数学模型在管理决策中的几种应用

几种数学模型在管理决策中的简单应用

由管理决策学理论的发展历程，我们可以知道，数学是推动决策理论发展的重要支柱。并且，合适数学模型的建立是合理解决现实决策问题之关键。通过数学模型，能较准确地测定该模型内各要素之间的数量关系，以供人们做出分析、预报、决策或者控制。本文通过列举数学模型在管理决策领域中几个方面的应用，意在引起大家对数学模型的重视，以便保证最优地解决经济管理领域中所反映的问题，做出较好的决策，创造出最大的经济效益。

一、模型介绍

（一）、利用期望值解决风险型决策问题

处理风险型决策问题，简易可行的方法是利用期望收益最大的原则进行方案选择。即进行备选方案的收益（或损失）比较，选择收益（或损失）最大（最小）的方案。实例如下，

设某一风险型决策问题的收益表如下

则有：E(A)=10000*0.3+15000*0.7=3000+10500=13500

E(B)=0*0.3 +30000*0.7=0 +21000=21000

所以，我们根据期望收益最大原则选择方案B。

（二）、利用极值存在条件求最大利润的产出水平

生产经营者要根据成本情况和销售情况确定最佳产量，取得最大利润。因此，选取简单易行的数学模型就显得很有必要。而利用极值存在的必要条件和充分条件求解最大利润的产量则是一个常用的方法。

实例如下，

设某一产商生产某产品的固定成本几乎可以忽略不计，边际成本与边际收益函数分别为：

Q

MR Q Q MC 145020

2-=+-=

又极值存在的必要条件，可知MC=MR ，解得2,1521=-=Q Q ， 所以取22=Q

（三）、利用shapley 值法建立收益合理分配模型

n 个人从事某项经济活动，对于他们之中若干人组合的每一种合作，都会得到一定的效益。当人们之间的利益是非对抗性时，合作中人数的增加不会引起效益的减少。这样，全体n 个人的合作将带来最大效益，n 个人的集体及各种合作的效益就构成n 个合作对策。Shapley 值是分配这个最大效益的一种方案。

1、shapley 值定理的描述。

设],[V I ≡Γ是n 人合作对策，则存在唯一的一组shapley 值：

n i i s v s v n s s n v s

i i ,,2,1)],()([!

)!

1()!()( =---=∑

∈φ

)(v i φ表示第i 个伙伴企业从联盟整体中分配到的利益; s 表示包含有伙伴企

业i 的一切联盟；s 表示联盟s 的规模，即s 中所含企业的数量；)(s v 表示联盟s 的利益；)(i s v 表示联盟s 中如果没有企业i 参加时的利益;显然，可以注意到：

表示联盟S 中有i 参加的利益与没有i 参加的利益差值，即表示伙伴企业i 对联盟s 的贡献。

把伙伴企业i 对它所参加的联盟的所有贡献加起来便得到伙伴企业i 所应分得的利润。把这样一种利润分配方法称为Shapley 值利益分配法。

2、实例分析

举例如下：甲乙丙三人经商。若单干，每人仅能获利2元；甲乙合作可获利6元；甲丙合作可获利8元；乙丙合作可获利4元，三人合作则可获利10元。

问三人合作时，怎样合理地分配10元的收入？

将三企业的联盟记为：}3,2,1{=I ，且有I 的特征函数为：

10)(,4)32(,8)31(,6)21(,2)3()2()1(=======I v v v v v v v

依据上面的计算法则可得：

3

10

)(37

)(313)(321=

==

v v v φφφ

（四）、利用D-S 证据理论合成法则进行专家意见合成

证据理论（或称 Dempster-Shafer 理论）是从概率论发展而来的一种样本空间度量理论，它最早始于 Dempster 关于上下概率分布簇的研究，Shefer 在1976年给出严格的数学理论并指出信任函数可以表示不确定性知识及其推理。对比经典概率论的完整理论体系，证据理论的两个基本的证据度量函数即信任函数和似然函数作为概率函数的推广，它们成立的条件弱于概率函数（不需要了解命题的先验概率），具有直接表达“不确定性”的能力，对不确定性问题的处理具有更大的灵活性和更广泛的应用领域。

1、D-S 证据理论合成法则

设1Bel 和2Bel 是同一识别框架Θ上的两个信度函数，1m 和2m 分别是其对应的基本可信度分配，1m 和2m 的焦元（若Θ?A 且0)( A m ，则称A 为焦元）分别为n A A A A ,,,,321 和l B B B ,,,21 ，设：

1)()(2

1

∑Φ

=j I B A j i

B m

A m

那么，由下式定义的函数]1,0[2:→Θm 是基本可信度分配

Φ

≠--------

=

Φ=-------------------=Φ∑∑Φ

==A B m

A m

B m

A m A m A m J I J I

B A j i

A

B A j i )

()(1)

()()(0)(2

1

2

1

其中，记作∑Φ

==j I B A j i

B m

A m K )()(2

1

2、实例说明

假设两位专家认为某一患者得三种病C B A ,,的基本概率赋值函数为：

65.0)(1=A m 20.0)(1=B m 15.0)(1=C m 70.0)(2=A m 10.0)(2=B m 20.0)(2=C m 我们通过合成法则计算得，495.0=K

所以，可得，901.0)(=A m 040.0)(=B m 059.0)(=C m 即患者得三种病C B A ,,的可能值为：

901.0)(=A m 040.0)(=B m 059.0)(=C m

二、上述模型的改进与综合应用

在实际情况中，却很难找到一个能用单一数学模型来解决的问题。这样，就需要我们有分析辨别问题的能力，灵活应用数学模型，才能达到合理解决问题的目的。只有真正掌握了这些模型，才能对其进行综合应用，更好的与实际问题相结合，达到我们预期的效果。

一、极值法和期望值法的综合利用模型

设一家企业有n 种经营方案，且每一种方案有m 种收益可能，收益函数分别

为：)(,,,,),(1111x f f f x f n m n m 。当采用第j 种方案时，各种收益的可能性为)(,),(1y p y p j m j ，其中，n j ≤≤1，我们可以综合利用两种方法进行方案选择。

利用期望收益的方法，可得第j 种方案期望收益为：

)()()()()(11y f x f y p x f X Q j m j m j j j *++*= ， n j ≤≤1

我们对每一个函数)(X Q j 进行求导，得到)(X MAXQ j （n j ≤≤1），

并对各个)(X MAXQ j （n j ≤≤1）进行升序排列，得到)(X MAXMAXQ j 为所求最大收益值，且对应的第j 种方案为最优选择方案。

进一步地，如果各个备选方案构成一个完备事件组的话，且各个备选方案的概率分别是：),,,(21n p p p 。

那么，这个企业的期望收益为：

n n t p X MAXQ p X MAXQ X F *++*=)()()(11 如果将问题的描述做如下转化：

我们设决策者对每一个方案的风险容忍度为：),,(1

n p p '' 。此时，备选方案的风险容忍度概率赋值集),,(1

n p p '' 可以不是完备事件组的概率赋值，主要用来描述了决策者对每一种方案的风险意识。这样，各种方案的期望收益分别为：

n j p X MAXQ j j ≤≤'*1,)(。

当两种方案的期望收益相等时，即

,,1,)()(n j i p X MAXQ p X MAXQ i i j j ≤≤'*='*且j i ≠。此时，在风险容忍度赋值不变的情况下，我们认为这两种方案无差异。若有，j p '增大，i p '不变，则

),,1(,)()(j i n j i p X MAXQ p X MAXQ i i j j ≠≤≤''* ，我们可以称j p '为方案j 相对于方案i 的风险容忍度转折点。两两比较，确定各个方案的风险容忍度转折点，我们可以对决策者的风险意识进行灵敏度分析，并且可以划定每一个方案相对于其他任一方案的风险容忍度可行域。其实，对于单一的期望收益决策法模型，我们也可以做上述的分析。

二、D-S 证据理论合成法则的嵌套使用

在很多专家决策问题中，我们不仅仅需要对待决策问题集进行专家评议，并且需要对专家的权威可信度作出客观的评价。所以，借鉴层次分析法的思路，我们可以在多个层次上使用D-S 合成法则，以便得到更为接近实际情况的决策结果。即先对专家的权威度进行评价，然后做为权重指数对专家的评价进行修正。

这里，我们可以称之为，D-S 证据理论合成法则的嵌套。

在上面例子的基础上，如果考虑专家权威度的话，我们对问题的描述做这样修改：

假设两位专家在五年中对三种病C B A ,,的误诊率集分别为：

(){}

)

05.0,1.0,07.0,05.0,08.0(),1.0,09.0,06.0,08.0,05.0(,1.0,08.0,15.0,05.0,1.01111====ΘC B A p p p {})05.0,06.0,08.0,1.0,09.0(),06.0,05.0,09.0,08.0,08.0(),05.0,08.0,06.0,05.0,1.0(2222====ΘC B A p p p 我们把决策问题集也转化为：｛A 病的可能，B 病的可能，C 病的可能，未知｝，这样，问题集中加入未知这个元素，会让问题的描述更为客观。 首先，对专家关于A 病的权威度进行测定。

在已知专家1在五年中的误诊率集情况下，可以把五年中的误诊率认为是另外五位专家对专家1关于A 病误诊率的判断。这样的话，就把问题描述为：

9.0)(11=T m 1.0)(1

1=W m 95.0)(12=T m 05.0)(1

2=W m

85.0)(13=T m 15.0)(13=W m 92.0)(14=T m 08.0)(14=W m

9.0)(15=T m 1.0)(1

5=W m

所以，应用合成法则，我们可以计算出专家1关于A 病的权威度为：

8905.01=A α

同理可得，

8571.01=B α 9432.01=C α

同样可以计算得，专家2关于三种病的权威度为： 9467.02=A α 9339.02=B α 9324.02=C α 所以，问题集转化为：

5788.0)(1=A m 1714.0)(1=B m 1415.0)(1=C m 1083.0)(1=W m 6627.0)(2=A m 0934.0)(2=B m 1836.0)(2=C m 0602

.0)(2=W m

利用合成法则，得到 5679.0=K

所以，可得， 8877.0)(=A m 0371.0)(=B m 0601.0)(=C m

0151

.0)(=W m