R,L,C串并联谐振电路特性分析及应用

R、L、C串/并联谐振电路的特性分析及应用

摘要：本文对RLC串联、RLC并联及RL-C并联三种谐振电路的阻抗Z、谐振频率 、及品质因数Q三种特性进行了分析。其中品质因数Q是电路在谐振状态下最为重要的电路特性，我们从Q的几种定义出发，着重研究了它对三种最基本的谐振电路的几个重要影响。同时简单介绍了串/并联谐振电路在生活中的具体应用。

关键词：谐振电路；谐振特性；品质因数

目录

0 引言： (1)

1 RLC串联与RLC并联及RL-C并联电路阻抗及谐振频率 (2)

1.1 RLC串联电路的阻抗及谐振频率 (2)

1.2 RLC并联电路的阻抗及谐振频率 (2)

1.3 RL-C并联电路的阻抗及谐振频率 (3)

2 R、L、C串/并联电路的品质因数Q (3)

2.1 电路的品质因数Q (3)

2.2 谐振电路的品质因数Q的几点重要性 (4)

2.2.1 Q对回路中能量交换及能量储存的影响 (4)

2.2.2 Q值与谐振电路的选择性 (4)

2.2.2.1 Q值与串联谐振电路的选择性 (4)

2.2.2.2 Q值与RL-C并联谐振电路的选择性 (6)

2.2.2.3 RLC并联谐振回路与RL-C并联谐振回路的品质因数的统一性

(8)

3 谐振电路在生活中的应用 (11)

0 引言：

构成各种复杂电路的基础通常是RLC 串/并联谐振电路，本文就简单介绍了其三种连接方式如图，而了解这些基本电路的频率特性对于理解更复杂的电路甚至实用电路是非常有益的,并且对于深入了解其它重要的相关特性是十分有帮助的。本文简单阐述了下面三种电路图的Z 、ω及Q 以及一些具体实际的应用。下面是R 、L 、C 串/并联谐振电路的简图，如图1，图2，图3所示。 •

R U

•

L U

＋

•

U

•

C U

图1,串联谐振电路RLC

•

U

— 图2，并联谐振电路RLC

图3,并联谐振电路

C RL -

1 RLC 串联与RLC 并联及RL-C 并联电路阻抗及谐振频率 1.1 RLC 串联电路的阻抗及谐振频率

由图1知RLC 串联电路的复阻抗Z 和阻抗z 分别为

()

()

2

21

1

1

C

L R z L L j R C j

L j R Z ωωωωωω-+=-+=-+=

电路中的I 和z 以及U 之间的关系为：

(

)

2

21

C

L R U z

U I ωω-+==

(1)

由于谐振时0

1

=-C L ωω，故谐振时的电流 R U I I =00为。这是在U 一定时可能达

到的最大电流。当电压角频率满足01

00=-C L ωω 即 LC

10=ω 时RLC 串联电

路的电流有效值（振幅）取最大值，这相当于机械系统的共振，在电路中称为谐振。

0ω是谐振角频率，它可以理解为RLC 串联电路的固有角频率，就是说当电压角频率

近似等于电路的固有角频率时串联谐振才会发生，这与机械共振条件类似。

讨论：令Z 的虚部 M

L L =-ωω1

，若 0=M 时，电路具有纯电阻性，Z 有最

小值R ；若0≠M 时，当 0>M 时，电路就表现出电感性；当 0

1.2 RLC 并联电路的阻抗及谐振频率

同理，由L j Z C j Z R Z L C R ωω=-==,1, 且图2的RLC 并联电路图知RLC 并联电

路的复阻抗Z 为

,

1111L

C R Z Z Z Z ++=()()()22

2

22

22222222111C L R C L C C L LR j C L R C L C R L Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z C R L R C L L C R ωωωωωω-+---+=++=推知 令Z 的虚部为M ，当M=0时解得LC 10==ωω 此时电路处于并联谐振状态，

这里的0ω为谐振角频率。

1.3 RL-C 并联电路的阻抗及谐振频率

同理，由C j Z L j R Z C L ωω1,-=+= 且图3的RL-C 并联电路图知RL-C 并联电路

复阻抗为：

()()()()()()

()

()

2

222

2111111C L R C L C L C R j C L R C L C R C RL C j L j R C j L j R Z Z Z Z Z C

L C

L ωωωωωωωωωωωωωω-+-+--+--=-++-+=

+= (2)

令Z 的虚部为M ，当M=0时解得

L CR LC

L R LC 222//011

1-=-=ω

当LC

C

L R 1

,0=

<<ω 这时并联谐振角频率等于串联谐振角频率，即此时两电路的频率特性基本相同。从上面推导过程我们可以得到，如果电路处于“谐振状态”，那么电路的等效阻抗Z 就相当于等效电阻R ，用式子表示为Z=R 。并且并联电路的电流有效值及谐振频率与串联电路的表达形式相同，都为R U

I LC =

=与10ω。所以，在电路元件R 、L 、C 特

性参数都相同时串并联谐振电路部分特性类似。但是，在并联电路中所有元件所承受的电压比串联谐振时所承受的电压大的多，所以R 较小时，通常了利用串联谐振电路获得较强的电信号。

2 R 、L 、C 串/并联电路的品质因数Q 2.1 电路的品质因数Q

根据“品质因数”Q 的定义，可以把图1，图2，图3中的电路的Q 写为： C

L

R CR R

L

Q RLC 1100=

=

=

ωω串串联谐振电路中， (3) C

L

R

CR L R Q RLC ===001ωω并并联谐振电路中， (4) C

L

R CR R

L

Q C RL 11002=

=

=

-ωω并并联谐振电路， (5) 可见Q 是一个只由R 、L 、C 决定的参数。

2.2 谐振电路的品质因数Q 的几点重要性 2.2.1 Q 对回路中能量交换及能量储存的影响

我们知道，电能可以被储存在电容器中而磁能可以被储存在电感中，它们并不消耗电磁能，在谐振状态下串联或者是并联电路的LC 元件的储能情况如下：

22max max CU LI C L C L LC ====+=ωωωωω ()()()543现将中Q 值作一定的等量变换如下:

RT

I L

I Q Q R

T U CU R U CU f

R

U CU U U CR Q RT I L

I R I L I f

R

I L

I R I L I R L

Q 22

22

2

2222

02201222222020202221122π

ππωωππωωω===========串并并串

而电阻在一周期内所耗损的电能为R T

U RT I Q 22

=

=

则我们从能量角度来重新定义Q ：Q 值表示谐振电路中电容和电感储存的电磁能和每个周期电阻耗损的能量之比的π2倍。用式子可以把Q 表示为R

S

W W Q π

2=。 其中，S W 表示电容和电感储存的电磁能， R W 表示电阻每一个周期内耗损的能量。这表明电路的Q 值越高，相对于储存一定电磁能量所要付出的能量耗损越小，表征谐振电路的储存能量的效率就越高。 2.2.2 Q 值与谐振电路的选择性 2.2.2.1 Q 值与串联谐振电路的选择性

当U 、R 、L 、C 值一定时，可根据式()1绘出曲线表示I 与ω的关系,如图12-叫做串联谐振曲线。

I

0ω 2-1串联谐振曲线

谐振曲线表明当外加电压（有效值）U 及电路参数给定时，电流（有效值）I 并非一定，它取决于电压的角频率ω。这说明RLC 串联电路也具有选择频率的性质。将n 个有效值相同而频率不同的简谐电动势串联加于RLC 串联电路上如图22-,则每一电源都将激起一个与它同频率的电流。这些电流的有效值各不相同。若有一个电动势的角频率等于电路的谐振角频率0ω，它所激起的电流必定最大，因此可以设法把这个电动势所代表的信号取出。这种选择性被广泛应用于电子电路中。而Q 值较大的对应的电路的选择性比较好。

1ω n ω 图22-用串联电路RLC

从多个频率不同的信号源中选择所需的信号

如图32-所示为串联电路的电流I 和频率f 的关系曲线图。从图()a 32-中可看到，时在0f f =，电路发生共振，电流达到最大值，称为谐振峰。谐振曲线愈是尖锐的对应的Q 值愈是大。而谐振曲线的尖锐程度决定着电路选频性的好坏，如果曲线比较尖锐那么电路对频率的选择性就比较好。因为这时只要外加电动势的频率稍稍偏离固有频率，它的信号就大大减弱。通常引入通频带宽度这个名词来对频率选择性的优劣程度进行量化说明。人们规定，在谐振两边的e I 值等于最大值的 %7021

= 处

对应频宽为“通频带宽度”，即12f f f -=∆，如下图 ()b 32-所示,说明谐振曲线的尖锐程度决定于的宽度，要想得到选择性较好的电路可以通，过使f ∆较小而达到。理论上可以证明，Q f f 0=∆，即谐振电路的Q 值与f ∆成反比，要想使谐振电路的选择性较好可以通过调整电路使Q 值较大（能量损耗较小）来达到。

I

I

70

f

2

1

(a)值的关系

谐振峰的尖锐程度与Q（b）谐振曲线的频带宽

图2-3串联电路的谐振曲线

2.2.2.2 Q值与RL-C并联谐振电路的选择性

R

L

R

L

Q>>

=

<<

1ω

ω可知

由,即谐振时的感抗远大于电阻。

,

ω

ω

ω

ω

ω<

>>。若

更大于

时

当R

L只要小的不多（我们主要关心谐振频率附近的情况），则仍有.R

L>>

ω于是式（2）成为

()C

L

j

R

C

L

Z

ω

ω1-

+

≈(6) 因而阻抗

()2

21C

L

R

C

L

Z

z

ω

ω-

+

≈

=(7) 把上式与（1）比较可知，并联时的ω

-

z曲线与串联时的ω

-

I曲线在谐振点附近有相同的形状如图2-4.z在谐振时达到最大值：

C

Q

L

Q

RC

L

z

0ω

ω=

=

=

Z

图2-4RL-C并联谐振电路的阻抗z与角频率ω的关系。

谐振)

(

ω

ω=时阻抗为最大值

如果并联网络的电压（有效值）U 一定，则网络电流（有效值）I 在谐振时取最小值： U L

RC

z U I ==

00 这与串联谐振恰巧相反。

再讨论L 支路电流与C 支路电流的电流•

L I 及C I •

••

•

•

••

=-=-≈+=

U

C j C

j U I L

U

j L j R U I C L ωωωω与

(8)

可见•

L I 与C I •

相位近似差π。谐振时，C L 001ω≈，由式（8）有

000QI I I C L ≈≈，即谐振时L 支路与C 支路电流几乎相等并且是0I 的Q 倍。 现给图3电路接一电源如图2-5. i

Z

图2-5并联RL-C 谐振电路对电源频率的选择性

我们来讨论当电动势频率变化而有效值不变时谐振电路电压U 的变化。设电路的阻抗为z ，而Iz U =。

而

Z

R I i +≈

•

•

ε

（9）

其中•

ε及i R 分别是电源的电动势（复有效值）及内阻，Z 为谐振电路的复阻抗。

先讨论z R i >>的特殊情况。这时由式(9)得i R I ε≈，代入Iz U = 得:

z R U i

ε

≈

(10)

当ε和i R 不变而改变ω时，z 随ω按(7)或图2-4的规律变化，固U 也随ω按相同的规律变化如图2-6曲线1，这就说明，从电压角度看，并联谐振电路对频率具有选择性。如果用n 个频率不同而ε相同的电源串联起来给并联谐振电路供电，则电路

两端的电压将出现n 个频率不同的成分，其中与电路频率相同的成分最大。在电子线路中经常利用这种方法从多频率的信号中选择所需的频率成分。在讨论另一种特殊情况——i R 为零的情况。这时电源的端压（及谐振电路的电压）U 总与 ε 相等，即

常量==εU ，故 ω-U 曲线为一直线，如图2-6曲线2，这时电路毫无选择性。一

般情况下i R 介于上述两种特殊情况之间，其曲线也介于2-6的曲线1、2之间。如曲线3所示。可见为了提高并联谐振电路的选择性应使用高内阻电源。要准确比较图2-6三条曲线的选择性，可改用0U U 为纵轴得图2-7，由图可清楚地看出：曲线1的选择性比3高，而2则毫无选择性。

=i R U U ω

图2-6RL-C 并联谐振电路中电源内

阻R 与电压选择性的关系

如下图2-7所示，以0U U 为纵轴把图2-6改画为本图可更清楚地比较三条曲线的选择性。

I

图2-7

2.2.2.3 RLC 并联谐振回路与RL-C 并联谐振回路的品质因数的统一性

根据品质因数Q 与通频带关系来重新定义Q 为：中心频率对通频带的比值记为Q(品质因数)，即,00l

h B Q ωωωωω-==其中0ω是谐振频率（中心频率），h ω是通频带的上限频率而l ω是通频带的下限频率。下面用此方法求图三（即RL-C 并联谐振电路图）的Q 值：

根据(7)式得

()221C L R C

L I U ωω-+=•• （11）

而前边已经求得谐振频LC 10=

ω 当••=m U U 2

1时所对应的信号源频率是通频带的l h ωω、。由（11）式可求得

2222R C I L R =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ωω （12） 由（12）式解得：

LC

LC C R RC LC LC C R RC h l 24,242222++=++-=ωω ∴L

R l h =-ωω R L

L R Q l h 000

ωωωωω==-=∴ （13）

下面计算图2的Q 值:

由R

L C Z Z Z Z 1111++= 得： ()22111

L C j R I U ωω-+=•• （14）

而前边已求得LC 10=ω，当••=m U U 2

1时对应的信号源频率是通频带的l h ωω、。根据（14）式得

22

21211R L C R =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ωω （15）

由（15）解得：RC

l h l h 1-=ωωωω进而求得、则图2的 RC Q l h 00ωωωω=-=

（16） 则由()L R Q LC

00161ωω==式得品质因数与 （17） RLC 并联与RL-C 并联的谐振回路的谐振曲线（振幅特性）都如图2-8所示。

图2-8

由上图可知电路的Q 值大的曲线带宽较窄幅频特性相比较更加尖锐，也就是说电路对频率的选择性更加好，并且在输入同幅度且频率为0ω的电流源信号时，谐振电路两端的电压幅度最大。但图2的品质因数要想Q 越大希望R 越大而却希望图3的R 越小，而R 代表回路的损耗电阻，这样看似乎两个Q 值关系并不统一，那到底实际上是什么样的呢？下面进一步的简单研究图2图3的电感与电阻的等效关系式：

令图3中的1,L L r R == 以示区分。图2与图3是可以等效的，这里的等效指的是在工作频率上。由图2和图3以及输入阻抗相同，所以有

L j R L j r ωω1111+=+ （18） 将（18）式化简得：

L j R L r L j L r r ωωωω1121

2212122-=+-+ （19） 我们容易得到： R L r r 12122=+ω （20） L L r L ωωω121

22=+ （21）

有（20）、（21）的关系与（13）式并且考虑在谐振频率附近的通常情况下1≥Q , 可以推出由串联的1L r 、转换成并联的L R 、的表达式是： ()r L rQ Q r r L r R 2

20222

121ωω=≈+=+= (22) L Q L L r L L r L L ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+=2220211221111ωω (23) 前面已经知道两电路的谐振频率0ω相同，把（22）（23）代入（17）得： C RL RLC Q r L L r L L R Q -====101021200ωωωω (24)

由（24）式可知，RLC 、RL-C 并联谐振电路的Q 实质上是统一的。是因为r 越小，根据（22）式可以知道等效R 越大，则都越大，与L

R r L 01

0ωω即Q 都越大，RLC 并联谐振电路与RL-C 并联谐振电路的滤波性能都越好。

3 谐振电路在生活中的应用

由于串联共振时m Cm Lm Q U U ε== ，即此时电源电动势m ε是电容或电感两端电压的Q 1倍，这一点广泛应用于无线电技术中，如果把微弱的信号电压输入到一个串联共振电路中，这样，与输入信号电压相比，L 和C 的两端的电压值是其值得许多倍大，然后再将这个电压输入到下一级去。但是在电力系统中由于电源电压本身很高，如果电路在接近串联共振条件下工作，则在L 和C 两端出现更高电压，这将会引起设备损坏，所以我们应采取措施来尽量避免。谐振电路从频率角度在无线电技术中也有广泛的应用，我们根据实际情况，通常可以采取两种方法实现串联共振：第一种方法是使电源电动势（或信号电压）的频率等于电路的固有频率；第二种方法是当信号电压的

频率一定时，可以改变电路参数（如用可调电容器改变电容 ）使 f LC =π21

，从而达到电路共振，例如在收音机的接收回路中，我们调节调谐旋钮，实际上是达到改变电容C 的效果，从而实现了电路的固有频率的改变，使它与某一电台的发射频率相同，从而发生共振，达到选择不同电台信号的目的。而从电压角度来分析，并联谐振电路具有明显的选择特性，如果用n 个频率不同而有效值相同的电源串联起来给并联谐振电路供电，则电路两端的电压将出现n 个不同频率的成分，其中与电路频率相

同的成分最大，在电子电路中经常利用这种方法从多频率信号中选择所需的频率成

ω时，电路上的电压最大；当电分。如果用电流源激励电路，则当电流源的频率为0

ω时，电路上的电压就减小。这利用的就是电路的谐振（共振）现象。源频率偏离0

串联谐振电路在实际生活中的应用也十分广泛，随着科学技术的发展和科研人员的辛

勤努力谐振电路的一些其他方面的应用被不断发现，下面是一些十分重要的应用。比

如，串联谐振电路可以应用在检测信号是否出现故障方面，它还可以使能量在电路之

间的转移和传递得以实现，同时串联谐振电路对蓄电池进行恒流充电技术的研发起到

举足轻重的作用。此外，利用RLC串并联电路以及它的特性分析也在实际工程中起到

不可或缺的效果。比如在压电换能器中的应用。压电换能器是一种器件，它所起的作

用是将超声频电能方便的转变成机械振动，我们可将其等效为RLC串/并联电路，通

过分析这个等效电路我们可以得到电路的阻抗以及换能器工作频率等特点，通过分析

这些特点来优化换能器的匹配。我们应该对R、L、C串/并联谐振电路在我们生活中

有更广泛的应用充满信心，因为以科学技术迅猛发展为前提，会有越来越多的科学研

究者加入到该项目的研发，努力把研发成果应用到我们的生活中，使我们的生活更便

利。就从谐振电路在我们生活中有十分重要的作用出发，作为新时代的大学生的我们

就应该学习更多的知识来充实自己，为以后更好的运用它打下基础。

参考文献：

[1] 梁灿彬,秦光戎,梁竹建.电磁学[M]北京：高等教育出版社，2004.5.

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[10] Huelsman, L.P. Basic Circuit Theory (2nd edition). Prentice-Hall, Inc., 1974.

R, L, C series/parallel resonant circuit analysis of the

characteristics and applications

Abstract: In this paper, the RLC series connection，RLC and RL - C parallel connection three resonant circuit impedance, resonant frequency and quality factor of three features are briefly analyzed. Because the quality factor is the most important circuit of the circuit in the resonance state features,this paper studies the it on the three most basic resonant circuit of several important effects from several definition of quality factor. Simultaneously this paper briefly describes both serial / parallel resonant circuit in the life of the specific application.

Key words: resonant circuit;resonance characteristics;quality factor