数学建模_运筹学模型(四)

产品生产规划

某医院为病人配制营养餐要使用到两种食品A 和B ，每种食品A 含蛋白质50g ，钙400mg ， 热量1000单位，价值14元；食品B 含蛋白质60g ，钙200mg ，热量800单位，价值8元.若病人每天需从食物中获取蛋白质，钙及热量分别为55g ，800mg 和3000单位，问如何选购食品才能在满足营养要求条件下使花费最小？试组建线性规划模型并求解后回答：

（1）问题的最优方案及最优值分别是甚麽？最优方案是否有选择余地？ （2）各种营养要求的满足情况怎样？若限制蛋白质摄入量不超过100单位，会出现甚麽问题？

解：本题属于简单的线性规划模型的建立与求解问题，并要求作出一点模型分析工作.按要求，先来建立模型，根据题设，设购买两种食品分别为21,x x （kg ），则有

总花费数额函数21814x x z +=，自然我们希望求出这样的21,x x 取值，使得函数z 取最小值.可以写为min 21814x x z +=. 又根据营养最低要求，应有

蛋白质需求条件： ,55605021≥+x x 钙的需求条件： 40080020021≥+x x ， 热量的需求条件： ,3000800100021≥+x x 非负性条件： .0≥j x

将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：

m i n 21814x x z

+= ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

..t s ,0,30008001000,800200400,556050212

121≥≥+≥+≥+j x x x x x x x

利用图解法易于得到其最优解为),310,31(*=X 即食品A 购买3

1

（kg ），B 购

买3

10

（kg ），最低花费=*z 394元.由此可回答所提问题：

（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上.

（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准3

485

个单

位.以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的.

若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为

,55605010021≥+≥x x

在原来的求解图上加上条件,100605021≤+x x 则可见可行域不存在，故无解.

2.某工厂生产两种产品A 、B 分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表

（1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内；

（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；

（4）尽量减少加班时间. 解： （1）建立模型

设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； ②周末加班时间内生产哪种产品不限； ③生产A 产品用x 班，生产B 产品用y 班，周加班时生产A 产品用x 1小时，生产B 产品用y 1小时.则有

⎪⎪⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧≥≤+=++≤+≤+=+且为整数

0,,,10

1:214

8:9870845

81011111111y x y x y x x x y y x x y y y x

（2）求解

现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：8≤x ，5≥y ； 将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：1179720128y x y -+= 现在就是在满足5≤y ，1011≤+y x 条件下，使上式两端的取值尽量接近.显然

5=y ，01=x ，101=y

因此 5=x

制定方案为，生产A ，B 两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B .

运输规划问题

现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）

解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设ij x 表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费.则运输模型为：

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎧==≥⎪

⎭⎪

⎬⎫=+=+=+⎭⎬⎫

≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f m in ij 32121025154030504223223

13221221112322

21131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运输模型为

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1

1

11

n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij m

i j ij n

j i ij m i n

j ij

ij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位

运价。 特别当

∑∑===m i n

j j

i b

a 1

1

时，存货必须全部运走，故上述约束条件中的

∑=≤n

j i ij

a x

1

可改为等式：

),...2,1(1

m i a x

i n

j ij

==∑=

选址问题

某地区有m 座煤矿，i #

矿每年产量为a i 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 0吨，每年运行的固定费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为h 0元。现规划新建一个发电厂，

m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有n 个备选的厂址。若在j #备选

厂址建电厂，每年运行的固定费用为h j 元，每吨原煤从i # 矿运送到j #

备选厂址的运费为c ij

元(i =1,2,…m , j =1,2…n )。每吨原煤从i #

矿运送到原有电厂的运费为c i0 (i =1,2,…m )。

试问：

[1] 应把新电厂厂址选在何处？

[2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？

才能使每年的总费用（电厂运行的固定费用与原煤运费之和）为最小？

模型的建立

(1) 变量的设置为了解决问题[1]，我们使用0-1变量

n

j j y j ,2,10

#1=⎩⎨

⎧=否则

备选厂址选中

为了解决问题[2]，设从i #

煤矿运到j #

备选的厂址的运量为x ij 吨（i=1,2,…m，j=0,1,2,…,n）

总运费：

ij m i n

o

j ij

x c

∑∑==1（对不被选中的备选厂址运费x ij,将由约束条件限制为0）.

固定费用 h 0+

∑=n

j j j

y h

1

每年总费用 z =

01

1

h y h x c

n

j j j m

i n

j ij ij

++∑∑∑===

(3)约束条件的表达

（i ）煤矿产量约束

m ,,i a x

i

n

j ij

210==∑=

（ii ）旧电厂用煤量约束

01

b x

m

i i =∑=

（iii ）新电厂用煤量约束 记 01

b a

b m

i i

-=

∑=，当j #

备选厂址被选中时∑==m

i ij b x 1

，

当j #

备选厂址没被选中时

∑==m

i ij

x

1

0，综合表达为n j y b x j

m

i ij ,...2,11

==∑=

（iv ）选址约束 由于只选一个厂址，所以

11

=∑=n

j j

y

(v)非负及整数约束

n

j y n

j m

i x j ij ,2,11

0,2,1,0,2,10====≥或

综合得数学规划模型：

10

1

00011

11

min ,1,...,,1,...,..10,1,...,;0,...,0,1;1,...,m

n

n

ij ij j j i j j n

ij i j m

i i m

ij j i m i i n

j j ij

j z c x h y h x a i m x b x by j n s t b a b y x i m j n y j n =========++⎧==⎪⎪⎪=⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪

=-⎨⎪⎪=⎪⎪⎪≥==⎪⎪==⎪⎪⎪⎩

∑∑∑∑∑∑∑∑