浅谈条件概率在生活中的应用

浅谈条件概率在生活中的应用

摘要：条件概率在概率论中占着举足轻重的地位,其在生活中更是存在广泛的应用.之前有许多学者在应用方面对它进行了研究,取得很多重要成果.本文在其基础上,通过查阅各类资料,总结分析收集到的各方面信息,在深刻理解条件概率的定义、相关性质、概率计算以及三个重要公式的基础上,主要讨论了条件概率在生活中的广泛应用.其应用除进行举例分析外,还作了进一步的说明和拓展.

关键词:条件概率概率应用

Discuss Conditional Probability of application in life

Abstract：Conditional probability in the probability of a pivotal position occupied, in life there is more widely used. before the application of many scholars studied it, made many important achievements. In this paper, its basis, through access to various types of Data, analyzed all aspects of the information collected, in a deep understanding of the definition of conditional probability, related to the nature, probability calculations and formulas on the basis of three important, mainly to discuss the conditions for the probability of a wide range of applications in life. In addition to the examples of its application Analysis, but also made a further explanation and expansion.

Keywords: Conditional probability Probability Application

1．条件概率的相关概念

1.1概率定义

概率（英文名：probability）,全国科学技术名词审定委员会审定公布的结果将其定义为：表征随机事件发生可能性大小的量,是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性.通俗的讲：概率是随机事件发生的可能性大小,它是随机事件出现可能性的量度.

1.2条件概率定义

我们知道对概率的讨论总是在某些固定的条件下进行的,以前的讨论经常是假定除此之外无别的信息可用.但是,有时我们却会碰到这样的情况,即已知在某事件B 发生的条件下,求另一事件A的概率.下面我们看一个例子：

例1.1 考虑抛硬币事件,假定硬币出现正反面概率相同,则分别做上记号1、2的两枚硬币同时抛出后向上面分别为：（正,反）,（正,正）,（反,正）,（反,反）的可能性是一样的. 若以A记随机选取一次抛物中出现一正一反这一事件,则显然P（A）＝1/2,但是,若预先知道这次事件中至少有一个反面,那么这个事件的概率就应该是2/3.显然两种情况下算出的概率不同的,因为在第二种情况下,我们多知道了一个条件：事件B（至少有一反面）发生,因此我们算得的概率事实上是"在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率",这个概率我们记为P（A∣B）.

条件概率是概率论中一个重要而实用的概念,所考虑的是在事件A已发生的条件下事件B发生的概率.对于条件概率,一是知道实际生活中哪些是条件概率,条件是什么；二是如何计算条件概率.

设A与B是样本空间 中的两事件,若P（B）> 0,则称P（A∣B）＝P（AB）/P （B）为“在B的发生下A的条件概率”,简称条件概率.

类似地,当P（A）> 0时,在事件A发生下事件B发生的条件概率为: P（B∣A）＝P（AB）/P（A）

1.3条件概率计算方法

结合实例谈谈条件概率的计算方法：

方法一，由公式P（A∣B）＝P（AB）/P（B）计算：

例1.1中,AB——“出现一正一反这一事件”, P（AB）=1

2

，则

P（A∣B）＝P（AB）/P（B）=1

2

/

3

4

=

2

3

方法二，“改变样本空间法”：

硬币抛出后,我们得到的样本空间是C={（正,反）,（正,正）,（反,正）,（反,反）},当得知第二个条件“事件B发生”时,则转而在“新样本空间”D={（正,反）,

（反,正）,（反,反）}的基础上计算了,于是很容易得到P（A∣B）＝2

3

.

前面给出的概率公理化定义是比较严密的数学定义，我们可以通过定义对概率进行讨论，但是它并没有给出具体的计算方法，下面就让我们从几个公式入手重点谈谈条件概率的计算问题：

2．条件概率三公式及其简单应用

2.1乘法公式

我们把条件概率公式改写为：

P （AB ）＝P （B ）P （A ∣B ） （1）

将其进一步延伸我们得到另一个式子：

1121312121()()(|)(|)(|)n n n P A A P A P A A P A A A P A A A A -= （2） 这就是乘法公式,可见乘法公式是利用条件概率P （A ∣B ）来计算P （AB ）的.乘法公式是普遍成立的,只要作为“条件的事件“的概率不等于零即可.

例2.1 （配对问题）在一次生日聚会上,n 嘉宾的n 把伞（各不相同）被放在了同一个橱柜,离开的时候每人从橱柜中任意取出一把伞,求没有一个人拿到自己伞的概率0p .

解：令i B =“第i 个人拿到了自己的伞”, i =1,2,…,n ,则1n

i i B = 表示“n 个人中

至少有一个人拿到了自己的伞”,所以0p =1-1n i i P B =??

???

.

每个人可以从n 把伞中随意拿一把,所以第i 个人拿到自己伞的概率()i P B =1n

,故()11i i

c P B ==∑

若i B 出现,第

j 个人共有1n -把伞可以选择,故

()1|1j i P B B n =

-,()()()11|1

i j i j i P B B P B P B B n n ==?-, 从而 ()2

2,1

(1)2!n i j i j

C c P B B n n ===-∑

同理,!

1

r c r =

,(r =1,2,…,n ) 所以,0p =1-1n i i P B =?? ???

＝1-()1

11!k n

k k +=-∑

.

从式子中我们可以看出,0p 与n 有关,进一步计算知10lim 0.36n p e -→∞

=≈

2.2全概率公式

设1B ,2B ,…,n B 为样本空间Ω的一个分割（见图）,即1B ,2B ,…,n B 互不相容,且Ω== n

i i B 1,如果P （i B ）>0,i =1,2,…n,则对任一事件A 有

P （A ）=∑=n

i i i B A P B P 1

)|()( （3）

全概率公式由两类概率组成,一类是完备事件组的概率,另一类是条件概率.在较复杂的问题中,只有一类概率是已知的,而另一类概率需用其他方法计算得到.

例2.2 （摸奖模型）n 个灯泡中有一个是坏的（假设分辨不出好坏）,现在有n 个人去任意挑选,求第二个人挑到坏灯泡的概率是多少?

解：设“第i 个人挑到坏灯泡”为事件i B ,i =1,2,…,n .第二个人挑到坏灯泡的概率即()2P B ,根据题意,可知()21|0P B B =,()211

|1

P B B n =

-.又因为()11P B n =

,()11

n P B n

-= 所以,由全概率公式可得()2P B ＝()1P B ()21|P B B ＋()()121|P B P B B ＝1

0n

?＋

1n n -?

11n -＝1

n

类似方法我们可以知道,不分先后,每个人挑到坏灯泡的概率都是相同的. 2.3贝叶斯公式

在乘法公式和全概率公式的基础上可推得一个很著名的贝叶斯公式：

.,,2,1)

|()()

|()()|(n i B A P B P B A P B P A B P n

i

j j

j

i i i ==

∑=， （4）

其中1B ,2B ,…,n B 为样本空间Ω的一个分割,且Ω== n

i i B 1

, P （i B ）>0，P （A ）>0 ，

Ω

样本空间的一个分割（n=5）

.,,2,1n i =

例题2.3 （确诊率问题）某地区白化病被准确诊断出的概率是0.98,无这种病却被误诊的概率是0.3%,现假设该地区患此病的概率0.06%,若随机选出一个人诊断患有白化病,求这个人确实患有此病的概率是多少?

解：令事件A 为“此人被诊断出患有白化病”,事件B 为“此人确实患有白化病”,则所求的概率为()|P B A ,我们又知道()P B =0.0006,()|P A B =0.98,()|P A B =0.003.所以,由贝叶斯公式得：

()(|)

(|)()(|)+()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =

=0.00060.980.00060.980.99940.003

??+?=0.161

答：这个人确实患有此病的概率是0.161.

从形式上看,贝叶斯公式是条件概率、乘法公式、全概率公式的结合,事实上,贝叶斯公式总是和全概率公式连在一起的.条件概率的这三个公式中，乘法公式是求事件交的概率，全概率公式是求复杂事件的概率，而贝叶斯公式是求一个条件概率.在讨论了有关条件概率的定义、性质以及三个重要公式之后,我们进一步研究条件概率的应用.

3． 条件概率公式的综合应用

一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”.随着生产的发展和科学技术水平的提高,概率已渗透到我们生活的各个领域.众所周知的保险、招工考试录取分数线的预测甚至经济学中的很多领域无不充分利用概率知识，下面我们就一起来看看条件概率在我们身边的应用.

例3．1 两个车床加工同一种鞋,已知甲车床出现不合格品的概率是0.02,乙车床出现不合格品的概率是0.04,加工出来的鞋子放在一起,并且已知甲车床加工的鞋子数量是乙车床的二倍.求： （1）任取一双鞋子合格的概率；

（2）若取出的鞋子不合格,试求它是由乙车床加工的概率；

解：设事件A 为“取到甲车床加工的鞋”,事件B 为“取到的是合格品”.则()P A =2

3

.所以

（1）由全概率公式得

()P B ＝()P A ()|P B A ＋()()|P A P B A =230.98?+1

0.963

?=0.97 （2）由贝叶斯公式得

()()()()||P A P B A P A B P B ==1

0.04

30.03?=0.44

答：（1）任取一双鞋子合格的概率为0.97; （2）不合格鞋子由乙车床加工的概率为0.44.

例3.2 某大型超市整盒出售中性笔替芯，每盒20只，已知盒中有0、1、2个次品（假设不下水即是次品）的概率别是0.7、0.2、0.1，今有一顾客随机取了一盒，并当场开盒随机的取2个检查，若没有发现次品就买下，求买下的一盒无次品的概率.

解 设事件0B 、1B 、2B 分别表示盒中有0、1、2个次品；事件A 表示顾客买下，则由题意可知：()7.00=B P ，()2.01=B P ，()1.02=B P ，

()1|2

20

2

200==C

C B A P ，()109|220

2

191==C

C

B A P ，()190

153|220

2

182==C C B A P ， 全概率公式：

()()()()()()()221100|||B A P B P B A P B P B A P B P A P ?+?+?= =7.0?1+2.0?

109+1.0?190

153

=0.961, 又由贝叶斯公式得，

()()()()()()()()()()()

2211000000|||||B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A P A B P A B P ?+?+??== =

728.0961

.01

7.0=? 答：买下的一盒无次品的概率为0.728

结束语

以上就是我对概率及条件概率的理解，以及它们在实际生活中的应用，事实上只要我们认真观察生活，就会发现其实我们的生活中到处充满着概率知识，对概率的实际应用会使我们的生活更加美好.

参考文献

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