高中数学 第14讲 三角函数的图像与性质
第14讲 三角函数的图像与性质
负责人:戴茵霞
一、知识梳理：
（一）正弦函数x y sin =，余弦函数x y cos =，正切函数x y tan =的图象和性质： 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图象
定义域 x ∈R x ∈R ⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且 值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
递增区间是[2k π－π
2
，2k π
＋π
2] (k ∈Z)， 递减区间是[2k π＋π
2，2k π＋3π
2] (k ∈Z)
递增区间是
[2k π－π，2k π](k ∈Z)，
递减区间是
[2k π，2k π＋π](k ∈Z)
递增区间是
()Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-,2,2ππππ
最值
1
1min max -==y y
1
1min max -==y y
无最大值 和最小值 奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心 ()Z k k ∈,0,π
Z k k ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛
+,0,2ππ Z k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛,0,2π 对称轴 Z k k x ∈+
=,2
π
π
Z k k x ∈=,π
无对称轴
最小正 周期
2π 2π π
（二）)sin(ϕω+=x A y 图象的性质： 1、简谱运动的有关概念
对于简谱运动)sin(ϕω+=x A y )),0[,0,0(+∞∈>>x A ω，振幅是A ，最小正周期是|
|2ωπ
=
T ,频率是T
1
，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 2、三角函数图象的变换
⑴平移变换：()ϕ+=→=x y x y sin sin ⑵伸缩变换：x y x y ωsin sin =→= ⑶上下平移：()()b x f y x f y +=→= ⑷综合应用
)sin()
sin(sin )2()sin()sin()1(sin ϕωϕωωϕωϕ+=→+=→=+=→+=→
=x A y x y x
y x y x y x y
3、)sin(ϕω+=x A y 图象的性质：
讨论)sin(ϕω+=x A y 图象的性质，通常用换元法，设ϕω+=x t ，再结合x y sin =的性质求之. 4、由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数解析式：与“五点”作图法对应； 5、对于函数b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA ，有)(21min max y y A -=
，)(2
1
min max y y b +=. 二、例题分析：
题型一：三角函数的定义域
1.若10,lg(sin )2x y x π<<=-+
则函数 ） A.[ππ3
2,3) B.)6
5,6(ππ C.)6
5
,3[ππ D.),6
5
(ππ
题型二：三角函数的值域 2.求下列函数的值域：
① 【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是 。
② x x y sin 3cos 3-=，[]π,0∈x 的值域为 。
题型三： 三角函数的单调性
3．函数1()sin(2)26
f x x π
=+的单调减区间为 。
4.函数[]()ππ,0,26sin 2∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x x y 的增区间是( ) A ．[0，
3π] B ．[12π，712
π] C ．[3π，56π] D ．[56π，π]
题型四：三角函数的周期性
5.（多选题）下列函数中，π是最小正周期的是( )
A ．|sin |x y =
B ．|tan |x y = C. x y tan = D.|cos ||sin |x x y +=
6.函数()x x x x x f cos sin 32cos sin 2
2
--=（x ∈R ）的最小正周期是 。
题型五：三角函数的奇偶性 7.（多选题）若函数()sin()3
x f x ϕ
+=是偶函数，则下列ϕ正确的是( ) A.2
3π-
B.2π
C.32π
D.53π
题型六：三角函数的对称性
8.（多选题）函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程可以为（ ）
A.125π-
=x
B.3x π=
C.6x π=
D.12x π
=
9.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，直线6x π
=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是离该轴最近的一个对称中心，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2
π
D ．34π
题型七：函数b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 图象的变换
10．要得到函数sin(2+)2
y x π
=的图像，只需要将函数sin 2y x =的图像（ ）
A ．向左平移
2π个单位 B ．向右平移2π
个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4
π
个单位
题型八：根据图象的特征确定函数b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的解析式
11.（2016年全国II 卷高考）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则 （ ）
（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)
3y x π
=- （C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3
y x π
=
12.（2017天津，理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5(
)28f π=，()08
f 11π
=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=
，12
ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π
=- （C ）13
ω=，24ϕ11π
=-
（D ）13
ω=，24ϕ7π
=
三、巩固练习： 1.函数()22cos sin 55
x x
f x =+的图像中相邻的两条对称轴之间的距离是 .
2.如果函数(32)y cos x ϕ＝＋的图象关于点(
43
π
，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．
6π B ．3π C ．56π D ．12
π
3、（多选题）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=3cos πx x f ，则下列结论正确的是( )
A ．()x f 的一个周期为−2π
B ．()x f y =的图像关于直线x =
83
π
对称 C ．()π+x f 的一个零点为x =6
π D ．()x f 在(2
π,π)单调递减
4．（2014年安徽高考）若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．
8π B ．4π C ．8
3π
D ．
4
3π
三角函数的图像与性质 知识点与题型归纳
1 ●高考明方向 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数 在区间? ?? ?? －π2，π2内的单调性． ★备考知考情 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法. 《名师一号》P55
2 二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3 函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1 2 的定义域为____________ 解析 要使函数有意义必须有? ??? ? sin x >0，cos x －1 2≥0， 即????? sin x >0，cos x ≥12，解得???? ? 2k π 3 解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示． 结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为?????? ????x ??? 2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z . 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解． 例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4 函数y ＝2sin ? ?? ?? πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之 和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 三角函数 要求层次 重难点 sin y x =，cos y x =， tan y x =的图象和性质 C 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法 函数sin()y A x ω?=+的图象 C 会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ω?=+的简图， 理解,,A ω?的物理意义，掌握由函数sin y x =的图象到函数 sin()y A x ω?=+的图象的变换原理和方法 用三角函数的图象解决一 些简单的实际问题 B 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心 三角函数的定义域和值域 B 掌握三角函数的定义域、值域的求法 三角函数的性质 C 掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化为 sin()y A x ω?=+的三角函数的性质 三角函数的图象和性质的应用 C 掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用 三角函数的图象是高考的热点之一，重点考查已知图象求解析式，函数的图象变换及对称问题，利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题，多为中档题. 板块一：三角函数的图象 高考要求 第九讲 三角函数的图像与性质 知识精讲 1.三角函数的图象 2.函数() ()sin 0,0,y A x A x ω?ω=+>>∈R 的图象的作法――五点法 ①确定函数的最小正周期2π T ω = ； ②令x ω?+＝0、π2 、 π、3π2、2π，得x ?ω=-、1π()2?ω-、1(π)?ω-、13π()2?ω-、1(2π)?ω -，于是得到五个关键点(,0)?ω-、1π((),1)2?ω-、1((π),0)?ω-、13π ((),1)2 ?ω--、 1 ((2π),0)?ω -； ③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数() ()sin 0,0,y A x A x ω?ω=+>>∈R 的图象． 3.()()sin 0,0,y A x A x ω?ω=+>>∈R 的图象 函数()()sin 0,0,y A x A x R ω?ω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把sin y x = 的图象上所有点向左(0)?>或向右(0)?<平行移动||?个单位；再把所得各点的横坐标缩 短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的 1ω 倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ω?=+的图象．当函数 sin()y A x ω?=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期； 1 T 叫做频率；x ω?+叫做相位，?叫做初相． 上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换 要得到函数sin()(0)y x ??=+≠的图象，可以令x x ?=+，也就是原来的x 变成了现在的 x ?+，相当于x 减小了(0)??<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)?>或向 三角函数的图像与性质 一、知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π2，1，(π， 0)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π2，0，(π， －1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) π 3.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. (3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间 ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( ) 解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛ ⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定 义域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2 D.T ＝2π，A ＝2 解析 最小正周期T ＝2π 2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A 3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π 2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π 2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ) 高一数学三角函数的图像性质 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3,, ,22 2 π π ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域：都是[]1,1-；①对sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1； 当()322 x k k Z π π=+∈时，y 取最小值－1；②对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时， y 取最小值－1。 3、周期性：①sin y x =，cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和 ()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2|| T πω= 。 4、奇偶性、对称性与单调性： 奇偶性与单调性： ①正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+∈； ②余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π π⎛⎫ + ∈ ⎪⎝ ⎭ ，对称轴是直线()x k k Z π=∈；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 单调性： ①()sin 2,22 2y x k k k Z π πππ⎡ ⎤ =- + ∈⎢⎥⎣ ⎦ 在上单调递增，在()32,22 2k k k Z π πππ⎡ ⎤ + + ∈⎢⎥⎣ ⎦ 单调递减； ②cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。 三角函数的图象与性质 教学目标： 1、掌握正、余弦函数的定义域和值域； 2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性； 3、能正确求出正、余弦函数的单调区间 教学重点： 正、余弦函数的性质 教学难点： 正、余弦函数的单调性 知识要点： 1、定义域： 函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R 2、值域： 函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1- 理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤， cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。 （2）函数sin y x =在2,()2x k k Z π π=+∈时，y 取最大值1，当22x k π π=-， ()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。 正弦函数sin y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。 4、奇偶性 正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。 理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立； （2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。 5、单调性 （1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2 π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道： ①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。 （2）由余弦曲线可以知道： ①余弦函数cos y x =在每一个区间()21,2k k ππ-⎡⎤⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间()2,21k k ππ+⎡⎤⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。 练习：不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）0sin 250与0sin 260； （2）15cos 8π与14cos 9 π 三角函数的图像与性质 三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是 必须掌握的内容。在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。 一、正弦函数的图像与性质 正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期 性变化。正弦函数的性质包括： 1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重 复出现。 2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。幅度越大，波峰和波谷的差值越大。 3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。 4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。 举例说明： 假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。在区间[0, 2π]内，正弦函 数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。这 样的周期性变化会一直重复下去。根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。 二、余弦函数的图像与性质 余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一 些不同之处。余弦函数的性质包括： 1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。 2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。 3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。 4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。 举例说明： 假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。这样的周期性变化会一直重复下去。根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。 三、正切函数的图像与性质 正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。正切函数的性质包括： 1. 周期性：正切函数的周期是π，即在每个π的区间内，正切函数的图像重复出现。 2. 无界性：正切函数在某些点上无定义，例如在π/2，3π/2，5π/2等点上，正切函数的值为无穷大。 3. 对称性：正切函数的图像关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。 4. 奇偶性：正切函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。 举例说明： 假设有一条正切函数的图像，周期为π。在区间[-π/2, π/2]内，正切函数的图像先从负无穷大逐渐上升到正无穷大，然后又从正无穷大下降到负无穷大。这样的周 高中数学教案：三角函数的性质与图像 三角函数是高中数学中的重要内容，不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程等领域也起着重要的作用。掌握三角函数的性质与图像对于学生来说至关重要。本文将围绕三角函数的性质与图像展开讲解，分为两个部分进行说明。 一、三角函数的性质 1. 周期性：正弦函数(sin)和余弦函数(cos)是周期性函数，周期为2π（或360°），即f(x+2π) = f(x)。这意味着函数曲线在每个周期内会重复出现相同的形态。 2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，而余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。奇偶性可以通过图像上的对称关系进行判断。 3. 正交关系：正弦和余弦函数之间存在正交关系，即∫sin(x)cos(x)dx = 0。这意 味着两者之间不存在直接的线性相关性。 4. 单调递增与递减：根据定义域内正弦和余弦函数的增减特点可以得知，在某 些区间内它们是单调递增或递减的。 5. 平移变换：改变函数的相位(shift)可以使得函数图像水平方向上发生移动， 例如sin(x+π/2)与cos(x)的图像是一样的。 二、三角函数的图像 1. 正弦函数的图像：正弦函数是一条连续波浪线，它在原点处取得最小值0， 在每个周期内起伏变化。其振幅决定了在y轴上最高点和最低点之间的距离，而周期决定了在x轴上一个完整波浪长度。通过控制振幅和周期，可以改变正弦函数在坐标平面上的形态。 2. 余弦函数的图像：余弦函数类似于正弦函数，也是一条连续波浪线。它与正 弦函数之间存在相位差π/2，即cos(x)=sin(x+π/2)，所以他们图像上只有水平方向 发生了移动。除此之外，余弦函数具有与正弦函数相似的性质和特点。 3. 正切函数的图像：正切函数(tan)是一个无界且周期为π（或180°）的曲线。 它在定义域内有无数个渐近线（垂直或水平），并且存在奇点(pi/2 + k*pi, k为整数)，奇点处不能成立该点的函数值。 以上是三角函数性质与图像的基本介绍，通过学习和理解这些性质和图像，我 们可以更好地应用三角函数求解实际问题。因此，在教学中需要引导学生通过观察、绘制和分析图像来掌握这些知识点。 在教学中，我们可以采用以下教学活动来巩固学生对于三角函数性质与图像的 理解： 1. 绘制正弦函数的图像：让学生在纸上手绘出不同振幅和周期的正弦函数图像，并比较它们之间的异同之处。 2. 探索奇偶性：指导学生通过将自变量x替换为-x，观察正弦和余弦函数在坐 标平面上是否有对称关系，帮助他们理解奇偶性的概念。 3. 拓展应用：引导学生使用三角函数的性质与图像求解实际问题，例如物体运 动的模拟、电流振荡等。 总结起来，了解并熟练掌握三角函数的性质与图像对于高中数学的学习非常重要。只有通过深入理解三角函数的特点，并能够将其应用到实际问题中去，才能更好地掌握数学知识，提高解题能力。希望本文对于你的学习有所帮助。 三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质 函数y＝sin x y＝cos x 图 象 定义域R R 值域－1,1－1,1 单调性 递增区间： 2,2() 22 k k k Z ππ ππ ⎡⎤ -+∈ ⎢⎥ ⎣⎦ 递减区间： 3 2,2() 22 k k k Z ππ ππ ⎡⎤ ++∈ ⎢⎥ ⎣⎦ 递增区间：2kπ－π,2kπ k∈Z 递减区间：2kπ,2kπ＋π k∈Z 最值x＝2kπ＋错误!k∈Z时,y max＝ 1； x＝2kπ－错误!k∈Z时,y min＝ －1 x＝2kπk∈Z时,y max＝1； x＝2kπ＋πk∈Z时,y min＝ －1 奇偶性奇函数偶函数 对称性 对称中心：kπ,0k∈Z含原点 对称轴：x＝kπ＋错误!,k∈Z 对称中心：kπ＋错误!,0k∈Z 对称轴：x＝kπ,k∈Z含y 轴 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 值域 R 单调性 递增区间(,)()2 2 k k k Z ππππ-+∈ 奇偶性 奇函数 对称性 对称中心：(,0)()2 k k Z π ∈含原点 最小正周期 π 三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>的图象 x y sin = 方法一：先平移后伸缩 方法二：先伸缩后平移 操作 向左平移φ个单位 横坐标变为原来的1 ω 倍 结果 )sin(ϕ+=x y x y ωsin = 操作 横坐标变为原来的1 ω倍 向左平移ϕ ω个单位 最小正周期 2π 2π 注意换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误. 2. )sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>的性质 1定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将ϕω+x 看作一个整体,与相应的简单三角函数比较得出； 2奇偶性：只有当ϕ取特殊值时,这些复合函数才具备奇偶性： )sin(ϕω+=x A y ,当π ϕk =时为奇函数,当2 ππϕ±=k 时为偶函数； 3最小正周期：ω π2=T 3. y ＝A sin ωx ＋φ, x ∈0,+∞ 0,0A ω>>中各量的物理意义 1 A 称为振幅； 22T πω =称为周期； 31 f T = 称为频率； 4x ωϕ+称为相位； 5ϕ称为初相 6ω称为圆频率. 三角函数的图像与性质 二. 教学目标： 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。 三. 知识要点： 1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2. 三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是 的递增区间是， 3. 函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4. 由y＝sin x的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换） 先将y＝sin x的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位， 再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。 途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。 先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x 轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。 5. 对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。 6. 五点法作y=A sin（ωx+）的简图： 五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及 高中数学教案：三角函数的性质与图像 一、引言 三角函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等多个领域中都有广泛的应用。为了帮助学生更好地理解和掌握三角函数的性质和图像，本教案将从角度的概念出发，详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的特性以及它们的图像。 二、正弦函数的性质与图像 1. 正弦函数的定义 正弦函数是三角函数中最常见的一种，它的定义是：对于任意实数x，正弦函数sin(x)等于x对应的单位圆上的点在y轴上的纵坐标值。这个定义可以用单位圆的概念来理解。 2. 正弦函数的周期性 正弦函数具有周期性，即sin(x+2π) = sin(x)，其中π是圆周率。这意味着正弦函数的图像在每个周期内重复。 3. 正弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。这意味着正弦函数的图像关于原点对称。 4. 正弦函数的图像 正弦函数的图像呈现出一条连续的波动曲线，它在x轴的交点称为零点。当x 的取值增大时，正弦函数的值在区间[-1, 1]之间波动。 三、余弦函数的性质与图像 1. 余弦函数的定义 余弦函数是三角函数中另一种常见的函数，它的定义是：对于任意实数x，余弦函数cos(x)等于x对应的单位圆上的点在x轴上的横坐标值。 2. 余弦函数的周期性 余弦函数也具有周期性，即cos(x+2π) = cos(x)。 3. 余弦函数的偶性 余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。与正弦函数不同，余弦函数的图像关于y轴对称。 4. 余弦函数的图像 余弦函数的图像也是一条连续的波动曲线，它在x轴的交点同样称为零点。与正弦函数相比，余弦函数的图像在x轴上整体向左平移π/2个单位。 四、正切函数的性质与图像 1. 正切函数的定义 正切函数是三角函数中比较特殊的一种函数，它的定义是：对于任意实数x，正切函数tan(x)等于正弦函数sin(x)除以余弦函数cos(x)。 2. 正切函数的周期性 正切函数同样具有周期性，即tan(x+π) = tan(x)。由于正切函数的定义涉及到余弦函数的除法，当余弦函数为零时，正切函数的值无定义。 3. 正切函数的奇偶性 正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。 4. 正切函数的图像 三角函数的图象与性质 基础梳理 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0) ⎝⎛⎭⎫3 2π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π 2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z } 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π 2 (k ∈Z )； 对称中心： (k π，0)(k ∈Z ) 对称轴： x ＝k π(k ∈Z )； 对称中心： (k π＋π 2 ，0) (k ∈Z ) 对称中心：_⎝⎛⎭⎫ k π2，0 (k ∈Z ) 周期 2π_ 2π π 单调性 单调增区间_[2k π－ π2，2k π＋π2 ](k ∈Z )___； 单调减区间[2k π＋π2 ， 2k π＋3π 2 ] (k ∈Z ) __ 单调增区间[2k π－π， 2k π] (k ∈Z ) ____； 单调减区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )______ 单调增区间_(k π－π 2， k π＋π 2)(k ∈Z )___ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 3.)＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π|ω| ，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为 π |ω| . 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界. 2023年新高考复习讲练必备 第14讲 三角函数的图像和性质 一、知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ π2，1，(π，0)， ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ π2，0，(π，－1)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图像 定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π 2} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡ 2k π－π2， ⎦ ⎥⎤2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛ k π－π2， ⎭ ⎪⎫k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡ 2k π＋π2， ⎦ ⎥⎤2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ k π2，0 对称轴方程 x ＝k π＋π 2 x ＝k π 无 二、考点和典型例题 1、三角函数的定义域和值域 【典例1-1】（2022·河北邯郸·二模）函数()π sin(2)3f x x =+在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 上的值域为（ ） A ．(]0,1 B ．3,02⎛⎫ - ⎪ ⎪⎝⎭ C ．3,12⎛⎤ - ⎥⎝⎦ D ．[]1,1- 【典例1-2】（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）函数()2 3sin 22sin f x x x =+，若()()123f x f x ⋅=-， 则122x x -的最小值是（ ） A ． 23 π B ． 4 π C ． 3 π D ．6 π 【典例1-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()2sin cos 3cos2f x x x x =-，则下列结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．3 x π =时()f x 取得最小值 C ．()f x 关于3 x π = 对称 D ．512 x π = 时()f x 取得最大值 【典例1-4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式 ()21sin cos cos 02x x x m m -++≥∈R 对,43x ππ⎡⎤ ∀∈-⎢⎥⎣⎦ 恒成立，则m 的最小值为（ ） A ． 234 + B ．12 C ．22 - D ． 22 【典例1-5】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数()π2sin (0)3f x x ωω⎛ ⎫=-> ⎪⎝ ⎭在[]0,π上的值域是 3,2⎡⎤-⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．14π,π23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．55π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性 【典例2-1】（2022·山东威海·三模）己知函数()()sin cos(2)[0,π]f x x x ϕϕ=+∈为偶函数，则ϕ=( ) A ．0 B ．π 4 C ．π2 D ．π 【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函数()2π3πcos 2sin 232f x x x ⎛⎫⎛ ⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭，将函数()f x 的图象向左平 移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ． π 12 B ． 5π12 C ．6 π D ．π3 三角函数的图像和性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，)1,2 (π ，(π，0)，) 1,23( -π，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π ，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 (1)周期性 函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 双基自测 1．函数)3cos(π +=x y ，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数) 4 tan(x y -=π 的定义域为( )． A ． } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B ．},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C ．},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D ．},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3．)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B ．)0,4 3(π- C ．)0,2 3( π D ．)0,2 (π 4．函数f (x )＝cos )6 2(π +x 的最小正周期为________． 考向一 三角函数的周期 【例1】►求下列函数的周期： (1)) 2 3sin(x y π π-=；(2))63tan(π-=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： 三角函数的图象与性质 一．课标要求： 1．能画出y =sin x , y =c os x , y =t a n x 的图像，了解三角函数的周期性； 2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点等）； 3．结合具体实例，了解y =A sin （w x +φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =A sin （w x +φ）的图像，观察参数A ，w ，φ对函数图像变化的影响。 二．命题走向 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 预测07年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）； 2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y =A sin （w x +φ）的图象及其变换； 三．要点精讲 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡ +-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡ ++23222ππππk k ，)(Z k ∈； 目录 三角函数的图像与性质 (2) 模块一:三角函数图像与性质 (2) 考点1:正弦函数图像与性质 (3) 考点2:余弦函数图像与性质 (5) 考点3:正切函数图像与性质 (6) 课后作业: (7) 专题14 三角函数的图像与性质模块一:三角函数图像与性质 1．正弦函数sin =． y x 2 对称中心 ()ππ0 2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ Z ， 奇偶性 偶函数 单调性 单调增区间 []()π2π2πk k k -+∈Z ， 单调减区间 []()2ππ2πk k k +∈Z ， 3．正切函数tan y x =． 正切函数 tan y x = 图象 性质 定义域 ()ππππ22k k k ⎛⎫ -++∈ ⎪⎝⎭ Z ， 值域 R 最小正周期 π 对称性 对称轴 无 对称中心 ()π0 2k k ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ Z ， 奇偶性 奇函数 单调性 单调增区间 ()ππππ22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭ Z ， 单调减区间 无 考点1:正弦函数的图像及性质 例1.（1）函数()sin (0)f x A x A =>的图象如图所示,P ,Q 分别为图象的最高点和最低点,O 为坐标原点,若OP OQ ⊥,则(A = ) A ．3 B C D ．1 【参考解答】解:函数()sin (0)f x A x A =>,周期2T π=, 可得:( 2 P π ,)A ,3( ,)2 Q A π -． 连接PQ ,过P ,Q 作x 轴的垂线, 可得:2224[()]2QP A π=+,222()]2OP A π=+,2223()]2 OQ A π =+, 由题意,OPQ ∆是直角三角形, 222QP OP OQ ∴=+,即2225 22 A ππ+=, 解得:A = 故选:B ． （2）已知函数2sin y x =的定义域为[a ,]b ,值域为[2-,1],则b a -的值不可能是( ) A ． 56 π B ．π C ．76 π D ． 32 π 【参考解答】解:函数2sin y x =的定义域为[a ,]b ,值域为[2-,1],[x a ∴∈,]b 时,11sin 2 x -, 故sin x 能取到最小值1-,最大值只能取到12 , 例如当2 a π =-,6 b π = 时,区间长度b a -最小为 23 π; 当76a π=- ,6b π=时,区间长度b a -取得最大为43π,即 243 3 b a ππ-, 故b a -一定取不到32 π , 故选:D . （3）在[0,2]π内满足2 sin 2 x 的x 的取值范围是 ． 精编习题 三角函数的图象与性质 一、知识网络 二、高考考点（一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性和单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数 （或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以和难度 较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的 逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以和关于三角函数的认知变换水平.三、知识要点（一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ）为偶函数；为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y ＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；（ⅱ） 的最小正周期为； 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±−−−→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 清单14 三角函数的图象与性质 一、知识与方法清单 1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y ＝sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是：(0,0),⎝⎛⎭⎫π2，1,(π,0),⎝⎛⎭⎫3π 2，－1,(2π,0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是：(0,1),⎝⎛⎭⎫π2，0,(π,－1),⎝⎛⎭⎫3π 2，0,(2π,1)． 【对点训练1】已知函数()π24f x x ⎛ ⎫= + ⎪⎝ ⎭. （1）用“五点法”作出()f x 在[]0,π上的简图. （2）由图象写出()f x 在[]0,π上的单调区间. 【解析】（1）列表： 描点､连线如图所示： （2）由函数图象可知,()f x 在[]0,π上的单调增区间为π0,8⎡ ⎤⎢⎥⎣⎦,5π ,π8⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦,单调减区间为π,85π8⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦. 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 【对点训练2】（2021上海市高三模拟）设函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ,2x ,…,n x ,若()34tan cos x x α-=,则sin 2α=___________. 【答案】3 5 【解析】因为()cos2cos100x x x =≥,则有1022πx x k =+或1022πx x n +=,k ,n ∈N , 解得1π4x k =或π 6 n x = ,k ,n ∈N ,又函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ,2x ,…,n x ,所以0x =,π6,π4,π3,π2, 2π 3 ,…, 故3π4x = ,4π3x =,所以()34tan cos x x α-=,即ππtan cos 43α⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ ,高一数学讲义 三角函数的图像和性质
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