第五届西部数学奥林匹克

第五届西部数学奥林匹克

四川 成都 第一天

（2005年11月5日 上午8：00---12：00）

一、 已知 20052005βα+ 可表示成以βα+，αβ 为变元的二元多项式,

求这个多项式的系数之和.

解1： 在k k βα+的展开式中， 令,1=+βα1=αβ，其所求系数之和为

k S .由 )()())((2211----+++=++k k k k k k βααββαβαβα， 有

2

1---=k k k S S S ，

从而 3232)(-----=--=k k k k k S S S S S ， 同理 63---=k k S S . 所以， 6-=k k S S .

于是，数列}{k S 是周期为6的周期数列. 故112005==S S .

解2：在k k βα+的展开式中， 令,1=+βα1=αβ，其所求系数之和为k S . 则βα,是方程012=+-x x 的根. 解得

3

sin 3

cos ππαi +=，3

sin 3

cos ππβi -=，

从而k k k k i i )3sin 3(cos )3sin 3(cos π

πππβα-++=+

)3sin 3(cos )3sin 3(cos ππππk i k k i k -++=

.3

cos 2π

k =

取2005=k ，得.1=k

S

二、 如图, 过圆外一点P 作圆的两条切线PB PA ,，B A ,为切点， 再

过点 P 作圆的一条割线分别交圆 于 D C ,两点，过切点B 作PA 的平行线 分别交直线AD AC ,于F E ,. 求证：BF BE =.

证明: 连 BD BA BC ,,, 则E PAC ABC ∠=∠=∠.所以, AEB ABC ??~.从而

AC AB BC BE =

, 即AC

BC

AB BE ?=---------(1) 又ADB PAB ABF ∠=∠=∠, 所以ADB ABF ??~, 从而

AD AB BD BF =

, 即AD

BD

AB BF ?=--------(2) 另一方面, 因为PDB PBC ??~, PAD PCA ??~.

所以

PB PC BD BC =, PA

PC

AD AC =

. 而PB PA =, 所以AD

AC

BD BC =

-------（3） 于是 AD

BD

AC BC =

.故由（1）（2）（3）三式即知BF BE =. 三、 设}2005,,2,1{ =S . 若S 中任意 n 个两两互质的数组成的集合

中都至少有一个质数，试求 n 的最小值.

解:首先, 我们有16≥n .事实上, 取集合}43,41,,5,3,2,1{222220 =A 则

S A ?0, 15||0=A , 0A 中任意两数互质, 但其中无质数, 这表明16≥n .

其次, 我们证明: 对任意16||,==?A n S A ， A 中任两数互质, 则A 中必存在一个质数.

利用反证法, 假设A 中无质数. 记},,,{1621a a a A =，分两种情况讨论. (1) 若 A ?1, 则1621,,,a a a 均为合数, 又因为)161(1),(≤<≤=j i a a j i ,所以i a 与j a 的质因数均不相同,设i a 的最小质因数为i p ,不妨设

1621p p p <<< ,则200547,,3,2221515222

22211>≥≥≥≥≥≥p a p a p a ,矛盾. (2) 若A ∈1, 则不妨设15116,,,1a a a =均为合数,同(1)所设,同理有

200547,,3,222

151522222211>≥≥≥≥≥≥p a p a p a ,矛盾.

由(1),(2)知, 反设不成立, 从而A 中必有质数, 即16||==A n 时结论成立.

综上, 所求的n 最小值为16.

四、 已知实数n x x x ,,,21 （2>n ）满足

∑=>n

i i x 11||, 1||≤i x （n i ,,2,1 =）.

求证： 存在正整数k , 使得 1||11

≤-

∑∑=+=k

i n

k i i

i x

x .

解：令,)(),11()(,)0(1

1

1

1

∑∑∑∑=+====-≤≤-

=-=n

i i n

k i i

k

i i n i i x n g n k x x k g x g

则,2||2|)0()1(|1≤=-x g g

,2,,2,1,2||2|)()1(|1-=≤=-++n k x k g k g k

.2||2|)1()(|≤=--n x n g n g

所以对任何10-≤≤n k 均有

,2|)()1(|≤-+k g k g (1)

假设结论不对,则由条件对任何n k ≤≤0均有

1|)(|>k g , (2)

这时若存在10-≤≤n i 有0)1()(<+i g i g ,则不妨设0)1(,0)(<+>i g i g , 这时由(2)知,1)1(,1)(-<+>i g i g 故,2|)()1(|>-+i g i g 与(1)矛盾.于是

)(,),1(),0(n g g g 同号,但0)()0(=+n g g ,矛盾.故结论成立.

第五届西部数学奥林匹克

四川 成都 第二天

（2005年11月6日 上午8：00---12：00）

五、如图，圆1O 与圆2O 交于B A ,两点. 过点1O 的直线DC 交圆1O 于D 且切圆2O 于C ， CA 切圆1O 于A ， 圆1O 的弦AE 与直线DC 垂直. 过A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足. 求证：BD 平分线段AF .

证：设AE 交DC 于H ，AF 交BD 于G ， 连接GH CE BE BH BC AB ,,,,,，

由对称性知CE 边也是圆O 的切线，H 为AE 的中点.

BEH BAC BAC HCB ∠=∠∠=∠, ， E C B H HEB HCB ,,,,∠=∠∴四点共圆，

BEC BHC ∠=∠∴.

又BDE BEC ∠=∠，

BDE BHC ∠=∠∴. ① BDE AGB DE AF ∠-=∠?⊥2

π

， ② BHC AHB DC AE ∠-=

∠?⊥2

π

， ③

由①②③得：AHB AGB ∠=∠，

B H G A ,,,∴四点共圆，

.

O 1 F

D

E

C

B A

. O 2

H

AED ABG AHG ∠=∠=∠∴， DE GH //∴.

而H 为AE 的中点，故G 为AF 的中点.

六、 在等腰直角ABC ?中，1==CB CA , 点P 是ABC ?边界上任意一点,

求PC PB PA ??的最大值.

解:首先证明取到最大值只有当AB P ∈时, 才可能取到. (1)当AC P ∈时，有2,4

1≤≤?PB PC PA ， 故42

≤??PC PB PA ，其中等号不成立（因为两个等号不可能同时成立）， 即4

2<

??PC PB PA . （2）当AB P ∈时，设]2,0[∈=x AP ， 则)21()2()(222222x x x x PC PB PA x f -+-=??=. 令)2(x x t -=，则)1()()(],2

1,0[2t t t g x f t -==∈.

注意到)32(32)(2/t t t t t g -=-=，故)(t g 在]3

2,0[上递增，

81)21()(=≤∴g x f ，故42

2

21=

≤??PC PB PA . 等号成立当且仅当2

2

,21

=

=x t ，即P 为AB 的中点时取等号. 七、 设正实数 c b a ,,满足1=++c b a , 证明 1)(9)(10555333≥++-++c b a c b a . 证明：][)(51),(31253∑∑∑∑+?+∏-=+∏-=ab a b a a b a a

∴原不等式1)])((51[9)](31[102≥++∏--+∏-?∑∑ab a b a b a

)(30))((452b a ab a b a +∏≥++∏?∑∑

C

P

A

（1） （2）

C

P

B

A

)2(2)(22)(322∑∑∑∑∑+==≥+?ab a a ab a ∑∑≥?ab a 2 （*） 而ac a c bc c b ab b a 2,2,2222222≥+≥+≥+

故∑∑≥ab a 222，即∑∑≥ab a 2，即（*）成立. 从而原不等式成立.

八、设n 个新生中，任意3个人中有2个人互相认识， 任意4个人中有2个人互不认识. 试求 n 的最大值. 解：所求n 的最大值为8.

当8=n 时，如右图所示的例子满足要求， 其中821,,,A A A 表示8个学生，i A 与j A 连 线表示i A 与j A 认识，否则不认识.

下设n 个学生满足题设要求，我们来证明8≤n .为此，我们先来证明如下两种情况不可能出现：

①若某人A 至少认识6个人，设为61,,B B ，由Ramsey 定理，这6个人中存在3个互不相识（这与已知任3个人中有2个相识矛盾）；或存在3个人互相认识，这时A 与这3个人共4人两两互相认识，亦与已知矛盾.

②若某人A 至多认识5-n 个人，则剩下至少4个人均与A 不相识，从而这4个人两两相识，矛盾.

其次，当10≥n 时，①与②必有一种情况出现，故此时n 不满足要求

当9=n 时，要使①与②均不出现，则此时每个人恰好认识其他5个人，于是这时9个人产生的朋友对（相互认识的对子）的数目为

A 1

A 2

A 5

A 8

A 7

A 3

A 4

A 6

*2

5

9N ??，矛盾！ 由上可知，满足要求的8≤n .综上，所求n 的最大值为8.