719.完全平方数-奥数精讲与测试7年级1119

例1．判断三个数列｛11，111，1111，…｝、｛33，333，3333，…｝、｛77，777，7777，…｝中的各个数，有没有完全平方数。

例2．求最大的质数P，使得1999p+1成为完全平方数。

例3．已知n是正整数，求证n (n+1) +1不是完全平方数。

例4．求证：完全平方数被3除，所得的余数只能是0或1。例5．用2、3、4、5、6这五个数字组成没有重复数字的五位数，在这些五位数中是否存在完全平方数？

例6．证明：若完全平方数的十位数字是奇数，则个位数字必为6；反之，若完全平方数的个位数字是6，则十位数字必为奇数。

例7．求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且前两位数字相同，后两位数字也相同。

例8．设d是不等于2、5、13的正整数，求证：在2、5、13、d四个数中可以找到两个不同的数a、b，使得ab?1不是完全平方数。

A卷

01．试求出所有这样的质数p，使A=2p4?p2+16为完全平方数。02．写出从360到630的正整数中恰有奇数个正约数的数。03．求证：四个连续正整数之积与1的和必为完全平方数。04．求证：五个连续的正整数的平方和一定不是完全平方数。05．求证：完全平方数被7除，余数不可能为3、5、6。06．求最大的正整数n，使得n2+2000n是一个完全平方数。

B卷

01．设13= n2?19n+91为完全平方数，求n。

02．设n为正整数，n2+5n+13有没有可能成为完全平方数？若不可能，请说明理由；若可能，求出所有使它成为完全平方数的n的值。

03．求证：对一切正整数n，n4+2n3+2n2+2n+1不是完全平方数。04．求正整数x，使得x?45与x+44都是完全平方数。

05．某人卖出n头牛，每头牛价格为n元。他用卖得的钱买了奇数只羊和一头猪。每只羊的价格为10元，一头猪的价格不到10元，问这头猪值多少钱？

06．某整数的平方等于四个连续奇数的积，求所有满足条件的这种整数。

C卷

01．若n是正整数，3n+1是一个完全平方数，试证：n+1是3个完全平方数之和。

02．当m为何值时，A=x2?y2+mx+5y?6能分解成两个一次因式的乘积并分解之。

03．已知直角三角形两直角边长分别为l、m，斜边长为n。且l、m、n为正整数，l为质数，求证：2(l+m+1)为完全平方数。04．求使28+211+2n是完全平方数的所有正整数n。

05．求一个最小的正整数，使它的一半是平方数，它的三分之一是立方数，它的五分之一是五次方数。

06．求所有的正整数对(a，b)，使得a3+6ab+1与b3+6ab+1都是完全立方数。

05五年级奥数——完全平方数

第八讲完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，…… 判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝21 2a ＝1＋3＝4＝22 3a ＝1＋3＋5＝9＝23 4a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24 ……… n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2 )1(1n n ?-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么，最后袋中留下多少个球？

【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？ A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。练习二：2 【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；那么第200秒时，明亮的灯泡有（）个。

817.同余-奥数精讲与测试8年级

例1．求证：⑴8︱(551999＋17)；⑵ 8︱(32n ＋7)；⑶ 17︱(191000?1)。例2．求使2n ?1为7的倍数的所有正整数n 。例3．把1、2、3、…、127、128这128个数任意排列为a l 、a 2、…、a 128，计算出、、…、，再将这64个数任意排12a a -34a a -127128a a -列为b 1、b 2、…、b 64，计算出、、…、。如此继12b b -34b b -6364b b -续下去，最后得到一个数x ，问x 是奇数还是偶数？例4．m 、n 是正整数，证明：3m +3n +1不可能是完全平方数。例5．任意平方数除以4，余数为0或1(这是平方数的重要特征)。例6．任意平方数除以8余数为0，1，4(这是平方数的又一重要特征）。

A卷一、填空题 01.a除以5余1，b除以5余4。如果3a＞b，那么3a?b除以5的余数是__________。 02. 71427和19的乘积被7除，余数是__________。 03. 1+22+33+44+55+66+77+88+99≡__________ (mod3)。 04. 一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12的余数是__________。05. 今天是星期一，过21995是星期__________。 06. 10100被7除的余数是__________。 07. 1至5 000之间同时被3、5、7除都余2的数有__________个。 08. 1至1 000之间同时被2、3、7除都余1的数有__________个。 09.用除以7，余数是__________。 19943 3333 个 10. 1993年的元旦是星期五，那么1996年五月一日是星期__________。二、解答题 11.甲、乙两数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，那么甲、乙两数的最小公倍数是多少？

小学奥数教程-完全平方数及应用(一)

1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 知识点拨教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）

808.三角形的全等及其应用-奥数精讲与测试8年级

例1．如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠AOE=∠BOE。例2．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，CE⊥AD于F交A B于E，求证：∠CDF=∠BDE。例3．如图，在△ABC中AB=AC，直线l过A且l∥BC，∠B的平分线与AC交于D，与l交于E，∠C的平分线与AB交于F，与l交于G。求证：DE=FG。例4．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC 为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于点F，求证：EF=FD。例5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠ABC的平分线，求证：AD+BD=BC。例6．如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形AMN。求证：△AMN的周长等于2。例7．如图，在△ABC中，∠A＜60°，以AB、AC为一边，分别向外作等边△ABD和△ACF，又以BC为边向内作等边△BCE，连结DE，EF。求证：AD∥EF。例8．已知△AB C中AB=AC，CE是边AB上的中线，延长AB到D，使BD=AB，求证CE= 1 2 CD 。 A卷

一、填空题 01．如图9，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠CBA的平分线交AC于D，过C作BD的垂线，垂足为E，CE和BA的延长线相交于F。若CE=5，则BD=________。 02．如图10，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，则∠BCE=________。03．如图11，在等边△ABC中，AD=BE=CF，若三个全等的三角形为一组，则图中共有________组全等三角形。 04．如图12，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BE=BC，∠DBE=∠DBC，则∠BED=_______。 05．如图13，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C=_______。 06．如图14，正方形ABCD边长为1，P、Q分别是边BC、CD上的点，连结PQ。若△CPQ的周长是2，则∠PAQ=________。 07．如图15，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长，在BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连结BE、AD，分别交AC于M，交CE于N。若CM=x，则CN=________。 08．如图16，△ABD中，∠BAD=45°，AE⊥BD于E，DF⊥AB于F，交AE于G。若BE=4，DE=4，则AG=________。09．如图17，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、D、E在一条直线上。若BE=2，CE=4，则AE=_______。 10.如图18，等边△ABC中，E、D分别是CA延长线，AB 延长线上的点，且BD=AE，连结EB并延长交CD于F，则∠BFC=_______。二、解答题 11．如图19，已知CD、BE相交于A，M是BC的中点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△BMD≌△CME。 12．如图20，已知过△ABC的顶点A，在∠BAC内部任意作一条射线，过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE，M为BC中点。求证：MD=M E。

小学五年级奥数完全平方数(二)

本讲主线 1. 完全平方数的约数个数 2. 平方差公式的应用. 完全平方数(二) 版块一∶完全平方数的约数个数【例1】(★★) 不大于100的非零自然数中, 因数个数是奇数的有多少个？【知识要点屋】1、约数个数: ⑴分解质因数到指数形式. ⑵约个等于指数＋1连乘. 2、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) ，. 【例2】(★★) 10000以内的自然数中, 有且仅有3个因数的自然数有多少个？【例3】(★★★) 一个房间中有100盏灯, 用自然数1, 2, …, 100编号, 每盏灯各有一个开关. 开始时, 所有的灯都不亮. 有100个人依次进入房间, 第1个人进入房间后, 将编号为1的倍数的灯的开关按一下, 然后离开；第2个人进入房间后, , , 个人进入房间, 将编号为100的倍数的灯的开关按一下, 然后离开. 问：第100个人离开房间后, 房间里哪些灯还亮着？【拓展】(★★★)(迎春杯初赛五年级) 200名同学编为1至200号面向南站成一排. 第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西)；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3 的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转； , ___ . 1

【例4】(★★★) 学而思运动会上, 五年级的女生们准备出一个团体操的节目. 现在的人数刚好排成一个方阵(每一行人数和每一列人数相等). 后来又加入了23 个女生, 恰好还可以组成一个方阵. 那么你能算出加入23人之前, 方阵共【例5】(★★★)知识大总结 1、A＝a2, 质因数成对出现. 2、完全平方数, 约数个数一定奇数个. 3、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) 性质：完全平方数除以5只能余0、1、4. 完全平方数除以3只能余0、1. 完全平方数除以4只能余0、1. 能否找到这么一个数, 它加上24, 和减去30所得的两个数都是完全平方数？【今日讲题】例2, 例3, 例5 【讲题心得】 ___________________________________________ __________________________________________. 【家长评价】 ____________________________________________ ____________________________________________ ________________________________________. 2

小学奥数25完全平方数

2.7完全平方数 2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。 2.7.2性质推论例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。证明奇数必为下列五种形式之一： 10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9 分别平方后，得 (10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6 或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6 即k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴k为奇数。推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。性质4：（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；

709.整式的运算-奥数精讲和测试7年级1109

例1．已知多项式A=(5m+1)x2+(3n?2)xy?5x+17y，B=6x2?5mxy?11x+9。当A与B的差不含二次项时，求(?1)m+n［?3m+4n?(?n)m］的值。例2．若m=?1998，求∣m2+11m?999∣?∣m2+22m+999∣+20的值。例3．已知m2+m?1=0，求m3+2m2+2007的值。例4．当x=?5时，多项式ax7+bx5+cx?9的值等于7。求x=5时，多项式ax7+bx5+cx+2024的值。例5．计算(a+b+c)(a+b?c)(a?b+c)(?a+b+c)例6．设N=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)，求N的个位数字。例7．计算(a?b)3+(b?c)3+(c?a)3?3(a?b)(b? c)(c?a) 例8．计算(x l0+x9+x8+?+x+1)(x l0?x9+x8???x+1)展开式中奇数次各项的系数之和．例9．计算： ⑴(x3?6x2+11x?6)÷(x?2)； ⑵(x4+3x3+16x?5)÷(x2?x+3)

A 卷一、填空题 01．下列代数式x 、13-、215xy - 、 9a b +、2xy x y +、12ab c +、21123 x x ++、219t -、2 t ，单项式有_________________，多项式有_________________。 02．单项式54 xyz -的系数为___________，次数是___________。 03．将多项式?x 2y +6xy ? 15 x 3 ?7y 3+4按x 的升幂排列是________________，按y 的降幂排列为_________________。 04．多项式?y 4+2x 2y 3? 12 x 3+ x 4y 6 是按_________________排列。 05．一个关于字母y 的四次五项式，奇数次项的系数都是1，偶数次项的系数都是?1，则这个多项式是______________。 06．多项式?7(a +b )2+2?(a +b )3+(a +b )按a +b 的降幂排列为______________ ________________。 07．(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)＝_________________。 08．化简(x ? 12)( x 2+12x +14)(x 3+1 8 )＝_________________。 09．x 285?x 83+x 7l +x 9?x 3+x 除以x ?1所得的余数为______________。 10．已知x ?by =y ?ax =bx +ay =1，且ab ≠1，a 2+b 2+ab +a +b =____________。 11．已知正整数a 、b 、c (其中c ≥3)，a 除以c 余1，b 除以c 余2，ab 除以 c 的余数是__________。 12．三次多项式f (x )除以x 2?1的余式是2x ?5，除以x 2?4的余式是?3x +4，则f (x )=____________。二、解答题 13．求x 2008?x 2007+5x 2006?x 3被x +1除，所得的余数。 14．已知x ?y +4是x 2?y 2+m x +3y +4的一个因式，求m 的值。 15．已知x +y +z =a ，x 2+y 2+z 2=b 2， x 3+y 3+z 3?3xyz =c 3。求证：3ab 2＝a 3+2c 3

五年级奥数完全平方数及应用(一)教师版

1. 五年级奥数完全平方数及应用（一）教师版 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ,则p 能被a 整除。 2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9．性质2：完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次,所以,如果p 是质数,n 是自然数,N 是完全平方数,且21|n p N -,则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1,5,9）时,其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0,4）时,其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 知识点拨教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）

五年级奥数题练习及答案(55题)

五年级奥数题练习（55题） 1、（1 +2 +8 ）÷（1 +2 +8 ）＝ 2、奥运吉祥物中的5个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左向右放5个不同的“福娃”，那么，有种不同的放法。 3、有一列数：1，1，3，8，22，60，164，448……其中的前三个数是1，1，3，从第四个数起，每个数都是这个数前面两个数之和的2倍。那么，这列数中的第10个数是。 4、有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐人。 5、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A,B,C,D,E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的仅次于A组，参加C组、D组的人数相同。参加E组的人数最少，只有4人，那么，参加B组的有人。 6、菜地里的西红柿获得丰收，摘了全部的2/5时，装满了3筐还多16千克。摘完其余部分后，又装满6筐，则共收得西红柿千克。 7、工程队修一条公路，原计划每天修720米，实际每天比原计划多修80米。因而提前3天完成任务。这条路全长千米。 8、两个完全相同长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是平方厘米。 9、著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6＝3+3，12＝5+7，等。那么自然数100可以写成种两个不同质数和的形式？请分别写出来（100＝3+97和100＝97+3算作同一种形式）

10、号码分别为2005、2006、2007、2008的4名运动员进行乒乓球赛，规定每2人比赛的场数是他们号码的和被4除所得的余数。那么2008号运动员比赛了场。 11、0.15÷2.1×56= 12、15+115+1115+ (1111111115) 13、一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4.得余数3。若用这个自然数除以6，得余数。 14、有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数（平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个相同自然数的乘积）。如：1=1×1=1×1×1，64=8×8=4×4×4。那么，1000以内的自然数中，这样的数有个。 15、有一个自然数，它的最小两个因数的差是4，最大两个因数的差是308，这个自然数是。 16、先将4黑1白共5个棋子放在一个圆圈上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉。如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有个白子。 17、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是乙的速度的3倍，经过60分钟，两人相遇。然后，甲的速度减为原来的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行。那么，当甲到达B地后，再经过分钟，乙到达A地。 18、将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长、宽、高三个方向锯开3次，得到24个长方体木块。这24块长方体木块的表面积的和是平方米。 19、将1~2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，…个数的规律分组如下（每个括号为一组）：（1），（3，5），(7，9，11)，(13，

718.整数的整除性-奥数精讲和测试7年级1118

例1．⑴求能被15以内所有的质数整除的最小正整数；⑵求在160以内同时能被2、3、5整除的正整数的个数。例2．已知x、y、z是整数，且7︱(2x?4y+z)，求证：7︱(x?2y+4z)。例3．已知n+10︱n3+100，求满足条件的最大的正整数n。例4．求证：三个连续正整数的立方和是9的倍数。例5．已知a是整数，2?a，3?a，求a2＋16被24除的余数。例6．设N=abcdefg，N l=abcd?efg，求证：如果7︱N1，那么7︱N；如果7︱N，那么7︱N1。例7．173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□先后填入3个数字，所得的三个四位数依次被9、11、6整除”，问数学老师先后填入的数字之和是多少？例8．对任意自然数n，求证：3×52n+l+23n+l能被17整除。

A卷一、填空题 01．99︱141283 x y，(x，y)＝____________。 02．200以内能同时被3、4、5整除的正整数共有________个。 03．一个三位正整数的百位上是4，十位上和个位上的数字相同，且这个数能被9整除，这个数是_________。 04．所有能被7整除的两位正整数的和是_________。 05．能同时被2、3、5整除的最小四位正整数是_________。 06．360能被_________个不同的正整数整除。 07．有三个连续的两位正整数，它们的和也是两位数并是11的倍数，这三个数的积最大为_________。 08．一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是_________。 09．能被11整除，各位数字和等于13的最小正整数是_________。 10．一个两位正整数，它的两个数字之和能被4整除。而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除，所有这样的两位数有_________个。二、解答题 11．求证：形如abcabc的六位数字一定被7、11、13整除。 12．已知a、b为整数，3?a，3?b，3?(a?b)，求证：9︱(a3+b3)。 B卷一、填空题

2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(C级).学生版

完全平方数知识框架一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。 2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质 -，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N 则2|n p N．性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．二、一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49， 69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

701.有理数的计算技巧-奥数精讲与测试7年级1101

例1．计算 11111111 1 2344950262750????-+-++-÷+++ ? ????? 例2．计算1998×19991999?1999×19981998 例3．已知a=1166+1267+1368+1469+1570 100 1165+1266+1367+1468+1569 ????? ? ????? ，问a的整数部分是多少？例4．比较S n＝ 1234 +++++ 248162n n 与2的大小。例5．定义n!=1×2×3×?×n(n为正整数)，计算1×1!+2×2!+?+2007×2007! A卷

一、填空题 01． ()()()23 1998 12111212411154 ?? ??-?---÷--?? ?????????-÷-? ???＝___________。 02．211×555+445×789+555×789+211×445＝___________。 03．1?2+3?4+?+(?1)2003?2002＝___________。 04． 224690 123461234512347 -?＝___________。 05．(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)＝___________。 06．2+4+6+?+2000+2002＝___________。 07． 111112233420012002 ++++????＝___________。 08．1999×20002000?2000×19991999＝___________。 09．a 1＝111232+??＝23，a 2＝112343+??＝38，a 3＝113454+??＝4 15， a 4＝114565+??＝ 5 24 ??按上述规律a 999＝___________。 10． 1 111+++ 13391340 2007 的整数部分是___________。二、解答题 11．求证：()()() 11111323+++++1324354624212n n n n n +=-????+++ 12．计算2100111 1222 + +++ B 卷

五年级奥数正方形长方形面积问题

积长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米 22 B A 分析从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A 和B 的面积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A 和B 的面积，再用A 或B 的面积除以2就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。 1、有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。 2、正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米例专题长方形、正方形的面积挑战

3、把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。分析因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。 1、下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。 30 24 32P N M F E D C B A 2、下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求A和B的面积。 B 12 24 A 45 15 例挑战

小学数学奥数测试题完全平方数_人教版

第 1 页 2019年小学奥数数论专题——完全平方数 1．1234567654321(1234567654321)?++++++++++++是的平方． 2． 112123123412345123456+?+??+???+????+?????，这个算式的得数能否是某个数的平方？ 3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 4．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 5．从1到2019的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 6． 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________． 7．已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是。 8．已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是。 9．考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是． 10．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 11．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 12．三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数． 13．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为． 14．求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数． 15．两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 16．有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案) 17．A 是一个两位数，它的6倍是一个三位数B ，如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A 的所有可能取值之和为． 18．已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________． 19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 20．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数． 21．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由． 22．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。 23．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2019的美妙数的最大公约数是多少？ 24．记(123)(43)S n k =????++L ，这里3n ≥．当k 在1至100之间取正整数值时，有个不同的k ，使得S 是一个正整数的平方． 25．称能表示成123k ++++L 的形式的自然数为三角数．有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数．则N = ． 26．自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？ 27．A 是由2019个“4”组成的多位数，即20024 4444L 14243个，A 是不是某个自然数B 的平方？如

705.列方程(组)解应用题-奥数精讲与测试7年级1105

例1．某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟。回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用 1 1 2 小时，问A、B两地相距多少千米？例2．某校初一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍。如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2:1，求参加竞赛的人数与初一年级的总人数。例3．两个容器内共有48千克水，从甲容器内给乙容器加水一倍，然后乙容器又给甲容器加甲容器剩余水的一倍，则两个容器内的水量相等，问最初两个容器内各有水多少千克？例4．一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件。若他每天多做10个，则提前 1 4 2 天完成；若他每天少做5个，则要误期3天，问他要做多少个零件？定期是多少天？例5．某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米。团体中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那一部分人。已知步行时速8千米，汽车时速40千米，问要使大家在下午4点钟同时到达乙地，必须在什么时候出发？例6．旅行者从下午3时步行到晚上8时，他先走平路然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地。若他走平路每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，问旅行者一共行多少千米？例7．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中1人解出的题叫做难道，3人都解出的题叫做容易题，试问难题多还是容易题多？(多的比少的)多几道题？例8．游泳者在河中逆流而上，于桥A下将水壶遗失被水冲走。继续向前游了20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回，在桥A下游距桥A 2千米的桥B下追到水壶，求该河水水流的速度。

小学奥数：完全平方数及应用(一).专项练习及答案解析

5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断【例 1】已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法例题精讲知识点拨教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）

小学五年级奥数题及答案解析

小学五年级经典奥数题题1、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成了28张票面为1元和1角的人民币，求换来的这两种人民币各多少张？题2、有一元，二元，五元的人民币共50张，总面值为116元，已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各多少张？题3、有3元，5元和7元的电影票400张，一共价值1920元，其中7元和5元的张数相等，三种价格的电影票各多少张？题4、用大、小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱，现在有18车货，价值3024元，若每箱便宜2元，则这批货价值2520元，问：大、小汽车各有多少辆？题5、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次，平均每天运14次，这几天中有几天是雨天？题6、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元，如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问：有多少千克大西瓜？题7、甲、乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶每次倒扣6分，两人各投10次，共得152分，其中甲比乙多得16分，问：两人各中多少次？

题8、某次数学竞赛共有20条题目，每答对一题得5分，错了一题不仅不得分，而且还要倒扣2分，这次竞赛小明得了86分，问：他答对了几道题？一、填空题（每小题5分，共60分） 1、（1 +2 +8 ）÷（1 +2 +8 ）＝ 2、奥运吉祥物中的5个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左向右放5个不同的“福娃”，那么，有种不同的放法。 3、有一列数：1，1，3，8，22，60，164，448……其中的前三个数是1，1，3，从第四个数起，每个数都是这个数前面两个数之和的2倍。那么，这列数中的第10个数是 4、有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐人。 5、一个拧紧瓶盖的瓶子里装着一些水（如图1），由图中的数据可推知瓶子的容积是立方厘米；（取3.14） 6、某小区有一块如图2所示的梯形空地，根据图中的数据计算，空地的面积是平方米。 7、如图3，棱长分别为1厘米，2厘米，3厘米，5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是平方厘米。 8、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A,B,C,D,E五个小组，若参加A 组的有15人，参加B组的仅次于A组，参加C组、D组的人数相同。参加E组的人数最少，只有4人，那么，参加B组的有人。 9、菜地里的西红柿获得丰收，摘了全部的时，装满了3筐还多16千克。摘完其余部分后，又装满6筐，则共收得西红柿千克。 10、工程队修一条公路，原计划每天修720米，实际每天比原计划多修80米。因而提前3天完成任务。这条路全长千米。 11、王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高，于是提前1小时40分到达北京。北京、上海两市间的路程是千米。 12、两个完全相同长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是平方厘米。