小学奥数专题精讲计数

目录

第 1 讲枚举法和加乘原理 (2)

第 2 讲排列组合 (12)

第 3 讲计数综合提高 (22)

第一讲枚举法和加乘原理

知识总结归纳

一.枚举法：

（1）顺序：按照一定的规律和顺序去分析问题的数学思想。

（2）分类：把一个复杂问题拆分成几个简单问题的思想。

（3）树形图：记录分类和顺序思考过程的工具。

（4）“有顺序”和“无顺序”问题：例如把10个相同的小球分成3堆和把10个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，这是两个不同的问题。

二.加法原理：

如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数．

三.加法原理的关键：

（1）分类的思想；

（2）分类的原则：不重复不遗漏

四.乘法原理：

如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数．

五.乘法原理的关键：

（1）分步的思想

（2）分步的原则：前不影响后。前面采取什么样的步骤，不会影响到后面的方法数。

每层的分叉数必须一样多。

（3）对于染色问题、排数字问题、排队问题等较复杂的乘法原理问题，在分步的时候要优先考虑选择情况少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数。

六.标数法：

（1）标数法是加法原理和乘法原理的综合应用

（2）主要用于解决路径问题和某些图形计数问题。

枚举法

例题111个相同的小球分成第1堆、第2堆、第3堆，有多少种不同的分法？

例题211个相同的小球分成3堆，有多少种不同的分法？

例题3商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，5，，11，12元．琪琪准备买3支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元．请问：小悦一共有多少种不同的买法？

例题4小梦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多．请问：两种福

娃的个数可能有多少种不同的情况？

例题5一个三位数，百位比十位小，十位比个位小，个位不大于5，那么这样的三位数一共有几个？

例题6甲、乙、丙三个人传球．第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙，……，经过4次传球后，球正好回到甲手中．那么一共有多少种不同的传球方式？

加乘原理

发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？

（2）大雄一家人外出旅游，需要先做火车，再乘汽车，最后坐飞机．经过网上查询，途中的火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．每种交通工具任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？

例题8（1）每个数位可以是1~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？

（2）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？

（3）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位偶数有多少个？

例题9（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？

（2）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位数？

（3）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位奇数？

例题10“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按要求能有多少种不同的涂色方法？如果要求相邻字母不能同色，有多少种方法？

综合提高

例题11商店里有三类笔，铅笔、钢笔和圆珠笔．铅笔有4种颜色，钢笔有3种颜色，圆珠笔有2种颜色．

（1）要买任意一支笔，有多少种买法？

（2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？

（3）要买两支不同类的笔，有多少种买法？

例题12如右图所示，要用红、黄、蓝三色给这个图形的5个区域进行染色，每个区域染一种颜色，那么共有多少种不同的染色方法？如果相邻区域不得同色，那么

共有多少种不同的染色方法？

例题13某省的地图如图，共有A、B、C、D、E、F、G七个区县，用5种颜色给地图染色，要求相邻区县的颜色不能相同，共有多少种不同的染色方法？

例题14 下图是一个阶梯形方格表，

在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？

例题15 （1）如图，在一个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列

至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？ （2）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？

（3）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？

（4）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？

标数法

例题16 按右图中箭头所示的方向行走，从A 点走到B 点有多少条不同的路线？

例题17 如右图，从A 地沿网格线走到B 地，规定只能朝右或朝上走．

（1）如果每次只能走一步共有多少种不同的走法？

（2）如果每次只能走一步且不能通过黑点，共有多少种不同的走法？ （3）如果每次可以走一步或两步（不能转弯），共有多少种不同的走法？

思维飞跃

例题18 如图，在一个34 的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少

B B

A B

A

B

A

法？

例题19如图，一只蚂蚁从A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种不同的走法？

E

作业

1. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？

2. 用0、1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的四位数．

3. 把1分、2分、5分、1角的硬币各一枚排成一排，其中1分硬币不在两边，共有_______种排硬币

的方法．

4. 如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．那

么共有________种不同的染色方法．

A

B

C

D

E

5. 在右图的道路上按照箭头所示的方向行进，从甲地到乙地共有_______条不同的路线．

6. 在5×5的方格纸中放入两枚相同的棋子，要求这两枚棋子既不同行也不同列，

不考虑旋转，一共有_______种放法．

7. 如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：

（1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？

（2）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？

8. 王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也

能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？

第二讲 排列组合

知识总结归纳

一. 排列的概念：

从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作m n A ．排列数的计算公式如下：

二. 组合的概念：

从n 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C ．组合数的计算公式如下：

[(1)(1)][(1)1]m m m n n m C A A n n n m m m =÷=?-??-+÷?-??………… 例如：333553543(321)10C A A =÷=??÷??=

三. 组合重要公式：

n m m n m -=C C

四. 排列、组合以及和乘法原理的联系：

1. 排列是乘法原理的延续，是乘法原理在特殊情况下的应用。

2. 组合和排列的对应关系：排列+除法原理=组合

五. 遇到比较复杂的计数问题时，可能需要综合运用分步思想、分类思想以及排列组合公式。解题可以按照如下步骤

1. 首先这个计数问题看成某一个要完成的事情，仔细思考这个事情如何去完成，弄

清是先分类还是先分步；

2. 每一步或每一类再根据加乘原理或者排列组合公式计算。有可能这些问题还需要

继续拆成几个更简单的问题。

3. 最后根据前面的步骤列出总的算式计算.

m

n A n =

基础训练

例题1 计算：（1）24A ； （2）3

7A ； （3）2646A A -

例题2 有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，用这5面小旗一共可以表示出多少

种不同的信号？

例题3 用1，2，3，4，5这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？将这些四位数从小到大

排列起来，4125是第几个？

例题5学校十佳歌手大赛的10名获奖选手中，每3人都要照一张合影．问：需要拍多少张照片？

例题6如图所示，在一个圆周上有8个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？

例题7有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队．各组先进行单循环赛（即每队都要与组内其它各队比赛一场），然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠

综合提高

例题8周末大扫除，老师要从第一组的10名男生和10名女生中选出5人留下打扫卫生．请问：（1）如果老师随意选择，一共有多少种选择方法？

（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？

例题9（1）用两个1，三个2可以组成多少个五位数？

（2）用两个1，三个2，4个3可以组成多少个九位数？

（3）用两个0，三个2，4个3可以组成多少个九位数？

（4）用三个1和0、2、3、4各一个，可以组成多少个七位数？

例题10从1、3、5、7中任取两个数字，再从2、4、6、8中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？

例题11从1、3、5、7中任取两个数字，再从0、2、4、6、8中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？

捆绑法和插空法

例题12学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？

（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？

例题133名男生、2名女生和2名教练排成一排照相，请问：

（1）如果要求教练员站在一起，一共有多少种站法？

（2）如果要求教练员不能站在一起，那么又有多少种照法？

（3）如果要求任意两名男生都不能相互站在一起，那又有多少种照法？

思维飞跃

例题14四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：（1）如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？

（2）如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序？

例题15篮球队共有8人，其中有2个中锋、3个后卫和3个前锋，排成一排准备照合影：若中锋必须彼此相邻，前锋两两不相邻，一共有多少种排法？

例题16用1，2，3，4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234，1233和2414是满足条件的，而1212，3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少个满足条件的四位数？

作业

1. 用5，6，7，8，9这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？将这些四位数从小到大排列

起来，7598是第几个

2. 如图所示，从端点O 出发的射线共有7条，图中一共有多少个锐角？

3. 在新学期的班会上，大家要从11名候选人中选出班干部．请问：

（1）选出三人组成班委会，一共有多少种选法？

（2）从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？

4. 从1、3、5、7中任取一个数字，再从0、2、4、6、8中任取两个数字，共可组成多少个没有重复

数字的三位数？

P 1

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P 2 P 5 P 6 P 3 P 4 O