二元函数求极值的方法总结
二元函数求极值的方法总结
二元函数求极值的方法主要有以下几种：局部极值的判定、二次型矩阵的特征值判定、拉格朗日乘数法和约束条件消去法。下面将逐一介绍这些方法。
1. 局部极值的判定：对于二元函数，我们可以先求取一阶偏导数，然后将偏导数为零的点带入二阶偏导数。如果二阶偏导数的行列式为正，那么该点是局部极小值点；如果二阶偏导数的行列式为负，那么该点是局部极大值点；如果二阶偏导数的行列式为零，那么无法判定。此外，还需考虑边界点和可能的间断点。
2. 二次型矩阵的特征值判定：对于二元函数，我们可以构造二次型矩阵，并求取其特征值。如果特征值均为正，那么该点是极小值点；如果特征值均为负，那么该点是极大值点；如果特征值既有正又有负，那么该点是鞍点；如果特征值中既有正数、负数，又有零，那么无法判定。
3. 拉格朗日乘数法：对于带有约束条件的二元函数最值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法。首先，将约束条件转化为等式形式，然后构造拉格朗日函数。接下来，对拉格朗日函数进行求导，将导数与约束条件一同解方程组。求得的解即为极值点。
4. 约束条件消去法：对于带有约束条件的二元函数最值问题，我们可以使用约束条件消去法。首先，将约束条件代入目标函数，得到一个只含有一个变量的函数。然后，对这个函数进行一元函数求导，找出极值点。将极值点代入原来的约束条件，得到最终的极值点。
总之，对于二元函数求极值的问题，我们可以通过局部极值的判定、二次型矩阵的特征值判定、拉格朗日乘数法和约束条件消去法来解决。不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法。
二元函数最大值最小值
二元函数最大值最小值 1. 二元函数的定义及性质 二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。 2. 求二元函数最大值最小值的方法 求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法： 2.1 方程法 方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。具体步骤如下： 1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数； 2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点； 3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。 2.2 极值法 极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。具体步骤如下： 1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数； 2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点； 3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定； 4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。 2.3 Lagrange乘子法 Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。具体步骤如下： 1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件； 2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；
3.解方程组，求得最大值和最小值。 3. 求解二元函数最大值最小值的示例 假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。 3.1 方程法求解最大值最小值 对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数： ∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y 令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。 计算关键点对应的函数值： f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0 所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。 3.2 极值法求解最大值最小值 对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数： ∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y 令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。 计算关键点对应的二阶偏导数： ∂2f/∂x2 = 2，∂2f/∂y2 = 2 由于二阶偏导数均为正数，所以关键点(0,0)为最小值点。 计算最小值点对应的函数值： f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0 所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最小值为0。
二元函数极值问题
二元函数极值问题
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5 0x >时， 1,z x ?=? 0x <时，1z x ?=-?. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见，函数的极值点必为 f x ??及f y ??同时为零或至少有一个偏导数不存在的点. 3.2极值的充分条件 设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又 0),(00'=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为 A y x f xx =),(00', B y x f xy =),(00', C y x f yy =),(00', AC B -=?2,则函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下: (1) 当0A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值; (3) 当0>?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值; (4) 当0=?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值. 4. 求二元函数的极值的步骤 要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f ?，若(,)f x y 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==，就有 222 000000200001(,)(,)((,)22(,)(,)) x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ?=+?+?-=+?+??++?+???++?+??. 由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续，记200(,)x A f x y =，00(,)xy B f x y =，200(,)y C f x y =，那就有
二元函数 f(x,y) 求最值的常用解题方法
二元函数 f(x,y) 求最值的常用解题方法 求解二元函数f(x,y)最值的常用解题方法 求解二元函数f(x,y)的最值是高等数学课程中的一道应用难题，通过求解最 值问题，可以得出函数f(x,y)的最大值和最小值，以此来分析函数的极值的特征，为其他数学问题的求解提供思路。下文着重介绍十常用的解决二元函数最值问题的方法： 第一种方法是从图形观察法，即通过观察函数f(x,y)的图像，可以直接看出 函数的最大值和最小值。但这一方法有明显的局限性，仅对那些图像清晰简明容易看出极值的二元函数有效。 第二种方法基于极大值极小值原理。据该原理推测，函数f(x,y)的最值必定 出现在函数的定义域中，该函数的极大值与极小值的数值点满足一定的不等式。 第三种方法利用二阶偏导数法。由二阶偏导数的值判断该函数的极值性质，对 于极值的求解，可以通过求解一元函数的一阶导数与二阶导数等于零的根来实现。 第四种方法是利用拉格朗日函数法。它依赖拉格朗日函数以及拉格朗日不等式，依据拉格朗日不等式，可以确定函数f(x,y)的极值，拉格朗日不等式中的拉格朗 日函数应是原函数的真实性函数。 第五种方法是利用泰勒级数近似法。这种方法可以有效简化复杂的二元函数， 将其分解微小量的和，以此来求解函数f(x,y)的极值。 第六种方法是利用几何法求解最值问题。这一方法是将二元函数转化成平面几 何中的曲线，求解曲线相交，以求解函数极值问题。 第七种方法是利用拉普拉斯法求解最值问题。依据拉普拉斯定理，函数f(x,y)的最值定义域内满足微分方程组，而拉普拉斯方法便是利用该定理求解最值的有效方法之一。 第八种方法也可以通过牛顿-拉夫逊迭代法确定二元函数f(x,y)的最值。它借 助损失函数与多元函数，以此来求解极值exx让高维函数从有限纸面集梳理、
二元函数的最值的求法
二元函数的最值的求法 二元函数的最值求法是高等数学中的一项重要内容。这里介绍二元函数最值的求法。 首先，要判断函数的定义域。对于二元函数来说，通常是平面上的一个区域。在定义域上找出最值点，即为函数的最值点。求出这些点的函数值，就是函数的最值。 1. 线性规划法 线性规划法是一种比较常用的求解最值的方法。通常把二元函数看作一种线性函数，根据不等式条件建立约束条件，然后使用线性规划算法求得最优解。 例如，对于二元函数 $z=f(x,y)=3x+2y$，我们要在不等式约束条件下求其最大值。假设约束条件为 $x+2y\leq 4$，$3x+2y\leq 7$，$x,y\geq 0$。 首先需要将目标函数转化为标准形式，即 $z=-3x-2y$，然后可以用单纯形法求解，得到最优解 $z_{max}=9$，此时 $x=1$，$y=\frac{3}{2}$。 2. 梯度下降法 梯度下降法是一种比较常用的数值优化算法，可以用于求解二元函数的最小值。梯度下降法的基本思想是不断沿着梯度的负方向进行迭代，直到达到函数的极小值点。 对于二元函数 $f(x,y)$，梯度为 $\nabla f(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$，沿着负梯度方向的迭代公式为： $$(x,y)_{k+1}=(x,y)_k-\alpha\nabla f(x,y)_k$$ 其中 $\alpha$ 是学习率，可以动态调整。 3. 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一种求解约束优化问题的有效方法。对于二元函数 $f(x,y)$ 和约束条件 $g(x,y)=0$，可以通过拉格朗日函数构造新的函数： 其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数，通过对 $L(x,y,\lambda)$ 求偏导数，可以得到以下一组方程： $$\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\frac{\partial L}{\partial y}=0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\end{cases}$$ 解这组方程可以得到最优解 $(x^*,y^*)$ 和相应的最优值。 总结
数学论文二元函数极值的求解方法
数学论文二元函数极值的求解方法
证：不妨设),(),(00y x y x f z 在点=处有极大值，),(00y x 则对于的某邻域内任何),,(),(00y x y x ≠都有),(),(00y x f y x f <，故当时00,x x y y ≠=，有 ),,(),(000y x f y x f <则一元函数00),(x x y x f =在处有极大值，必有;0),(00=y x f x 类似地，可证.0),(00=y x f y 对于二元函数甚至多元函数与一元函数的情形类似，凡是能使一阶偏导数同时为零的点可以称为函数的驻点。 备注：具有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点。 2、二元函数极值充分条件 为了讨论二元函数f 在点),(000y x p 取得极值的充分条件，我们假定f 具有二阶连续偏导数，并记 )()()()()(00000p xx xx xx xx yy yx xy xx f f f f f p f p f p f p f p H ??????=??????= 他称为f 在),(000y x p 的黑赛矩阵。 定理2.1（极值充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === 则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下: (1)、当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0 二元函数求极限的方法总结 二元函数求极限是微积分中的重要内容之一，它涉及到对两个变量同时进行极限运算。在实际应用中，二元函数求极限的方法有多种。下面将对常用的方法进行总结和拓展。 一、直接代入法： 当二元函数在某一点的极限存在且可以直接代入，即函数在该点连续时，可以直接将函数值代入，得到极限值。 二、分别求极限法： 当二元函数在某一点的极限不存在或者无法直接代入时，可以分别对两个变量进行极限运算。即先对其中一个变量进行极限运算，然后再对另一个变量进行极限运算。通过这种方法，可以得到二元函数在某一点的极限值。 三、路径法： 路径法是一种常用的求二元函数极限的方法。其基本思想是通过选择不同的路径，对二元函数在该路径上的极限进行求解。如果在所有路径上的极限都存在且相等，则该极限即为二元函数在该点的极限。常用的路径包括x轴，y轴，直线y=kx，抛物线y=x^2等。通过选择不同的路径进行计算，可以帮助我们判断二元函数在某一点的极限是否存在。 四、夹逼定理： 夹逼定理也适用于二元函数的极限求解。当我们希望求二元函数在某一点的极限时，可以找到两个函数，一个函数上界大于该二元函数，一个函数下界小于该二元函数，并且两个函数在该点的极限相等。利用夹逼定理可以得到二元函数在该点的极限值。 五、极限存在的条件： 当我们希望判断二元函数在某一点的极限是否存在时，可以利用一些条件来进行判断。常见的条件包括函数连续性、函数的有界性、函数的单调性等。通过分析这些条件，可以得到二元函数在某一点的极限是否存在的结论。 总之，二元函数求极限的方法有多种，我们可以根据具体情况选择适当的方法。通过深入理解这些方法，我们可以更好地进行二元函数的极限运算，并应用于实际问题中。 二元函数求极值的方法 二元函数是指具有两个自变量的函数。在数学中，求二元函数的极值是一种重要的问题。本文将介绍二元函数求极值的方法，帮助读者了解这一问题的基本原理和具体操作方法。 一、定义 二元函数是指一个函数，其自变量有两个，通常用符号(x,y)或者(x,y,z)表示。我们可以将二元函数看作是平面上的一条曲线，或者空间中的一条曲面。在这里，我们假设函数是可导的，这样我们可以利用导数来求极值。 二、基本思路 求二元函数的极值，需要先求出它的偏导数，然后再根据偏导数的形式来确定函数的最大值和最小值。具体的方法分为以下几步： 1.求解偏导数 对于一个二元函数f(x,y)，我们需要先求解偏导数，将其表示为f_x和f_y。偏导数分别表示在x和y方向上，函数f的变化率。 2.求解驻点 将f_x和f_y的值设为0，求出二元函数的驻点。驻点就是函数在某个点上的导数为0的点，它是函数极值的可能位置。 3.求解二阶导数 在求解二元函数极值时，还需要考虑二阶偏导数。二阶偏导数即 求偏导数再次求导得到的结果。 4.判断极值 通过对二元函数的偏导数和二阶偏导数进行分析，可以判断出函 数的极值。当f_x,f_y均为0，且二阶偏导数f_xx*f_yy-f_xy^2>0时，函数取得极值。 三、注意事项 1.求解二元函数极值的方法有多种，但是需要选择最适合我们自 己的方法。 2.在使用求导法时，需要确保函数是可导的，否则可能会得出错 误结论。 3.在判断极值时，需要对结果进行验证，确保得出的最值是正确的。 4.在求解复杂的二元函数时，可以采用计算机辅助计算，提高求 解的准确性和效率。 四、总结 求解二元函数的极值需要明确求解偏导数和二阶偏导数的方法， 了解驻点和判断极值的基本理论。同时，需要多加练习和实践，提高 求解二元函数极值的能力和技巧。只有不断深化理解和提高实践技能，才能更好地掌握这一重要的数学问题。 二元函数的最值与极值 二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。最值是函数在给 定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取 得的最大值或最小值。本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念 及其求解方法。 一、二元函数最值的定义和求解方法 1. 最大值与最小值的定义 在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*, y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。类似地，最小值为 f(x*, y*)≤f(x, y)。 2. 常用求解方法 求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。通过确定函数 的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。 边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上 的值，包括端点和可能的不可导点。最值往往出现在函数在 D 的边界上。 极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数 为零的临界点，即潜在的极值点。通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。 二、二元函数极值的定义和求解方法 1. 极值的定义 在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。 2. 常用求解方法 求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。 一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其 等于零，求解得到潜在的临界点。通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。 二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值 点的位置。 三、实例分析 考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数 的最值和极值。 1. 最值的求解 该函数的定义域为整个平面 R^2。通过对函数进行求导，并令导数 等于零，我们可以得到二元函数的临界点为 P(1, 3)。同时，我们可以 二元函数的极值和最值 二元函数是指含有两个未知变量的函数，通常用z=f(x,y)来表示。当x、y取不同的值时，z的取值也会发生变化，因此我们需要研究如何找出二元函数的极值和最值。 一、定义 首先，我们需要了解极值和最值的定义。极值是指函数在某个点上取得的极大值或极小值，而最值则是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。 在二元函数中，极值也分为极大值和极小值。当函数在某个点处取得极大值时，这个点被称为极大值点；同理，当函数在某个点处取得极小值时，这个点被称为极小值点。 考虑以下例子：z=x^2+y^2，我们需要找到z的极小值和最小值。 二、求解方法 我们可以通过求一阶偏导数来找到极值点和最值点。对于二元函数z=f(x,y)，我们先求出x和y的一阶偏导数： ∂z/∂x=2x ∂z/∂y=2y 求出它们的偏导数后，我们需要将偏导数相等的方程组联立起来，解出x和y的值，进而求得z的值。 举个例子，对于函数z=x^2+y^2，我们可以得到： 2x=0 2y=0 由此可得，当x=0，y=0时，z取得最小值0。 除了求一阶偏导数的方法，我们还可以通过求二阶偏导数来判断函数的极值类型。 若f(x0,y0)满足： ① ∂²f/∂x²(x0,y0)>0, ∂²f/∂y²(x0,y0)>0，则f(x0,y0)为极小值点； ② ∂²f/∂x²(x0,y0)<0, ∂²f/∂y²(x0,y0)<0，则f(x0,y0)为极大值点； ③ ∂²f/∂x²(x0,y0)与∂²f/∂y²(x0,y0)符号相反，则f(x0,y0)为鞍点。 同样以z=x^2+y^2为例，我们可以得到： ∂²z/∂x²=∂²z/∂y²=2>0，因此z取得最小值。 3. 拓展方法 二元函数极值的判定方法 一、介绍： 二元函数是指含有两个自变量的函数，也称为二元关系。在解决实际问题时，经常需 要确定二元函数的极值，以便确定最优解。本文将探讨关于二元函数极值的10种判定方法，并详细描述每种方法的应用场景及具体操作方法。 二、10种判定方法： 1. 偏导数法； 2. 拉格朗日乘数法； 3. 常数替换法； 4. 参数方程化法； 5. 极角表示法； 6. 等势线法； 7. 变量替换法； 8. 图像法； 9. 中值定理法； 10. 差分法。 三、具体描述： 1. 偏导数法：偏导数法在判定二元函数极值时是最常用的方法之一。该方法需要求 出函数在每个自变量方向上的偏导数，并令偏导数为0，以确定极值点。但需要注意的是，只有在偏导数存在的情况下才能使用该方法。 2. 拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种常用的约束最大化、最小化方法。该方 法通过引入拉格朗日乘数来将约束条件加入到目标函数中，以求出最优解。适用于带有一 定条件限制的二元函数。 3. 常数替换法：常数替换法是将一些含有常数的目标函数进行替换，以达到更好的 分析效果。将某个常数替换成一个自变量，可以得到新的目标函数，进而判断其是否有极 值点。 4. 参数方程化法：当二元函数为参数方程形式时，可以通过对参数进行求导，以求 出函数对应自变量范围内的最优解。 5. 极角表示法：当二元函数的自变量在极坐标系中呈现出特定的规律时，可以使用 极角表示法来推导出函数的极值点及最优解。 6. 等势线法：等势线法是使用等高线图来分析二元函数极值的一种方法。在等高线 图中，连续的等高线表示对应的函数值是相等的。可以通过对等高线之间的距离进行计算，判断函数是否具有极值点。 7. 变量替换法：变量替换法是通过将变量进行替换，以求出原函数的最优解。将一 个变量用其它变量进行表示，可以将原函数转化为另一种形式，进而分析其极值。 8. 图像法：图像法是在图像上对二元函数进行分析的一种方法。可以通过对函数图 像进行观察，勾画出极值点所在的位置。 9. 中值定理法：中值定理法是常用于对单变量函数进行分析的一种方法。通过对二 元函数进行变量分离，也可以使用该方法求解二元函数的极值点。 10. 差分法：差分法是通过计算函数在目标点的邻域内的取值变化大小来推导出极值 点的一种方法。差分法需要根据实际问题选择不同的差分方法，以获得更准确的结果。 四、结论： 以上是关于二元函数极值的10种判定方法。不同的方法适用于不同的问题，具体的方法和操作应根据实际问题进行选择和使用。通过对这些方法的学习和掌握，可以更高效地 解决实际问题，并获得更准确的结果。 二元函数判断极值点的方法 二元函数是含有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。判断二元函数的极值点是求解该函数的局部最大值或最小值的位置。在数学中，存在多种方法来判断二元函数的极值点，下面将介绍其中一些常用的方法。 1. 偏导数法：使用偏导数来确定极值点是最常见和常用的方法之一。首先，计算函数f(x,y)分别对x和y的偏导数，记为f/x和f/y。然后，求解方程组f/x = 0和f/y = 0，得到极值点的可能位置。最后，使用二阶偏导数的符号（即Hessian矩阵）来确定这些可能位置是极大值点、极小值点还是鞍点。 2. 二次型法：对于二元函数f(x,y)，可以构建二次型Q(x,y) = f_xx(x,y) + 2f_xy(x,y) + f_yy(x,y)，其中f_xx，f_xy和f_yy分别代表二阶偏导数。通过对二次型进行特征值分析，可以判断极值点的性质。如果二次型的所有特征值都为正，则该点为极小值点；如果所有特征值都为负，则该点为极大值点；如果特征值有正有负，则该点为鞍点。 3. Lagrange乘数法：当二元函数f(x,y)在一定约束条件下求取极值时，可以使用Lagrange乘数法。该方法通过引入拉格朗日乘数λ来将约束条件纳入考虑，将问题转化为无约束的极值问题。具体步骤为： 首先构建拉格朗日函数L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)，其中g(x,y)为约束条件；然后求解L的偏导数关于x、y和λ的方程组，并解得极值点。 4. 格雷默法则：对于二元函数f(x,y)，如果在某个点(x0,y0)的某个邻域内，所有偏导数f/x和f/y的值都存在且连续，且满足f/x ≠0或f/y ≠ 0，那么点(x0,y0)是二元函数的一个极值点。 在实际应用中，以上方法可以根据具体问题的需求选择合适的方法来判断二元函数的极值点。同时，这些方法也可以用于更高维度的函数的极值判断。 matlab二元函数极限算法依据 摘要： 一、引言 二、MATLAB 求二元函数极值的方法 1.使用fmincon 函数 2.使用diff 函数 三、MATLAB 实例讲解 四、二元函数极限的求法 五、结论 正文： 一、引言 在数学研究中，求解二元函数的极值问题是一个常见且重要的问题。在实际应用中，我们常常需要找到一个函数在特定条件下的最小值或最大值。这时，我们可以借助MATLAB 这一强大的数学软件来解决这个问题。本文将介绍如何使用MATLAB 求解二元函数的极值问题，并通过实例加以讲解。 二、MATLAB 求二元函数极值的方法 1.使用fmincon 函数 MATLAB 提供了一个名为fmincon 的函数，可以用来求解具有约束条件的优化问题。对于二元函数的极值问题，我们可以将问题转化为优化问题，并使用fmincon 函数求解。具体的MATLAB 代码如下： ```matlab f = @(x) 7.2 * sqrt(25 * (15 - x(1))^2) + 7.2 * (107 / (20 - x(1))) * sqrt((8 - x(2))^2 + (20 - x(1))^2); A = [1, 0; -1 / (20 - x(1)), -1 / (8 - x(2))]; b = [0; 1]; x0 = [10; 10]; [x, fval] = fmincon(f, x0, A, b); ``` 在上述代码中，我们首先定义了一个二元函数f，然后通过A 和b 向量定义了约束条件。接着，我们使用fmincon 函数求解极值问题，其中x0 表示初始值。最后，函数返回极值点的坐标和函数值。 2.使用diff 函数 除了使用fmincon 函数外，我们还可以使用diff 函数来求解二元函数的极值。diff 函数可以用来计算函数在某点的导数。对于二元函数，我们可以分别计算两个变量的偏导数，然后根据极值点的条件求解。具体的MATLAB 代码如下： ```matlab f = @(x) 7.2 * sqrt(25 * (15 - x(1))^2) + 7.2 * (107 / (20 - x(1))) * sqrt((8 - x(2))^2 + (20 - x(1))^2); x0 = [10; 10]; h = 0.01; x = x0 + h * (0:0.1, 0:0.1); fval = zeros(size(x)); for i = 1:size(x, 1) 二元隐函数极值求解技巧 在微积分中，我们经常遇到通过极值来求解函数的最大值或最小值的问题。对于一元函数，我们可以直接通过求导数来找到极值点。但当函数存在多个变量时，我们需要使用多元函数的极值求解技巧。特别地，当函数无法用解析表达式表示时，我们可以使用隐函数极值求解技巧来求解它的极值。 隐函数极值求解是研究多元函数极值问题的重要方法之一，在经济学、物理学、力学等领域中得到广泛应用。 一、求隐函数的一阶偏导数 首先，我们需要确定隐函数的变量。假设我们有一个二元函数f(x, y)，其中x和y是自变量，而f是因变量。隐函数的表达式通常采用方程的形式表示，即g(x, y)=0，其中g是一个函数。在这种情况下，我们称g(x, y)=0为隐函数。 为了求解隐函数f(x, y)的极值，我们首先需要计算它的一阶偏导数。具体做法是考虑f(x, y)作为g(x, y)=0的复合函数。我们用链式法则来计算这个复合函数的偏导数。 设z=f(x,y)，g(x,y)=0，则有dz/dx=∂z/∂x+∂z/∂y(∂y/∂x)。 因此，我们可以将∂z/∂x表示为： ∂z/∂x=-(∂g/∂x)/∂g/∂y 类似地，我们可以计算∂z/∂y。 一旦我们得到了∂z/∂x和∂z/∂y，我们就可以使用它们来解决隐函数的极值问题。 二、利用偏导数判别法求解隐函数的极值 在求解隐函数的极值时，我们可以使用偏导数判别法来判断极值点的性质。具体做法是使用一阶偏导数和二阶偏导数来计算雅可比行列式。 假设我们有一个隐函数f(x, y)。我们首先计算一阶偏导数∂z/∂x和∂z/∂y，然后计算二阶偏导数∂^2z/∂x^2、∂^2z/∂y^2和∂^2z/∂x∂y。最后，我们将这些偏导数代入雅可比行列式中。 当雅可比行列式为非零时，我们可以得到以下几种情况： 1. 如果二阶偏导数∂^2z/∂x^2>0且∂^2z/∂y^2>0，那么f(x, y)在此点上有一个局部极小值。 2. 如果二阶偏导数∂^2z/∂x^2<0且∂^2z/∂y^2<0，那么f(x, y)在此点上有一个局部极大值。 3. 如果二阶偏导数∂^2z/∂x^2和∂^2z/∂y^2符号相反，那么f(x, y)在此点上没有极值。 另外，如果雅可比行列式为0，那么我们需要考虑更高阶的偏导数来确定极值点的性质。 三、实例解析 第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值; 问题提出：在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠,如果总有),(),(00y x f y x f <,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点． 例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ,从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1必要条件 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ,那么函数所表示的曲面在点 ),,(000z y x 处的切平面方程为 二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为最近几年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值必然在驻点和不可导点取得。关于不可导点，难以判定是不是是极值点；关于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，那么0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有持续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00，B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，那么 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02>-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确信极值点即可，然后用二阶偏导确信是极大值仍是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232-=∂∂，x y y z 22-=∂∂．x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂y z ． 再求函数的驻点．令x z ∂∂= 0，y z ∂∂= 0，得方程组⎩⎨⎧=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 232． 利用定理2对驻点进行讨论： 第四节 二元函数的极值 在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 分布图示 ★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 ★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件 ★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例2 ★ 例3 ★ 求最值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4 内容要点 一、二元函数极值的概念 定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果 ),,(),(00y x f y x f < 则称函数在),(00y x 有极大值；如果 ),,(),(00y x f y x f > 则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 .0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1) 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导 数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令 .),(,),(, ),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值， 且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0二元函数求极限的方法总结
二元函数求极值的方法
二元函数的最值与极值
二元函数的极值和最值
二元函数极值的判定方法
二元函数判断极值点的方法
matlab二元函数极限算法依据
二元隐函数极值求解技巧
多元函数的极值及其求法
二元函数的极值与最值
04第四节二元函数的极值