第一章 解三角形 教案
一对一辅导教案
学生姓名 性别 年级 学科
授课教师 上课时间 年 月 日
第（ ）次课 共（ ）次课
课时： 1课时
教学课题
解三角形
教学目标
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 教学重点与难点 1、正弦定理与余弦定理 2、实际应用问题
3、与三角函数的综合题型
教学过程
一、基础知识梳理 （一）、内角和定理：
在△ABC 中，A B C π++=；()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=- 面积公式:111
sin sin sin 222
ABC
S
ab C bc A ac B ===； 在三角形中大边对大角，反之亦然.
（二）、正弦定理
1、正弦定理：在△ABC 中，
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB
C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c
A B C R R R
=
== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）
2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C
++====++.
3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC
abc S ah ab C ac B bc A R A B C R
?====== 4、正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）
例1、在ABC ?中，若5b =，4B π∠=
，1
sin 3
A =，则a = . 答案：52
3
例2、在△ABC 中，已知a =3，b =2，B=45°，求A 、C 和c . 解析：：∵B=45°＜90°且a sinB ＜b ＜a ，∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sinA=
b B
a sin =2
45sin 3? =23，则A 为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°， c=
B
C
b sin sin =??45sin 75sin 2=?
?+?45sin )
3045sin(2=226+.
②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°， c=
B
C
b sin sin =??45sin 15sin 2=?
?-?45sin )
3045sin(2=226-.
故在△ABC 中，A=60°，C=75°，c=2
2
6+或A=120°，C=15°， c =226-
练习1、（1）△ABC 中，a =8，B=60°，C=75°，求b ;
（2）△ABC 中，B=30°， b =4，c=8，求C 、A 、a. 解析：（1）由正弦定理得
B
b
A a sin sin =. ∵B=60°，C=75°，∴A=45°，∴b=?
?
?=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. （2）由正弦定理得sinC=
4
30sin 8sin ?
=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°，∴C=90°.
∴A=180°-(B+C)=60°， a =2
2b c -=43.
（二）、余弦定理
1、余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=?bc
a
c b A 2cos 2
2
2
-+=
B ac a c b cos 22
2
2
-+=?ca
b a
c B 2cos 2
2
2
-+=
C ab b a c cos 22
2
2
-+=?ab
c b a C 2cos 2
2
2
-+=
2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：
（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）
例1、设ABC ?的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4
1
cos =C . （Ⅰ）求ABC ?的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.
解题思路：本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵44
1
441cos 2222=?
-+=-+=C ab b a c ∴2=c
∴ABC ?的周长为5221=++=++c b a .
（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 2
2
=??
? ??-=-=C C ，
∴8
15
2415sin sin ===c C a A ∵c a <，∴C A <，故A 为锐角，
∴87
8151sin 1cos 2
2=???
? ??-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16
11
4158154187=?+?=
. 注：常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±???→=
()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβ
αβαβαβααα
αααβααβααβα
αα
αα
=±=???→=-↓=-=-±±=
?-↓=
-
例2： 设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且32b +32c -32a =42b
c .
(Ⅰ) 求sinA 的值；
(Ⅱ)求
2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值. 解析：（Ⅰ）由余弦定理，得22222
cos 23
b c a A bc +-==
， 又0A π<<，故21
sin 1cos 3
A A =-=
. （Ⅱ）原式=2sin sin 441cos2A A A πππ????+-+ ? ?????-22sin sin 442sin A A A
ππ?
???+- ? ?
????= 2
2222
2sin cos sin cos 22222sin A A A A A
????+- ??? ???????= 222sin cos 7
2sin 2
A A A -==-
.
练习1、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-c
a b
+2.
（1）求角B 的大小；
（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.
解析：（1）由余弦定理知：cosB=ac
b c a 22
22-+，cosC=ab c b a 2222-+.
将上式代入C B cos cos =-c
a b
+2得:ac b c a 2222-+·222
2c b a ab -+=-c a b +2 整理得: a 2
+c 2
-b 2
=-a
c
∴cosB=ac b c a 2222-+=ac ac 2- =-2
1
∵B 为三角形的内角，∴B=
3
2
π.
α
北
东
h i l
=
θ
（2）将b =13，a +c =4，B=3
2
π代入b 2=a 2+c 2-2a
c cosB ，
得b 2
=(a +c )2-2a
c -2a c cosB
∴b 2
=16-2a
c ??
? ?
?-211，∴a c =3. ∴S △ABC =
2
1a c sinB=4
33
.
（三）、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
图1 图2 图3 图4
2、方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角
相对于某一正方向的水平角（如图3）.
4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）
例1、某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在
D 处距A 还有多少千米？
答案：15千米
α 北
东
南
西 B
目标
l
h
A
C
D
31
21 B
20
35? 25?
东
北
A B D
M
练习1、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为 180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为'
1830?，经过120秒后又看到山顶的俯角为81?，求山顶的海拔高度（精确到1m ）. 答案：18130m
二、综合例题精析
例1、在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
cos A-2cos C 2c-a
=cos B b
．
（I ）求
sin sin C
A
的值； （II ）若cosB=1
4
，?ABC 的周长为5，求b 的长。
解析：（Ⅰ）由正弦定理，设,sin sin sin a b c
k A B C
===
则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B ---==
所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B
--=
即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+
又A B C π++=，所以sin 2sin C A =因此
sin 2.sin C
A
= （Ⅱ）由
sin 2sin C A =得2.c a =由余弦定得及1
cos 4
B =得 22222222cos 1
444
4.
b a
c ac B
a a a a =+-=+-?=
所以2.b a =又5,a b c ++=从而1,a =因此b=2。
【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”
例2、在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b.
解题思路：对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的，可以考虑余弦定理；而对已知条件(2)
sin cos 3cos sin ,A C A C =化角化边都可以。
【解析】：法一：在ABC ?中，
sin cos 3cos sin ,A C A C =
则由正弦定理及余弦定理有:222222
3,22a b c b c a a
c ab bc +-+-=
化简并整理得：222
2()a c b -=.
又由已知222a c b -=2
4b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.
法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又22
2a c b -=，0b ≠.
所以2cos 2b c A =+
①
又sin cos 3cos sin A C A C =，
sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =
由正弦定理得sin sin b
B C c
=
，故4cos b c A = ②
由①，②解得4b =.
【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。 例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8 sin 2
2
B C
+－2 cos 2A ＝7． （1）求角A 的大小；
（2）若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值． 解析：（1）∵ A ＋B ＋C ＝180°，∴
2B C +＝90°－2A ．∴ sin 2B C +＝cos 2
A
． 由8sin 22B C +－2cos2A ＝7，得8cos 2
2A －2cos2A ＝7．
∴ 4(1＋cos A )－2(2 cos 2
A －1)＝7，即(2cos A －1)2
＝0． ∴ cos A ＝
1
2
∵ 0°＜A ＜180°，∴ A ＝60°． （2）∵ a ＝3，A ＝60°，
由余弦定理知a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，
∴ 3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2
－3bc ＝9－3bc ． ∴ bc ＝2．
又b ＋c ＝3，∴ b ＝1，c ＝2或b ＝2，c ＝1．
例4、设?ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A=60?，c=3b.求： （Ⅰ）
a
c
的值；（Ⅱ）cotB +cot C 的值. 解题思路：求
a
c
的值需要消去角和b ；三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系 解析：（Ⅰ）由余弦定理得2
2
2
2
2211172cos 23329a b c bc A c c c c c ??
=+-=+-???= ???
，
故
7
3
a c =
. （Ⅱ）【解法一】：cot cot B C +＝cos sin cos sin sin sin B C C B B C +＝
sin()sin ,sin sin sin sin B C A
B C B C
+= 由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
2
27sin 1214143
9··.
1sin sin sin 9333·3
c
A a
B
C A bc c c ==== 故143
cot cot .9B C +=
【解法二】：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
7
253
72)
31(972cos 22
2222=
??-+=-+=c
c c c c ac b c a B 故
2
253
sin 1cos 1.2827B B =-=-=
同理可得7
213
137291972cos 22
22
22-=??-+=-+=c
c c c c ab c b a C
2133
sin 1cos 1.2827C C =-=-
=
从而cos cos 51143
cot cot 33.sin sin 399
B C B C B C +=
+=-=
例5、 △ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+，sin()cos B A C -=.
（1）求,A C ；
（2）若33ABC S ?=+，求,a c . 解析：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=
+，即sin sin sin cos cos cos C A B
C A B
+=
+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-， 得 sin()sin()C A B C -=-.
所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+， 得3
C π
=
，所以.23
B A π
+=
又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56
B A π-=（舍去） 得5,4
12
A B π
π
=
=
(2)162sin 3328
ABC S ac B ac ?+=
==+， 又
sin sin a c A C =， 即 23
22
a c =， 得22,2 3.a c ==
课后作业
1.已知△ABC 中，12
cot 5
A =-
，则cos A = 。 2.在ABC ?中，若1b =，3c =，23
c π
∠=，则a= 。
3.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1， b =3， A+C=2B ，则sinC= .
4.在ABC ?中，a =15， b =10，A=60°，则cos B = A －
223 B 223 C －63 D 6
3
5.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2
+c 2
-b 2
)tan B =3ac ，则角B 的值为 A.
6
π B.
3
π C.
6π或56
π D.
3π或23
π
6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ， b ，c ，若22
3a b bc -=
，sin 23sin C B =，则A=
（ ）
（A ）0
30 （B ）0
60 （C ）0120 （D ）0
150
7.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===，则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .
8.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=，4
cos ,35
A b =
=。 （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ?的面积.
9.在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4
2sin(π
-A 的值。
10.已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．
（I ）求边AB 的长；
（II ）若ABC △的面积为1sin 6
C ，求角C 的度数．
11．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足sin 3cos b A a B =． （I ）求角B 的值；
（II ）若25
cos 25
A =
，求sin C 的值．
参考答案： 1.1213
-
2. 1
3. 1【解析】由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，
13
sin sin 60
A =
，即1sin 2A =． 由a b <知，60A B <=，则30A =，
180180306090C A B =--=--=，sin sin 901C ==
4.D 【解析】根据正弦定理
sin sin a b A B =可得1510
sin 60sin B
=
解得3sin 3B =， 又因为b a <，则B A <，故B 为锐角，所以26
cos 1sin 3
B B =-=
，故D 正确. 5. D
6.A 【解析】由由正弦定理得
232322c b c b R R
=?=， 所以cosA=2222+c -a 322b bc c bc bc -+==323322
bc bc bc -+=，所以A=300 7.
61
2
8 【解析】 （Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 3
5
B A π
=
=
， ∴23,sin 35
C A A π=
-=， ∴231343sin sin cos sin 32210C A A A π+??
=-=+=
???
. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3343
sin ,sin 510
A C +=
=， 又∵,33
B b π
=
=，∴在△ABC 中，由正弦定理，得∴sin 6
sin 5
b A a B =
=. ∴△ABC 的面积1163433693sin 32251050
S ab C ++=
=???= 9.【解析】（1）在ABC ? 中，根据正弦定理，
A BC C A
B sin sin =，于是522sin sin ===B
C A
BC
C AB
（2）在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC
AB BC AC AB A ?-+=2cos 2
22
于是A A 2
cos 1sin -==
5
5， 从而5
3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==
=A A A A A A 10
2
4
sin
2cos 4
cos
2sin )4
2sin(=
-=-
π
π
π
A A A 10.【解析】（I ）由题意及正弦定理，得21A
B B
C AC ++=
+，2BC AC AB +=，
两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积
,sin 6
1
sin 21C C AC BC =??，得31=?AC BC ，
由余弦定理，得cosC=BC
AC AB BC AC ?-+22
22
=
2
1
22)(22=?-?-+BC AC AB BC AC BC AC ， 所以60C =．
11.【解析】（I ）由正弦定理得B A A B cos sin 3sin sin =
，
0sin ≠A 因为，即3tan =B ，
由于π<
π
=B ．
（II ）5
3
12cos 2cos 2
=-=A A ， 因为0sin >A ，故5
4
sin =
A ， 所以10
3
34cos 23sin 213sin sin +=+
=???
?
?+
=A A A C π．
解三角形全章教案(整理)
数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1．1．1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B
第十一章三角形全章教学设计
三角形的边
检测练习一、如图，在三角形ABC中， （1）AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC （2）假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C， 有路线。路线最近，根据是：， 于是有：（得出的结 论）。 （3）下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？ ①3、4、8 ②5、6、11 ③5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟） 要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。 （2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？ （3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习二 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！） 解： （三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结 （一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？ 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 （1）等边三角形是等腰三角形 （2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （3）三角形的两边之差大于第三边 （4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 其中正确的是（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、一个不等边三角形有两边分别是 3、5另一边可能是（） A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列长度的各边能组成三角形的是（） A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm 【B】组 4、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长。 5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少？ 【C】组（共小1-2题） 6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是。 小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形. （1）你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗？（长度为正整数） （2）想一想：如果已知两边，则构成三角形的第三边的条件是什么？
高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理
课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。
解三角形(复习课)教学设计
解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本
(完整版)解三角形教案(精简版)
高一数学必修5第一章解三角形教学设计 ●教学过程 [理解定理] 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b = 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例题 .在ABC ?中,已知3=a , 2=b , B=450.求A 、C 和c. 解:004590B =++； 或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k > （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
高中数学必修解三角形教案
高中数学必修解三角形 教案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
第2章 解三角形 正弦定理 教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？ 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c b sin C =1 即c = sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B =. 同理，sin sin a c A C = （思考如何作高？），从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==.
必修5第一章《解三角形》全章教案
数学5 第一章 解三角形 课题: §1．1．1 正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得 sin sin c b C B = ， b a
解三角形的教学设计高三公开课
《解三角形》教学设计 高三数学组 一、教材分析： 解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。 二、学情分析： 本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。 三、教学目标： 知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。 过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。 四、教学方法： 探究式教学、讲练结合 五、教学重难点 教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题； 教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。 五、教学过程
明确方向【最新考纲】 （1）掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度 量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问 题. 【重难点】三角形中的两解问题、边 角互化、恒等变换问题．握高考方向， 强调复习重 难点。 纲，让学生熟 悉本节课高 考考点，以便 更好的备考 高考。 教学环节教学内容师生活动设计意图 公式定理 基础运用 边角互化多向思维【典例精讲】 考点1正、余弦定理的简单运用 1.【2015高考北京，文11】在 C ?AB中，3 a=，6 b=，2 3 π ∠A=， 则∠B=． 2.【2016高考全国I卷】△ABC 的内角A、B、C的对边分别为a、 b、c.已知5 a=，2 c=，2 cos 3 A=， 则b=（） （A）2（B）3（C）2 （D） 3 3.【2013全国II卷】ABC ?的内 考点1是正 余弦定理的 简单运用，学 生课前完成， 教师课堂上 和学生核对 答案，并要求 学生思考每 道题考察的 知识点是什 么？变式1 教师引导学 生思考角B 的值到底有 几个？从而 总结如何解 答三角形的 两解问题. 例2要求两 学生课前完 成例1，目的 是让学生提 前梳理公式， 而课堂上要 求学生回答 每道题考察 的知识点是 什么？是为 了更深化学 生对公式的 理解，而变式 1的训练，是 引导学生对 三角形两解 的问题进行 总结，强调大 边对大角情 况。 通过让学生
第11章三角形全章教案资料
第十一章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时
高中数学必修5：第一章《解三角形应用举例》教案1
课题: §2.2解三角形应用举例 第一课时 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 Ⅱ.讲授新课[来源 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 [例题讲解] (2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=?51，∠ACB=?75。求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)
解三角形教案
解三角形 （一）教学目标 1.知识与技能： (1) 掌握正、余弦定理、重要不等式、基本不等式、函数值域等相关的知识。 (2) 掌握解决三角形问题中最值问题的常规方法：不等式法和函数法。 2.过程与方法： 进一步体会函数，不等式，平面几何等知识的交汇融合；通过周长、面积最值得求解培养学生分析、归纳能力及知识迁移的能力。 3.情感、态度与价值观： (1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。 (2) 培养学生数学素养和逻辑思维能力。 （二）教学重点与难点 重点：理解并掌握正弦定理、余弦定理、重要不等式、基本不等式及平面几何知 识等的应用。 难点：三角形最值问题中通法通解的形成及贯彻；数形结合思想，函数思想的培 养。 （三）教学过程设计 一、知识回顾、归纳总结： 三角形性质： 1.角的关系：A B C π++=，外角等于不相邻两个内角和。 2.边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 3.角与边的关系： ①大角对大边，等角对等边 ②正弦定理及变形： 变形： ③余项定理及变形： 2()sin sin sin a b c R R ABC A B C ===?为外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C === sin sin sin 222a b c A B C R R R = == ::sin :sin :sin a b c A B C =222 2cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=ABC C a b c ?=++
4.周长与面积： 重要不等式、均值不等式： 重要不等式： 均值不等式： 变形： 二、例题讲解、规范解答： 注意：分析周长或面积取到最大值的条件。 12ABC S ?=?底高111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ?===时取等） 当且仅当b a R b a ab b a =∈≥+,,(222时取等） 当且仅当b a b a ab b a =>>≥+,0,0(22 ()2a b ab +≤cos _______ ABC A B C a b c a b c B ?的内角、、所对的边分别为、例1:(2014陕西、；若、、成等比数列求的最小值 ) 2cos(),cos a b A C ABC A B C a b c c C C c ABC c ABC ++?==?=?的内角、、所对的边分别为、、；若(1)求的大小(2)若求面积的最大值(例2:(2016吉林白山一模改编)3)若求 周长的最大值 12 c b =+变式：(1)求若求的最大值a b c 解：、、称等比数列 2b ac ∴=222cos 2a c b B ac +-=222a c ac ac +-=22ac ac ac -≥12=a c ==当且仅当,""成立
正余弦定理解三角形教案
个性化教案 【知识梳理】 1．正弦定理： a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变 形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C； (3)sin A＝a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C．余弦 定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a2 2bc，cos B＝ a2＋c2－b2 2ac，cos C＝ a2＋b2－c2 2ab. 3．S△ABC＝1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ac sin B＝ abc 4R＝ 1 2(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 4.三角形内角和为π，故有sin A >0 sin A＝sin(B+ C)，cos A＝－cos(B+ C) 5.三角形大边对大角，或者说大角对大边。即：若a>b, A> B,sin A> sin B 知一推二 6.正弦值(不是1)的情况下，对应角度有两个，而余弦值与角度一一对应。 【常考考点】 1．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．
3.正余弦定理的实际应用（灵活运用） 【解题关键】 1．三角函数及三角恒等变换的基础． 2．正弦定理、余弦定理实现边角互化。（通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的正确选择）． 3.能利用三角形的判定方法准确判断解三角形的情况。 4.三角形的边角关系（大边对大角）、三角形内角和180度。 5．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角A为钝角或 直角 图形 关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜ b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解一解两解一解一解无解 【一条规律】 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 【两类问题】 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．【两种途径】
全等三角形全章教案
13．1全等三角形 教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学 生的几何直觉， 4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形 的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程： $ 观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 问题：你还能举出生活中一些实际例子吗 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考： 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 ;
“全等”用?表示，读作“全等于” 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC ??和全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作DEF ABC ??? 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角 思考：如上图，13。1-1DEF ABC ???，对应边有什么关系对应角呢 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 / 思考： （1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角 D D B D （2）将ABC ?沿直线BC 平移，得到DEF ? ，说出你得到的结论，说明理由 B E （3）如图，,ACD ABE ???AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。
解三角形教学设计
数学分析】 解三角形一章既是初中解直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值。在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度；测量海上航行的轮船航速和航向等。本章知识的介绍将很好的解决这些问题，提高学生解决实际问题的能力。 【教育分析】 解三角形一章的教育价值主要体现在： 1.正弦、余弦定理的证明，体现了知识间的相互联系，使学生体会联系发展等辩证观点，培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 2.通过两个定理的实际应用，引导学生通过自己的数学实践活动，从时间问题提取数学模型，经历发展和创造过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。 【教材分析】 在本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 一、内容与课程学习目标 本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有 关的实际问题。 二、内容安排 1、课时安排 本章教学约需6课时，具体分配如下（仅供参考）： 2.1正弦定理与余弦定理约2课时 2.2三角形中的几何计算约1课时 2.3 解三角形的实际应用举例约2课时 本章复习约1课时 2、知识结构
高中数学必修第章解三角形全章教案
高中数学必修第章解三 角形全章教案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有 CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。
高中数学必修五第一章解三角形教案
课题: §1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A c =， sin b B c =，又sin 1c C c == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 （证法二）：过点A 作j AC ⊥u r u u u r ， 由向量的加法可得 AB AC CB =+u u r u u u r u u r 则 ()j AB j AC CB ?=?+u r u u r u r u u u r u u r ∴j AB j AC j CB ?=?+?u r u u r u r u u u r u r u u r
高中数学必修5解三角形教案
第2章 解三角形 2.1.1 正弦定理 教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？ 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A = c a sin B =c b sin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B = . 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C . 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D ===， 同理 sin b B =2R ，sin c C ＝2R .
解三角形教学设计(第1课时)
解三角形教学设计(第1课时) 一、教学目标： 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并 能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够熟练使用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计 算相关的生活实际问题。 二、教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 三、教学过程 1、理解定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = 2、理解定理： （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存有正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 3、应用说明： ①已知三角形的任意两角及其一边能够求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角能够求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。
4、给出定义： 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 5、例题讲解 例题、在ABC ?中,已知3=a , 2=b , B=450.求A 、C 和c. 6、课堂练习： （1)、在,32,45,6,0===?a A c ABC 中求B 、C 、b. （2)、在,2,45,6,0===?a A c ABC 中求B 、C 、b. （3）、已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 7、课堂小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式：sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++； 或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k > （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
第11章三角形教案
第十一章三角形 数学组叶昊 11.1.1三角形的边 [教学目标]1、了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；2、理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形，[投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示. 三、三角形三边的不等关系 探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C, 它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ 有两条路线：（1）从B→C，（2）从B→A→C；不一样，AB+A C＞BC ①；因为两点之间线段最短。 同样地有 AC+BC＞AB ② a b c (1)C B A
AB+BC ＞AC ③ 由式子①②③我们可以知道什么？ 三角形的任意两边之和大于第三边. 四、三角形的分类 我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 按角分类: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。 三边都相等的三角形叫做等边三角形； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。 显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。 按边分类: 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 五、例题 例 用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为x ㎝，则腰长是多少？（2）“边长为4㎝”是什么意思？ 解：（1）设底边长为x ㎝，则腰长2 x ㎝。 x+2x+2x=18 解得x=3.6 所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝. （2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x ㎝，则 4+2x=18 解得x=7 如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x ㎝，则 2×4+x=18 解得x=10 因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4 ㎝的等腰 底边 底角 底角 ?? ??? ??? ??? ?