人教版高二数学必修五：课时作业21(1)有答案

课时作业(二十一)

1．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是( )

A．1 500 m B．1 600 m

C．1 700 m D．1 800 m

答案 B

解析∵26＝14.8＋(n－1)·0.7，∴0.7n＝11.9，n＝17.

∴a n＝0＋(17－1)×100＝1 600，故选B.

2．某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是( )

A.m

11B.

m 12

C.11

m－1 D.

m－1

答案 C

解析设月平均增长率为p，则(1＋p)11＝m，∴p＝11

m－1.

3．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神十”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )

A．10秒钟B．13秒钟

C．15秒钟D．20秒钟

答案 C

4．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是( )

A ．不增不减

B ．约增1.4%

C ．约减9.2%

D ．约减7.8%

答案 D

5．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )

A.a

＋γ

＋γ5－1万元

B.a γ

＋γ

－1

万元 C.

a γ

＋γ5

＋γ

－1

万元 D.

a γ

＋γ

万元

答案 B

6．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴；…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．

答案 46 656

解析每只蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝6，q ＝6，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝66＝46 656只．

一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V 形架上共放了________支铅笔．

答案 7 260

解析从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．

8．密封的瓶中，如果放进一个细菌，1分钟后瓶中就充满了细菌，已知每个细菌每秒钟分裂2个，两秒钟就分裂4个，…，如果放进两个细菌，要使瓶中充满细菌，需要时间不小于________秒．

答案 59

解析因为瓶中容纳的细菌个数S 60＝1＋2＋4＋…＋260＝261－1，若开始放进两个细菌，n 秒后充满一瓶，则S n ＝2＋4＋…＋2n ＋1＝2n ＋2－2，∴2n ＋2>261，故

n >59秒．

9．某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b ，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg2＝0.3)

解析设a 1，a 2，…，a 20表示今年开始的各年木材存量，且a 0＝3 300，则

a n ＝a n －1(1＋25%)－

b .

∴a n ＝54a n －1－b ，a n －4b ＝5

4(a n －1－4b )，

即数列{a n －4b }是等比数列，公比q ＝54.

∴a 20－4b ＝(a 0－4b )·(54

)20

令t ＝(54)20，则lg t ＝20lg 5

4＝20(1－3×0.3)＝2.

∴t ＝100，于是a 20－4b ＝100(a 0－4b )． ∴a 20＝100a 0－396b ，由a 20≥4a 0，

得100a 0－396b ≥4a 0，b ≤8

a 0＝800.

故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米．

10．某地区位于沙漠边缘地带，到2000年底全县的绿化率只有30%，从2001年开始，计划将每年原有沙漠面积的16%栽树改造为绿洲，而同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀变成沙漠．

(1)设该地区的面积为1,2000年底绿洲面积为a 1＝3

10，经过一年绿洲面积

为a 2，经过n 年绿洲面积为a n ＋1，求证：a n ＋1＝45a n ＋4

；

(2)问至少需要经过多少年的努力才能使该地区的绿洲面积超过60%(年数取整数)？(lg2＝0.301 0)

解析 (1)证明设2000年底的沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n

＋1

，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.

a n ＋1＝96%·a n ＋16%·

b n ＝96%a n ＋16(1－a n )

＝45a n ＋4

. (2)依题意知a n ＋1＝45a n ＋425

，

得a n ＋1－45＝45(a n －45)＝(45)2·(a n －1－4

＝…＝(45)n (a 1－45)＝－12(4

5)n .

∴a n ＋1＝45－12·(45

依题意45－12(45)n >60%，∴(45)n <25.

∴n >log 4525＝lg2－lg5lg4－lg5

≈4.1.

故至少需要经过5年，才能使全地区绿洲面积超过60%.

11．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底．

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)

解析 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋

n n －

×50＝25n 2＋225n .

令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10. ∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．

(2)可新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列．其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1.

由题意可知a n >0.85b n ，

有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85. 由1.085≈1.47解得最小正整数n ＝6，

∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

1．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b 人，以后

学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a 套，其中需要换的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x 套的旧设备．

(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？

(2)依照(1)的更换速度，其需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：

解析 b (1＋4.9‰)10

＝1.05b ，

由题设可知，1年后的设备为a ×(1＋10%)－x ＝1.1a －x ， 2年后的设备为1.12a －1.1x －x ＝1.12a －x (1＋1.1)， ……

10年后的设备为a ×1.110－x (1＋1.1＋1.12＋…＋1.19) ＝2.6a －x ×

－1.110

1－1.1

＝2.6a －16x ，

由题设得2.6a －16x 1.05b ＝2×a b ，解得x ＝1

32a .

(2)全部更换旧设备还需12a ÷a

32＝16年．

答案 (1)每年更换旧设备为1

32a 套；

(2)按此速度全部更换旧设备还需16年．

2．陈老师购买安居工程集资房92 m 2，单价为1 000元/m 2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400，余款由个人负担．房地产开发公司对教

师实行分期付款每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次再经过一年又付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？(计算结果精确到百元)

解析设每年应付款x 元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款所生利息之和为x ×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x ×1.0758元，… 第九年付款及其所生利息之和为x ×1.075元，

第十年付款为x 元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510

＝48 800×1.07510(元)．

因此有x (1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759) ＝48 800×1.07510.

∴x ＝48 800×1.07510

×1.075－11.07510－1

≈48 800×2.061×0.071≈7 141(元)．故每年需交款7 141元．

1．(2013·新课标全国)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，

a 5＝9，则a 1＝( )

A.1

3 B ．－13

C.19 D ．－19

答案 C

解析设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝

27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.

∵q ≠1时，S 3＝

a 1

－q 3

1－q

＝a 1·q ＋10a 1，

∴1－q 31－q ＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4

＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝1

2．(2012·全国)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n

＝( )

A ．2n －1

B ．(32)n －1

C ．(23)n －1

D.12

n －1 答案 B

解析当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1，所以a 2＝12，S 2＝1＋12＝3

.选B.

3．(2013·辽宁)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若

a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.

答案 63

解析因为x 2－5x ＋4＝0的两根为1和4，又数列{a n }是递增数列，所以

a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2.所以S 6＝

－26

1－2

＝63.

4．(2013·重庆)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.

答案 64

解析由a 1、a 2、a 5成等比数列，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，即(1＋d )2＝1

＋4d ，解得d ＝2(d ＝0舍去)，S 8＝1＋15

×8＝64.

5．(2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝1

2，S 2＝a 3，

则a 2＝________，S n ＝________.

答案 1 14(n 2

＋n )

解析由a 1＝1

2，S 2＝a 3，得

a 1＋a 2＝a 3，即a 3－a 2＝1

∴{a n }是一个以a 1＝12为首项，以1

2为公差的等差数列．

∴a n ＝12＋(n －1)×12＝1

n .

∴a 2＝1，S n ＝n

2(a 1＋a n )＝14n 2＋14n ＝14

(n 2

＋n )．

6．(2012·江西)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.

答案 35

解析 ∵{a n }，{b n }均是等差数列，根据等差数列的性质可得a 1＋a 5＝2a 3，

b 1＋b 5＝2b 3，即a 5＝2a 3－a 1，b 5＝2b 3－b 1，

∴a 5＋b 5＝2(a 3＋b 3)－(a 1＋b 1)＝2×21－7＝35.

7．(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2

＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.

答案 3

解析 S 4－S 2＝3a 4－3a 2，a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，

a 3＋3a 2＝2a 4，a 1·q 2

＋3a 1q ＝2a 1q 3

，q ＝3

，q ＝－1(舍去)．

8．(2012·全国)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2

a n .

(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．

解析 (1)由S 2＝4

3a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.

由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝3

2(a 1＋a 2)＝6.

(2)由题设知a 1＝1.

当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23

a n －n ＋13

a n －1，

整理得a n ＝n ＋1n －1

a n －1.

于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n

n －2

a n －2，

a n ＝n ＋1

n －1

a n －1.

将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋

综上，{a n }的通项公式a n ＝

n n ＋

9．(2013·新课标全国)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.

(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{

a 2n －1a 2n ＋1

}的前n 项和．

解析 (1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋

n n －

d .

由已知可得???

3a 1＋3d ＝0，

5a 1＋10d ＝－5，

解得a 1＝1，d ＝－1.

故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1

＝

1－2n

－2n ＝12(12n －3－1

2n －1

)，从而数列{

a 2n －1a 2n ＋1

}的前n 项和为

12(－1＋1－1＋11－13＋…＋12n －3－12n －1) ＝n

1－2n

. 10．(2012·江西文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2

＋kn

(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列{9－2a n

n }的前n 项和T n .

解析 (1)由题知，当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2

＋kn 取得最大值，即S ＝S k

＝－12k 2＋k 2

＝12

k 2，

故k 2＝16(k ∈N ＋)，因此k ＝4. 从而a n ＝S n －S n －1＝9

2－n (n ≥2)．

又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝9

－n .

(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n

n －1，

T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋32

2＋…＋n －12

n －2＋n

n －1，

所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋2

2n －1.

11．(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.

(1)求a n ；

(2)求数列{na n }的前n 项和T n . 解析 (1)由S n ＝kc n －k ，

得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)．

由a 2＝4，a 6＝8a 3，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，

解得???

c ＝2，

k ＝2，

所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)．

于是a n ＝2n .

(2)T n ＝∑n

i ＝1ia i ＝∑n

i ＝1

i ·2i

，即 T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，

T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n

－1)2n ＋1＋2.

12．(2011·新课标)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.

(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n

；

(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．

解析 (1)证明：因为a n ＝13×(13)n －1＝1

3n ，S n ＝

13－13n

1－13

＝1－13n

，所以S n

＝1－a n

(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋

所以{b n }的通项公式为b n ＝－

n n ＋

13．(2012·重庆)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；

(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知

?????

2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12.

解得a 1＝2，d ＝2.

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝

n a 1＋a n

＝

＋2n

＝n (n ＋1)．因a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2

k ＝a k S k ＋2.

从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0. 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)．因此k ＝6.

14．(2013·浙江)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2

＋2,5a 3成等比数列．

(1)求d ，a n ；

(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解析 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4.

所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .

因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11. 则当n ≤11时，

|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋21

2n .

当n ≥12时，

|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－21

2n ＋110.

综上所述，

|a 1

|＋|a 2

|＋|a 3

|＋…＋|a n

|＝????

－12n 2＋21

n ，n ≤11，12n 2

－21

2n ＋110，n ≥12.

15．(2012·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.

(1)求a n ，b n ；

(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .

解析 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 所以a n ＝4n －1，n ∈N *.

由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *. 所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n .

所以2T n －T n ＝(4n －1)2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n ＋5.

故T n ＝(4n －5)2n ＋5，n ∈N *.

16．(2013·福建)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，则a 1的取值范围．

解析 (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，

所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 2

1－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2.

(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，

所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，

解得－5

17．(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．

解析 (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.

由题意得?

S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，

即?

????

－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2

，a 1q ＋q ＋q 2＝－18，解得?

a 1＝3，q ＝－2.

故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝

若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.

当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；

当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.

18．(2013·大纲全国)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2

2，且S 1，

S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．

解析设{a n }的公差为d .

由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.

由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．

若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 3＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.

19．(2013·四川)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．

解析设该数列公差为d ，前n 项和为S n .

由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．

所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.

所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n 2

20．(2013·重庆)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；

(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求

T 20.

解析 (1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1

，S n ＝1－3n 1－3＝12

(3n

－1)．

(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，

所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×19

×5＝1 010.

21．(2013·四川)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．

解析设该数列的公比为q ，由已知，可得

a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2.

所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1. 所以，数列的前n 项和S n ＝3n －1

1．(2012·四川)设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π

8的等差数列，f (a 1)

＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)2]－a 1a 5＝( )

解析因为{a n }是以π8为公差的等差数列，所以a 1＝a 3－π4，a 2＝a 3－π

8，

a 4＝a 3＋π8，a 5＝a 3＋π4，则f (a 1)＝2a 3－π2－cos(a 3－π4)，f (a 2)＝2a 3－π

4－

cos(a 3－π8)，f (a 3)＝2a 3－cos a 3，f (a 4)＝2a 3＋π4－cos(a 3＋π

)，f (a 5)＝2a 3

＋π2－cos(a 3＋π

)．所以f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)

＝10a 3－[cos(a 3－π4)＋cos(a 3－π8)＋cos a 3＋cos(a 3＋π8)＋cos(a 3＋π4)]

＝10a 3－(2cos a 3＋cos a 3＋2cos π

8cos a 3)

＝10a 3－(2＋1＋2cos π8)cos a 3＝5π.则a 3＝π

于是a 1＝a 3－π4＝π4，a 5＝a 3＋π4＝3π4，f (a 3)＝2×π2－cos π

2．(2012·山东)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .

解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n . 由T 5＝105，a 10＝2a 5，

因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 因此b m ＝72m －1.

所以数列{b m }是首项为7公比为49的等比数列，故S m ＝

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结第一章解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >．注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

高中数学必修五综合测试题(卷) 含答案解析

绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I卷（选择题）一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．B． C．D． 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（） A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+ 7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在

11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差= 16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数的最小值是_____________． 21．已知，且，则的最小值是______．三、解答题 22．解一元二次不等式（1）（2） 23．△的角、、的对边分别是、、。（1）求边上的中线的长；

高中数学必修五知识点总结【经典】

《必修五知识点总结》第一章：解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于180°；（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角；（4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

高二数学必修三试题及答案

高二数学必修3测试卷 2012/12/24 . 参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n x y x n y x b n i i n i i i -=-?-= ∑∑==,1 2 2 1 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列对一组数据的分析，不正确的说法是（） A 、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B 、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C 、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D 、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 2.设m=10，n=20，则可以实现m 、n 的值互换的程序是（） =10n=20n=mm=n =10n=20s=mn=s =10n=20s=mm=nn=s =10n=20s=mt=nn=sm=n 3下图是容量为200的样本的频率分布直方图，那么样本数据落在[)10,14内的频率，频数分别为（） A ．;64B ．;62 C ．;64D ．;72 4．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（） A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有一次中靶 5.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是（） A 、分层抽样法，简单随机抽样法B 、分层抽样法，系统抽样法 C 、系统抽样法，分层抽样法D 、简单随机抽样法，分层抽样法 6.程序框图符号“”可用于（） A 、输出a=10 B 、赋值a=10 C 、判断a=10 D 、输入a=10 7.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则（） A ．P 1=P 2

高二数学必修5全套教案(人教版)

1．1．1正弦定理 ●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程一.课题导入如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课 [探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，（1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B （2）当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。 C A B B C A

高二数学必修五试卷

高二年级数学必修五综合检测试卷姓名得分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．在等差数列{}n a 中，若210,a a 是方程2 1280x x +-=的两个根，那么6a 的值( ) A ．－12 B ．－6 C ．12 D ．6 2．△ABC 中， =cos cos A a B b ，则△ABC 一定是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 3.若 11 0a b <<，则下列不等式中，正确的不等式有( ) [ ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> 个个个个 4.若}{n a 是等比数列，124,5128374=+-=a a a a 且公比q 为整数，则10a 等于（） A 、－256 B 、256 C 、－512 D 、512 5.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于 ( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120 6. 下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是 ( ) A ． 2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2+1)≥lg2x D ．x x +244 ≤1 < 7. 二次不等式2 0ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是（） A . 00a ?>??>? B. 0a >???? D. 0 0a

人教版高中数学必修5期末测试题

期末测试题考试时间：90分钟试卷满分：100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n

高中数学必修五综合练习

高中数学必修五综合练习3 文班考号姓名 A 卷一．选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分). 1．如果R b a ∈,，并且b a >，那么下列不等式中不一定能成立的是（） A.b a -<- B.21->-b a C.a b b a ->- D.ab a >2 2．等比数列{}n a 中，5145=a a ，则111098a a a a =（） A.10 B.25 C.50 D.75 3．在ABC ?中,若b 2 + c 2 = a 2 + bc , 则A =( ) A ．30? B ．45? C ．60? D ．120? 4．已知数列{}n a 中，11=a ，31+=+n n a a ，若2008=n a ，则n =（） A.667 B.668 C.669 D.670 5．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若,100,302==n n S S 则=n S 3（） A.130 B.170 C.210 D.260 6．在⊿ABC 中，A =45°,B =60°,a=2，则b 等于（） A.6 B.2 C.3 D. 62 7．若将20，50，100都分别加上同一个常数，所得三个数依原顺序成等比数列，则此等比数列的公比是（） A. 21 B. 23 C. 34 D. 3 5 8．关于x 的不等式x x x 352 >--的解集是（） A.}1x 5{-≤≥或x x B.}1x 5{-<>或x x C.}5x 1{<<-x D.}5x 1{≤≤-x 9．在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为060，塔基的俯角为0 45，那么这座塔吊的高是( ) A.)3 3 1(10+ B.)31(10+ C.)26(5+ D.)26(2+ 10．已知+ ∈R b a ,且 11 1=+b a ，则 b a +的最小值为（） A.2 B.8 C. 4 D. 1

高二数学必修五知识点归纳

高二数学必修五知识点归纳第一章解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=, AB2 C2 sin AB2 cos C2 ②.在ABC中, ab＞c , ab＜c ; A＞BsinA＞sinB, A＞BcosA＜cosB, a ＞b A＞B ③.若ABC为锐角，则AB＞ ,B+C ＞ ,A+C ＞ a2b2＞c2，b2c2＞a2，a2＋c2＞b2 2、正弦定理与余弦定理：①. (2R为ABC外接圆的直径) a2Rsin A、b2Rsin B、c2RsinC sinA a2R

12 b2R 、 sinC 12 c2R 12 acsinB 面积公式：SABC absinC bcsinA ②.余弦定理：abc2bccosA、bac2accosB、cab2abcosC bca 2bc cosA、cosB ac b 2ac 222 、cosC abc

222 3第二章数列 1、数列的定义及数列的通项公式： ①. anf(n)，数列是定义域为N 的函数f(n)，当n依次取1，2，时的一列函数值② i.归纳法若S00，则an不分段；若S00，则an分段iii. 若an1panq，则可设an1mp(anm)解得m,得等比数列anm Snf(an) iv. 若Snf(an)，先求a 1得到关于an1和an的递推关系式 Sf(a)n1n1Sn2an1 例如：Sn2an1先求a1，再构造方程组：（下减上）an12an12an Sn12an11 2.等差数列： ① 定义：a n1an=d（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。② 通项d0时，an为关于n的一次函数； d＞0时，an为单调递增数列；d＜0时，a n为单调递减数列。 n(n1)2 ③ 前nna1

人教版A版高中数学必修三教案新部编本全册

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2)

1.1.1 算法的概念（第1课时） (3) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时）【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法【教学难点】用自然语言描述算法【教学过程】一、序言

算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤）例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1 按照逐一相加的程序进行第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n =2 ) 1(+n n 直接计算第一步：取n =5；第二步：计算 2 ) 1(+n n ；第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一）例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤）（可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性）例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程；第二步：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；第三步：解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成 .

人教版高二数学必修五学案(全套)

加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 ※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ，同理可得sin sin c b C B = ，从而sin sin a b A B = sin c C =．类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =．试试：（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =

2020年高二数学必修三知识点归纳范文

【一】简单随机抽样的定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。简单随机抽样的特点： (1)用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 (2)简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等; (3)简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础. (4)简单随机抽样是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率抽样简单抽样常用方法： (1)抽签法：先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N)，并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.(2)随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号;第二步，选定开始的数字;第三步，获取样本号码概率. 【二】一.随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念： (1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件; (2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件; (3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件; (4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件; (5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;

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§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ，同理可得sin sin c b C B = ，从而sin sin a b A B =sin c C =．类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =．试试：（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ．（3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题例1. 在ABC ?中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

北师大版高中数学必修5综合测试题及答案

高中数学必修5 命题人：魏有柱时间：100分钟一、选择题 1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）（A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =2)1(+n n （D ）a n =2 )1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的() （A ）第12项（B ）第13项（C ）第14项（D ）第15项 3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 () A ． B ． C ． D ． 4.等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是 () A.3 B.5 C.7 D.9 5．△ABC 中，cos cos A a B b =，则△ABC 一定是() A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 6．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于() A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 7.在△ABC 中，∠A =60°,a=6,b=4,满足条件的△ABC( A ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8．若110a b <<，则下列不等式中，正确的不等式有 () ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9．下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是 () A ．2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2+1)≥lg2x D ．244 x x +≤1 10.下列不等式的解集是空集的是(C) A.x 2-x+1>0 B.-2x 2+x+1>0 C.2x-x 2>5 D.x 2+x>2 11．不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥??≤≤?表示的平面区域是 ( )

数学必修5公式

一、解三角形1.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C = = = 2.三角形面积公式 111sin sin sin 2 2 2 A B C S bc A ac B ab C = == 3.余弦定理2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 4.韦达定理1212b x x a c x x a ? +=-?????=?? 二、数列1.等差数列A P 定义：()12n n a a d n n N d -+-=≥∈，，是常数通项公式：()()()111n m a a n d a n m d pn q p d q a d =+-=+-=+==-，等差中项：2 a b A a A b A P += ?，，成性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N ++=+∈，，，若{}n a 为A P ，则123456789a a a a a a a a a ++++++，，，…仍成A P 前n 项和：() ()12 1112 2 22n n n a a n n d d d S na An Bn A B a +-??= =+ =+==- ?? ?，性质：当项数为2n 时，S S nd -=偶奇22n n n n n S S S AP d n d --'=23，，成， 2.等比数列G P 定义： () 1 20n n a q n n N q a +-=≥∈≠，，通项公式： 1 1 10n n m n m n m a a a q a q c q c q ---??=?=?=?=≠ ??? 等比中项：)0g a b a g b GP =≠?，，，成性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N +=∈，，，21122n n n n a a a a a -+-+=?=? 2 1726354a a a a a a a ?=?=?=前n 项和：()11111111 n n n a q a a q q S q q na q ?--?=≠=?--? =?，，性质：当项数为2n 时， S q S =偶奇；2n n n n n n S S S G P q q --'=23，，成，三、不等式1.性质a b b a >?>?>， a b a c b c >?+>+0a b c ac bc >>?>，0a b c ac bc >>?+>+， a b c d a c b d >-，00a b c d ac bd >>>>?>，01n n a b a b n N n +>>?>∈>，， 01a b n N n +>>? > ∈>， 2.均值不等式如果a b R + ∈，，则 2 a b +≥，当且仅当 a b =时，等式成立如果a b R +∈，，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等式成立

高二数学必修三试题及答案

高中课改水平监测高二数学2008.11 学校班级姓名本试卷分卷一、卷二两部分，共120分.考试时间90分钟. 一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是（） A、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 2. 设m=10，n=20，则可以实现m、n的值互换的程序是（） A. m=10 n=20 n=m m=n B. m=10 n=20 s=m n = s C. m=10 n=20 s=m m=n n=s D. m=10 n=20 s=m t=n n=s m=n 3下图是容量为200的样本的频率分布直方图，那么样本数据落在[) 10,14内的频率，频数分别为（） A．0.32; 64 B．0.32; 62 C．0.36; 64 D．0.36; 72 4．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（） A．至多有一次中靶B．两次都中靶 C．两次都不中靶D．只有一次中靶 5.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是（） A、分层抽样法，简单随机抽样法 B、分层抽样法，系统抽样法 C、系统抽样法，分层抽样法 D、简单随机抽样法，分层抽样法 6.在Scilab界面内，输入如下程序：

高中数学人教版必修5全套教案

课题: §1．1．1正弦定理授课类型：新授课 ●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

人教新课标版数学高二数学必修五练习2-5数列求和

习题课数列求和双基达标 (限时20分钟) 1．数列12·5，15·8，18·11，…， 1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为 ( )． A. n 3n ＋2 B.n 6n ＋4 C.3n 6n ＋4 D. n ＋1n ＋2 答案 B 2．数列{a n }的通项公式a n ＝ 1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为 ( )． A ．11 B ．99 C ．120 D ．121 解析 ∵a n ＝1 n ＋n ＋1＝n ＋1－n ， ∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120. 答案 C 3．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝ ( )． A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n 解析由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1， a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝ 0.∵d ≠0， ∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .

答案 A 4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________. 解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25＝－25 答案－25 5．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为 3的等比数列，则数列的通项公式为________．解析 a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a n ＝1×(1－3n )1－3 ＝3n －12. 答案 a n ＝3n －12 6．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *) (2)S n ＝2(1－2n )1－2 ＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2. 综合提高 (限时25分钟) 7．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3 ＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为 ( )． A ．1－14n B ．1－12n C.23? ????1－14n D.23? ?? ??1－12n 解析 a n ＝2n －1，设b n ＝ 1a n a n ＋1＝? ????122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋? ????123＋…