测量不确定度评定 (讲义)第二章基础知识

第二部分基础知识

1测量结果的质量

检测或校准实验室用测量数据判定被测或被校准对象的质量，但测量数据的质量用什么来判定呢？最初是用测量误差。

1.1 测量误差的定义

测量误差=测量结果—真值

由于真值往往是不知道的，或者是很难知道的，所以测量误差也很难知道。测量误差的定义尽管是严格的正确的，能反映测量的质量和水平，但可操作性不强。人们需要找到一个能反映测量质量和水平又可操作的量。

1.2 测量不确定度是测量结果质量和水平的科学表达

尽管真值确切的大小人们并不知道，但真值的范围却是可能知道或可能估计的，例如本教室的长度大约是5m左右，即使用肉眼估计也不可能得出教室的长度为10m或2m的结论。如用钢卷尺来测量,哪怕粗糙一些也可有很大的把握认为教室的长度在 4.9～5.1m的范围内。既然真值的范围应该有可能知道或估计，那么测量的误差的范围也应该知道也有可能知道。于是，就诞生了测量不确定度最初的定义：

①由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量

②表征被测量的真值所处范围的评定

测量不确定度实质上就是对真值所处范围的评定，也是对测量误差可能大小的评定，也是对测量结果不能肯定的程度的评定，三种说法都是一样的，没有本质的区别。而这种评定必须与测量相联系。必须有可操作性，于是新的定义为：

表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。

对这个定义进行层层解析：

①一个参数

②一个表示被测量值分散性的参数

③一个与测量结果相联系的参数

1) 没有测量结果就没有测量不确定度，定性分析不存在测量不确定度；

2) 仅给出测量结果而不给测量不确定度是没有意义的。

④合理赋予的参数

1.3 测量不确定度与测量误差的联系与区别

1.3.1 全面分析有多个主要区别

1.3.2 重点理解只有1个区别：测量误差是一个值，而且是一个明确的值；测量不确定度是一个范围，而且是一个“模糊”的范围。其它区别即由此区别而产生。

测量不确定度评定就是测量误差或被测量值可能所处的范围的评定，就是把测量误差或被测量值的范围看成随机变量研究它的统计规律并定量计算的过程。

1.4一些相关且重要的名词术语测量结果测量准确度偏差重复性和复现性

1.4.1测量结果

由测量所得到的赋予被测量的值

测量结果是被测量值的估计值，它不一定是仪器的示值。

1.4.2测量准确度

测量结果与被测量真值之间的一致程度。

如果一定要用公式表示的话，可以用如下式子（只供理解，不是定义）：

测量准确度 = (测量结果/被测量真值) ×100%

因此，测量准确度的理想值应为1，而不是习惯上所说的，测量准确度达到千分之一、万分之一，这与上述的定义是矛盾的。故测量准确度仅用于定性，而不用于定量。

测量不确定度不是测量不准确度！

仪器设备没有不确定度之说。误差的概念也并未取消，如“计量器具的示值误差”。

1.4.3 偏差

一个值减去其参考值。

这里“一个值”是指测量值，而“参考值”是指设定值、允许值、标称值等。偏差和误差不是一回事,不可混淆。

如一个烘箱的设定温度是185℃，用一个普通温度计去测量烘箱的温度得到实际值是186℃，则烘箱温度控制的偏差是186-185=1℃。而用一个标准温度计测量得到标准值(约定真值)是185.5℃,则普通温度计的误差为185-185.5=-0.5℃。

化学分析中，测量值相对于标准样品的标称值的差应称为偏差而不是误差。

1.4.4 重复性和复现性

1.4.4.1重复性

在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所的结果之间的一致程度。

所谓相同的条件是指相同的程序、观测者、环境、仪器、地点、临近的时间。

1.4.4.2复现性

在改变了的测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致程度。

说明：① 所谓“改变了的测量条件”是指 测量条件有了实质性的变化

② 按此定义，重复性和复现性的理想值应为1（100%）。重复性和复现性可

用测量结果的分散性定量的表示，即为重复性和复现性标准偏差，分别表示为r s 和

R s 。

③重复性限和复现性限的含义：一组重复性测量值或复现性测量值，若其任

意两个测量值的差的绝对值按95%的置信概率小于或等于某个值r 或R ，则r 称为重复性限，R 称为复现性限。

r s r 83.2=， R s R 83.2=

2. 测量不确定度评定的重要意义

2.1 测量不确定度是对测量结果质量和水平的科学表达

2.2测量不确定度及通用计量名词术语是各学科之间联系和交往的共同语言。JJF1059—1999原则上等同采用GUM-----Guide to the Expression of uncertainty in measurement 和VIM---Vocabulary of legal metrology 。GUM 是由七个国际组织联合发布的，并非是计量界的独家之见，也不是故弄玄虚，而是实际需要。

2.3 通过评定测量不确定度可以分析影响测量结果的主要成分，从而提高测量结果的质量。

2.4 通过评定测量不确定度可以评价校准方法的合理性 2.5 通过评定测量不确定度评价各实验室间比对试验的结果 2.6 通过评定测量不确定度可以知道或给出结果判定的风险 3 测量不确定度的来源

测量不确定度的来源有以下几个方面： ① 被测量的定义不完整，数学模型的近似和假设 ② 测量方法不理想 ③ 取样的代表性不够 ④ 环境影响 ⑤ 读数误差的影响

⑥ 仪器设备的性能不佳

⑦ 测量标准或标准物质的不确定度 ⑧ 引用数据或参数的不确定度 ⑨ 重复测量时被测量的变化

通俗的讲可以分为人、机、料、法、环、测、抽、样八个方面。需要强调的是：被测对象（样品）的特性的变化会对测量不确定度产生影响，而不会影响测量误差。

过去人们常常进行“误差分析”，实际上在很大程度上是在作测量不确定度的评定，并且混淆了某些概念。

4 测量误差及测量不确定度的分类

4.1 误差可以按性质分为随机误差和系统误差

随机误差：测量结果与在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。简述为：测量结果减平均值。

系统误差：在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。简述为：平均值减真值。

随机误差加系统误差即为误差。

4.2 测量不确定度不能分为随机不确定度和系统不确定度

人们曾经尝试过：将测量不确定度分为随机不确定度和系统不确定度，但是很快发现这种分类方法是不合适的：在评定测量不确定度时某些系统效应可能表现出随机性,而随机效应导致的不确定度通过校准可能会按系统效应贡献给被校准仪器的示值。 4.3 按赋于测量不确定度大小的程度分类

测量不确定度可用标准偏差或用标准偏差的倍数来表示。

用标准偏差表示的测量不确定度称为标准不确定度，写为u ；用标准偏差的倍数来表示的测量不确定度称为扩展不确定度, 写为U 。 4.4 相对不确定度

有时为了计算方便和结果比较而采用相对不确定度：一个量的不确定度除以该量的平均值，加以脚标rel （relative ）表示 。

相对标准不确定度 x x u x u rel )

()(=

相对合成标准不确定度 y

y u y u c crel )()(=

相对扩展不确定度 y

U U rel =

4.5测量不确定度按估算方法可分为A 类和B 类

4.5.1 A 类评定：用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度。 4.5.2 B 类评定：用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度。 4.5.3 A 类评定和B 类评定的解析

在A 类评定和B 类评定的定义中有三个关键词：观测列、统计分析、标准不确定度。 ① 观测列 即通过重复性（或复现性）试验取得的测量数据。A 类评定的信息资源

是观测列，B 类评定没有现成的观测列，只能设法去寻找别的信息资源； ② 统计分析 无论A 类评定还是B 类评定都是采用统计分析的方法，这种统计分析

的方法就是计算被评定变量的标准偏差；

③ 标准不确定度 无论A 类评定还是B 类评定都是要评定标准不确定度，而不是扩

展不确定度。

5 测量不确定度A 类评定程序

5.1 按设定的条件和方法作多次重复性（或复现性）试验取得若干个测量数据（观测列） 例① 用Ⅱ级钢卷尺测量某房间的长度，得到6个测量值：

m x m x m x m x m x m x 97.4,03.5,98.4,02.5,99.4,01.5654321======

5.2 求这些数据的平均值

m n

x

x n

n i

00.51

==

∑=

注：

∑

为连加符号，

n n

i i

x x x x

+++=∑= (211)

5.3 求残差

x x i i -=υ

υ----希腊字母，读作 “玉普赛楞”

5.4 求残差的平方和

242

1028m i -?=∑υ

5.5 求单次测量的标准偏差（贝塞尔公式）

m n x s i

0237.01

)(2=-=

∑υ

ν=-1n （希腊字母，读作“牛”

）称为自由度 5.6 求标准不确定度

m x s x u 024.0)()(==

5.7 若以平均值表示测量结果，则应计算平均值的标准偏差。

m n

x s x s 0097.0)()(==

m x s x u 0097.0)()(==

5.8 合并样本偏差

若进行第二组测量，又得到一个观测列 ：

m x m x m x m x m x m x 96.4,04.5,97.4,03.5,98.4,02.5262524232221======

则两个样本合并的标准偏差为：

m n

m x s x s m n m x x

x s p p m j n

k j jk

p 0084.0.)()(,029.0)

1()()(11

2

==

=--=

∑∑==

5.9 求A 类标准不确定度

第一组 m x s x u 024.0)()(== 合并 m x s x u p p 029.0)()(==

m x s x u 0097.0)()(== m x s x u p p 0084.0)()(==

6不确定度的B 类评定程序

6.1 确定需要评定的随机变量的分散区间，区间数据的来源：

① 理论分析

② 证书、手册、技术说明书、资料提供 ③ 经验

④ 权威部门、权威人士评定

区间的表现形式可能是：理论分析得到的极限值，证书、资料、给出的示值误差、重复性限、复现性限、最大允许误差，不确定度，一般表示为a +。

例② 由检定规程知道：Ⅱ级钢卷尺在5m 左右时的最大允许误差为Δ=±0.005m ，检定结果该尺合格，则可以知道由示值误差带来的长度测量值的分散区间为±0.005m 。

6.2 估计该量变化的规律（分布）

对于随机变量的分布情况，在JJG1059---1999 附录B 中给出了一些估计，可查阅。 在无法判定分布类型时，可估计为矩形（均匀）分布。例②就可估计为矩形（均匀）分布。 6.3 根据分布查找包含因子

① 按技术资料中说明的包含因子选取 ② 按估计的分布选取

③ 当给出p U 时,按正态分布考虑。根据p 确定包含因子

④ 若检定证书或技术说明书只给出了不确定度而未给出包含因子时，可取k=2 ⑤ 若明确给出重复性限、复现性限时，取k=2.83 例② 按矩型分布选取包含因子为3=k 。

6.4 求标准不确定度

k

a

x s x u =

=)()( a 为变化区间的半宽 例② m k a s u 0029.03

005.0)()(===

?=? 说明：A 类评定和B 类评定都是求标准不确定度。 A 类评定是通过观测列数据求得标准偏差，继而算出标准不确定度；B 类评定则是先估计被评定的（变）量的变化范围（±a ）,再按变量可能的分布情况反算标准偏差（即标准不确定度）。所有的A 类评定和B 类评定分量都需要统一到标准不确定度的程度上才能合成。 7 合成标准不确定度评定程序 7.1 建立数学模型

被评定的量是由若干输入量共同作用的输出时，要通过合成的方法求输出量的标准不确定度，称为合成标准不确定度。此时，首要的问题是列出输出量与输入量的关系——数学模型！

如面积 Y=L ×B L —长度 B —宽度 力矩 Y=F ×L F ——力 L —力臂 速度 Y=S/T S —距离 T —时间 强度 Y=F/S F —力 S —截面积 数学模型的一般形式为

).....(321N X X X X f Y = N i ,......2,1=

其中Y —输出量（要评定的量）的理想值

N X X X X .....321——输入量（对输出有影响的量）的理想值。

由于输入量的理想值是得不到的，只能得到它的最佳估计值。对最佳估计值的数学模型习惯上用小写字母表示。

)....(321N x x x x f y =

有两种方式可以得到输出量的最佳估计值：

① ∑===n

k k y n y y 1

1 n k ,.....2,1=

),.....,(21Nk k k k x x x f y = k y 是n 次观测得到的第k 个输出值 ik x 是第i 个输入量的第k 个观测值。 ② ),.......,(21N x x x f y =

∑==n

k k i i x n x 1

,1 它是是第i 个输入量通过n 次观测得到的算术平均值。

第一种方法是先计算每一个输出值，再计算输出值的平均值；第二种方法是先计算输入量的平均值，再计算输出值。当输出与输入是线性关系的时候两种方法的结果相同。但当非线性关系时第一种方法较为优越。

7.1.1 透明模型

有明确函数关系的数学模型称为透明模型，如上所列面积、力矩、速度、强度等公式，都为透明模型。 7.1.2 黑箱模型

无法建立明确函数关系的模型可用黑箱模型表达。 ① 加修正值型的：M x x x x y ?++?+?+=...21 ② 增加修正因子型的：x c c c c y N ...321=

③ 综合型的：+=x c c c c y N ...321M x x x x ?++?+?+ (21)

7.1.3 透明与黑箱综合型

?+?=c x x x x f y n ).........(321

7.2 由数学模型推导合成标准不确定度的计算公式

建立数学模型的目的一是求输出量的最佳估计值，另一目的是求合成标准不确定度。 7.2.1 对已建立的数学模型按泰劳级数展开

高阶项+??++??+??=22222112))((......))(())((

)(N N

c x u x f

x u x f x u x f y u i

i x f

c ??=

——灵敏系数 )(i i x u u = ——各输入量的标准不确定度

i i u c ——标准不确定度的分量

)(y u c ——合成标准不确定度，可写为c u

7.2.3 在各分量互不相关且忽略高阶项（取泰劳级数的一阶近似）条件下的简化关系式

∑==+++=N

k i i N

N

c

u c u c u c u c y u 1

222222

22

21

212......)( 不确定度传播律

不确定度传播律可用语言表述为：合成标准不确定

度的平方等于各标准不确定度的分量的平方和。

7.2.4 灵敏系数

灵敏系数在i X 的期望值下评定，即如果偏导数中有变量，则取其平均值。线性模型下灵敏系数为常数，加修正值的黑箱模型灵敏系数为1。 7.3 评定各标准不确定度的分量，决定采用A 类评定还是B 类评定

7.3.1 采用A 类评定需要做多次重复性或复现性试验，得到一组或多组观测列。对观测列进行统计分析。做这些试验时要明确并控制所需要的条件。因此可能费时费力，但其结果比较客观、可信，而且有很多影响量（包括可能彼此相关的，非线性的）在试验时同时综合作用，可以对总的不确定度做出充分贡献，其效果是B 类评定所达不到的。 7.3.2 B 类评定，需要有可靠的数据来源，或有充分的经验、专业知识以及理论分析能力。方法简单，无需投入很多资金、设备、时间。但主观性、经验性比较强。在没有条件

进行多次重复性、复现性试验时，可考虑采用B 类评定的方法。B 类评定必须对影响量进行逐个分析。

7.4 按公式计算合成标准不确定度

例③ 对例①和例②得到的结果进行合成

数学模型 ?+=x y

y ——房间长度的估计值（希望尽量接近真值）

x ——钢卷尺的观测值（最好是多次测量的平均值，但即使是平均值也仍然有不

确定的成分）

Δ——钢卷尺示值误差的影响（由于钢卷尺有示值误差而对观测值的真实性产生

影响——不确定性，影响可能既有随机效应也有系统效应）

x 和Δ都含有不确定的成分，这种不确定成分的最大值或最小值不会同时出现，

因而它们的合成不能用普通代数的方法，而是要用统计方法——不确定度传播率：

22

2220029.00097

.0)()()(+=?+=u x u y u c

m y u c 01.0)(=

8 扩展不确定度的评定程序 8.1 扩展不确定度的定义及意义

合成标准不确定度属于标准不确定度，是建立在标准不确定度的基础上的（各分量都是标准不确定度）。而用标准不确定度给出测量结果所在的区间，只是被测量值可能出现的一部分（如正态分布只占68.27%），其可信程度（用置信概率定量表示）不高，为了提高对测量结果所在区间评定的可信程度，需加以扩展。其方法是乘以包含因子。扩展不确定度的定义：确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。

8.2 扩展不确定度的简易评定

c ku U = 取k=2，此时对应的置信概率约为95%(当自由度很小时,置信概率与95%

相差较大).

例④ 用简易方法对例③的结果求扩展不确定度

m u U c 02.02==

8.3 扩展不确定度的标准评定

标准的评定方法是：由各输入量的标准不确定度评定的自由度i ν求输出量合成标准不确定度评定的有效自由度eff ν，选定所需的置信概率，求扩展因子。 8.3.1 自由度

自由度定义：在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数。自由度反映了标准不确定度评定的可靠程度。 8.3.1.1 A 类评定时的自由度

t n -=ν 其中，n 为和的项数，t 为对和的限制数。 一般情况下t =1;

在求线性回归方程 b ax y +=时，t = 2 在求线性回归方程 c by ax z ++= 时 t = 3

8.3.1.2 B 类评定时的自由度

2

)())((21??

????=

x u x u u ν 其中)(x u ——标准不确定度

))((x u u ——标准不确定度的标准不确定度

)

())

((x u x u u ——标准不确定度的相对标准不确定度 8.3.1.3 合成标准不确定度的有效自由度

∑=i

i c eff

u u ν

ν44

显然 ∑=≤1

i i eff νν 也可用相对标准不确定度来合成：

i

irel

i crel

eff u p u νν4

44∑

=

8.3.2 确定所需要的置信概率

置信概率是人为选定的，根据检测工作的需要或客户需要而定。 8.3.3 查t 分布表 确定P t 值，从而得到包含因子P k 。

如果不是t 分布（近似正态分布可看作t 分布），则要根据其它的分布曲线计算。

对矩形分布 71.1,65.19995==k k 对三角分布 20.2,90.19995==k k 对正态分布 58.2,96.19995==k k

8.3.4 计算扩展不确定度P U

取p p t k = c P P u k U =

例⑤ 用标准方法对例③的结果求扩展不确定度

5

16)(=-=x ν

∞=?)(ν（对制造商非常信任）

55

/0097.001.04

4

≈=eff

ν 设置信概率为95%，查t 分布表，得57.2)5(95=t ，则 m m u k U c 03.0026.001.057.29595≈=?== 9 测量结果的正确表达

JJF1059-1999 《测量结果不确定度评定与表示》8.7条、8.8条、8.12条推荐采用的形式为：

①2;)00079.002147.100(=+=k g m s

②;9;)00079.002147.100(=+=eff s g m ν括号内第二项为95U 之值。

不确定度数值最多取2位，计算过程中可取2-3位。测量结果的有效位数应与其不确定度相匹配，不可过多，以免引起对测量精确程度的误解。

例④的测量结果可表达为： 2;)02.000.5(=±=k m y 例⑤的测量结果可表达为：

;5;)03.000.5(=±=eff m y ν括号内第二项为95U 之值。 10 相关量的合成不确定度

若输入量之间是彼此相关的，则不确定度传播定律公式中应包含协方差项。 相关：一个量与另一个量有显著的关系，但无法用准确的函数来表示，只能通过试验来建立近似的关系。 10.1 协方差

若二量x 、y 相关，则协方差 1

))((x

.y)(i

---=

∑n y y x x u i ， n 为测量次数 ，协

方差项为 ).(2

y x u y

f

x f ???? 10.2 相关系数

若二量x 、y 相关，则相关系数)

()()

.().(y u x u y x u y x =

γ

故协方差项为 ).()()(2

y x y u x u y

f

x f γ???? 当x 与y 完全正相关时 1).(=y x γ 当x 与y 完全负相关时 1).(-=y x γ 当x 与y 完全不相关时 0).(=y x γ 10.3 对相关量的处理方式

① 从测量方法上尽量避免出现相关量 ② 微小相关量的影响可忽略

③ 使问题简化 如近似取1=γ或1-=γ ④ 实在不可避免时，通过做实验来确定相关系数 11 非线性模型的标准不确定度

若输出量与输入量之间有非线性关系，则不确定度传播定律公式中应包括高阶项。 对以下非线性数学模型：

N

p N

p p x x cx y ......2121=

注： C 并非灵敏系数

可以推导出以下不确定度传播律：

)()(2

1

22i rel N

i i rel

c x u P y u

∑==

)(y u rel c ——相对合成标准不确定度

)(i rel x u ——各输入量的相对标准不确定度 i P —— 幂，可以为正数、负数、分数

用相对标准不确定度来处理非线性模型，可使问题得到简化。 12 测量不确定度评定的完整步骤 12.1技术规定

描述试验方法、步骤、要求、所用仪器设备等，给出结果计算公式（或建立数学模型） 12.2 不确定度来源的确定和分析

确定主要不确定度的来源，了解其对被测量及其不确定度的影响，画出因果图（鱼刺图）。测量的许多环节都可能有重复性影响，可考虑将这些重复性合并成一个总试验的分量，并且利用方法确认的数值将其量化。

影响量2 影响量1

被测量 影响量1的重复性

影响量2的重复性

重复性（rep ） 影响量3 12.3不确定度分量的定量（评定） 12.3.1 写出不确定度传播律

12.3.2 对各不确定度分量分别采用A 类或B 类评定，有时可以直接利用方法确认的结果（如总的重复性rep ）。

12.3.3 编制测量数据和不确定度分量表

说明：在一个完整的数学模型

?+?=rep x x x f y )(321、、

中，rep 代表试验的总重复性 ，?代表试验偏差。rep 的数学期望应为1（即无限多次重复测量的平均值应为理想值），但rep 的标准不确定度（总重复性标准偏差——表征试验的精密度）却不为零。?是用标准物质或标准样品进行试验得到的，是用标准物质或标准样品复现的量值减去测量平均值。 12.4 计算合成标准不确定度

按不确定度传播律公式计算合成标准不确定度，对于复杂的运算过程可以利用“电子表格”的形式。

12.5 计算扩展不确定度

12.6 重新评估显著性不确定度分量 12.6.1 画出各不确定度分量的统计直方图

rep x 1 x 2 x 3

y

0 0.05 0.1 0.15 0.20

12.6.2 对比各分量的大小，对相对大的分量进行充分研究，找出减少影响该量的因素加以解决。

附录1 随机变量的总体特征值和样本估计量

附录2：测量不确定度评定步骤框图

合成和扩展不确定度评定 A类不确定度评定

A

类

评

定

c

B类不确定度评定