二元函数求极限的方法总结
二元函数求极限的方法总结 二元函数求极限是微积分中的重要内容之一,它涉及到对两个变量同时进行极限运算。在实际应用中,二元函数求极限的方法有多种。下面将对常用的方法进行总结和拓展。 一、直接代入法: 当二元函数在某一点的极限存在且可以直接代入,即函数在该点连续时,可以直接将函数值代入,得到极限值。 二、分别求极限法: 当二元函数在某一点的极限不存在或者无法直接代入时,可以分别对两个变量进行极限运算。即先对其中一个变量进行极限运算,然后再对另一个变量进行极限运算。通过这种方法,可以得到二元函数在某一点的极限值。 三、路径法: 路径法是一种常用的求二元函数极限的方法。其基本思想是通过选择不同的路径,对二元函数在该路径上的极限进行求解。如果在所有路径上的极限都存在且相等,则该极限即为二元函数在该点的极限。常用的路径包括x轴,y轴,直线y=kx,抛物线y=x^2等。通过选择不同的路径进行计算,可以帮助我们判断二元函数在某一点的极限是否存在。
四、夹逼定理: 夹逼定理也适用于二元函数的极限求解。当我们希望求二元函数在某一点的极限时,可以找到两个函数,一个函数上界大于该二元函数,一个函数下界小于该二元函数,并且两个函数在该点的极限相等。利用夹逼定理可以得到二元函数在该点的极限值。 五、极限存在的条件: 当我们希望判断二元函数在某一点的极限是否存在时,可以利用一些条件来进行判断。常见的条件包括函数连续性、函数的有界性、函数的单调性等。通过分析这些条件,可以得到二元函数在某一点的极限是否存在的结论。 总之,二元函数求极限的方法有多种,我们可以根据具体情况选择适当的方法。通过深入理解这些方法,我们可以更好地进行二元函数的极限运算,并应用于实际问题中。
二元函数求极值的方法
二元函数求极值的方法 二元函数是指具有两个自变量的函数。在数学中,求二元函数的极值是一种重要的问题。本文将介绍二元函数求极值的方法,帮助读者了解这一问题的基本原理和具体操作方法。 一、定义 二元函数是指一个函数,其自变量有两个,通常用符号(x,y)或者(x,y,z)表示。我们可以将二元函数看作是平面上的一条曲线,或者空间中的一条曲面。在这里,我们假设函数是可导的,这样我们可以利用导数来求极值。 二、基本思路 求二元函数的极值,需要先求出它的偏导数,然后再根据偏导数的形式来确定函数的最大值和最小值。具体的方法分为以下几步: 1.求解偏导数 对于一个二元函数f(x,y),我们需要先求解偏导数,将其表示为f_x和f_y。偏导数分别表示在x和y方向上,函数f的变化率。 2.求解驻点 将f_x和f_y的值设为0,求出二元函数的驻点。驻点就是函数在某个点上的导数为0的点,它是函数极值的可能位置。 3.求解二阶导数
在求解二元函数极值时,还需要考虑二阶偏导数。二阶偏导数即 求偏导数再次求导得到的结果。 4.判断极值 通过对二元函数的偏导数和二阶偏导数进行分析,可以判断出函 数的极值。当f_x,f_y均为0,且二阶偏导数f_xx*f_yy-f_xy^2>0时,函数取得极值。 三、注意事项 1.求解二元函数极值的方法有多种,但是需要选择最适合我们自 己的方法。 2.在使用求导法时,需要确保函数是可导的,否则可能会得出错 误结论。 3.在判断极值时,需要对结果进行验证,确保得出的最值是正确的。 4.在求解复杂的二元函数时,可以采用计算机辅助计算,提高求 解的准确性和效率。 四、总结 求解二元函数的极值需要明确求解偏导数和二阶偏导数的方法, 了解驻点和判断极值的基本理论。同时,需要多加练习和实践,提高 求解二元函数极值的能力和技巧。只有不断深化理解和提高实践技能,才能更好地掌握这一重要的数学问题。
二元函数的极值和最值
二元函数的极值和最值 二元函数是指含有两个未知变量的函数,通常用z=f(x,y)来表示。当x、y取不同的值时,z的取值也会发生变化,因此我们需要研究如何找出二元函数的极值和最值。 一、定义 首先,我们需要了解极值和最值的定义。极值是指函数在某个点上取得的极大值或极小值,而最值则是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。 在二元函数中,极值也分为极大值和极小值。当函数在某个点处取得极大值时,这个点被称为极大值点;同理,当函数在某个点处取得极小值时,这个点被称为极小值点。 考虑以下例子:z=x^2+y^2,我们需要找到z的极小值和最小值。 二、求解方法
我们可以通过求一阶偏导数来找到极值点和最值点。对于二元函数z=f(x,y),我们先求出x和y的一阶偏导数: ∂z/∂x=2x ∂z/∂y=2y 求出它们的偏导数后,我们需要将偏导数相等的方程组联立起来,解出x和y的值,进而求得z的值。 举个例子,对于函数z=x^2+y^2,我们可以得到: 2x=0 2y=0 由此可得,当x=0,y=0时,z取得最小值0。
除了求一阶偏导数的方法,我们还可以通过求二阶偏导数来判断函数的极值类型。 若f(x0,y0)满足: ① ∂²f/∂x²(x0,y0)>0, ∂²f/∂y²(x0,y0)>0,则f(x0,y0)为极小值点; ② ∂²f/∂x²(x0,y0)<0, ∂²f/∂y²(x0,y0)<0,则f(x0,y0)为极大值点; ③ ∂²f/∂x²(x0,y0)与∂²f/∂y²(x0,y0)符号相反,则f(x0,y0)为鞍点。 同样以z=x^2+y^2为例,我们可以得到: ∂²z/∂x²=∂²z/∂y²=2>0,因此z取得最小值。 3. 拓展方法
二元函数极值的判定方法
二元函数极值的判定方法 一、介绍: 二元函数是指含有两个自变量的函数,也称为二元关系。在解决实际问题时,经常需 要确定二元函数的极值,以便确定最优解。本文将探讨关于二元函数极值的10种判定方法,并详细描述每种方法的应用场景及具体操作方法。 二、10种判定方法: 1. 偏导数法; 2. 拉格朗日乘数法; 3. 常数替换法; 4. 参数方程化法; 5. 极角表示法; 6. 等势线法; 7. 变量替换法; 8. 图像法; 9. 中值定理法; 10. 差分法。 三、具体描述: 1. 偏导数法:偏导数法在判定二元函数极值时是最常用的方法之一。该方法需要求 出函数在每个自变量方向上的偏导数,并令偏导数为0,以确定极值点。但需要注意的是,只有在偏导数存在的情况下才能使用该方法。 2. 拉格朗日乘数法:拉格朗日乘数法是一种常用的约束最大化、最小化方法。该方 法通过引入拉格朗日乘数来将约束条件加入到目标函数中,以求出最优解。适用于带有一 定条件限制的二元函数。 3. 常数替换法:常数替换法是将一些含有常数的目标函数进行替换,以达到更好的 分析效果。将某个常数替换成一个自变量,可以得到新的目标函数,进而判断其是否有极 值点。
4. 参数方程化法:当二元函数为参数方程形式时,可以通过对参数进行求导,以求 出函数对应自变量范围内的最优解。 5. 极角表示法:当二元函数的自变量在极坐标系中呈现出特定的规律时,可以使用 极角表示法来推导出函数的极值点及最优解。 6. 等势线法:等势线法是使用等高线图来分析二元函数极值的一种方法。在等高线 图中,连续的等高线表示对应的函数值是相等的。可以通过对等高线之间的距离进行计算,判断函数是否具有极值点。 7. 变量替换法:变量替换法是通过将变量进行替换,以求出原函数的最优解。将一 个变量用其它变量进行表示,可以将原函数转化为另一种形式,进而分析其极值。 8. 图像法:图像法是在图像上对二元函数进行分析的一种方法。可以通过对函数图 像进行观察,勾画出极值点所在的位置。 9. 中值定理法:中值定理法是常用于对单变量函数进行分析的一种方法。通过对二 元函数进行变量分离,也可以使用该方法求解二元函数的极值点。 10. 差分法:差分法是通过计算函数在目标点的邻域内的取值变化大小来推导出极值 点的一种方法。差分法需要根据实际问题选择不同的差分方法,以获得更准确的结果。 四、结论: 以上是关于二元函数极值的10种判定方法。不同的方法适用于不同的问题,具体的方法和操作应根据实际问题进行选择和使用。通过对这些方法的学习和掌握,可以更高效地 解决实际问题,并获得更准确的结果。
二元函数极值的几何意义
二元函数极值的几何意义 摘要: 1.二元函数极值的概念及判定条件 2.二元函数极值的几何意义 3.求二元函数极值的方法 4.实例分析 正文: 一、二元函数极值的概念及判定条件 二元函数极值是指在定义域内,函数在某一点取得最大值或最小值。判定二元函数极值的条件有以下两种: 1.二元函数的一阶导数等于零,即f_x = 0和f_y = 0同时成立。 2.二元函数的二阶导数小于零,即f_{xx} < 0和f_{yy} < 0同时成立。 二、二元函数极值的几何意义 二元函数极值的几何意义在于,当二元函数在某一区域取得极值时,该区域内的函数值变化趋势会发生变化。具体来说,如果函数在点(x0,y0)处取得极大值,那么在点(x0,y0)附近,函数值会随着x或y的增大而增大;如果函数在点(x0,y0)处取得极小值,那么在点(x0,y0)附近,函数值会随着x或y的增大而减小。 三、求二元函数极值的方法 1.求一阶导数:对二元函数f(x, y)分别求关于x和y的一阶导数,得到f_x 和f_y。
2.求二阶导数:对一阶导数f_x和f_y分别求二阶导数,得到f_{xx}和 f_{yy》。 3.判断极值:当f_x = 0且f_y = 0时,计算f_{xx}和f_{yy}的值。若f_{xx} < 0且f_{yy} < 0,则点(x0,y0)为极大值点;若f_{xx} > 0且f_{yy} > 0,则点(x0,y0)为极小值点。 四、实例分析 假设我们要求二元函数z = f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5在定义域内的极值。 1.求一阶导数: f_x = 2x - 4 f_y = 2y - 2 2.求二阶导数: f_{xx} = 2 f_{yy} = 2 3.判断极值: f_x = 0时,x = 2; f_y = 0时,y = 1; f_{xx} > 0且f_{yy} > 0,所以点(2,1)为极小值点。 通过以上分析,我们可以得出二元函数极值的几何意义以及求解方法。在实际问题中,根据题目所给的二元函数,我们可以通过求导数和判断二阶导数的正负来求解极值。
二元函数的最值与极值
二元函数的最值与极值 二元函数是指含有两个自变量的函数,通常表示为 f(x, y)。在数学中,研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。最值是函数在给 定定义域内取得的最大值或最小值,而极值则是函数在某一点附近取 得的最大值或最小值。本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念 及其求解方法。 一、二元函数最值的定义和求解方法 1. 最大值与最小值的定义 在定义域 D 上,二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*, y*),对于任意 (x, y)∈D,都有f(x*, y*)≥f(x, y)。类似地,最小值为 f(x*, y*)≤f(x, y)。 2. 常用求解方法 求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。通过确定函数 的定义域边界和计算极值点,在这些可能的点中找出函数的最值。 边界点法:首先确定函数的定义域 D,然后计算函数在 D 的边界上 的值,包括端点和可能的不可导点。最值往往出现在函数在 D 的边界上。 极值点法:计算二元函数的一阶和二阶偏导数,求出函数的偏导数 为零的临界点,即潜在的极值点。通过进一步分析这些临界点的性质,确定最值的位置。
二、二元函数极值的定义和求解方法 1. 极值的定义 在定义域 D 上,如果存在一个点 P (x*, y*),使得在 P 的某个邻域内,对于任意 (x, y)∈D,有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y),则称 P 是函数的极大值点或极小值点。 2. 常用求解方法 求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。通过对偏导数进行求解,可以找到函数的极值点。 一阶偏导数法:计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数,并令其 等于零,求解得到潜在的临界点。通过进一步分析这些临界点的性质,确定极值点的位置。 二阶偏导数法:计算二元函数的一阶和二阶偏导数。对于二阶偏导数,可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析,从而确定极值 点的位置。 三、实例分析 考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10,我们来求解该函数 的最值和极值。 1. 最值的求解 该函数的定义域为整个平面 R^2。通过对函数进行求导,并令导数 等于零,我们可以得到二元函数的临界点为 P(1, 3)。同时,我们可以
二元函数的极值与最值利用偏导数求二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值利用偏导数求二元函 数的极值与最值 在数学中,二元函数是指具有两个自变量的函数。对于二元函数,我们常常需要求解其极值与最值,以确定函数的最优解或者关键点。在这篇文章中,我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值问题。 一、定义与概念 在开始讨论二元函数的极值与最值之前,我们先来回顾一下相关的定义与概念。 1. 极值:对于一个函数f(x, y),如果存在一个点P(x0, y0),使得在点P的某个邻域内,f(x, y)的值不小于(或不大于)任意其他点处的函数值,那么点P即为f(x, y)的极值点。 2. 最大值:对于一个函数f(x, y),如果在定义域上的任意点P(x, y)处,f(x, y)的值都不大于一个确定的常数M,那么M即为f(x, y)的最大值。 3. 最小值:对于一个函数f(x, y),如果在定义域上的任意点P(x, y)处,f(x, y)的值都不小于一个确定的常数m,那么m即为f(x, y)的最小值。 二、偏导数的定义与计算
在求解二元函数的极值与最值问题时,我们可以使用偏导数的概念 与方法。偏导数是多元函数的导数在某一变量上的投影,可以用来衡 量函数在某一方向上的变化率。 对于一个二元函数f(x, y),其偏导数可以通过以下方式计算: 1. 对于x的偏导数∂f/∂x表示在y值固定的情况下,函数f关于x的 变化率。 2. 对于y的偏导数∂f/∂y表示在x值固定的情况下,函数f关于y的 变化率。 根据偏导数的定义,我们可以通过计算∂f/∂x和∂f/∂y来找到函数的 极值与最值。 三、求解二元函数的极值与最值 接下来,我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值。 1. 求解极值:为了求解二元函数的极值,我们需要先求出偏导数 ∂f/∂x和∂f/∂y的值。然后,我们将偏导数的值置为零,并求解方程组, 得到极值点的坐标。最后,我们将这些点代入原函数,求出相应的函 数值,并比较大小,得出极值。 2. 求解最值:求解二元函数的最值也可以通过偏导数的方法来实现。首先,我们需要求出函数在定义域上的所有极值点。然后,将极值点 代入原函数,得到相应的函数值。最大值即为其中的最大值,最小值 即为其中的最小值。
matlab二元函数极限算法依据
matlab二元函数极限算法依据 摘要: 一、引言 二、MATLAB 求二元函数极值的方法 1.使用fmincon 函数 2.使用diff 函数 三、MATLAB 实例讲解 四、二元函数极限的求法 五、结论 正文: 一、引言 在数学研究中,求解二元函数的极值问题是一个常见且重要的问题。在实际应用中,我们常常需要找到一个函数在特定条件下的最小值或最大值。这时,我们可以借助MATLAB 这一强大的数学软件来解决这个问题。本文将介绍如何使用MATLAB 求解二元函数的极值问题,并通过实例加以讲解。 二、MATLAB 求二元函数极值的方法 1.使用fmincon 函数 MATLAB 提供了一个名为fmincon 的函数,可以用来求解具有约束条件的优化问题。对于二元函数的极值问题,我们可以将问题转化为优化问题,并使用fmincon 函数求解。具体的MATLAB 代码如下: ```matlab f = @(x) 7.2 * sqrt(25 * (15 - x(1))^2) + 7.2 * (107 / (20 - x(1))) *
sqrt((8 - x(2))^2 + (20 - x(1))^2); A = [1, 0; -1 / (20 - x(1)), -1 / (8 - x(2))]; b = [0; 1]; x0 = [10; 10]; [x, fval] = fmincon(f, x0, A, b); ``` 在上述代码中,我们首先定义了一个二元函数f,然后通过A 和b 向量定义了约束条件。接着,我们使用fmincon 函数求解极值问题,其中x0 表示初始值。最后,函数返回极值点的坐标和函数值。 2.使用diff 函数 除了使用fmincon 函数外,我们还可以使用diff 函数来求解二元函数的极值。diff 函数可以用来计算函数在某点的导数。对于二元函数,我们可以分别计算两个变量的偏导数,然后根据极值点的条件求解。具体的MATLAB 代码如下: ```matlab f = @(x) 7.2 * sqrt(25 * (15 - x(1))^2) + 7.2 * (107 / (20 - x(1))) * sqrt((8 - x(2))^2 + (20 - x(1))^2); x0 = [10; 10]; h = 0.01; x = x0 + h * (0:0.1, 0:0.1); fval = zeros(size(x)); for i = 1:size(x, 1)
多元函数的极值及其求法
第十一讲 二元函数的极值 要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值; 问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题. 一.二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠,如果总有),(),(00y x f y x f <,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值;如果总有),(),(00y x f y x f >,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值. 函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 例1.函数xy z =在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点. 例2.函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值. 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f . 从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ,从而得到函数取得极值的必要条件. 定理1必要条件 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y . 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ,那么函数所表示的曲面在点 ),,(000z y x 处的切平面方程为
04第四节二元函数的极值
第四节 二元函数的极值 在实际问题中,我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似,多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 分布图示 ★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 ★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件 ★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例2 ★ 例3 ★ 求最值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4 内容要点 一、二元函数极值的概念 定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果 ),,(),(00y x f y x f < 则称函数在),(00y x 有极大值;如果 ),,(),(00y x f y x f > 则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零,即 .0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1) 与一元函数的情形类似,对于多元函数,凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导
数,又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令 .),(,),(, ),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时,函数),(y x f 在),(00y x 处有极值, 且当0>A 时有极小值),(00y x f ;0二元函数判断极值点的方法
二元函数判断极值点的方法 二元函数是含有两个自变量的函数,通常表示为f(x,y)。判断二元函数的极值点是求解该函数的局部最大值或最小值的位置。在数学中,存在多种方法来判断二元函数的极值点,下面将介绍其中一些常用的方法。 1. 偏导数法:使用偏导数来确定极值点是最常见和常用的方法之一。首先,计算函数f(x,y)分别对x和y的偏导数,记为f/x和f/y。然后,求解方程组f/x = 0和f/y = 0,得到极值点的可能位置。最后,使用二阶偏导数的符号(即Hessian矩阵)来确定这些可能位置是极大值点、极小值点还是鞍点。 2. 二次型法:对于二元函数f(x,y),可以构建二次型Q(x,y) = f_xx(x,y) + 2f_xy(x,y) + f_yy(x,y),其中f_xx,f_xy和f_yy分别代表二阶偏导数。通过对二次型进行特征值分析,可以判断极值点的性质。如果二次型的所有特征值都为正,则该点为极小值点;如果所有特征值都为负,则该点为极大值点;如果特征值有正有负,则该点为鞍点。 3. Lagrange乘数法:当二元函数f(x,y)在一定约束条件下求取极值时,可以使用Lagrange乘数法。该方法通过引入拉格朗日乘数λ来将约束条件纳入考虑,将问题转化为无约束的极值问题。具体步骤为:
首先构建拉格朗日函数L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y),其中g(x,y)为约束条件;然后求解L的偏导数关于x、y和λ的方程组,并解得极值点。 4. 格雷默法则:对于二元函数f(x,y),如果在某个点(x0,y0)的某个邻域内,所有偏导数f/x和f/y的值都存在且连续,且满足f/x ≠0或f/y ≠ 0,那么点(x0,y0)是二元函数的一个极值点。 在实际应用中,以上方法可以根据具体问题的需求选择合适的方法来判断二元函数的极值点。同时,这些方法也可以用于更高维度的函数的极值判断。
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为最近几年考研的重点,现对二元函数的极值与最值的求法总结如下: 1.二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值必然在驻点和不可导点取得。关于不可导点,难以判定是不是是极值点;关于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件: 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值,那么0),('00=y x f x ,0),('00=y x f y ,即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件:设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有持续上二阶偏导数,且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ,令A y x f xx =),('00,B y x f xy =),('00,C y x f yy =),('00,那么 当02<-AC B 且 A<0时,f ),(00y x 为极大值; 当02<-AC B 且A>0,f ),(00y x 为极小值; 02>-AC B 时,),(00y x 不是极值点。 注意: 当B 2-AC = 0时,函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值,也可能没有极值,需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 -2xy 的极值. 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确信极值点即可,然后用二阶偏导确信是极大值仍是极小值,并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数: y x x z 232-=∂∂,x y y z 22-=∂∂.x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂y z . 再求函数的驻点.令x z ∂∂= 0,y z ∂∂= 0,得方程组⎩⎨⎧=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0,0)、),(3 232. 利用定理2对驻点进行讨论: