锐角钝角三角形的勾股定理逆定理及正余弦定理

例2. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足222c b a =+,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！

(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是=a ______mm ；=b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。

比较222_____c b a + (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；

(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是=a ______mm ； =b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。

比较222_____c b a + (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；

(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是:

；

。

⑷对你猜想22a b +与2c 的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

(1)C B A (2)C B A (3)C B

（2013•贵阳）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边，当222c b a =+时，△ABC 是直角三角形；当222c b a ≠+时，利用代数式22b a +和2c 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．

（1）当△ABC 三边分别为6、8、9时，△ABC 为三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时，△ABC 为三角形．

（2）猜想，当22b a + 2c 时，△ABC 为锐角三角形；当22b a + 2c 时，△ABC 为钝角三角形．

（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理内容如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且 a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形。如果a^2+b^2>c^2，则△ABC是锐角三角形。如果 a^2+b^2

锐角钝角三角形的勾股定理逆定理及正余弦定理

锐角钝角三角形的勾股定理逆定理及正余弦定理例2. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足222c b a =+,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！ (1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是=a ______mm ；=b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。比较222_____c b a + (填写“＞”,“＜”,或“＝”)； (2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是=a ______mm ； =b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。比较222_____c b a + (填写“＞”,“＜”,或“＝”)； (3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是: ；。 ⑷对你猜想22a b +与2c 的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。 (1)C B A (2)C B A (3)C B A （2013•贵阳）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边，当222c b a =+时，△ABC 是直角三角形；当222c b a ≠+时，利用代数式22b a +和2c 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．（1）当△ABC 三边分别为6、8、9时，△ABC 为三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时，△ABC 为三角形．（2）猜想，当22b a + 2c 时，△ABC 为锐角三角形；当22b a + 2c 时，△ABC 为钝角三角形．

勾股定理逆定理的内容及证明方法

勾股定理逆定理的内容及证明方法如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。本文整理了勾股定理逆定理的内容及其证明方法。勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。若c为最长边，且a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2

而AH=AB-BH=c-a2/c=(c2-a2)/c=b2/c ∴AH/AC=(b2/c)/b=b/c=AC/AB ∵∠A=∠A ∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) ∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性) ∴∠AHC=∠CHB ∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180° ∴∠AHC=∠CHB=90° ∴∠ACB=∠AHC=90° 勾股定理的证明方法做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形。发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为(a+b)的正方形;四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为(a+b)的正方形。所以可以看出以上两个大正方形面积相等。可以列出公式为：a2+b2+4×1/2ab=c2++4×1/2ab，计算可得：：a2+b2=c2。

直角三角形的性质与定理

直角三角形的性质与定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角），而其他两个角度分别为锐角和钝角。直角三角形具有一些特殊的性质和定理，本文将对这些性质和定理进行介绍和论述。一、勾股定理勾股定理是直角三角形最著名的定理之一。它表明，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。用公式表示即为： c²=a²+b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两直角边的长度。勾股定理可以方便地计算直角三角形中未知边长的长度。通过已知两直角边的长度，可以利用这一定理求解斜边的长度。同时，勾股定理也为证明其他直角三角形性质和定理提供了重要的基础。二、正弦定理和余弦定理在非直角三角形中，正弦定理和余弦定理是两个重要的定理，它们也可以应用于直角三角形。正弦定理表明，在一个三角形中，任意两边的比值等于这两边对应的角的正弦值的比值。而余弦定理则描述了三角形两边和夹角之间的关系。在直角三角形中，由于其中一个角度为90度，正弦定理和余弦定理的应用相对简化。在直角三角形中，正弦定理可以简化为：sin(A) = a / c，sin(B) = b / c。而余弦定理则可以简化为：a² = c² - b²，b² = c² - a²。

这两个定理在直角三角形中的应用十分广泛，可以用于计算未知边长或夹角的大小。三、特殊直角三角形在直角三角形中，有两种特殊情况，分别为等腰直角三角形和30- 60-90直角三角形。等腰直角三角形的两个直角边相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以√2。在这种情况下，勾股定理可以简化为：c = a√2。 30-60-90直角三角形的一个角为30度，另一个角为60度。它的两个直角边和斜边之间存在特殊的比例关系。直角边的长度之比为1:√3:2，而斜边的长度为直角边长度的2倍。这两种特殊的直角三角形在解决实际问题中有着广泛的应用，研究它们的性质和定理对于几何学的学习具有重要意义。总结：直角三角形具有许多特殊的性质与定理，包括勾股定理、正弦定理和余弦定理，以及等腰直角三角形和30-60-90直角三角形的特殊情况。这些定理和性质为解决直角三角形相关的问题提供了重要的工具和方法。通过学习直角三角形的性质与定理，我们可以应用这些知识解决现实生活中的测量问题，如建筑与工程、地理与导航等领域。同时，这些定理和性质也为我们深入理解几何学的基本原理奠定了基础。

八年级数学下册《勾股定理》知识点

八年级数学下册《勾股定理》知识点八年级数学下册《勾股定理》知识点在日常的学习中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？下面是店铺为大家收集的八年级数学下册《勾股定理》知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。八年级数学下册《勾股定理》知识点篇1 1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。勾股定理又叫毕达哥拉斯定理 2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。 4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12 (变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24

例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长. 解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5 第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7 《点评》此题是一道易错题目，同学们应该认真审题! 例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( ) A.斜边长为25 B.三角形周长为25 C.斜边长为5 D.三角形面积为20 解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C 八年级数学下册《勾股定理》知识点篇2 勾股定理在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。[1]如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a+b=c. 简介勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”(相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题)，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。(毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”)。他们发现勾股定理的时间都比中国晚(中国是最早发现这一几何宝藏的国家)。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理，是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。勾股定理内容

考点丨勾股定理及其逆定理必考点总结，考试就考这些！

考点丨勾股定理及其逆定理必考点总结，考试就考这些！展开全文周老师说勾股定理以及其逆定理的应用是中考的重点考查内容，对今后几何的学习也具有举足轻重的作用。今天，周老师给大家整理了《勾股定理》的全部知识点！大家记得及时收藏和学习。查看文章底部，领取！勾股定理考点总结word文档1勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：方法一：，，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为

所以方法三：，，化简得证. 3勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，， ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 5勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边. ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若，时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c 及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边. ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c 为正整数时，称a，b，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3、4、5；6、8、10；

勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理一、勾股定理勾股定理是数学中的基础定理之一，它描述了直角三角形中的关系。根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。用公式表示就是：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪的中国和印度，但最早被发现并应用的是中国的古代数学家勾股。因此，这个定理被称为勾股定理。勾股定理的应用非常广泛，特别是在测量和计算方面。例如，我们可以利用勾股定理来计算三角形的边长、角度以及面积等。在实际应用中，我们经常会遇到需要使用勾股定理解决问题的情况。二、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形一定是直角三角形。这个逆定理也被称为勾股定理的逆命题。为了证明逆定理的正确性，我们可以通过数学推导来证明。假设一个三角形的三条边为a、b、c，且满足c² = a² + b²。首先，我们

可以假设这个三角形不是直角三角形，即不存在直角。根据三角形的角度性质可知，三角形的三个角度之和为180度。如果这个三角形不是直角三角形，那么它的三个角度之和一定小于180度。假设三个角度分别为A、B、C，且A + B + C < 180度。然后，我们可以使用余弦定理来推导c²的表达式。根据余弦定理，c² = a² + b² - 2ab·cosC。将这个表达式代入c² = a² + b²中，得到a² + b² - 2ab·cosC = a² + b²。经过简化后可得- 2ab·cosC = 0，即cosC = 0。根据余弦函数的性质可知，当cosC = 0时，角C等于90度。这与我们之前的假设矛盾，因为我们假设这个三角形不是直角三角形，即不存在直角。所以，我们的假设是错误的，即如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形一定是直角三角形。总结：勾股定理是直角三角形中的基本定理，描述了直角三角形的边长关系。它的逆定理则说明了，如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么这个三角形一定是直角三角形。勾股定理和其逆定理在数学和实际应用中有着重要的作用，可以帮助我们解决测量和计算问题。

勾股定理的证明和逆定理

勾股定理的证明和逆定理勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由 1 个边长为的正方形和 1 个边长为的正方形以及 4 个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由 1 个边长为的正方形和 4 个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等（边长都是），所以可以列出等式，化简得。在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。二、赵爽弦图的证法（图2）第一种方法：边长为的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上 4 个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。第二种方法：边长为的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为、，斜边为的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞” 因为边长为的正方形面积等于 4 个直角三角形的面积加上正方形“小洞”

的面积，所以可以列出等式，化简得。这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。三、美国第20 任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由 2 个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和 1 个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为 3 个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c 为最长边: 如果，则△A是直角三角形。如果，则△A是锐角三角形（若无先前条件AB=c为最长边则该式的成立仅满足/C是锐角）。如果，则△A是钝角三角形。（这个逆定理其实只是余弦定理的一个延伸）精心整理，仅供学习参考

三角形汇总(五线、五心、相似、全等、面积、正余弦定理)

三角形汇总（五线、五心、相似、全等、面积、正余弦定理）一、三角形有关概念 1、三角形分类按角分类钝角三角形、锐角三角形、直角三角形按边分类不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形） 2、三角形五线高从三角形一个顶点作对边垂线,顶点和垂足之间的线段中位线连接三角形两边中点的线段中线连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段中垂线三角形一个边的中点的垂线3、三角形五心内心1、三条内角平分线的交点 2、即内切圆的圆心 1、.三角形一个顶点与内心的连线平分这个角 2、内心到三角形三边的距离相等重心1、三条中线的交点 1、三角形顶点与重心的连线必过对边中点 2、重心到每边中点的距离等于这边

中线的外心1、三边的垂直平分线的交点 2、即外接圆的圆心 1、过外心垂直于三角形- -边的直线必平分该边 2、外心到三角形的三个顶点的距离相等 3、外心与三角形一边中点的连线必垂直于该边垂心1、三条高的交点 1、三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边旁心1、两角的外角平分线的交点 1、三角形有三个旁心 4、相似三角形定义：三个角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形； 5、全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；判定：角边角（ASA）、边角边（SAS）、角角边（AAS）、边边边（SSS）、HL. 二、三角形的几何原理 1、三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形两边之差小于第三边. 2、直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 3、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.

勾股定理详解

勾股定理详解勾股定理定义及公式勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组程a²+ b²= c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a²+b²=c²。勾股定理逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²

勾股弦定理

勾股定理: 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国周朝由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么 a的平方+b的平方=c的平方a^2＋b^2＝c^2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。在直角三角形里，垂直的两条边叫做勾和股，斜边叫做弦，他们有如下关系：勾的平方加上股的平方等于弦的平方！常见的就是勾3股4弦5. 勾股逆定理: 如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。古埃及人用这样的方法画直角如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC²+BC²），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，

如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c 为最长边: 如果A×A+B×B=C×C，则△ABC是直角三角形。如果A×A+B×B>C×C，则△ABC是锐角三角形。如果A×A+B×B＜C×C,则△ABC是钝角三角形。勾股定理逆定理的证明： 1、反证法令角C不是直角，则a^2+b^2=c^2不成立，所以矛盾，所以角C是直角。 2、勾股定理逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2，那么C边所对的角是直角。 3、三角函数Cos90 如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，而任一三角形的边之间均满足， AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ，比较两式得， COSB=0 ， B=90度。勾股定理逆定理的证明： 1、反证法令角C不是直角，则a^2+b^2=c^2不成立，所以矛盾，所以角C是直角。 2、勾股定理逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2，那么C边所对的角是直角。 3、三角函数Cos90 如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，而任一三角形的边之间均满足， AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ，比较两式得， COSB=0 ， B=90度。

正弦、余弦、勾股定理

正弦、余弦定理正弦定理是三角学中的一个定理。它指出：对于任意，a、b、c分别为、、的对边，R为的外接圆半径，则有证明做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。很明显: and 因此: 和同理:

余弦定理是三角形中三边长度与一个角的余弦值（cos）的数学式，参考下图，余弦定理指的是：同理，也可以将其改为：其中c是γ角的对边，而a和b是γ角的邻边。勾股定理则是余弦定理的特殊情况，当γ为时，cos(γ) = 0，式子可被简化为c2 = a2 + b2 当知道一三角形的两边和一角时，余弦定理可被用来计算第三边的长，或是当知道三边的长度时，可用来求出任何一个角。一个钝三角形和他的高Base Height 余弦定理的历史可追溯至西元三世纪前欧几里德的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。根据几何原本第二本的公设12和13[1]，并参考右图，以现代的数学式表示即为：

其中，将其带入上式得到：证明三角函数具有垂直线的锐角三角形见右图，在c上做高可以得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：

勾股定理设中，，，。过B点作AC的垂线，垂足为D，如果D在AC内部，则BD的长度为a sin C，DC的长度为a cos C，AD的长度为b - a cos C。根据勾股定理：如果D在AC的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。向量中，，，：

a2 = b2 + c2− 2bc cos A 应用余弦定理是解三角形中的一个重要定理。求边余弦定理可以简单地变形成：因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。求角余弦定理可以简单地变形成：因为余弦函数在上的单调性，可以得到：

初二数学勾股定理知识点(9篇)

初二数学勾股定理知识点(9篇) 初二数学勾股定理知识点1 逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。说明： (1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的`三角形是直角三角形; (2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤： (1)确定最大边; (2)算出最大边的平方与另两边的平方和;

(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。初二数学勾股定理知识点2 一、勾股定理： 1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是： (1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变; (2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理 1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形; (2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的`一般步骤： (1)确定最大边; (2)算出最大边的平方与另两边的平方和; (3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.

(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现. 1.正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径. (2)正弦定理的其他形式： ① a = 2RsinA , b =, c sinO； ③ a : b ： c= _______________________________ 2.余弦定理 (1)余弦定理：三角形中任何一边的平■方等 ——王彦文宵铜峡一中丁其他两边的平■方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即 a2=, b2=, c?=. 若令C= 90°, WJ c2=,即为勾股定理. (2)余弦定理的变形：cosA =, cosB=, cosC^. 若C为锐角，则cosC>0,即a2 + b2 ; 若C为钝角，贝U cosC<0,即a2+ b2.故由a2+ b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角. (3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A= sin2B+ sin2C—2sinBsinCcosA，类似地，sin2B= ________________ ; sin2C= _________ _S 意式中隐含条件A+ B+ C= TT . 3.解斜三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用理.只有一解. (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用定理，可能有 L如在△ ABC中，已知a, b和A时，解的情况如表： ②sin A=2R' sinB= A为锐角 A为钝角或直角图形关系式 a= bsinA bsinAb 解的个数 ①②③④ (3)已知三边，用理.有解时，只有一解. (4)已知两边及火角，用理, 必有一解.

勾股定理逆定理符号语言

勾股定理逆定理符号语言勾股定理是初中数学中极为基础的一条定理，它有着广泛的应用和重要的意义。而勾股定理的逆定理同样也有着很高的实用价值，在实际生活中起到重要的作用。本文将对勾股定理逆定理进行详细的解释和阐述，探讨其应用领域和数学意义。首先，我们来复习一下勾股定理的内容。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。用符号语言表示为：a² + b² = c²。其中，a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。那么，勾股定理的逆定理就是：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。在证明勾股定理逆定理之前，我们首先来看一下为什么勾股定理成立。勾股定理可以通过几何方法和代数方法进行证明。在几何方法中，我们可以用三个正方形的面积之和来证明勾股定理。具体来说，我们可以将三角形分别取为三个正方形的内切圆，然后计算三个正方形的面积。在代数方法中，我们可以利用坐标系的方法，将三角形的顶点设为某个点，然后利用勾股定理设立方程来证明勾股定理。接下来，我们来证明勾股定理的逆定理。假设有一个三角形，已知三个边的长度为a、b、c，且符合a² + b² = c²的关系。我们需要证明这个三角形一定是直角三角形。我们可以假设反证法，假设这个三角形不是直角三角形，而是一个锐角三角形或

者钝角三角形。首先，我们假设这个三角形是一个锐角三角形。根据锐角三角形的性质，三个内角都是锐角，即都小于90°。那么根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC。由于c² = a² + b²，可以得到2ab·cosC = 0。由于a和b都大于0，所以cosC = 0。但是在三角函数表中，我们知道cos90° = 0，意味着C = 90°，与假设的锐角三角形相矛盾。所以，我们可以得出结论：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形一定不是锐角三角形。接下来，我们假设这个三角形是一个钝角三角形。根据钝角三角形的性质，有一个内角大于90°。我们可以假设这个内角为C。根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC。由于c² = a² + b²，可以得到2ab·cosC = 0。由于a和b都大于0，所以cosC = 0。但是在三角函数表中，我们知道cos90° = 0，意味着C = 90°，与假设的钝角三角形相矛盾。所以，我们可以得出结论：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形一定不是钝角三角形。综上所述，我们可以得出勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。勾股定理的逆定理在实际生活中有着广泛的应用。比如，当我们测量一个三角形的三边长度时，如果符合a² + b² = c²的关系，我们就可以确定这个三角形是一个直角三角形，从而获得更多

正余弦定理及解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理： 1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。（ 1）三边之间的关系： a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 。（勾股定理） A （ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°； c （ 3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝ a ，cos A ＝ sin B ＝ b ， tan A ＝ a 。 C B c c b 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a 如图 6-29 ，在△ ABC 中， A 、 B 、 C 为其内角， a 、 b 、c 分别表示 A 、 B 、C 的对边。（ 1）三角形内角和： A ＋B ＋ C ＝ _____ （ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 a b c 2R 。（ R 为外接圆半径） sin A sin B sin C 3. 正弦定理：a ＝ b ＝ c ＝ 2R 的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ a ∶ b ∶ c ； (2) a ＝ b c ＝ a ＋ b ＋ c sin ＝ sin A ＋ sin ＝ 2R ； A sin B C sin B ＋ sin C (3) a ＝2R sin_ A ， b ＝ 2R sin_ B ， c ＝ 2R sin_ C ； A ＝ a B ＝ b C ＝ c (4)sin 2R ，sin 2R ， sin 2R . 1 1 1 4. 三角形面积公式： S ＝ 2ab sin C ＝ 2bc sin A ＝ 2ca sin B . 5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 cos A b 2 c 2 a 2 a 2 2 c 2 2bccos A 2bc b a 2 c 2 b 2 余弦定理的公式：b 2 a 2 c 2 2accosB 或 cos B . c 2 b 2 a 2 2ba cosC 2ac cosC b 2 a 2 c 2 2ab 6. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2 、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （ 2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角 . 2 、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 . 7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 . 8. 解题中利用 ABC 中A B C ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( A B) sin C, cos( A B) cosC, tan(A B)tan C,