人教版数学八年级下册_名校课堂：期末复习(二)__勾股定理
期末复习（二） 勾股定理
知识结构图
重难点1 勾股定理的证明
【例1】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中90DAB ︒∠=，求证：222a b c +=.证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-.
21122
ACD ABC ADCB S S S
b ab ∴=+=+四边形. 又211()22ADB DCB ADCB S S S
c a b a ∆∴=+=+-四边形， 222221111().2222b ab c a b a a b c ∴+=+-∴+=.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中90DAB ∠=，求证：222a b c +=.
【解答】
勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积.
变式训练
1.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是,a b ，斜边长为c ）和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成图形的示意图
（2）证明勾股定理.
重难点2 勾股定理及其逆定理
【例2】如图，每个小正方形的边长为1.
（1）求四边形ABCD 的周长；
（2）求证：90BCD ︒∠=.
【思路点拨】（1）利用勾股定理求出四边形的各边长；
（2）求出△BCD 的三边长，利用勾股定理的逆定理证明.
【解答】
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90的一种思路.本题的第（2）问还可以通过两个三角形全等来证明.
变式训练
2.如图，在正方形ABCD 纸片上有一点,1,2,3P PA PD PC ===.现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C 与A 重合，P 与G 重合，D 与D 重合）.求：
（1）线段PG 的长；
（2）APD ∠的度数.
重难点3 勾股定理在实际生活中的应用
【例3】如图，高速公路的同侧有,A B 两个村庄，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为11112km,4km,8km AA BB A B ===.现要在高速公路上11A B 之间设一个出口P ，使,A B 两个村庄到P 的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？ 思路点拨】运用“两点之间，线段最短”先确定出P 点在11A B 上的位置，再利用勾股定理求出AP BP +的长.
【解答】
方法指导
解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的P 点的位置，会构造
Rt △AB E '，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范.
变式训练
3.如图，某地方政府决定在相距50km 的,A B 两站之间的公路旁E 点，修建一个土特产加工基地，且使,C D 两村到E 点的距离相等，已知DA AB ⊥于点,A CB AB ⊥于点,30km,20km B DA CB ==，那么基地E 应建在离A 站多少千米的地方？
思想方法 方程思想
【例4】如图，在Rt △ABC 中，90,3,4B AB BC ︒∠===，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，求EB '的长.
【解答】
方法指导
方程思想常在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质，得到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理构建方程求线段长度. 变式训练
4.如图，在长方形ABCD 中，6,3BC CD ==，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C
落在点C '处，BC '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）
A.3
B.154
C.5
D.152
复习自测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.在Rt △ABC 中，90,8,5C AB AC ︒∠===，则BC 的长是（ ）
A.3
B.
C.7 2.小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2cm ，3cm4cm ；②3cm ，4cm ，5cm ；③9cm ，40cm ，41cm.分别以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有（ ）
A.②
B.①②
C.①③
D.②③
3.下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C.两直线平行，同位角相等
D.如果两个角都是45，那么这两个角相等
4.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
6.如图，数轴上点,A B 分别对应1,2，过点B 作PQ AB ⊥，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是（ ）
B.
7.如图，在△ABC 中，AD BC ⊥于点,17,15,6D AB BD DC ===，则AC 的长为（ ）
A.11
B.10
C.9
D.8
8.设,a b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是（ ）
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
9.如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点A 与点B 的距离是（ ）
B.8
C.9
D.10
10.如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当4,2AC BC ==时，则阴影部分的面积为
（ ）
A.4
B.4π
C.8π
D.8
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.2，那么这个三角形的最大角的度数为_____.
12.小红同学先朝正东方向行进了4km ，再朝正北方向行进了8km ，此时小红离出发点的距离是____________.
13.如图，在△ABC 中，5,12,13,AC BC AB CD ===是AB 边上的中线，则CD =__________.
14.（2019·荆州）如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4cm,,,E F G 分别是1,,AB AA AD 的中点，截面EFG 将这个正方体切去个角后得到一个新的几何体（如图2），则图2中阴影部分的面积为__________2cm .
15.如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，△ABF ，△BCG ，△CDH ，△DAE 是四个全等的直角三角形.若2EF =，
8DE =，则AB 的长为______________.
16.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），90,ACB AC BC ︒∠==，从三角板的刻度可知20cm AB =，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为_____________cm.
三、解答题（共52分）
17.（8分）如图，已知某山的高度AC 为800米，在山上A 处与山下B 处各建一个索道口，且1500BC =米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？
18.（10分）在等边△ABC 中，点,D E 分别在边,BC AC 上，若2CD =，过点D 作//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，求EF 的长.
19.（10分）一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中A ∠和DBC ∠都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示.
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积.
20.（12分）如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm,10cm AB BC ==，求EC 的长.
21.（12分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60得到△DBE ，连接,,AD DC CE ，已知30DCB ︒∠=.
①求证：△BCE 是等边三角形；
②求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形.
11 / 12
参考答案
【例1】证明：连接BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF b a =-， 2111222
ACB ABE ADE ACBED S S S S ab b ab ∆∆∴=++=
++五边形，又 2111()222
ACB ABD BDE ACBED S S S S ab c a b a ∆∆∆=++=++-五边形， 22222111111().222222ab b ab ab c a b a a b c ∴++=++-∴+=. 【例2】（1）四边形ABCD
的周长为（2）证明：连接BD ，
22234,BC CD DB BC CD BD ===∴+=.∴△BCD 是直角三角形，即90BCD ︒∠=.
【例3】出口P 到,A B 两村庄的距离之和最短是10km.
【例4】EB '的长为1.5.
变式训练
1.解：（1）图略.（2）证明：22221()42
c b a ab b a =
-+⨯=+. 2.解：（1）PG =（2）135APD ∠=.
3.解：基地E 应建在离A 站20km 的地方
4.B
复习自测
1.B
2.D
3.C
4.D
5.A
6.B
7.B
8.D 9.D 10.A
11.90
12. 13.6.5
14. 15.10
17.解：大约34分钟后，欢欢才能达到山顶. 18.解：EF =
19.解：（1）这个零件符合要求.2222223425,525AB AD BD +=+===，
222,90AB AD BD A ︒∴+=∴∠=.又
222222512169,13169BD BC DC +=+===，222.90BD BC DC DBC ∴∠+=∴=.
（2）由（1）知90,90,A DBC ︒︒∠=∠=∴这个零件的面积为11345123622
⨯⨯+⨯⨯=. 20.解：EC 的长为3cm.
12 / 12 21.解：（1）正方形、矩形.
（2）①证明：∵△ABC ≌△DBE ，.60BC BE CBE ︒∴=∠=，∴△BCE 是等边三角形.②证明：∵△ABC ≌△DBE ，AC ED ∴=.又∵△BCE 为等边三角形，
,60.30,90BC CE BCE DCB DCE ︒︒︒∴=∠=∠=∴∠=.
在Rt △DCE 中，222222,.DC CE DE DC BC AC +=∴+=∴四边形ABCD 是勾股四边形.
初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元检测复习题二(含答案) (54)
初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元检测习题二（含答案）如图所示的正方体中，Q，R，S是棱PB上的点，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是( ) A．P B．Q C．R D．S 【答案】C 【解析】 【分析】 根据立方体的展开图中从A点到C点最短路径共3种距离相同，进而画图得出答案. 【详解】 如图所示：一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是R点， 故选C. 【点睛】
本题考查了最短路径问题，正方体的侧面展开图，正确画出表示出最短路径是解题的关键. 42．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60?方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30?方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（） A．60 海里B．45海里C．20海里D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°， 故AB＝2AP＝60（海里）， 则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP =（海里） 故选：D． 【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 43．若ABC 的三边长a ，b ，c 满足()()222|2|80a b b c -+-+-=，则下 列对此三角形的形状描述最确切的是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据绝对值和平方的非负数的性质可求出a=b=2、c 2=8，可知△ABC 是等腰三角形，根据勾股定理逆定理可得△ABC 是直角三角形，即可得出△ABC 是等腰直角三角形，可得答案． 【详解】 ∵()()222|2|80a b b c -+-+-=， ∴a-b=0，b=2，c 2-8=0， ∴a=b=2，c 2=8 ∴△ABC 是等腰三角形， ∵22+22=8，即a 2+b 2=c 2， ∴△ABC 是直角三角形， ∴△ABC 是等腰直角三角形， 故选：C ． 【点睛】 本题考查勾股定理逆定理及绝对值和平方的非负数性质，如果三角形中，两
人教版初中数学八年级下册第十七章：勾股定理(全章教案)
第十七章勾股定理 教材简析 本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理． 本章主要研究并揭示直角三角形三边之间的关系的勾股定理与勾股定理的逆定理．勾股定理是一个著名的几何定理，在西方也被称为毕达哥斯拉定理．勾股定理有几百种证明方法，本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法，这种方法利用直角三角形的面积与正方形的面积关系，数形结合，直观、简洁．勾股定理在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本章是直角三角形相关知识的延续，同时也让学生进一步认识无理数，充分体现了数学知识的紧密相关性、连续性．在中考中，主要考查勾股定理及三角形判别条件的应用，常与三角形的其他知识结合考查． 教学指导 【本章重点】 勾股定理，勾股定理的逆定理． 【本章难点】 勾股定理的证明，勾股定理的应用． 【本章思想方法】 1．体会转化思想，如：应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，从而构造直角三角形求解． 2．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解． 课时计划 17.1勾股定理3课时 17.2勾股定理的逆定理1课时
17.1勾股定理 第1课时勾股定理及其证明 教学目标 一、基本目标 【知识与技能】 1．了解勾股定理的发现过程． 2．掌握勾股定理的内容． 3．会用面积法证明勾股定理． 【过程与方法】 经历观察—猜想—归纳—验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．【情感态度与价值观】 通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神． 二、重难点目标 【教学重点】 勾股定理的探究及证明． 【教学难点】 掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 2．(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积．
(完整版)八年级下册勾股定理知识点归纳
八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ， ，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形 的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a -，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
人教版数学八年级下册_名校课堂：期末复习(二)__勾股定理
期末复习（二） 勾股定理 知识结构图 重难点1 勾股定理的证明 【例1】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中90DAB ︒∠=，求证：222a b c +=.证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-. 21122 ACD ABC ADCB S S S b ab ∴=+=+四边形. 又211()22ADB DCB ADCB S S S c a b a ∆∴=+=+-四边形， 222221111().2222b ab c a b a a b c ∴+=+-∴+=. 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中90DAB ∠=，求证：222a b c +=. 【解答】
勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积. 变式训练 1.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是,a b ，斜边长为c ）和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. （1）画出拼成图形的示意图 （2）证明勾股定理. 重难点2 勾股定理及其逆定理 【例2】如图，每个小正方形的边长为1. （1）求四边形ABCD 的周长； （2）求证：90BCD ︒∠=. 【思路点拨】（1）利用勾股定理求出四边形的各边长； （2）求出△BCD 的三边长，利用勾股定理的逆定理证明. 【解答】
人教版数学八年级下册导学案：(勾股定理)勾股定理(导学案)
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第1课时 勾股定理 一、导学 1.导入课题 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦，并探索出了勾、股、弦之间的关系（即直角三角形三边之间的关系），这种关系是怎样的关系呢？又把这种关系叫做什么呢？ 2.学习目标 （1）了解勾股定理的文化背景，了解常见的利用拼图验证勾股定理的方法. （2）知道勾股定理的内容. 3.学习重、难点 重点：勾股定理内容的条件与结论. 难点：勾股定理的几何验证方法. 4.自学指导 （1）自学内容：探究：直角三角形三边之间存在怎样的等量关系. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：结合探究提纲动手拼图，思考面积关系. （4）探究提纲： ①投影家中地板砖铺成的地面图案，并框定某一个直角三角形. a.右图中正方形ABFG 、正方形ACDE 和正方形BMNC 的面积之间有何关系？ b.如果设AB=a ，AC=b ，BC=c,那么由a.可得到a 2+b 2=c 2. c.猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. ②根据下面拼图，验证猜想的正确性. 拼成的正方形面积等于4个直角三角形 面积+小正方形面积，即()22142 c ab a b =⨯+-，化简得222c a b =+ .
二、自学 结合探究提纲进行自学. 三、助学 1.师助生： (1)明了学情：了解学生探究中存在的问题. (2)差异指导：指导学生运用面积法找到等量关系. 2.生助生：同桌之间相互研讨，帮助解决疑难. 四、强化 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 五、评价 1.学生的自我评价：小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑. 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、合作探究的成绩和不足. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价(教学反思). 本节课通过向学生介绍勾股定理的悠久历史，让学生了解古代劳动人民在数学方面的成就，感受数学文化是人类文化的重要组成部分.本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领. (时间：12分钟满分：100分) 一、基础巩固（60分） 1.(15分)在Rt△ABC中，两直角边长分别为35，则斜边长为14. 2.(15分)在Rt△ABC5，一条直角边的长为2，则另一条直角边的长为1. 3.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=8. 4.(20分)在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)已知c=25，b=15，求a； (2)已知6，∠A=60°，求b，c.
八年级数学下册(人教版)课堂练习检测—勾股定理2(含答案)
八年级数学下册（人教版）课堂练习检测—勾股定理2（含答案） 课堂学习检测 一、填空题 1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______． 2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km． 3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草． 第3题第4题 4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m． 二、选择题 5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．
(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m 6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )． (A) (B) (C) (D) 三、解答题 7．在一棵树的 10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处； 另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米? 8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水2123105658
面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米? 综合、运用、诊断 一、填空题 9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米． 第9题第10题 10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3) 二、解答题： 11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理 (第二课时)教案
勾股定理 (第二课时) （新授课） 教学目标： 1．知识目标：在上一节课学习了勾股定理的基础上，联系实际，应用勾股定理解决问题。 2．能力目标：经过观察——分析——讨论——归纳的过程，发展学生自我分析、归纳，解决问题的能力。 3．情感目标：通过问题的解决，让学生了解勾股定理的广泛应用，感受数学在实际生活中无处不在。 教学重点： 应用勾股定理解决相关问题。 教学难点： 将实际问题转化为数学问题。 【课时安排】 一课时 【教学设计】 课前延伸 一、基础知识填空及答案 1．勾股定理的内容是什么？ 2．判断： （1）∆ABC 的两边AB =5,AC =12,则BC =13 ( ) （2）Rt ∆ ABC 中，a =6,b =8,则c =10 ( ) 3．已知：∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，c ＝10，求a 和b 4．已知在△ABC 中，∠A =90°，a=13, b =12.求c 的长？ 〖设计说明〗1、2两题主要是对勾股定理内容的复习，加深学生对勾股定理 使用的前提条件：直角三角形中；注意点：两直角边的平方和等于斜边的平方。3和4两题是对勾股定的简单应用，加深学生的印象。第5题，是在实际生活中比较简单的应用，为下面用勾股定理解决较为复杂的问题作铺垫。 二、预习思考题及答案 如图，为了求出位于湖两岸的两点A 、B 之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好是直角三角形。 通过测量,得到AC 长160米,BC 长128米。问：从点A 穿过湖到点B 有多远？ C B A 128 160
〖设计说明〗此题是在实际生活中比较简单的应用，为下面用勾股定理解决较 为复杂的问题作铺垫。 课内探究 一、导入新课： 创设情境，例 飞机在空中水平飞行，某 一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了 20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时 飞行多少千米？ 〖设计说明〗这个例题也是比较简单的实 际问题，它可以让学生初步了解如何将一 个实际问题转化为数学问题。为下面将较 为复杂的实际问题转化为数学问题作铺垫 二、探索新知 问题： 在垂直于地面的墙上2米的A 点斜放一个长2.5米的梯子,由于不小心,梯子在墙上下滑0.5米,求梯子在地面上滑出的距离BD 的长度. 〖设计说明〗此题要通过观察物体的运动变化，从而找到有用的条件，解决问题。有利于发展学生观察、分析的能力。 三、检查预习情况：明确检查方法 学生口答后论证． 四、布置学生自学： 小组合作探究题： 如图，已知在△ABC 中， ∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D,AB = 5cm, BC =3cm. 求CD 的长。 〖设计说明〗这是勾股定理和三角形面积的综合运用。让学生自主观察、分 析、归纳总结得到求直角三角形斜边上的高的方法，发展学生的综合能力。 五、教师精讲点拨： 在波平如镜的水面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离是是2米，则这里的水深是多少米？ 〖设计说明〗此题有学生自己分析讨论，模拟完成。让学生学会动手。 六、课堂反馈训练： 1、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ） A B 4000米 5000米 20秒后
人教版初二数学下册 勾股定理与折叠问题 复习专题
《勾股定理与折叠问题》复习专题 一、知识回顾 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2 即22 b c a =- =-，22 c a b =+，22 a c b 知道直角三角形三边中的两边，就能求出第三边； 如果只知道直角三角形三边中的一边，能求出另外两条边吗？ 例1、在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面1米．一阵风吹过来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面．已知荷花移动的水平距离为2米，问这里的水深多少米？ 例2、若一个直角三角形的一条直角边长是5cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）cm．A．10B．11C．12D．13 1、一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长是（） A、8 B、10 C、12 D、14 2、直角三角形有一条直角边为6，另两条边长为连续的偶数，则该三角形的周长为（） A、20 B、22 C、24 D、26
3、升旗仪式的时候，小明突发奇想，想知道学校旗杆的高度。放学后，他观察到旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与地面接触，则旗杆的高度为（） A、11米 B、12米 C、13米 D、14米 4、小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，求河水的深度是多少？ 5、小东拿一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？
二、折叠问题 解题心得： 1、看见“折叠”、“翻折”就要想全等，把题目的数据标在图上 2、设折叠的一条边为x（不要设折痕） 3、根据勾股定理列方程，然后解答 例1、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=12cm，BC=16cm，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE的长度为_________ 例2、已知，矩形ABCD中，E在AB上，把△BEC沿CE对折。使点B刚好落在AD上F处，若AB=8，BC=10，则折痕CE的长为（） A、35 B、42 C、55 D、63 1、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=16，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=6，则AB的长为（） A、10 B、12 C、14 D、16
人教版初中数学培优-勾股定理(2)
第17章 勾股定理 一．勾股定理： 1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b; 斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2 ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： （1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； （2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 3. 勾股定理的变式：在△ABC 中，∠C=90，则2 2 2 a c b -=,2 2 2 b c a -=,22b a c += , 22b c b -=,22b c a -= 4.勾股定理的适用范围： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 二、勾股定理的逆定理 1.逆定理的内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中a ，b ，c 及a 2+b 2=c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2 =c ， 那么以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤： （1）确定最大边； （2）算出最大边的平方与另两边的平方和； （3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。 一、选择题： 1． 如图1字母B 所代表的正方形的面积是 ( ) A ． 12 B ． 13 C ． 144 D ． 194 2． 小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ， 把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（ ） A ．2m B ．2.5cm C ．2.25m D ．3m 3． △ABC 中，若AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长是( ) A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．37或33 4． 已知x 、y 为正数，且│2 4x -│+2 2 (3)0y -=，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形， 那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A ．5 B ．25 C ．7 D ． 15 5． 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是 ( ) A ． ab =h 2 B ． a 2+b 2=2h 2 C ． a 1+b 1=h 1 D ． 21a +21b =21h 6． 如图2，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，若AB =3，AD = 4，那么（ ） A ．125PE PF += B ． 1213 55 PE PF <+< C ． 5PE PF += D ． 34PE PF <+< 7． 直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ） A ．182 B ．183 C ．184 D ．185 8． 三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（ ）
人教版八年级下册数学学案：《勾股定理》
17.1 勾股定理〔1〕 2021年 3月 学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程, 掌握勾股定理的内容, 会用面积法证明勾股定理. 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力. 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就, 激发爱国热情, 勤奋学习. 重点：勾股定理的内容及证明. 难点：勾股定理的证明. 学习过程： 一.预习新知〔阅读教材第64至66页, 并完成预习内容. 〕 1正方形A 、B 、C 的面积有什么数量关系？ 2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系. (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习, 在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形, 并以其三边为边长向外作三个正方形, 并分别计算其面积. (3)通过三个正方形的面积关系, 你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？ 二.课堂展示 方法一； 如图, 让学生剪4个全等的直角三角形, 拼成如图图形, 利用面积证明. S 正方形＝_______________ ＝____________________ 方法二； ：在△ABC 中, ∠C=90°, ∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c. 求证：a 2＋b 2=c 2. 分析：左右两边的正方形边长相等, 那么两个正方形 的面积相等. c b a D C b b b b c c c c a a a b b b a c c a
a b a b c c A B C D E 左边S=______________ 右边S=_______________ 左边和右边面积相等, 即 化简可得. 方法三： 以a 、 b 为直角边, 以c 为斜边作两个全等的直角三角形, 那么每个直角三角形的面积等于2 1ab. 把这两个直角三角形拼成如下图形状, 使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC. ∵∠AED + ∠ADE = 90º, ∴∠AED + ∠BEC = 90º. ∴∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形, 它的面积等于2 1c 2. 又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形, 它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是. 三.随堂练习 1.如图, 直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°, 〔用几何语言表示〕 ⑴两锐角之间的关系：； (2)假设∠B=30°, 那么∠B 的对边和斜边：； (3)三边之间的关系： 2.完成书上P69习题1、2 四.课堂检测 1.在Rt △ABC 中, ∠C=90° ① 假 设 a=5, b=12, 那 么 c=___________； ②假设a=15, c=25, 那么b=___________； B D
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》同步练习题(附答案) (2)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》同步练习题（附答案）一．选择题 1．已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则另一条直角边长为（）A．1B．C．19D． 2．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD的长是（） A．2B．3C．4D．5 3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（） A．2B．C．D． 4．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（） A．13B．14C．25D．169 5．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（）A．54B．44C．36或48D．54或33 6．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC的长度为（） A．1B．C．D．2
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AB上一点，AD：CD＝25：7，且DB ＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是（） A．24B．15C．D．18 8．如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（） A．2条B．3条C．4条D．5条 二．填空题 9．直角三角形两直角边长分别为，，则斜边长为． 10．直角三角形的两直角边分别为5cm和12cm，则斜边上的高为cm． 11．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则AC的长必为cm．12．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是． 13．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是． 14．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为．
八年级数学下册勾股定理习题(附答案)(含答案)
C 勾股定理评估试卷（1） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长 （A ）4 cm （B ）8 cm （C ）10 cm （D ）12 cm 3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7或25 4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）64 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 7 1524 25 20715 2024 25 157 25 20 24 257 202415 (A) (B) (C) (D) 6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) （A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2 2 +=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形. 9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.
《第17章勾股定理》期末复习综合提升训练2(附答案)-2020-2021学年人教版八年级数学下册
人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》期末复习综合提升训练2（附答案） 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（） A．20B．12C．2D．2 2．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（） A．17m B．18m C．25m D．26m 3．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（） A．B．C．D． 4．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM ＝5，则CE2+CF2等于（） A．75B．100C．120D．125
5．一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（） A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm 6．如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE 的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（） A．B．C．D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若AC＝6，BC＝8，则AD的长为（） A．5B．7C．3D． 8．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（）A．锐角三角形B．以c为斜边的直角三角形 C．以b为斜边的直角三角形D．以a为斜边的直角三角形 9．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（） A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）
初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习试题二(含答案) (67)
初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习试题二（含 答案） 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？” =尺）这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈10 的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为__________． 【答案】222 x x +=+ 5(1) 【解析】 试题解析：设由题意可得：222 +=+． 5(1) x x 故答案为222 +=+． 5(1) x x 82．如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE 绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为_____． 【答案】
【解析】 【分析】 过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长． 【详解】 过点E作EM⊥BD于点M，如图所示． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°， ∴△DEM为等腰直角三角形． ∴EM DE， ∵BE平分∠DBC，EM⊥BD， ∴EM＝EC， 设EM＝EC＝x， ∵CD＝2， ∴DE＝2﹣x， （2﹣x）， ∴x＝ 2 解得x＝﹣2， ∴EM＝﹣2， 由旋转的性质可知：CF＝CE＝﹣2， ∴BF＝BC+CF＝2＝． 故答案为：．
人教版八年级下册数学17章《勾股定理》解答题专项训练(带答案)
人教版八年级下册数学17章勾股定理解答题专题训练1．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，求∠ABD的度数． 2．如图，在∠ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，AD∠BC，垂足为D．求AD的长． 3．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？（旗杆粗细、断裂磨损忽略不计） 4．如图所示，在∠ABC中，AB∠BC∠CA＝3∠4∠5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． (1)经过3秒时，∠BPQ的面积为多少？ (2)当t为何值时，BP＝1 BQ？ 2 (3)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
5．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90ABC ∠=︒．求阴影部分的面积． 6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题． (1)画出ABC 关于直线MN 对称的A 1B 1C 1； (2)求AB 1C 的面积； (3)试判断ABC 的形状并说明理由． 7．如图，在∠ABC 和∠CDE 中，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，且AC ∠CE ，AC ＝CE ． (1)求证：ABC CDE △≌△ (2)若AC ＝13，DE ＝5，求DB 的长．
8．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＞AC ，CD ∠AB 于点D ，点E 是AB 的中点，连接CE ． (1)若AC ＝3，BC ＝4，求CD 的长； (2)求证：BC 2﹣AC 2＝2DE •AB ； (3)求证：CE ＝1 2AB ． 9．如图，ABC 中，3AB AC ==，4BC =． (1)求高AD 的长； (2)求ABC 的面积． 10．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何？”大意是：已知甲、乙二人从同一地点出发，甲的速度与乙的速度之比为7：3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇．这时甲、乙各走了多远？
最新【期末复习清单】人教版--八年级数学下册-知识清单梳理+经典例题练习(含答案)
八年级数学下册 知识清单 二次根式 1.定义及存在意义的条件： 定义：形如 )0(≥a a 的式子叫做二次根式； 有意义的条件：a ≥0. 2.根式化简及根式运算： 最简二次根式应满足的条件： （1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中的因数或因式不能再开方。 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 根式化简公式：a a =2，2)(a =a ； 根式运算： 乘法公式： )0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a ；b a b a ⋅=2 除法公式： )0,0(>≥=⇔=b a b a b a b a b a 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 常见分母有理化公式： b a b a b a a a a --= +=1,1 二次根式加减运算的步骤： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式。 （2）找出其中的同类二次根式。 （3）合并同类二次根式。 3.双重非负性： 002==⇒=+y x y x 且； 00==⇒=+y x y x 且； 000==⇒=+y x y x 且 【典型例题1】 1、使代数式 有意义的自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≥3 B.x ＞3且x ≠4 C.x ≥3且x ≠4 D.x ＞3 2、若式子 － ＋1有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x ≥ 2 1 B.x ≤ 2 1 C.x ＝ 2 1 D.以上答案都不对 【典型例题2】 3、已知x 、y 为实数，且y= ﹣ +4. + =（ ） A.13 B.1 C.5 D.6 4、下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5、下列根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 6、下列根式中与 不是同类二次根式的是（ ）
2022-2023学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》章末知识点分类训练(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》章末知识点分类训练（附答案）一．勾股定理 1．如图，O是射线CB上一点，∠AOB＝60°，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB 以2cm/s的速度运动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s），当△POQ是等腰三角形时，t的值为（） A．2B．2或6C．4或6D．2或4或6 2．在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，则底边上的高为（）A．12B．C．D．18 3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25B．7C．5或D．7或25 4．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．如果a＝2，b＝3，那么c＝（） A．5B．C．13D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（） A．225B．200C．150D．无法计算 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（） A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
7．如图，字母B所代表的正方形的边长是（） A．194B．144C．13D．12 8．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠CAB＝30°，AB＝6，则DE+DB的值为（） A．2B．3C．4D．5 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝3，S2＝11，则S3＝（） A．5B．8C．14D．16 10．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝A7A8＝1，那么OA8的长为（） A．B．4C．3D．2
人教版初中数学八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测(含答案解析)(1)
一、选择题 1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点E 是AB 的中点，点D 是AC 边上一点，且DE AB ⊥，连接DB ．若6AC =，3BC =，则CD 的长（ ） A ．112 B ．32 C ．94 D ．3 2．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则ABC 中AB 边上的高长为（ ） A ．35 B ．25 C ．35 D ．322 3．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝25，c ＝24 B ．a ＝11，b ＝41，c ＝40 C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5 D ．a ＝8，b ＝17，c ＝15 4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，AB 的垂直平分线D E 交BC 的延 长线于点E ，则DE 的长为（ ） A ．103 B ．256 C ．203 D ．154 5．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为OB ，且OA OB =，则下列各数中与点A 表示的数最接近的是（ ）
A ．-3.5 B ．-3.6 C ．-3.7 D ．-3.8 6．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为123S S S ､､；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为456S S S ､､．其中 125616,45,11,14S S S S ====，则34S S +=（ ） A ．86 B ．64 C ．54 D ．48 7．有一圆柱高为12cm ，底面半径为5π cm ，在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（ ） A ．12cm B ．13cm C ．10cm D ．16cm 8．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，BAC 90∠=︒，点D ，E 为BC 上两 点．DAE 45∠=︒，F 为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论： ①CE BF =；②222BD CE DE +=；③ADE 1S AD EF 4 = ⋅△；④222CE BE 2AE +=，其中正确的是( )