2012年西部数学奥林匹克
2012中国西部数学邀请赛
内蒙古呼和浩特
（9月28、29日）
第一天
1.求最小的正整数m ，使得对于任意大于3的质数p ，都有2105|(929)p p m ?+．
2.证明：在正21(3)n n ?≥边形的顶点中，任意取出n 个点，其中必有三个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形．
3.设E 是一个给定的n 元集合，12,,,k A A A ?是E 的k 个两两不同的非空子集，满足：对于任意的1i j k ≤<≤，要么i j A A =?∩，要么i A 与j A 中的一个是另一个的子集．求k 的最大值．
4.已知点P 为锐角ABC △内部任意一点，点E F 、分别为P 在边AC AB 、上的射影．BP CP 、的延长线分别与ABC △的外接圆交于点11B C 、，设ABC △的外接圆、内切圆的半径分别为R r 、．证明：11,EF r B C R
≥并确定等号成立时点P 的位置．第二天
5.在锐角ABC △中，H 为垂心，O 为外心（A H O 、、三点不共线），点D 是A 在边BC 上的射影，线段AO 的中垂线与直线BC 交于点E ．证明：线段OH 的中点在ADE △的外接圆上．
6.设数列{}n a 满足：()20+11=,=+=0,1,22012
n n n a a a a n ?，求整数k ，使得+1<1 8.求所有的质数p ，使得存在无穷多个正整数n ，满足()()+1|++1n n p n n ． 2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+? 广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ． 第38届全俄数学奥林匹克竞赛 九年级 9.1 a1,a2,?,a11是不小于2的互异正整数，满足：a1+a2+?+ a11=407。是否存在正整数n，使得当n分别除以a1,a2,?,a11,4a1,4a2,?,4a11这22个数时所得到的余数的和等于2012？ 9.2 已知：在正2012边形的顶点中，存在k个顶点，使得以这k个顶点为顶点的凸k多边形的任意两条边不平行。求k的最大值。 9.3 ABCD是一个平行四边形，∠A为钝角。H是点A向直线BC的垂直投影。△ABC过顶点C的中线的延长线交其外接圆于K。求证：K,H,C,D四点共圆。 9.4 正实数a1,a2,?,a n,k满足：a1+a2+?+a11=3k,a12+a22+?+a n2=3k2,a13+a23+?+a n3>3k3+k。求证：在a1,a2,?,a n中存在两个数使得它们的差的绝对值大于1。 9.5 101个智者围坐一圈开圆桌会议讨论地球和木星谁绕谁转的问题。开始及随后的每个时刻每个智者持有地球绕木星转或木星绕地球转这两种观点之一。各智者按一下规则每分钟一次同时宣布自己的观点：除了第一次以外，如果在上一分钟时一个智者的相邻两人（左右各一人）与其观点都不相同，则智者改变自己的观点，否则不改变自己的观点。求证：若干分钟后，所有的人都不再改变自己的观点。 9.6 A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，满足AA1?AA1=AA1?AA1=AA1?AA1。I A,I B和I C分别是△AB1C1， A1BC1和A1B1C的内心。求证△I A I B I C的外心和△ABC的内心重合。9.7 开始时黑板上写着10个连续正整数。对黑板上的数进行如下操作：任取黑板上的两个数a和b，将他们用数a2?2011b2和ab替换。经过若干次上述操作后，黑板上开始时的10个数已全部被替换掉，问此时在黑板上是否可能还是10个连续的正整数？ 9.8 城市里有若干路公共汽车线。已知任两路公共汽车线恰有一个公共的车站；任一路公共汽车线至少有4站。求证：可以将所有的车站分成不交的两组，使得任意一路公共汽车线含每组中至少一站。 第32届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖（116人，按省市自治区排列） 编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校 M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学 初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 初中数学奥林匹克竞赛教程 初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 第40届俄罗斯数学奥林匹克（九年级） 1. 放置了99个正整数. 已知任意两个相邻的数相差1或相差2或一个为另一个的2倍. 证明：这99个数中，有3的倍数. 2. 已知a b ，为两个不同的正整数. 问： ()()()()()()222222a a ab a b a b a b b b ++++++，，，，， 这六个数中，至多有多少个完全平方数？ 3. 令A 是由一个凸n 边形的若干对角线组成的集合. 若集合A 中的一条对角线恰有另外一条对角线与其相交在凸n 边形内部，则称该对角线为“好的”. 求好对角线条数的最大可能值. 4. 在锐角ABC △中，已知AB BC >，M 为边AC 的中点，圆Γ为ABC △的外接圆，圆Γ在点A C ，处的切线交于点P ，线段BP 与AC 交于点S ，AD 为ABP △的高，CSD △的外接圆与圆Γ交于点K （异于点C ）. 证明：90CKM ∠=?. 5. 设正整数1N >，m 表示N 的小于N 的最大因数. 若N m +为10的幂，求N . 6. 已知内接于圆Γ的梯形ABCD 两底分别为AB CD ，，过点C D ，的一个圆1Γ与线段 CA CB ，分别交于点1A （异于点C ），1B （异于点D ）. 若22A B ，为11A B ，分别关于CA CB ，中点的对称点，证明：22A B A B ，，，四点共圆. 7. 麦斯国中央银行决定发行面值为()01k k α=，，的硬币. 央行行长希望能够找到一个正 实数α，使得对任意1k k α， ≥为大于2的无理数，且对于任意正整数n ，理论上均存在若干枚面值之和等于n 的硬币，其中每种面值的硬币均不超过六枚. 问：行长的愿望能够实现吗？ 8. 某国有n 座城市，任意两座城市之间有双向直达航班. 已知对任意两座城市，它们之间 的两个方向的机票价格相同，不同城市对之间的航班机票价格互不相同. 证明：存在由1n -段依次相连的航班，使得各段航班机票的价格依次严格单调下降. 2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ . 第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。 参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对 2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立 B B 第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析（提高班） 1.已知数列{}n a 满足()3 1221211 ,,2,,k k k n n n a e a e e a a a n n Z k R -++-++===≥∈∈，求2017 1 i i a =∏ 解：对12211k k k n n n e a a a -++-=两边同时取对数得 ()()()()1 1 11 12l n l n 2l n 1l n 21l n 21l n n n n n n n k k a a k a a k a k a +----++=+?+=++-+ 设()()111ln 222n n n n n b a b k b kb n +-=+?=+-≥ ()()11222n n n n b b k b b n +-?-=-≥ 又21 1121ln 1ln 2,1ln 2n n n n b a e b a a e -=+=+==+=?= 记()2017 2017 201820191 1 21i s i i i S a e e -===-?==∑∏ 2.在ABC ?中，D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 上的点，且DE DF =， 证明：AE AF BE CF EDF BAC +=+?∠=∠ 证明：如图，取,AB AC 的中点,M N ， 延长DM 至点P ，使得MP MA = 联结,,EP MN DN 一方面，若AE AF BE CF EM FN +=+?= 则由,PME MAN DNF MP MA DN ∠=∠=∠== 所以：PME DNF ??≌ 所以：,PE DF DE NDF MPE PDE ==∠=∠=∠ 所以：EDF MND BAC ∠=∠=∠ 又因为：若EDF BAC MDE NDF ∠=∠?∠=∠ 由正弦定理 得sin sin sin sin EM DE DF FN MDE DME DNF NDF ===∠∠∠∠ 所以：EM FN AE AF BE CF =?+=+ E1-071 n（＞3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明，总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同． 【题说】 1987年全国联赛二试题3． 【证】用英文字母表示选手，用M A表示A的对手集，并假定A是赛过场次最多（若有并列的可任选一名）的选手．若命题不成立，则存在B、C，使得去掉A后B、C的对手集相同．由于M B≠M C， 所以A恰与B、C中一个赛过，不妨设B∈M A、C M A． 同样存在D、E，D∈M C、E M C，去掉C后，D、E的对手集相同．因 为A M C，所以D不是A；又D∈M C，所以D∈M B，即B∈M D=M E∪{C}， 从而B∈M E．C M E，而去掉A后，B、C的对手集相同，因此E=A． 于是M A=M E=M D\{C}，即M A比M D少一个元素C，与A为赛过场次最多的假设矛盾．命题得证． E1-072一个俱乐部中有3n+1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全． 【题说】 1987年匈牙利数学奥林匹克题3． 【证】将人看作平面上的点，得到一个有3n+1个点的图（假定任意三点都不在一直线上），当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形． 自一点引出的3n条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n条红线， 目录 2001年西部数学奥林匹克 (2) 2002年西部数学奥林匹克 (4) 2003年西部数学奥林匹克 (6) 2004年西部数学奥林匹克 (7) 2005年西部数学奥林匹克 (8) 2006年西部数学奥林匹克 (10) 2007年西部数学奥林匹克 (12) 2008年西部数学奥林匹克 (14) 2009年西部数学奥林匹克 (16) 2010年西部数学奥林匹克 (18) 2011年西部数学奥林匹克 (21) 2012年西部数学奥林匹克 (23) 2001年西部数学奥林匹克 1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n 2.证明：x2001<1001. （李伟固供题） 2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB 的内切圆与边AB的切点.乘积PP?PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP?PP取最小值时， （1）证明：PP≥2PB； （2）求PQ?PQ的值. （罗增儒供题） 3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n?1x m?1是一个完全平方数. （潘曾彪供题） 4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值. （冯志刚供题） 5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数. （杨文鹏供题） 6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q 为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与 △PCD有相同的内心. （刘康宁供题） 7.求所有的实数x∈?0,π2?，使得(2?sss2x)sss?x+π4?=1，并证 2007年中国西部数学奥林匹克（广西南宁，11月10日） 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 三、设实数a ，b ，c 满足 3a b c ++=．求证： 22211115411541154114 a a b b c c ++≤-+-+-+． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+? 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,，满足 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L ．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明：存在连续n 个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L ． 2007西部数学奥林匹克 解 答 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 解 对于空集?，定义()0S ?=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ?，令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ，则 01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-， 因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况： 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87. 若3()S A ，5()S A ，则15()S A . 由于()36S T =，故满足3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.而 15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1 ＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1 ＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2 ＝5＋4＋3＋2＋1， 36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3()S A ，5()S A ，A ≠?的A 的个数为17. 所以，所求的A 的个数为87－17＝70. 2011年中国西部数学奥林匹克试题 江西 玉山 第一天 10月29日 上午 8:00~12:00 每题15分 1、已知0,1x y <<，求 (1) ()(1)(1) xy x y x y x y --+--的最大值． 2、设集合{1,2,,2011}M ?，满足：在M 的任意三个元素中，都可以找到两个元 素,a b 使得|a b 或|b a ．求||M 的最大值（其中||M 表示集合M 的元素个数）． 3、给定整数2n ≥， （I ）求证：可以将集合{1,2, ,}n 的所有子集适当地排列为122,, ,n A A A ，使得i A 与 1i A +的元素个数恰相差1，其中1,2,3, ,2n i =，且121n A A +=; (II)对于满足（I ）中条件的子集122,, ,n A A A ，求21 (1)()n i i i S A =-∑的所有可能值，其中 ()i i x A S A x ∈=∑，()0S ?=. 4、如图，线段AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 的交点为E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 相切于点G 、H ．过点O 的直线l 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，使得EP EQ =．直线EF 与直线l 交于点M ，求证：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线． 第二天 10月30日 上午 8:00~12:00 每题15分 5、是否存在奇数3n ≥及n 个互不相同的质数12,, ,n p p p ，使得 111(1,2,,,)i i n p p i n p p +++==其中都是完全平方数？请证明你的结论． 6、设,,0a b c >，求证：2222 222()()()()()()()()()()a b b c c a a b c a c b a b a c b c b a a b c ----++≥++++++++． 7、如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆⊙I 于边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,M 是边BC 的中点，AH BC ⊥于点H .BAC ∠的平分线AI 分别于直线DE 、DF 交于点K 、L . 求证：,,,M L H K 四点共圆． 8、求所有的整数对(,)a b ，使得对任意正整数n ，都有1 |()n n n a b ++． 一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两 2008年中国西部数学奥林匹克 (2008年11月1日 8：00-12：00) 贵州省贵阳市 每题15分 1． 实数数列}{n a 满足：1,00≠a ，011a a -=，)(11n n 1n a a a --=+，n=1，2，…． 证明：对任意正整数n ，都有 )1 11( n 1010a a a a a a n +++ =1． 证明：由条件可知1-a n+1=a n (1-a n )=a n a n-1(1-a n-1)=…=a n …a 1(1-a 1)=a n …a 1a 0,即a n+1= 1-a 0a 1…a n ,n=1,2,…. 下面对n 归纳来证明 当n=1时,命题显然成立.假设n ＝k 时,命题成立,对n=k+1的情形有 )1111( 1 k k 101k 10++++++a a a a a a a =k 2101k 10k 210)1 11( a a a a a a a a a a a a k +++++ =k 2101a a a a a k ++=1. 故命题对n=k+1成立. 所以,对任意正整数n, 2． 在ABC ?中，AC AB =，其 内切圆⊙I 切边AB CA BC ，， 于点F E D ，，，P 为弧EF (不含点D 的弧)上一点． 设线段 BP 交⊙I 于另一点Q ，直线 EQ EP ，分别交直线BC 于点N M ，．证明： (1) M B F P ，，，四点共圆； (2) BP BD EN EM =． 证明： (1) 连EF,由条件可知EF//BC,故 ∠ABC=∠AFE=∠AFP+∠PFE=∠PEF+∠PFE=180?-∠FPE. 所以，P,F,B,M 四点共圆. (2) 利用正弦定理，EF//BC 及P,F,B,M 四点共圆可知 EMN ENM EN EM ∠∠=sin sin =)sin(sin PFB FEN ∠-∠π=PFB FPB ∠∠sin sin =BP BF . 结合BF=BD 即可知命题成立. 3．设整数2≥m ，m 21,,a a a ，都是正整数．证明：存在无穷多个正整数n ，使得数n n n m a a a ?++?+?m 2121 都是合数． 证明：取数a 1+2a 2+…+ma m 的质因子p,由Fermart 小定理可知对任意1≤k ≤m,都有k p ≡k(mod p),所以，对任意正整数n,都有 a 1?n p 1+a 2?n p 2+…+a m ?n p m ≡a 1+2a 2+…+ma m ≡0(mod p), 从而，数a 1?n p 1+a 2?n p 2+…+a m ?n p m (n=1,2,…)都是合数. 4．设整数2≥m ，a 为正实数，b 为非零实数，数列｝ ｛n x 定义如下：b x =1， ,2,1,1=+=+n b x a x m n n ．证明： (1) 当b <0且m 为偶数时，数列｝｛n x 有界的充要条件是1-m ab ≥-2； (2) 当b <0且m 为奇数，或b >0时，数列｝ ｛n x 有界的充要条件是1 -m ab ≤m m m m 1 )1(--． 证明：(1) 当b<0且m 为偶数时，如果ab m-1<-2，那么首先有ab m +b>-b>0，于是a(ab m +b)m +b>ab m +b>0,即x 3>x 2>0.利用ax m +b 在(0,+∞)上单调增可知数列｝ ｛n x 的每一项都比前一项大,并且从第二项起每一项都大于-b. 考察数列｝ ｛n x 中的连续三项x n ,x n+1,x n+2,n=2,3,…,我们有 2017年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（三） 一试 一、填空题（本大题共8道小题，每小题8分） 1.各项均为正数的数列满足121n n a a +≥+，且对*N n ∈恒成立，则的取值范围 为 . 2.已知函数23()log cos()2 x f x x x π-=+-.若()10,()10f f αβ==-，则 . 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2.直线与双曲线交于点，与的内心分别为, 且. 则的值为 . 4.已知是定义在上的奇函数，当时，13 ()|sin ||sin |2sin 22 f x x x ααα=+++-， (,)αππ∈-.若对任意实数，都有，则的取值范围是 . 5.从集合{1,2,,105}中任取一个元素a ，使得260x ax a ++=只有整数解的概率为 . 6.三棱锥中，三个侧面与底面所成角相等，三个侧面的面积分别为3，4，5，且底面积为6，则三棱锥的外接球的表面积是 . 7.已知点(4,2)P ，过的直线与轴、轴正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则周长的最小值为 . 8.高兴中学李老师为同学们购买纪念品，商店中有书签、明信片、笔记本、签字笔四种类型纪念品各10个（每种类型纪念品完全相同），李老师计划购买25个纪念品，且每种纪念品至少购买一个，则共有__________种不同的购买方案.（用数字作答） 二、解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9.若二次函数（）有零点，求的最大值. 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点(1,0)的两条互相垂直的动直线的一{}n a 12+ 第三章、几何部分 第一节平面几何证明（下） C1－136 在△ABC中，AD、BE、CF为角平分线，分别交BC边于D，交AC边于E，交AB边于F．试证明：4S△DEF≤S△ABC，并说明等号何时成立． 【题说】 1982年芜湖市赛题6． 【证】由题意，只需证明 代入（1）即得 由b2c+a2c≥2abc，得 b2c+bc2+a2c+ac2+a2b +ab2≥6abc 所以 4（b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2） ≥3（abc+b2c+bc2+a2c+a2b+ab2+abc） =3（a+b）（b+c）（c+a） 从而（2）成立，即4S△DEF≤S△ABC，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立． C1-137 如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA．若 S△ABC=1，证明：S△BPE、S△PCE和S PEAF中至少有一个不小于4／9．【题说】 1984年全国联赛二试题3． 【证】把 BC等分为三等分，M、N是分点，显然，P点落在BM或NC 上时 则 AE∶AC=r， AF∶AB＝1-r S△AEF∶S△ABC=（AF／AB）（AE／AC） C1-138 设P是一正n边形的内点，证明：该n边形存在两个顶点A和B，使 【题说】 1985年匈牙利阿拉尼·丹尼尔数学竞赛（15年龄组）题1． 【解】设点A是正n边形的顶点中距P最近的一个顶点．从A出发向某两个相邻顶点B1、B2作连线，并使P在△AB1B2内，显然，∠B1AB2=180°/n．根据顶点A的选取，∠PB1A和∠PB2A都小于∠B1AB2，因此，如果P是△AB1B2的一个内点，则至少有一个B i，使得 如果P在线段AB i上，例如在AB1上，那么由∠PB2A≤∠PAB2可以推出 C1-139 已知六边形的各边长不超过1，试证：此六边形至少有一条主对角线不超过2． 【题说】 1986年上海市赛二试题2．题中主对角线是六边形中某一顶点与相隔二个顶点的第三顶点的连线． 2012中国西部数学邀请赛 内蒙古呼和浩特 （9月28、29日） 第一天 1.求最小的正整数m ，使得对于任意大于3的质数p ，都有2105|(929)p p m ?+． 2.证明：在正21(3)n n ?≥边形的顶点中，任意取出n 个点，其中必有三个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形． 3.设E 是一个给定的n 元集合，12,,,k A A A ?是E 的k 个两两不同的非空子集，满足：对于任意的1i j k ≤<≤，要么i j A A =?∩，要么i A 与j A 中的一个是另一个的子集．求k 的最大值． 4.已知点P 为锐角ABC △内部任意一点，点E F 、分别为P 在边AC AB 、上的射影．BP CP 、的延长线分别与ABC △的外接圆交于点11B C 、，设ABC △的外接圆、内切圆的半径分别为R r 、．证明：11,EF r B C R ≥并确定等号成立时点P 的位置．第二天 5.在锐角ABC △中，H 为垂心，O 为外心（A H O 、、三点不共线），点D 是A 在边BC 上的射影，线段AO 的中垂线与直线BC 交于点E ．证明：线段OH 的中点在ADE △的外接圆上． 6.设数列{}n a 满足：()20+11=,=+=0,1,22012 n n n a a a a n ?，求整数k ，使得+1<1 第五届西部数学奥林匹克 四川 成都 第一天 （2005年11月5日 上午8：00---12：00） 一、 已知 20052005βα+ 可表示成以βα+，αβ 为变元的二元多项式, 求这个多项式的系数之和. 解1： 在k k βα+的展开式中， 令,1=+βα1=αβ，其所求系数之和为 k S .由 )()())((2211----+++=++k k k k k k βααββαβαβα， 有 2 1---=k k k S S S ， 从而 3232)(-----=--=k k k k k S S S S S ， 同理 63---=k k S S . 所以， 6-=k k S S . 于是，数列}{k S 是周期为6的周期数列. 故112005==S S . 解2：在k k βα+的展开式中， 令,1=+βα1=αβ，其所求系数之和为k S . 则βα,是方程012=+-x x 的根. 解得 3 sin 3 cos ππαi +=，3 sin 3 cos ππβi -=， 从而k k k k i i )3sin 3(cos )3sin 3(cos π πππβα-++=+ )3sin 3(cos )3sin 3(cos ππππk i k k i k -++= .3 cos 2π k = 取2005=k ，得.1=k S 二、 如图, 过圆外一点P 作圆的两条切线PB PA ,，B A ,为切点， 再 过点 P 作圆的一条割线分别交圆 于 D C ,两点，过切点B 作PA 的平行线 分别交直线AD AC ,于F E ,. 求证：BF BE =. 证明: 连 BD BA BC ,,, 则E PAC ABC ∠=∠=∠.所以, AEB ABC ??~.从而 AC AB BC BE = , 即AC BC AB BE ?=---------(1) 又ADB PAB ABF ∠=∠=∠, 所以ADB ABF ??~, 从而 AD AB BD BF = , 即AD BD AB BF ?=--------(2) 另一方面, 因为PDB PBC ??~, PAD PCA ??~. 所以 PB PC BD BC =, PA PC AD AC = . 而PB PA =, 所以AD AC BD BC = -------（3） 于是 AD BD AC BC = .故由（1）（2）（3）三式即知BF BE =. 三、 设}2005,,2,1{ =S . 若S 中任意 n 个两两互质的数组成的集合 中都至少有一个质数，试求 n 的最小值. 解:首先, 我们有16≥n .事实上, 取集合}43,41,,5,3,2,1{222220 =A 则 S A ?0, 15||0=A , 0A 中任意两数互质, 但其中无质数, 这表明16≥n . 其次, 我们证明: 对任意16||,==?A n S A ， A 中任两数互质, 则A 中必存在一个质数. 利用反证法, 假设A 中无质数. 记},,,{1621a a a A =，分两种情况讨论. (1) 若 A ?1, 则1621,,,a a a 均为合数, 又因为)161(1),(≤<≤=j i a a j i ,所以i a 与j a 的质因数均不相同,设i a 的最小质因数为i p ,不妨设 第34届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖（124人） 编号姓名性别年级省市学校 M18001 潘至璇男高二浙江省浙江省乐清市知临中学M18002 袁祉祯男高二湖北省武钢三中 M18003 骆晗男高三浙江省镇海中学 M18004 钱一程男高二江苏省江苏省锡山高级中学 M18005 邓明扬男高一北京市中国人民大学附属中学M18006 金及凯男高二上海市华东师范大学第二附属中学M18007 黄轶之男高三四川省成都七中 M18008 戴宇轩男高三浙江省杭州学军中学 M18009 胡航男高三四川省四川省绵阳中学 M18010 周鼎昌男高三北京市人大附中 M18011 胡百川男高三江西省江西师范大学附属中学M18012 吴浩然男高二江苏省江苏省扬州中学 M18013 陈博洋男高三四川省成都七中嘉祥外国语学校M18014 杜航男高三四川省成都七中 M18015 赵文浩男高二上海市上海市上海中学 M18016 姚缘男高二上海市上海市上海中学 M18017 卓景彬男高二浙江省浙江省乐清市知临中学M18018 胡苏麟男高二广东省华南师范大学附属中学M18019 陈子云男高二湖南省长沙市雅礼中学 M18020 梁敬勋男高二浙江省杭州学军中学 M18021 何凯辰男高二湖南省长沙市雅礼中学 M18022 罗云千男高三湖北省湖北省黄冈中学 M18023 谢柏庭男高三浙江省浙江省乐清市知临中学M18024 俞然枫男高二江苏省江苏南京师范大学附属中学M18025 杨铮男高二上海市上海市上海中学 M18026 许福临男高二福建省福建厦门大学附属中学M18027 葛宇驰男高三安徽省安徽省含山中学 M18028 谷肇兴男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学 M18029 熊诺亚男高二重庆市重庆市巴蜀中学 M18030 黄嘉俊男高一上海市上海市上海中学 M18031 杜俊辰男高三陕西省西北工业大学附属中学M18032 韩新淼男高二浙江省浙江省乐清市知临中学M18033 朱天明男高二湖北省武汉二中 M18034 常弋阳男高三河南省郑州一中 M18035 贾镐铮男高二河北省石家庄市二中 M18036 傅浩桐男高二山西省山西大学附属中学 M18037 夏一航男高二江苏省扬州中学 M18038 饶睿男高一广东省华南师范大学附属中学2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案
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