初中一对一精品辅导讲义：一次函数

教学目标
1．通过复习进一步掌握如下概念：函数的概念；一次函数的概念；一次函数与正比例函数的关系；确定一次函数表达式。 2、经历函数、一次函数（正比例函数）概念的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。使学生进一步理解一次函数的概念，会熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式。考点 1：确定自变量的取值范围考点 2：函数图象考点 3：图象与坐标轴围成的面积问题考点 4：求一次函数的表达式，确定函数值考点 5：利用一次函数解决实际问题
重点、难点
考点及考试要求
教
第一课时
一、主要知识点：
一次函数的性质
学
内
容
一次函数知识盘点
1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即：y=kx+b（k≠0)（k 为任意不为零的实数 b 取任何实数） 2.当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的截距。 3.k 为一次函数 y=kx+b 的斜率,k=tg 角 1(角 1 为一次函数图象与 x 轴正方向夹角)
一次函数的图像及性质
1．作法与图形：通过如下３个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与 y 轴交点的坐标总是（0，b)，与 x 轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 4．k，b 与函数图像所在象限： y=kx 时当 k＞0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。当 b＞0 时，直线必通过一、二象限；当 b=0 时，直线必通过原点,经过一、三象限当 b＜0 时，直线必通过三、四象限。 y=kx+b 时：当 k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限。当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。特别地，当 b=0 时，直线通过原点 O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当 k＞0 时，直线只通过一、三象限；当 k＜0 时，直线只通过二、四象限。 4、特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中 K 值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中 K 值互为负倒数（即两个 K 值的乘积为-1）
确定一次函数的表达式
已知点 A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为 y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2 个方程： y1=kx1+b……①和 y2=kx2+b……② （3）解这个二元一次方程，得到 k，b 的值。（4）最后得到一次函数的表达式。
一次函数在生活中的应用
1.当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量 S。 g=S-ft
二、例题讲解
【类型一】利用一次函数的定义例1. 当 m 为何值时，函数 y ? ?(m ? 2)xm
2
?3
? (m ? 4) 是一次函数？
练习：①当 m＝______时， y ? (m ? 3)x 2m?1 ? 4x ? 5 是一次函数。 ②已知函数 y ? (k ? 2)x ? x ? k ? 1 ，当=_____时，它是一次函数；当＝______时，它是正比例函数. 【类型二】待定系数法确定一次函数的解析式例2. 已知 y 是关于 x 的一次函数，且当 x＝3 时，y=-2，当 x＝-2 时，y=5，求这个一
次函数的解析式.
例 3. 已知 y+b 与 x+a(其中 a、b 是常数)成正比． (1)试说明：y 是 x 的一次函数； (2)若 x=3 时，y=5；x=2 时，y=2，求函数的表达式．

练习：①已知 y 是关于 x 的一次函数，且当 x＝-2 时，y=-3，当 x＝1 时，y=3，求这个一次函数的解析式.并求 x=-5 时的函数值.
②若 y 与(x -3)成正比例，且 x=4 时，y=-1，则 y 与 x 的函数关系式是什么？
【类型三】应用一次函数解决实际问题例 4.某弹簧的自然长度为 9 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克、弹簧长度 y 增加 2 厘米。（1）计算所挂物体的质量分别为 1 千克、2 千克、3 千克、4 千克、5 千克时弹簧的长度，并填入下表： x/ y/ 千克（2）你能写出厘米 x 与 y 之间的关系式吗？来源:Zxxk .Com] 0 1 2 3 [ 4 5[ 来源:Z。 xx。 https://www.360docs.net/doc/947757747.html,]
第二课时
考点1：一次函数的概念.
一次函数重要考点（1）
相关知识：一次函数是形如 y ? kx ? b （ k 、 b 为常数，且 k ? 0 ）的函数，特别的当 b ? 0 时函数为 y ? kx(k ? 0) ，叫正比例函数. 【例题】 1.下列函数中，y 是 x 的正比例函数的是（） x A．y=2x-1 B．y= C．y=2x2 3
D．y=-2x+1
2.已知自变量为 x 的函数 y=mx+2-m 是正比例函数，则 m=________，?该函数的解析式为_________． 3.已知一次函数 y ? (k ? 1) x +3,则 k =
k
.

4.函数 y ? (m ? 2) x 2n?1 ? m ? n ，当 m= 为一次函数．
，n=
时为正比例函数；当 m=
，n
时
考点 2：一次函数图象与系数相关知识：一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的图象是一条直线，图象位置由k、b确定， k ? 0 直线要经过一、三象限， k ? 0 直线必经过二、四象限， b ? 0 直线与y轴的交点在正半轴上， b ? 0 直线与y 轴的交点在负半轴上. 【例题】 1. 直线 y=x－1 的图像经过象限是( A.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 2. 一次函数 y=6x+1 的图象不经过（ A．第一象限 ) B.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限） C．第三象限象限. ） D．第四象限
B．第二象限
3. 一次函数 y= ?3 x + 2 的图象不经过第 4. 一次函数 y ? x ? 2 的图象大致是（
5. 关于 x 的一次函数 y=kx+k2+1 的图像可能是（
）
6.已知一次函数 y=x+b 的图像经过一、二、三象限，则 b 的值可以是（ A.-2 B.-1 C.0 D.2
）.
7.若一次函数 y ? (2m ? 1) x ? 3 ? 2m 的图像经过一、二、四象限，则 m 的取值范围是 8. 已知一次函数 y=mx+n-2 的图像如图所示，则 m、n 的取值范围是（）
．
A.m＞0,n＜2
B. m＞0,n＞2
C. m＜0,n＜2
D. m＜0,n＞2

9．已知关于 x 的一次函数 y ? mx ? n 的图象如图所示，则 | n ? m | ? m2 可化简为__
__.
10. 如果一次函数 y=4x+b 的图像经过第一、三、四象限，那么 b 的取值范围是_
_。
考点 3：一次函数的增减性相关知识：一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) ，当 k ? 0 时，y 随 x 的增大而增大，当 k ? 0 时，y 随 x 的增大而减小. 规律总结：从图象上看只要图象经过一、三象限，y 随 x 的增大而增大，经过二、四象限，y 随 x 的增大而减小. 【例题】 1.写出一个具体的 y 随 x 的增大而减小的一次函数解析式 2.一次函数 y=-2x+3 中，y 的值随 x 值增大而_______.(填“增大”或“减小”) 3.已知关于 x 的一次函数 y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则 k=_____;若 y 随 x 的增大而减小, 则 k 的取值范围是________. 4.若一次函数 y ? ?2 ? m?x ? 2 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（ A. m ? 0 B. m ? 0 C. m ? 2 D. m ? 2 b。（填“＞” 、 “＜”或“=”号））．）
5. 已知点 A（－5，a），B(4，b)在直线 y=-3x+2 上，则 a
6.当实数 x 的取值使得 x－2有意义时，函数 y=4x+1 中 y 的取值范围是（ A．y≥－7 B．y≥9 C．y＞9 D．y≤9
7. 已知一次函数的图象经过点（ 0,1 ），且满足 y 随 x 增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 _________________（写出一个即可）.
考点 4：函数图象经过点的含义相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对 x、y 的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代 x，纵坐标代 y，方程成立。【例题】

1.已知直线 y ? kx ? b 经过点 (k ,3) 和 (1, k ) ，则 k 的值为（ A． 3 B． ? 3 C． 2 D． ? 2
）.
2. 坐标平面上，若点(3, b)在方程式 3 y ? 2 x ? 9 的图形上，则 b 值为何？ A．－1 B． 2 C．3 D． 9 ．
3. 一次函数 y=2x－1 的图象经过点（a，3），则 a=
4．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(2， a )在正比例函数 y ? _____象限． 5.直线 y=kx-1 一定经过点（ A．（1，0））． C．（0，k）
1 3a ? 5 )位于第 x 的图象上，则点 Q( a， 2
B．（1，k）
D．（0，-1）
7. 如图所示的坐标平面上，有一条通过点(－3,－2)的直线 L。若四点(－2 , a)、(0 , b)、(c , 0)、 (d ,－1)在 L 上，则下列数值的判断，何者正确？（ A．a＝3 B.b＞－2 C.c＜－3 ） D .d＝2
考点 5：函数图象与方程（组）相关知识：两个函数图象的交点坐标就是两个解析式组成的方解。 1. 点 A，B，C，D 的坐标如图，求直线 AB 与直线 CD 的交点坐标．程组的
2. 如表 1 给出了直线 l1 上部分点（x，y）的坐标值，表 2 给出了直线 l2 上部分（x，y）的坐标值．那么直线 l1 和直线 l2 交点坐标为．
表1
表2
?x ? y ? 3 ? 0 3.已知直线 y=x-3 与 y=2x+2 的交点为（-5，-8），则方程组 ? 的解是 ?2 x ? y ? 2 ? 0
________。 4.如图，已知 y ? ax ? b 和 y ? kx 的图象交于点 P，根据图象

?ax ? y ? b ? 0 可得关于 X、Y 的二元一次方程组 ? ? kx ? y ? 0
的解是
.
第三课时
考点 6：图象的平移【例题】
一次函数重要考点（2）
1. 在平面直角坐标系中，把直线 y=x 向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（ A．y=x+1 B.y=x-1 C.y=x D. y=x-2 ）
）
2. 将直线 y ? 2 x 向右平移 1 个单位后所得图象对应的函数解析式为（ A. y ? 2 x ? 1 B. y ? 2 x ? 2 C. y ? 2 x ? 1 D. y ? 2 x ? 2
3. 如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x－6 上时，线段 BC 扫过的面积为（ A．4 B．8 ） C．16 D． 8 2
O A Bx y C
考点 7：函数图象与不等式（组）相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对 x、y 的值组成的（x、y），x 的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个 x 的值相对应的 y 的值，因此，观察 x 或 y 的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。【例题】 1. 如图所示，函数 y1 ? x 和 y 2 ?
1 4 x ? 的图象相 3 3
）
交于（－1，1），（2，
2）两点．当 y1 ? y 2 时，x 的取值范围是（ A．x＜－1

B．—1＜x＜2 C．x＞2 D． x＜－1 或 x＞2 2. 点 A（ x1 ， y1 ）和点 B（ x 2 ， y2 ）在同一直线 y ? kx ? b 上，且 k ? 0 ．若 x1 ? x2 ，则 y1 ， y2 的关系是： A、 y1 ? y2 B、 y1 ? y2 C、 y1 ? y2 （） D、无法确定．。
3.已知一次函数 y ? kx ? 3 的图象如图所示，则不等式 kx ? 3 ? 0 的解集是
y y B A A B O O x x x x
4.如图，一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的图象经过点Ａ．当 y ? 3 时， x 的取值范围是 5.如图 5，直线 l1 : y ? x ? 1 与直线 l 2 y ? mx ? n 相交于点 P (a,2) ，则关于 x 的不等式 x ? 1 ≥ mx ? n 的解集为。
．
y B A O x x
图5
（图 6）
6.如图 6，直线 y＝kx＋b 经过 A(－1，1)和 B(－ 7，0)两点，则不等式 0＜kx＋b＜－x 的解集为 _ ．
考点 8：一次函数解析式的确定【例题】 1．已知 y+m 与 x+n 成正比例（m，n 为常数）。（1）试说明 y 是 x 的一次函数（2）当 x=-3 时，y=5,当 x=2 时，y=2，求 y 与 x 之间的函数关系式。
2.已知 Y 与 X 成正比例,Z 与 X 成正比例,当 Z=3 时,Y=-1;当 X=2/3 时,Z=4,则 Y 与 X 的函数关系式为?
3.如图，直线 l 过 A、B 两点，A（ 0 ， ?1），B（ 1 ， 0 ），则直线 l 的解析式为
．

4. 已知一次函数 y=kx+b 的图像经过两点 A(1,1)，B(2,-1)，求这个函数的解析式．
考点 9：与一次函数有关的几何探究问题(动点) 【例题】
4 1.如图 6，在平面直角坐标系中，直线 l : y ? ? x ? 4 分别交 x 轴、 y 轴于点 A、B，将 3 △ AOB 绕点 O 顺时针旋转 90 ° 后得到 △ A?OB? . （1）求直线 A?B? 的解析式；（2）若直线 A?B? 与直线 l 相交于点 C ，求 △ A?BC 的面积. y
O
A?
A
C
图6
B? x
l
2 . 在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与 x,y 轴分别交于点 A,B,则△OAB 为此函数的坐标三角形. 3 （1）求函数 y＝ ? x＋3 的坐标三角形的三条边长； 4 3 （2）若函数 y＝ ? x＋b（b 为常数）的坐标三角形周长为 16, 求此三角形面积. 4
y B O A x
3.如图，直线 PA 是一次函数 y ? x ? 1 的图象，直线 PB 是一次函的图象．（1）求 A、B、P 三点的坐标；（6 分）（ 2）求四边形 PQOB 的面积；（6 分）
数 y ? ?2 x ? 2

4.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 的一边 BC 上，一点 P 从 B 点运动到 C 点，设 BP=x，四边形 APCD 的面积为 y. C D ⑴ 写出 y 与 x 之间的函数关系式及 x 的取值范围； ⑵ 说明是否存在点 P，使四边形 APCD 的面积为 1.5？
P A B
考点 10：一次函数图象信息题（从图像中读取信息。利用信息解题）思路点拨:：一次函数在实际中的应用是先根据条件求出一次函数的解析式，然后根据一次函数的性质解决相关问题. 规律总结：先求一次函数解析式，再利用一次函数的性质，对于图象不是一条线而是由多条线段组成的，要根据函数的自变量的取值范围分别求. 【例题】 1.一天，亮亮感冒发烧了，早晨他烧得厉害，吃过药后感冒好多了，?中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．图中能基本反映出亮亮这一天(0～24 时)体温的变化情况的是( )
2.汽车的速度随时间变化的情况如图所示： ⑴这辆汽车的最高时速是多少？ ⑵汽车在行驶了多长时间后停了下来，停了多长时间？ ⑶汽车在第一次匀速行驶时共用了几小时？速度是多少？在这段时间内，它走了多远？
3.已知有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去，?下图反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关系，请根据图象回答下列问题：

⑴甲地与乙地相距多少千米？两个人分别用了几小时才到达乙地？谁先到达了乙地？早到多长时间？ ⑵分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态． ⑶求摩托车行驶的平均速度．

一次函数复习与提高

一次函数复习讲义温故而知新：题型一、点的坐标方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________; 若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________; 若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。题型二、关于点的距离的问题方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示；任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ；若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -；若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -；点(,)A A A x y 1、点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；

2、点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是 ____________； 3、点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是 ____________； 4、已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ??? ?- ? ???? ?,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 5、两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 6、已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为 ___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数； 2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数； 4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________；题型四、函数图像及其性质方法：

上,二次函数应用的类型

教师一对一个性化教案学生姓名年级9年级科目数学日期时间段课时教学目标教学内容二次函数应用专题训练个性化学习问题解决掌握二次函数常见题型应用的最值问题教学重点、难点及考点分析重难点:函数解析式的确定以及根据实际情况处理最值问题教学过程Part1桥·隧道【基础题型】 1.如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x轴，且AB＝4，OC＝1，则点A的坐标为，点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的解析式为。 2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是： 2 5.1 60t t s- =.飞机着陆后滑行多少秒(m)后才能停下来. 例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。例题2如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时：（1）求水面的宽度CD为多少米？（2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。 ①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ y x O A B

教学过程例题3.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为2 11040 y x =-+，并且BD=12CD. （1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长；（2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长；（3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式. 例题4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示） , 拱高6m, 跨度20m, 相邻两支柱间的距离均为5m ． (1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度； (3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？图1 图2 例5.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x 的取值

一次函数讲义优质讲义

一次函数讲义优质讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

④．该记者在出发后5h 到达采访地 A 、①②④ B 、②③④ C 、①②③ D 、①②③④ 8. 平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形且面积为16，满足条件的P 点有( ) A ．4个 B ．8个 C ．10个 D ．12个二．填空题（每小题2分，共20分） 9. 计算：3 －64 ＝ ▲ ． 10. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为 . 11. 若032=++-y x ，则() 2013 y x +的值为． 12. 在平面直角坐标系中，若点M （-1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是． 13. 如图，已知函数y ＝2x ＋1和y ＝－x －2的图像交于点P ，根据图像，可得方程组???2x －y ＋1＝0 x ＋y ＋2＝0 的解为 . 14. 将一次函数y ＝2x -1的图像向上平移3个单位长度后，其对应的函数关系式为． 15. 如图，在△ABC 中，AB ＝，BC ＝，∠B ＝60°，将△ ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 . 16. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处.若 ∠A ＝26°，则∠ADE ＝ °. 17. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形 -1-1 y= -x-2 y=2x+1 x y P （第13题图） D E C A B （第16题图） x y 1 234–1–2 –3–4 1 2 3 4–1–2–3–4C D B A o （第18题图）（第15题图） D E A C B

专题一次函数的一对一辅导

x 一次函数一、知识点： 1、常量和变量：在一些问题中，其中有些量的值时按照某种规律变化的，在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量。 2、函数：⑴函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。如果当 x = a 时， y = b ，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。 ⑵函数的表示方法：⑶函数自变量的取值范围：常见的使函数解析式有意义的式子有： ① 函数的解析式是整式时，自变量可以取__________； ② 函数的解析式是分式时，自变量的取值要使___________； ③ 函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使_______________________； 3.函数的图象：1.列表法 2.解析式法 3.图象法。描点法画函数图象的一般步骤：第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）二、举例：例 1：求下例函数中自变量 x 的取值范围：（1）y=2x+3；（2）y=-3x 2 （3） y = 1 （4） y = x + 1 x - 2 例 2：某煤厂有煤 80 吨，每天要烧 5 吨，求工厂余烧量 y 与燃烧天数 x 之间的函数关系式，并指出 y 是不是 x 的函数和自变量的取值范围。一次函数一、知识点： 1、一次函数与正比例函数的定义：正比例函数定义：一般的，形如 y = kx （k 是常数， k ≠ 0 ）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。一次函数定义：一般的，形如 y = kx + b （k,b 是常数， k ≠ 0 ）的函数，叫做一次函数，而当 b=0 时， y = kx + b 即 y = kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。例：下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

一次函数讲义-适用于新课复习非常全面2017.9

一次函数讲义-适用于新课复习非常全面内容提示： 1.变量及函数课堂学习检测课后综合训练 2.函数的图像课堂学习检测课后综合训练 3.正比咧函数课堂学习检测课后综合训练 4.一次函数课堂学习检测课后综合训练 5.一次函数与一次方程（组）及一元一次不等式课堂学习检测课后综合训练 6.一次函数综合过关变量及函数知识点： 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为是x的函数。 ※判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、自变量取值范围：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围。 4、函数值：对于自变量x与函数y，在自变量x取值范围内，当x=a时，y=b，则称b为当x=a时的函数值。 5、确定函数自变量取值范围的方法：（1）必须使关系式成立。 ①当关系式为整式时，自变量取值范围为全体实数； ②当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零； ③关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方的式子不小于零； ④当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；（2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围还要符合实际情况，使之有意义。（3）当函数关系表示一个图形的变化关系时，自变量的取值范围必须使图形存在。课堂学习检测一、填空题 1．设在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于变量x取值范围内的______，另一个变量y都有______ 的值与它对应，那么就说______是自变量，______是的函数．

二次函数辅导讲义

名思教育辅导讲义

当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0） 2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。当x =-a 2b 时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数 y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。当- a 2b =0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。 3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。|a |越大，则抛物线的开口越小。对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。 4．二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab ＞0）；当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab ＜0）。 5．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c ）。 6．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点个数与方程ax 2+bx +c=0的根的判定方法： Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； Δ= b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx +c =0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）二、考点分析考点一、图象 1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a 、b 、c 相关的代数式是否成立例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、根据二次函数图象提供的信息，比较与a 、b 、c 相关的代数式的大小例2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，且P=| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q=| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小关系为。 3、根据二次函数图象提供的信息，确定对应一元二次方程的解

一次函数综合应用(讲义及答案)

一次函数综合应用（讲义） ?课前预习 1.如图，直线l1的表达式为y=-3x+3，且l1与x轴相交于点D，直线l2经过A，B两点，直线l1，l2相交于点C．（1）点D的坐标为_____________；（2）直线l2的表达式为_____________；（3）点C的坐标为_____________． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A(2，0)，点B(0，4)．（1）△AOB的面积为_____________；（2）点P是y轴上一点，若 1 2 AOP AOB S S △△ ，则点P的坐标为_____________． ?知识点睛一次函数综合题，往往涉及到多个函数及坐标间的相互转化，梳理信息，理解题

意是其关键：理解题意： ①确定坐标与表达式间的对应关系； ②函数图象不确定时，考虑分类讨论．具体操作：从完整表达式或坐标入手，利用代入或联立的方式进行相互转化． ? 精讲精练 1. 已知直线l 1与l 2相交于点P ，直线l 1的表达式y =2x +3，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A (0，-1)．则直线l 2的表达式为_________________． 2. 已知函数1 3 y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交与点A ，B ，与函数y =x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为3，则点A 的坐标为___________． 3. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(-2，5)，且与y 轴相交于点P ，直线 1 32 y x =-+与y 轴相交于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，则这个一次函数的表达式为___________． 4. 如图，已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2：y =-x +5，直线l 1，l 2与x 轴分别交于点B ， C ，l 1，l 2相交于点A ．则S △ABC =________． 5. 如图，直线y =2x +m （m >0）与x y =-x +n （n >0）与x 轴、y 轴分别交于点B ，C 两点，并与直线y =2x +m （m >0）相交于点D ，若AB =4．（1）求点D 的坐标；（2）求出四边形AOCD 的面积．

一次函数性质及应用培优教案(全面,有难度)

教学课题复习一次函数相关性质教学目标 1.复习一次函数相关性质和练习 2.旋转问题（2）教学重难点 1.一次函数与几何问题的综合题 2.掌握相关旋转问题的解题技巧教学内容课堂收获一、一次函数相关性质和练习（一）求函数解析式的方法通常有两种：一，运用待定系数法设出函数解析式，再根据条件列出方程组求系数；二，不知道函数形式时，运用题中条件得到关于x 与y 的方程，整理后即可得到函数解析式。例1.（太原竞赛）如图，△AOB 为正三角形，点B 坐标为（2，0），过点C （-2，0）作直线l 交AO 于点D ，交AB 于点E ，且使△ADE 与△DOC 的面积相等，求直线l 的函数解析式。 (二)一次函数性质与k 、b 。直线)0(≠+=k b kx y 中，k 、b 决定着直线的位置和y 随x 的变化情况。例 2.（广东竞赛）已知0≠abc ，且 p b c a a c b c b a =+=+=+，那么一次函数p px y +=的图像一定经过（） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限练习：已知一次函数1)2(-+-=k x k y 的图像经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是（三）当一次函数图像与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能挖掘隐含条件是解决相关综合题的基础。例3.（河北竞赛）设直线2)1(= ++y n nx （n 为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n （n=1，2，....2000），则S 1+S 2+.....+S 2000的值为（）

A. 1 B. 20001999 C. 20012000 D. 2002 2001 练习：练习：1.如图，直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在线段AB 上（不与A 、B 重合）。（1）若S △OAC :S △OBC =2:3，求点C 的坐标；（2）若BD ∥OA 交直线OC 于D ，AE ⊥OC 于E ，交OB 于F ，P 为AB 中点，当点C 在线段BP 上滑动时，求证：BD+BF 的值不变。注：解函数图像与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形的面积来表示，这样面积与坐标就有了联系。例5.（天津竞赛）如图，直线13 3 +- =x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以线段AB 为直

二次函数最大利润辅导(带答案)

二次函数最大利润应用题姓名_______ 2018.10.7 1．多个变量，只能确定一个自变量，其余都是因变量（函数），即x（自变量）→y（函数）→z（函数）→w（函数）； 2．求最大利润，先建立二次函数关系式，再由对称轴求最值（注意：对称轴是否在取值范围内）。 1．某大众汽车经销商在销售某款汽车时，以高出进价20%标价．已知按标价的九折销售这款汽车9辆与将标价直降0.2万元销售4辆获利相同．（1）求该款汽车的进价和标价分别是多少万元？（2）若该款汽车的进价不变，按（1）中所求的标价出售，该店平均每月可售出这款汽车20辆；若每辆汽车每降价0.1万元，则每月可多售出2辆．求该款汽车降价多少万元出售每月获利最大？最大利润是多少？解：（1）设进价为x万元，则标价是1.2x万元，由题意得： 1.2x×0.9×9﹣9x=（1.2x﹣0.2）×4﹣4x，解得：x=10，所以售价为 1.2x=1.2×10=12（万元），答：进价为10万元，标价为12万元；（2）设该款汽车降价a万元，利润为w万元，由题意得： w=（20+×2）（12﹣10﹣a）， =﹣20（a﹣）2+45，∵﹣20＜0， ∴当a=时，w最大=45，答：该款汽车降价0.5万元出售每月获利最大，最大利润是45万元． 2．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100） =﹣2x2+136x﹣1800， ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）；（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=25，x2=43 所以，销售单价定为25元或43元，将z=﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2（x﹣34）2+512（x＞18），答；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象可知，当25≤x≤43时z≥350，又售价不能高于32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小， ∴当x=32时，每月的销量最少，故制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），答：每月最低制造成本为648万元． 3．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；

二次函数和一元二次方程-辅导讲义

讲义内容知识概括知识点一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x 1，0)(x 2 ，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数2 y ax bx c =++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0) ax bx c a ++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0 a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： ?>抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根 ?=抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 ?<抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.

北师大版初二上-一次函数讲义

第四章：一次函数 ◆4.1函数 1．函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．辨误区自变量与另一个变量的对应关系若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4. 【例1－1】下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )． A ．①②③ B ．①② C．②③ D ．①② 【例1－2】已知y ＝2x 2＋4， (1)求x 取12和－12 时的函数值；(2)求y 取10时x 的值． . 谈重点函数中变量的对应关系当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系． 2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式．谈重点函数关系式中的学问 ①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式．【例2】已知等腰三角形的周长为36，腰长为x ，底边上的高为6，若把面积y 看做腰长x

初三试讲二次函数

二次函数知识点归纳： 1、二次函数的定义一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的自变量的取值范围（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围为全体实数．（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0． 3、回顾学过的函数一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0). 反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．

二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质知识归纳: 1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同． 2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2 ＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线． 3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下： ①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时， y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点． ②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时， y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点．二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质知识归纳: 1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k 的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．

一元二次函数辅导讲义

一元二次函数解法讲义【知识梳理】 1．定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y 2。二次函数c bx ax y ++=2 ()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 44,22 -=-= 3。抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向：（1）当时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大,当 a b x 2-= ,y 值最小，最小值为 a b ac 442- （2）当时，开口向下;顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随ｘ的增大而减小，当 a b x 2-= ,y 值最大,最大值为 a b ac 442- （3）a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。 ②平行于y 轴（或重合）的直线记作．特别地,ｙ轴记作直线 . 4.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1)公式法：a b a c a b x a c bx ax y 44)2(2 22 -++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=．（２）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2 )(的形式，得到顶点为),(k h , 对称轴是直线 . (３）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失． 6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2 ++= （１）决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的完全一样.

一次函数讲义.doc

百度文库- 让每个人平等地提升自我 2016 年春季某某校区精品小班培优精讲学科年级学生姓名授课教师上课时间课次数学初二唐老师第讲一次函数【教学目标】掌握函数的基本性质掌握一次函数的概念、性质、图像、平移等相关概念及常考题型【教学重点】根据一次函数的图像确定k，b 的范围求函数的解析式【教学内容】（一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y是 x 的函数。 *判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候， Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

一对一家教教案(二次函数)

1对1辅导教案学生学校年级九年级教师授课日期12月1日授课时段9:00~11:0 课题二次函数重点难点重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念； ⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式； ⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 难点：⑴二次函数图象的平移； ⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 教学步骤及教学内容一. 教学内容：二次函数小结与复习二. 重点、难点： 1. 重点： ⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念； ⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式； ⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 2. 难点： ⑴二次函数图象的平移； ⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 三. 知识梳理： 1. 二次函数的概念及图象特征二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．通过配方可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线． 2. 二次函数的性质

值函数的图象及性质＞0 ⑴开口向上，并且向上无限伸展； ⑵当x＝时，函数有最小值；当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大．＜0 ⑴开口向下，并且向下无限伸展； ⑵当x＝时，函数有最大值；当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小． 3. 二次函数图象的平移规律抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论． 4. 、、及的符号与图象的关系 ⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下． ⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置： a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧； a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧. ⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置： c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上； c＝0，抛物线经过原点； c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．

一次函数完美讲义

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一次函数（一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式vt s=中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______. 在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1 x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（） A．y=．． D．函数y=x的取值范围是___________. 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

高中数学一对一讲义——函数

高中数学函数知识点总结 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； ● 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数 x y tan = ?? ? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数 x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为 [])(x g f y =的定义域。例若函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为。 11、函数值域的求法 1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数y= x 1的值域

用三种方式表示二次函数

课时课题：第二章第5节用三种方式表示二次函数课型：新授课授课时间：2012年12月21日星期五第1节课教学目标： 1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题． 2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究． 3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和特点，培养学生的观察、类比能力． 4．通过用二次函数解决实际问题，让学生体验数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识．教学重点与难点：重点：能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．难点：能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．教法与学法指导：教法：以“学生发展为本”，整个教学过程主要采用启发探究式教学方法，体现“分析”——“研究”——“总结”的学习环节，并以多媒体为教辅手段．引导学生主动参与学习，指导学生学会学习方法，培养学生积极探索的精神．学法：通过创设问题情境，营造学习氛围，组织学生讨论，让学生尝试探索中不断发现问题，以激发学生的求知欲，并在寻求解决问题的方法尝试的过程中获得自信心和成功感，在完成知识目标的同时，也完成情感目标的教育．教学准备：教师准备:多媒体课件，学生准备:课前预习，刻度尺、三角板．教学过程: 一、创设情境，引入新课（多媒体展示“龟兔赛跑”故事图片及问题）

师：“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是() 生：选B（齐声）师：回答的很好，通过这个故事我们可以看出小兔子骄傲自大，以为自己跑得快，不去努力，结果导致自己的失败．小乌龟自强不息，踏踏实实，最终取得了成功．平时的学习中，有的同学稍微取得一点成绩，就沾沾自喜，觉得自己比别人强，学习也不如以前认真，后来考试成绩不理想，才知道自己不应该太骄傲．因此同学们永远不要骄傲，要想取得最终成功，必须要通过自己的不懈努力．师：B答案主要用函数图像法来刻画龟兔赛跑的过程情况，除了用图像法来表述函数关系外，还有什么方法可用？生1：解析式法和列表法．师：解析式法、列表法和图像法是我们学常用的表述函数关系的方法．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好?（教师板书课题：2.5用三种方式表示二次函数）设计意图：师生共同回顾经典故事，引发学生的学习热情，培养了他们的学习兴趣，主动参与思考，为知识迁移做准备．并不失时机的进行德育渗透．二、探究学习，获取新知试一试：（多媒体出示）长方形的周长为20 cm，设它的一边长为x cm，面积为y cm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗? （1）用函数表达式表示：y= ．（2）用表格表示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-x y

一元二次函数解法辅导讲义

课题一元二次方程的解法重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法教学内容一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0）例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8

练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法：用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （使方程右边为零）方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式）即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=