上海市控江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(学生版)
2019学年第二学期高一数学期中测试
一、填空题（每题5分）
1. 圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.
2. ()5sin 24f x x π??
=-
??
?
的单调减区间是___________. 3. 方程2cos210x -=的解集是___________.
4. 若()cos 2cos3f x x =-，则()sin75f ?=___________.
5. 不等式arccos arccos(1)
x x >-的
解为______
6. 在ABC ?中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________.
7. 已知()4cos 5
αβ+=
，()3
cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________.
8. 函数()cos2f x x =，,02x ??
∈-
????
π的反函数是___________. 9. 已知m 是实常数，若{
}
2
cos sin 0x x x m ++=≠?，则m 的取值范围是___________. 10.
ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=?，4a =的ABC 恰有一个，
则c 的取值范围是___________.
11. 已知函数()()(
)
sin 0,0,f x A x b A ω?ω?π=++>><的最大值为4，最小值为0，最小正周期为
2
π
，直线3x π
=是其图像的一条对称轴，且42f f ππ????
< ? ?????
，则()f x 的解析式为___________.
12. 在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题：①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥；②若2a b c +>，则3
C π
<
；③若
cos cos a b
B A
=，则ABC 为等腰三角形；④若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
二、选择题（每题5分）
13. 函数sin sin y x x =-的值域是（ ） A. {}0
B. []22-,
C. []0,2
D. []2,0-
14. 已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移
3π
个单位得到函数4sin 23y x π??=+ ??
?；②函
数cos 26y x π??
=+ ??
?
的图像关于直线22
k x ππ
=
-，()k Z ∈成轴对称其中（ ） A. ①真②真
B. ①真②假
C. ①假②真
D. ①假②假
15. 已知,a b ∈R ，“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ??
?
?=++- ? ??
???
是偶函数”的（ ）条件. A. 充分非必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 非充分非必要
16. 已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,01
4211,14x
x x f x x π???
≤≤ ?????
=????+> ????
?，若关于x 的方程()()()()2
55660f x a f x a a R -++=∈????有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（ ）
A. 01a <≤或5
4a =
B. 01a ≤≤或54
a = C. 01a <<或5
4
a =
D. 5
14
a <≤
或0a = 三、解答题：
17. 已知tan 2α=. （1）求tan 4πα??
+
??
?
的
值；
（2）求
2sin 2sin sin cos cos 21
α
αααα+--的值.
18. 已知函数()4tan sin(
)cos()323
f x x x x π
π
=---； （1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]44
ππ
-
上的单调性与最值.
19. 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3
π
，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .
（1）若C 是半径OA 中点，求线段PC 的大小；
（2）设COP θ∠=，求POC ?面积的最大值及此时θ的值.
20. 某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πω?ω???
=+>>< ??
?
在某一周期内的图像时，
列表并填入部分数据，如表所示.
x ω?+
2
π π
32
π 2π
x
2
π
72
π
()f x
2
-2 0
（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的
1
3
，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，2a =，求ABC 的面积S 的的最大值. 21. 已知函数()()
sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且13924f π??
=- ???
. （1）求a 的值；
（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）
（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]
0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.