背包问题实验报告

0-1背包问题实验报告

一：0-1背包问题

给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，装入或者不装入背包。不能将物品i多次装入，也不能装入部分的物品i。因此，该问题被称为0-1背包问题。

本次针对0-1背包问题的实验，主要使用动态规划的方法、贪心算法、回溯法以及分支限界法。

测试用例为：

n=50，

c=1000，

每个物品重量为

{220,208,198,192,180,180,165,162,160,158,155,130,125,122,120,118,115,110,105,1 01,100,100,98,96,95,90,88,82,80,77,75,73,70,69,66,65,63,60,58,56,50,30,20,15,10,8,5 ,3,1,1}

每个物品价值为

{80,82,85,70,72,70,66,50,55,25,50,55,40,48,50,32,22,60,30,32,40,38,35,32,25,28 ,30,22,50,30,45,30,60,50,20,65,20,25,30,10,20,25,15,10,10,10,4,4,2,1} 下面将分别谈论。

二：动态规划法

1：基本思想:

动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。其经过分解得到的子问题往往不是相互独立的，可以用一张表来记录所有已解决的子问题的答案，而不论该子问题以后是否会用到。从而使得子问题避免重复计算。

2：设计步骤：

动态规划算法适用于解最优化问题，通常可按以下几步设计：

（1）找出最优解的特性，并刻画其结构特征。

（2）递归地定义最优值。

（3）以自底向上的方式计算出最优值。

（4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

步骤（1）~（3）是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形，步骤（4）可以省去。若需要求出问题的最优解，则必须执行步骤（4）。

3：动态规划算法在0-1背包问题中的应用分析

0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。其最优子结构性质具有下述性质：当从最优解中剔除掉一个物品的时候，相应的背包剪掉这个物品的重量的剩余容量构成次级0-1背包子问题，此时在最优解中剩余下的物品应该为这个次级0-1背包问题的最优解。可以递归的定义这一子结构。

可以使用二维矩阵来存储计算子结构背包的最优值。程序单列。

实验结果为：3090。

4：算法分析

使用动态规划算法，需要O（nc）的计算时间，时间复杂度与物品数量和背包容量成比例。大量使用的二维矩阵，也使得整个程序的空间规模较大。在能够较为准确的得到解的同时，该算法存在着到背包容量很大，算法需要的计算时间较多的问题。

三：贪心算法

1：算法思路：

贪心算法在解决问题的时候，总是做出当前看来是最好的选择，并不从整体上最优加以考虑。在做出局部意义上的最优选择之后，我们能得到一个近似的最优解，即使它不一定是最优的，但在要求不那么精确地情况下，往往能较为便捷地得到结果。

2：基本要素：

可以用贪心算法求解的问题一般具备两个重要的性质：

（1）贪心选择性质：所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择来达到。

（2）最优子结构性质：一个问题的最优解包含着其子问题的最优解。

3：算法设计：

在解0-1背包问题的过程中，借鉴了贪心算法解背包问题的过程。

（1）计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi；

（2）依贪心选择策略，按照物品性价比的高低依次将物品装入背包。

（3）当剩余背包容量不足以装入尚未装入的最高性价比的物品，则选择次优物品。

直到背包无法再装为止。

实验结果为：3087。

4：算法分析：

使用贪心算法，时间复杂度为O（n*logn）。优于动态规划算法，空间占有也较动态规划少。其缺点在于最终解并不是最优解。

四：回溯法

1：基本思想：

首先明确问题的解空间，可以用一定的方法组织起来，使得回溯法能够方便地搜索整个解空间。例如是一颗解空间树。从根节点出发，以深度优先方式搜索解空间。这个开始的节点成为活结点，同时也成为当前的扩展节点。从当前节点，搜索向纵深方向移至一个新节点。是新节点成为活结点和可扩展节点。如果当前的扩展节点不能再向纵深方向移动，则当前扩展节点成为死结点。此时，往回移动到最近的活结点，使之成为扩展节点。直到整个解空间无活结点。找出解空间中满足约束条件的所有解。比较得出最优。

可以使用剪枝函数使得不符合要求的子树被减去。

2：算法设计：

（1）以物品单位性价比排序，构建状态树

（2）从根节点开始，进入左子树，搜索子空间树，计算当前价值；

（3）计算右子树上界，当右子树有可能包含最优解时，进入右子树，搜索子空间；

否则剪去右子树

（4）重复（2）（3），直到整个解空间搜索完毕。

实验结果：3090。

3：算法分析：

回溯法在最坏的情况下有O（2^n）个右儿子节点需要计算上界，计算上界的时间为O （n），所以回溯法时间复杂度为O（n*2^n）。需要栈来存储中间值，故空间复杂度大。其优点在于适应性好，大多数问题都能使用这种方法。但是随着问题规模的扩大，也会使得问题

处理起来的时间花销增大，故而构建良好的剪枝函数成为回溯法的关键所在。

五：分支限界法

1：基本思想：

类似于回溯法，也是基于解空间树的方法。求解目标为找出满足约束条件的一个解，记在某种意义下的最优。以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。在扩展节点处，先生成其所有儿子的分支，再从当前活结点表中选择下一个扩展节点。为了有效地选择，在每一活结点处，计算一个函数值，据此从当前活节点表中选出最有利的节点作为扩展节点，使搜索向解空间树上有最优解的分支推进。

2：算法设计：

（1）各物品按性价比有大到小排序，构建解空间树；

（2）由根节点出发，检查当前左儿子结点的可行性，如果可行，将它加入到子集树和活动队列中；

（3）仅当右儿子结点满足上界约束，才将它加入子集树和活结点优先序列。

（4）重复（2）（3）至整个解空间结束。

实验结果：3087。

3：算法分析：

分支限界法运用优先队列扩展了活结点的运行空间。使得算法在广域中可以较为快捷的剪掉冗余枝。整个解空间较之于回溯法是快速聚类的，故其时间复杂度较回溯法优，但在空间上却需要相当一部分的处理能力。对于离散的最优化方法较为适宜，这是分支法好处，却也是其局限所在。