总电荷0Q 时，可将空间电势看作两部分的迭加，一是Q 与内表面的Q -产生的电势1?，二是外表面0Q +Q 产生的电势2?。

]/cos 2//cos 2[

4121

R R a R R a

Q R Ra a R Q

θθπε?-+-

-+=

内，)(1R R <

01=外

?， )(1R R ≥； 20024/)(R Q Q πε?+=内， )(2R R <；

R Q Q 0024/)(πε?+=外， )(2R R ≥，所以 )

(4/)()

(4/)(21200200R R R R Q Q R R R Q Q ≤≤+=≥+=πε?πε?

)

(]/cos 2//cos 2[4112

021********R R R Q Q a R R a R R a Q R Ra a R Q

≤++-+--+=，θθπε?由以上过程可见，球面电势为2004/)(R Q Q πε+。

若已知球面电势0?，可设导体球总电量为0'Q ，则有：

02004/)'(?πε=+R Q Q ，即：20004/)'(R Q Q ?πε=+

电势的解为：

????

????≤+-+--+≤≤≥=)(]/cos 2//cos 2[41)()(/10

2124121220210220R R a R R a R R a Q R Ra a R Q R R R R R R

R ?θθπε???

当0?和0Q 满足20004/)(R Q Q πε?+=时，两种情况的解相同。

11. 在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （b >a ），试用电象法求空间电势。

解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电

荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。

Q b a

Q -=1，z b a e r 21=；Q b

a Q =2，z

b a e r 22-=； Q Q -=3，z b e r -=3，所以

Q b a -Q b a Q

-R

郭硕鸿《电动力学》课后答案

第 40 页电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??，所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明：（1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++=

电动力学试题库十及其答案

简答题（每题5分，共15分）。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关系式。证明题（共15分）。当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 21 2εεθθ= t a n t a n ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。（15分）四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1 σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）

3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？（10分）二、简答题 1、达朗伯方程：2 2 022 1A A j c t μ??-=-? 222201c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ?? ?? ''-- ? ?? ?? ? ''= =?? 2、由于电磁辐射的平均能流密度为222 3 2 0sin 32P S n c R θπε= ，正比于2 sin θ，反比于 2 R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3 、能量：2 m c W = ；动量：),,m iW P u ic P c μ?? == ??? ；能量、动量和静止质量的关系为：22 22 02 W P m c c -=- 三、证明：如图所示在分界面处，由边值关系可得：切线方向 12t t E E = （1）法线方向 12n n D D = （2） 1 ε

电动力学章节总结

第一章一、总结 1．电磁场的六大基本方程及其对应的边值关系 2．介质的特性欧姆定律：焦耳定律：另外常用：；（可由上面相关公式推出） 3．洛仑兹力密度公式、电荷守恒定律洛仑兹力密度公式：由此式可导出：电荷守恒定律：稳恒条件下： 4．能量的转化与守恒定律积分式：其中，微分式：或 5．重要推导及例题 (1) .六个边值关系的导出； (2) .由真空中的麦克斯韦方程推出介质中的麦克斯韦方程； (3) .能流密度和能量密度公式的推导；

(4) .单根导线及平行双导线的能量传输图象； (5) .例题：所有课堂例题。 6．几个重要的概念、定义 (1) ； (2) ； (3) .矢量场的“三量三度”（见《矢量场论和张量知识》）和麦克斯韦电磁理论的“四、三、二、一”，其中“三量三度”见《矢量场论和张量知识》。第二章 (1).唯一性定理的两种叙述一般介质情况下的唯一性定理有导体存在时的唯一性定理 (2).引入静电场标势的根据，的物理意义，的积分表式 (3).与静电场标势有关的公式 (4).电多极展开的思想与表式，Dij=? a. 小区域电荷系在远区的电势其中为体系总电量集中在原点激发的电势；为系统电偶极矩激发的电势；为四极矩激发的势。 b. 电偶极矩、电四极矩为体系的总电量为体系的总电偶极矩为体系的总电四极矩 c. 小电荷系在外电场中的能量为电荷集中于原点时在外电场中的能量；电力线；

为偶极矩在外场中的能量为四极矩在外场中的能量 d. 用函数表示偶极矩的计算公式其中；的定义满足 2．本章重要的推导 (1).静电场泊松方程和拉普拉斯方程导出：(1).；(2). (2).势函数的边值关系：(1)；(2) (3).静电场能量： (4).静电场的引出。由于静电场与静磁场的理论在许多情况下具有很强的对称性的，许多概念、知识点及公式也具有类似的形式，所以我们将第二、第三章的小结编排在一起，以利于巩固和复习。第三章 1．基本内容 (1).引入的根据，的积分表式，的物理意义 (2).引入的根据及条件，的积分表式及物理意义 (3).磁标势与电标势（）的比较及解题对照标势引入根据；；等势面电力线等势面磁力线等势面势位差微分方程；；边值关系 (4).磁多极展开与有关公式， a. 小区域电流在外场中的矢势

电动力学试题库十及其答案

电动力学试题库十及其答案简答题（每题5分，共15分）。 1 .请写出达朗伯方程及其推迟势的解. 2 .当您接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离与方向有关，这就是为什么？ 3. 请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量与静止质量的关系式。证明题（共15分）。当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足:史宜w,其中i与2分别为两种介质的介电常数，1与2分别为界面两tan 1 1 侧电力线与法线的火角。（15分）四、综合题（共55分）。 1. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分另U为11与12,介电常数为1与2,今在两板上接上电动势为U的电池，若介质就是漏电的，电导率分别为1与2，当电流达到稳包时，求电容器两板上的自由电荷面密度f与介质分界面上的自由电荷面密度f。（15分） 2. 介电常数为的均匀介质中有均匀场强为E。，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分） 3. 一对无限大平行的理想导体板，相距为d，电磁波沿平行丁板面的z轴方向传播,设波在x方向就是均匀的，求可能传播的波型与相应的截止频率.（15分）

电动力学试题库十及其答案 4.一把直尺相对丁坐标系静止，直尺与x轴火角为，今有一观察者以速度v 沿x轴运动，她瞧到直尺与x轴的火角' 有何变化? (10分)二、简答题r、 (2v) 1、达朗伯万程：A i 2A c t2 ，八v v 推退势的解：A x,t v,t v,t x,t —dV v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为S32 2 c3R2 sin2音,正比于 sin2，反比于R2, 因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小与方向有关。 2 3、能量:W ：m。：. i u2c2 m 。 ,1 u2c2 v u,ic V iW …，一… P,—;能重、动重与静止 c 质量的关系为：P2W 2 c 2 2 m b c 三、证明：如图所示在分界面处，由边值关系可得切线方向法线万向 v v 又DE 由⑴得： E i sin i 由⑵(3)得： i E i cos E it D in E2t D2n E2sin i 2 E2 cos (5) 由⑷(5)两式可得：

电动力学作业

电动力学习题

第一章习题练习一 1. 若a 为常矢量, k z z j y y i x x r )'()'()'( 为从源点指向场点的矢量, k E ,0为常矢量,则 )(2a r _____ , )(r a ___, r ___, r , r _____, )(r a ______, r r ______, r r ______， )(A _______. )]sin([0r k E ________, 当0 r 时, )/(3r r ______. )(0r k i e E _______, )]([r f r ________. )]([r f r ____________ 2. 矢量场f 的唯一性定理是说：在以 s 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的_______ 和____________,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 f 在V 内唯一确定. 练习二 3. 当下列四个选项(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普适常数)中的_ ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 4. 电荷守恒定律的微分形式为_______________,若J 为稳恒电流情况下的电流密度,则J 满足 _______________. 5. 场强与电势梯度的关系式为__________.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为

)4/(30R R P ，则该点的场强为__________. 6. 自由电荷Q 均匀分布于一个半径为a 的球体内,则在球外)(a r 任意一点D 的散度为 _____________, 内)(a r 任意一点D 的散度为 ____________. 7. 已知空间电场为b a r r b r r a E ,(3 2 为常数），则空间电荷分布为______. 8. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，则在导线外)(a r 任意一点B 的旋度的大小为 ________, 导线内)(a r 任意一点B 的旋度的大小为___________. 9. 均匀电介质（介电常数为）中,自由电荷体密度为f 与电位移矢量D 的微分关系为 _____________, 缚电荷体密度为P 与电极化矢量P 的微分关系为____________,则P 与 f 间的关系为________________________________. 10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P ，若在介质中挖去半径为R 的球形区域，设空心球的球心到球面某处的矢径为R ，则该处的极化电荷面密度为_____________. 11. 电量为q 的点电荷处于介电常数为的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为___________. 12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J ,磁化电流密度为M J ,磁导率 ,磁场强度为H ，磁

(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 21??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：

3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。（2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d

5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ? = ρ，利用电荷守恒定律0=??+ ??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?=的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

电动力学试题及其答案(3)

电动力学(C) 试卷班级姓名学号题号一二三四总分分数一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ×r = 。 2、已知矢量A 和标量，则 )(A 。 3、一定频率ω的电磁波在导体内传播时，形式上引入导体的“复电容率”为。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的积分形式、、、。 6、电磁场的能流密度为 S = 。 7、欧姆定律的微分形式为。 8、相对论的基本原理为，。 9、事件A ( x 1 , y 1 , z 1 , t 1 ) 和事件B ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) 的间隔为 s 2 = 。

10、位移电流的表达式为。二、判断题（每题2分，共20分） 1、由j B 0 可知，周围电流不但对该点的磁感应强度有贡献，而且对该点磁感应强度的旋度有贡献。（） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波可以是横电波，也可以是横磁波。（） 4、任何相互作用都是以有限的速度传播的。（） 5、由0 j 可知，稳定电流场是无源场。。（） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时同地发生的，在其他任何惯性系中它们必同时发生。（） 7、平面电磁波的电矢量和磁矢量为同相位。（） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量中只有E 、B 为描述场的基本物理量。（） 9、由于A B ，虽然矢势A 不同，但可以描述同一个磁场。（） 10、电磁波的亥姆霍兹方程022 E k E 适用于任何形式的电磁波。（）三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符的矢量性和微分性，证明 )cos()]sin([00r k E k r k E 式中r 为矢径，k 、0E 为常矢量。 2、已知平面电磁波的电场强度j t z c E E )sin(0 ，求证此平面电磁波的磁场强度为 i t z c c E B )sin(0 四、计算题（每题10分，共30分） 1、迅变场中，已知)(0t r k i e A A , ) (0t r k i e ，求电磁场的E 和B 。 2、一星球距地球5光年，它与地球保持相对静止，一个宇航员在一年

电动力学

《电动力学》课程教学大纲课程英文名称：Electrodynamics 课程编号：0312033002 课程计划学时：48 学分：3 课程简介：电动力学的研究对象是电磁场的基本属性, 它的运动规律以及它和带电物质之间的相互作用，本课程在电磁学的基础上系统阐述电磁场的基本理论。另外，本课程还系统地阐述狭义相对论的重要内容，而相对论是现代物理学的重要基础，它与量子论一起对物理学的发展影响深刻，是二十世纪科学与技术飞速发展的基础。本课程是材料物理专业本科的重要专业基础课。电动力学是物理类有关各专业的一门基础理论课。学电动力学的目的：（1）是使学生系统地掌握电磁运动的基本概念和基本规律，加深对电磁场性质的理解；（2）是使学生获得分析和处理一些问题的基本方法和解决问题的能力，提高逻辑推理和插象思维的能力，为后继课程的学习和独立解决实际问题打下必要的理论基础。在教学过程中，使用启发式教学，尽量多介绍与该课程相关的前沿科技动态，充分调动和发挥学生的主动性和创新性；提倡学生自学，培养学生的自学能力。一、课程教学内容及教学基本要求第一章电磁现象的普遍规律本章重点：在复习矢量分析、?算符、?算符及其运算法则、δ函数性质的基础上，从电磁场的几个基本实验律(库仑定律，毕奥--萨伐尔定律，电磁感应定律，电荷守恒律) 出发，加上位移电流假定, 总结出电磁场的基本运动规律Maxwell方程组、电荷守恒律和洛仑兹力公式。讨论了介质中的Maxwell方程, 电磁场的能量。本章内容是本课程的基础，必须深刻掌握。难点：电磁场边值关系，电磁场的能量和能流。本章学时:10学时教学形式:讲授教具:黑板，粉笔第一节矢量分析和张量；?算符、?算符及其运算规则、δ函数性质本节要求：理解：矢量分析和张量运算。掌握：?算符、?算符及其运算法则、δ函数性质（重点：考核概率50%）。 1 矢量分析和张量（理解：矢量运算法则，在电动力学中张量是如何引入的；了解：线性各

电动力学试题库一及答案

福建师范大学物理与光电信息科技学院 20___ - 20___ 学年度学期____ 级物理教育专业《电动力学》试题（一）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟姓名______________________ 学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1．电磁场也是一种物质，因此它具有能量、动量，满足能量动量守恒定律。 ( ) 2．在静电情况，导体内无电荷分布，电荷只分布在表面上。（） 3．当光从光密介质中射入，那么在光密与光疏介质界面上就会产生全反射。

（） 4．在相对论中，间隔2S在任何惯性系都是不变的，也就是说两事件时间先后关系保持不变。（） 5．电磁波若要在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其角频率为 2 2 ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ≥ b n a m με π ω （）二．简答题。（每题5分，共15分） 1．写出麦克斯韦方程组，由此分析电场与磁场是否对称为什么 2．在稳恒电流情况下，有没有磁场存在若有磁场存在，磁场满足什么方程 3．请画出相对论的时空结构图，说明类空与类时的区别．

三．证明题。（共15分）从没有电荷、电流分布的麦克斯韦方程出发，推导真空中的E 、B 的波动方程。四．综合题。（共55分） 1．内外半径分别为1r 和2r 的无穷长空心导体圆柱，沿轴向流有稳恒均匀自由电流f j ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。（15分） 2．有一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀的电流f j ，今在液体中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布。（分离变量法）（15分） 3．有带电粒子沿z 轴作简谐振动t i e z z ω-=0，设c z <<ω0，求它的辐射场E 、B 和能流S 。（13分） 4．一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差。该建筑

经典电动力学对于电子电磁质量的计算

经典电动力学对于电子电磁质量的计算在经典电动力学中，认为带电粒子携带了电磁自场，由于自场有内聚能（电磁自能），也会构成电磁质量μ，实验所测量的带电粒子的质量（称为粒子的物理质量），是粒子原有质量m0（通常称为裸质量）与μ之和.因为带电粒子总是同它的自场联系在一起，所以两者是不可分离的. “经典电动力学计算一个半径为R，带电量为Q的均匀球体的静电自能为W自=0.5ρudv=3Q2/(20πε0R). 一个电子的库仑场的能量为w=（ε0/2）∫∞re(e/4πε0r2)24πr2dr,量子电动力学根据电磁场的能量计算电子的电磁质量，然后设电子的质量全部来源于电磁质量，计算出电子的半径a=2.8×10-15米(1).同样设电子的电荷在半径a的球中有一定的分布也可得电磁质量，结果类似.但要维持这种平衡，需要未知的非电磁力平衡，实验还无法验证.在相对论发现后有理由认为电子的电磁质量是电子引力质量的3/4，其余的与某种非电磁力有关.H.Poincare.Rend.Pol.21(1906)129.他作了一些尝试，但也未具体地说明用什么别的力可以使电子不分裂. 已知电子在真空中单位体积内的电场能为： (1) 又知道，点电荷的场强为： (2) 我们将电场强度E带入式（1）之中，就可以得出： (3). 于是，我们可以求出电子在整个空间范围上的电场能

就可以对于上式求定积分，并得出： (5) 在1881年的一篇论文中，汤姆生首次用麦克斯韦电磁理论分析了带电体的运动.他假设带电体是一个半径为a 的导体球，球上带的总电荷为e ，导体球以速度v 运动，得到由于带电而具有的动能为，其中为磁导率.这就相当于在力学质量m 0之外，还有一电磁质量 . 1889年亥维赛改进了汤姆生的计算，得.他推导出运动带电体的速度接近光速时，总电能和总磁能都随速度增加.还得出一条重要结论，当运动速度等于光速时，能量值将为无穷大，条件是电荷集中在球体的赤道线上.1897年，舍耳（G.F.C ．Searle ）假设电子相当于一无限薄的带电球壳，计算出快速运动的电子电磁质量为： ,其中. 经典电子论最著名的人物是 H. A. Lorentz (1853-1928)，他是一位经典物理学的大师.洛仑兹与阿伯拉罕等物理学家曾提出这种假设：电子质量可能完全是电磁的，即电子裸质量m 0=0，电子的惯性就是它电磁自场的惯性.这样，在电荷按体积均匀分布的假设下，由经典理论算出的电子半径值为r o =2.82×10-13cm ，电子半径实验值小于10 -18cm ，显然用经典理论算出的电子半径并不合符实际. 1903年，阿伯拉罕（M.Abraham ）把电子看成完全刚性的球体，根据经典电磁理论，推出如下关系： ,其中m 0为电子的静止质量.现代物理学已经证明电子没有体积，因此经典电动力学关于电磁质量的计算是错误的.

电动力学答案完整

1.7. 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷f ρ求 1 空间各点的电场； 2 极化体电荷和极化面电荷分布。解（1） f s D ds dV ρ→ ?=??，（r 2>r> r 1）即：()2 3 31 443 f D r r r π πρ?=- ∴()3 313 3f r r E r r ρε→ -= ，（r 2>r> r 1）由 ()33 210 43f f s Q E d s r r πρεε?= = -? ，（r> r 2） ∴()3 32 13 03f r r E r r ρε→ -= ，（r> r 2） r> r 1时， 0E = （2）()0 00 00 e P E E E εεεχεεεε-===- ∴ ()()()33310103 30033303p f f f f r r r P r r r r r εερεερρεεεεεερρεε??-?? -??=-??=--??=-??- ???????--=--=- （r 2>r> r 1） 12p n n P P σ=- 考虑外球壳时， r= r 2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P 2n =0 () () 2 3 333 1021103 3 2 133p n f f r r r r r r P r r r εσεερρεε=--??==-=- ??? 考虑内球壳时， r= r 1 () () 1 3 3103 03p f r r r r r r σεερε=-=--=

1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l 1 和l 2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求（1）电容器两板上的自由电荷密度ωf （2）介质分界面上的自由电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向则11221211220(0) n n f l E l E E D D E E εεσ-=???-=-==??介质表面上故：211221 E E l l εεε= +，121221 E E l l εεε= + 又根据12n n f D D σ-=，（n 从介质1指向介质2）在上极板的交面上， 112f D D σ-= 2D 是金属板，故2D =0 即：11211221 f E D l l εεσεε==+ 而20f σ= 3 122f D D D σ'''=-=-，（1D '是下极板金属，故1D '=0） ∴31 121221 f f E l l εεσσεε=- =-+ 若是漏电，并有稳定电流时，由j E σ = 可得 1 11 j E σ= ， 2 22 j E σ= 又1 21 2121212,() n n j j l l E j j j j σσ?+=???===?稳定流动

电动力学期末考试试卷及答案五

. . 20___ - 20___ 学年度学期 ____ 级物理教育专业《电动力学》试题（五）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟 ______________________ 学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1．库仑力3 04r r Q Q F πε '=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。（） 2．电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。（） 3．电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为： t j ??=??/ρ 。（）

. . 4．在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B 法向分量连续。（） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为： 4 2022c m c P W += 。（）二．简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s 之间的关系。三．证明题（共15分）。

多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率 ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -= ，其中 122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分）四. 综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求：（1）导体、外空间的B 、H ；（2）体磁化电流密度M j ；（15分）。 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔的电势和电场（分离变量法）。（15分） 3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2 π 。求合成波的偏振。若合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分）

量子力学和经典力学的区别与联系(完整版)

量子力学和经典力学的区别与联系量子力学和经典力学在的区别与联系摘要量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系三、目录摘要............................................................ ............ ... ... ...... (1) 关键字.................................................................. ...... ... ... ...... (1) 正文..................................................................... ...... ... ... ...... (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论...... ............ ... ............ ...... ... (3) 经典力学基本内容及理论........................... ...... ......... ...... (3) 量子力学的基本内容及相关理论.................................... ...... (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系.................. ...... ... ...... (4)

物理学前沿知识

《九年义务教育三年制初级中学教师教学用书第二册物理》试用修订版上海科学技术出版社华东地区初中物理教材编写协作组编2002年8月第一版第一次印刷参考资料P346 1、物理学——前沿科学的支柱自然界是无限广阔庭丰富多彩的。物理学是自然科学中最基本的科学，它研究物质运动的形式和规律，物质的结构及其相互作用，以及如何应用这些规律去改造自然界。因此，物理学又是许多科学技术领域的理论基础。从本世纪开始，物理学经历了极其深刻的革命，从对宏观现象的研究发展到对微观现象的研究，从研究低速运动发展到研究高速运动，由此诞生了相对论和量子力学，并在许多科技领域中引发了深刻的变革。物理学在认识、改造物质世界方面不断取得伟大成就，不断揭示物质世界内部的秘密；而社会的发展又对物理学提出无穷无尽的研究课题。例如，原子能的利用，使人类掌握了武器和新能源；激光技术的出现，焕发了经典光学物理的青春，使许多以往光学技术办不到的事情，现还能办到了；半导体科学技术的发展，导致了计算技术、无线电通信和自动控制的革命；超导电性、纳米固体材料和非晶态材料的出现，如金属物理、半导体物理、电介质物理、非晶态物理、表面与界面物理、高压物理、低温物理等。此外，物理学与其他学科之间的渗透，又产生了许多边缘交叉学科，如天体物理、大气物理、生物物理、地球物理、化学物理和最近发展起来的考古物理等。我们可以说，物理现象存在于人类生活和每个角落，发生在宇宙的每一地方，物理学是推动科学技术发展的重要支柱，它是自然科学中应用广泛、影响深刻、发展迅速的一门基础科学和带头科学。 2、“无限大”和“无限小”系统物理学 “无限大”和“无限小”系统物理学是当今物理学发展一个非常活跃的领域之一。天体物理学和宇宙物理学就属于“无限大”系统物理学的范畴，它从早期对太阳系的研究，逐步发展到银河系，直至对整个宇宙的研究。热大爆炸宇宙模型作为20世纪后半叶自然科学中四大成就之一是当之无愧的。利用该模型可以成功地解释宇宙观测的最新结果，如宇宙膨胀、宇宙年龄下限、宇宙物质的层次结构、宇宙在大尺度范围内是各向同性的等重要结果。可以说，具有暴胀机制的热大爆炸宇宙模型已为现代宇宙学奠定了可靠的基础。但是到目前为止，关于宇宙的起源问题仍没有得到根本解决，还有待于科学工作者进一步的努力和探索。原子核物理学和粒子物理学等属于“无限小”系统物理学的范畴。它从早期对原子和原子核的研究，逐步发展到对基本粒子的研究。基本粒子是在物质结构层次中属于比原子核更深层次的物质单元，如光子、质子、中子、π介子等。迄今已确认有400余种基本粒子，它们都是通过宇宙射线和加速器实验发现的。基本粒子的性质可用一系列描述其内禀性质的物理量，如质量、电荷、自旋、宇称、同位旋、轻子数、重子数、奇异数、超荷等表征。基本粒子之间存在着弱相互作用、电磁相互作用和强相互作用（见下面介绍的“物质间的基本相互作用”）。通过这些相互作用，基本粒子可发生创生、湮没以及相互转化等现象。按照参与相互作用的类型，通常将基本粒子区分为三大类：轻子、强子、和规范玻色子。轻子如电子、μ子和中微子等；它们仅参与弱作用和电磁作用。强子如质了、中子、π介子等，它们参与上述全部三种作用。规范玻色子如光子、中间玻色子（W±，Z0）、胶子等，它们是传递相互作用的媒介粒子，光子传递电磁作用，中间玻色子传递弱作用，胶子传递强作用，目前人们已经知道，强子都是由更小的粒子——“夸克”构成。至今已经发现了多种夸克。

电动力学习题集答案

电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y y ')j (z z ')k 为从源点指向场点的矢量 , E , k 为常矢量,则！ (r 2 a ) =(r 2 a ) (r a 2r a , )a ) ddrr r a 2r r r 2 r i j — k (x x ') (y y ') (z z ') i j k — ！ 2(x x ') (x x ') ,同理，？ x (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 / r 2 (x x ')(y y ')(z z ') (y y ') (x x ') （ (y y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') # 2 , z 2 2 (z z ') r 【 r e e e x x x ！ r (x-x') r (y-y') y (z-z') 3 z ， ' x y z x x ' y y ' z z ' 0， x (a r ) a ( r ) 0 , : ) r r r r r r r 0 r rr ( r 1 1 r 《 a ， , ( ) [ a (x -x' )] [ a (y - y')] … j [a (z -z')] a r i k x y z * r r r r 1 r 1 r … r 3 r 2 3 r ， ( A ) __0___. r r , [E sin(k r )] k E 0 cos(k r ) __0__. (E 0e ik r ) , 当 r 0 时 , ! (r / r ) ik E 0 exp(ik r ) , [rf (r )] _0_. [ r f ( r )] 3f (r )r # s 3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以为界面的区域V 内, 若已知矢量场在V 内各点的旋度和散度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则在内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足 4. 电荷守恒定律的微分形式为 — J t J 0 . 5. 场强与电势梯度的关系式为， E .对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为

《电动力学(第二版)》(郭硕鸿)第二章习题

第二章习题 1. ε ε0 R (1) 2 2 323222323211r K r K r r K r K r r K r K r K r K P -=-?--=-?--=??-??? ? ???-=??? ????-=?-?=r r r r r P ρ ()2 P R K K R R σ∧ ∧ =?=?=r P R n r (2) E E P 0001εεεεχ??? ? ??-==e ()2 K r εε=ε= =ε-εε-ε00P r D E () 2r K f 0r D εεερ= ??-=??= (3) R r <<0 ()r K r E d r 2 2 4? ??-==?εεεπε0S D ()r K E 0εε-= R r > ()r K r E d R 2 2 04???-==?εεεπε0S D ()2 00r KR E εεεε-= ()()r KR dr r KR r out 002 00 εεεεεεεε?-=-=? ∞ ()()()()??? ? ??+??? ??-= ? ? ? ??-+-=-+-=??∞ 000000200ln ln εεεεεεεεεεεεεεεε?r R K r R K K dr r K dr r KR R R r in (4) ()()()()2 000202002 0200202 02 00212ln ln 2ln ln 2ln 24ln 2121 ? ??? ??-???? ? ?+=???? ??++--=???? ? ?++--= ???? ? ?+??? ??-= ???? ??+??? ??--== ??????εεεεπεεεεεπεεεεεπεεεεεπεπεεεεεεε?ρK R R R R R R R K dr R r K dr r R K dr r r R K r K dV W R R R in f e 0 2. (1) 边界条件：设未放置导体球时，原点电位为0?，任意点电位则为 ?-=?-=z R E d 0 0001cos θ???0l E 球外空间0=ρ，电位?满足拉普拉斯方程 02=?? 解为：()∑∞ =+??? ? ? +=01cos n n n n n n P R b R a θ? 放入导体球后：01, ??→∞→R

电动力学试题及其答案

一、填空题(每空2分,共32分) 1、已知矢径r ,则 r = 。 2、已知矢量A 与标量 ,则 )(A 。 3、区域V 内给定自由电荷分布、 ,在V 的边界上给定或 ,则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中,引入矢势A 与标势 ,则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式、、、。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为。 8、相对论的基本原理为 , 。 9、电磁波在导电介质中传播时,导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为。二、判断题(每题2分,共20分) 1、由0 E 可知电荷就是电场的源,空间任一点,周围电荷不但对该点的场强有贡献,而且对该点散度有贡献。( ) 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。( ) 3、电磁波在波导管内传播时,其电磁波就是横电磁波。( ) 4、任何相互作用都不就是瞬时作用,而就是以有限的速度传播的。( ) 5、只要区域V 内各处的电流密度0 j ,该区域内就可引入磁标势。( ) 6、如果两事件在某一惯性系中就是同时发生的,在其她任何惯性系中它们必不同时发生。( ) 7、在0 B 的区域,其矢势A 也等于零。( ) 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。( ) 9、由于A B ,矢势A 不同,描述的磁场也不同。( ) 10、电磁波的波动方程012222 E t v E 适用于任何形式的电磁波。( ) 三、证明题(每题9分,共18分) 1、利用算符的矢量性与微分性,证明 0)( r 式中r 为矢径, 为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0 ,求证此平面电磁波的磁场强度为 j t z c c E B )sin(0 四、计算题(每题10分,共30分) 1、迅变场中,已知)cos(0t r K A A , )cos(0 t r K ,求电磁场的E 与B 。 2、一长度为80厘米的杆,沿其长度方向以0、8 c 的速率相对观察者运动,求该杆首、尾端通过观察者时的时间间隔。

量子力学基础和原子结构

第一章量子力学基础和原子结构 §1-1量子力学建立的实验和理论背景 1. 黑体辐射问题和普朗克的量子假说黑体辐射问题：黑体可以吸收全部外来辐射。黑体受热会辐射能量。若以Eν表示黑体辐射的能量，Eνdν表示频率在ν到v+d(范围内、单位时间、单位表面积上辐射的能量。以E(对(作图，得到能量分布曲线。从经典物理推出的公式无法解释黑体辐射的能量分布曲线：1)从粒子角度，由经典热力学得到维恩公式，只适用于高频范围；2)从波动角度，由经典电动力学和统计物理理论得到瑞利-金斯公式，只适用于低频范围。普朗克的量子假说：普朗克首先提出一个经验公式，和实验结果一致。在寻求理论上的解释时，发现经典物理学是无法解决这个问题。要使新的公式成立，必须假设能量在发射和吸收的时候，不是连续不断，而是分成一份一份的。而经典物理认为一切自然的过程都是连续不断的。 = 1 \* GB3 ①假设黑体内的分子、原子以不同的频率做简谐振动，这种做简谐振动的分子、原子称为谐振子。 = 2 \* GB3 ②对于振动频率为(0的谐振子，能量具有最小单位(0，该谐振子的能量E只能是(0的整数倍，而不能是其它值，即 E=nε0n=1,2,3…(1-1-1) ③能量的最小单位ε0称为能量子，或量子，它和振动频率ν0有如下关系： ε0=hν0(1-1-2) 其中h为常数，大小为6.626×10-34J?s，称为普朗克常数， ④谐振子吸收或发射能量时，能量的变化为 ?E=|E1-E2|=|n1ε0-n2ε0|=|n1-n2|ε0(1-1-3) 即，能量的吸收和发射不是连续的，必须以量子的整数倍一份一份的进行。这种物理量的不连续变化称为量子化。