.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

16.3 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

【考纲要求】

1.能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系；

2.能由给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系；

3.会求两圆相交弦的方程、弦长、弧长，会求圆的切线方程. 【命题规律】

直线与圆的位置关系是本节考查的重点内容，题型为填空题，通常考查圆的切线方程、直线与圆相交的弦长、切线长、圆心角、弧长及面积的计算。圆与圆的位置关系通常考查公共弦长、公共弦的方程、对称性。解析几何中设而不求的思想方法，圆与其他知识的交汇，一般会在解答题中出现，难度适中。【知识回顾】

一、 点与圆的位置关系

1. 已知圆2

2

2

()()x a y b r ---=，圆心为(,)C a b ，那么点00(,)P x y 与圆的位置关系有： （1） 点P 在圆上22200()()||x a y b r PC r ?-+-=?=

（2） 点P 在圆内22200()()||x a y b r PC r ?-+-

0()()||x a y b r PC r ?-+->?>

2. 圆外一点P 到圆上任一点的最大距离为||PC r +，最小距离为||PC r -.

二、 直线与圆的位置关系

1. 位置关系：相离、相切、相交，分别对应直线与圆有0个、1个、2个公共点。

2. 判断方法：

代数法：

{

2

40()00y x b ac

x y ?=-?>???=???

消去（或）相交直线与圆有2个公共点

直线的方程

得到关于或的一元二次方程相切直线与圆有1个公共点圆的方程

相离直线与圆有0个公共点这种

由判别式?来判断位置关系的方法，即代数法，是解析几何中研究两条曲线交点问题的通法，也是一种基本方法，具有一般性，但运算量比较大，一般不用此法。（2） 几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小来判断，即d r d r d r

=???>??

直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离

三、 圆与圆的位置关系

1. 位置关系：外离、外切、相交、内切、内含

2. 判断方法：判断两圆的位置关系，利用圆心距和两圆半径的大小关系来判断设

22222211112222:()(),:()()O x a y b r O x a y b r -+-=-+-=

，则圆心距为12||d OO =

则1212121212

124321||||||d r r d r r r r d r r d r r d r r ??????????>+??=+??

-<<+??=-??<-?外离条公切线外切条公切线

相交条公切线内切条公切线

内含无公切线

四、 直线与圆相切——“切线”问题

1. 求过圆上的一点00(,)P x y 的切线方程

先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为1k

-

，由点斜式方程可求切线方程，若切线斜率不

存在，则由图形写出切线方程0x x =.2. 求过圆外一点00(,)P x y 的圆的切线方程

（1） 几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为00:()l y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到

直线的距离等于半径，即可得出切线方程.

（2） 代数方法：设切线方程为00:()l y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，代入圆方程，得到一个关于x 的

一元二次方程，由0?=，求得k ，切线方程即可求出.

（3） 从圆外一点引圆的切线一定有两条，如果求出的切线斜率只有一个，则另一条切线一定垂直于x 轴.

五、 直线与圆相交——“弦长”问题、“圆系”问题

1. 直线被圆截得的弦长

（1） 几何方法：由半径r ，弦心距d ，及半弦长构成的直角三角形，利用勾股定理得弦

长为||AB =（2） 代数方法：利用弦长公式

设直线y kx m =+与圆2

2

2

()()x a y b r ---=相交于(,),(,)A B A B A x y B x y 两点，将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于x 的方程，求出,A B A B x x x x +?

，则|||A B AB x x -=

或

|||A B AB y y -

2. 弦中点求法：

（1） 由直线与圆方程联立???→消元

得到关于x y 或的一元二次方程，由唯达定理得12122

x x b

x x x a ++=-

?=中 （2） 由弦所在方程和过圆心且垂直于弦的直线方程组成的方程组求得交点坐标（即中点）。 3.直线与圆相交时，过两圆交点的圆系方程为2

2

()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.

六、 直线与圆相交、相切、相离时的结论及方法

1.过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程：2

00x x y y r += 证明：方法一：00op y k x =

，00l x k y ∴=-0000

()x y y x x y ∴-=--，即220000y y y x x x -=-+，即22

0000x x y y x y +=+ 又

00(,)P x y 在圆上，22

20

0x y r +=200x x y y r ∴+= 方法二：设00:()l y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=

∴

圆心到l 的距离d r =，22200()(1)y kx r k ∴-=+即222

00020y k x y x ++= 即200()0y k x +=，00x k y ∴=-， 0000

()x y y x x y ∴-=--即2

00x x y y r +=

2.过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的切线方程为2

00()()()()x a x a y b y b r --+--= 3.过圆2

2

0x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的切线方程为00

00022

x x y y x x y y D E F ++++?

+?+= 证明：圆心为(,)22D E --，00002222

op E

y y E k D x D x +

+∴==++，0022l

x D k y E +∴=-+ ∴切线方程为00002()2x D

y y x x y E

+-=--+即0000()(2)(2)()0y y y E x D x x -+++-=

00(,)P x y 在圆上220

0000x y Dx Ey F ∴++++= 000022()()20x x y y D x x E y y F ++++++=即00

00022

x x y y x x y y D E F ++++?

+?+= 4.从圆外一点00(,)P x y 引圆2

2

0x y Dx Ey F +++

+=的两条切线，切线长d 证明：圆心为(,)22

D E

-

-，PM PN = 5.从圆外一点00(,)P x y 引圆2

2

2

()()x a y b r -

+-=的两条切线，切线长d 6.从圆外一点00(,)P x y 引圆2

2

2

x y r +=的两条切线，则切点弦所在直线方程为2

00x x y y r += 证明：方法一：设,M N 坐标分别为1122(,),(,)M x y N x y

,M N 在已知圆222x y r +=上，∴过,M N 的切线方程分别为211xx yy r +=，222xx yy r +=

又

00(,)P x y 为两切线公共点，20101x x y y r ∴+=，20202x x y y r +=

上式表明点1122(,),(,)M x y N x y 都满足二元一次方程2

00x x y y r +=.

∴直线MN 方程为200x x y y r +=

方法二：设以OP 为直径的圆的方程，其圆心为00(

,)22x y ，半径2221()24

op r op == 2222

00001()()()224x y x y x y ∴-

+-=+即22000x y x x y y +--= 又222x y r +=，200x x y y r ∴+=

7.若点00(,)P x y 是圆2

2

2

x y r +=外一点，则直线2

00x x y y r +=与该圆的位置关系是相交. 若点00(,)P x y 是圆2

2

2

x y r +=上一点，则直线2

00x x y y r +=与该圆的位置关系是相切. 若点00(,)P x y 是圆2

2

2

x y r +=内一点，则直线2

00x x y y r +=与该圆的位置关系是相离.

证明：

00(,)P x y 在圆外，22220

0||OP x y r ∴=+>， 又点(0,0)O 到:l 2

00x x y y r +=

的距离2

2

r d r r

<=

∴直线200x x y y r +=与圆222x y r +=相交。

过圆C 内一点A 的直线l 与圆交于一条弦MN ，其中：当l 过圆心时弦长最大，即直径；当l 不过圆心但垂直于AC 时，弦长最小，且MN 是以A 为中点，且C 到l 的距离最大。9.当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -（其中d 为圆心到直线的距离）

七、 两圆相交——“相交弦直线方程”“过两圆交点的圆系方程”

1. 设圆2

21111:0C x

y D x E y F ++++=和圆222222:0C x y D x E y F ++++=相交，过两圆交点的交点弦方

程为：2

2

2

2

111222()()x y D x E y F x y D x E y F ++++-++++=121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=

注：22

111122

2222:0:0C x y D x E y F C x y D x E y F ?++++=?????++++=?????①②

由①-②得121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=……③

①当两圆是同心圆时，此直线不存在

②当两圆相交时，方程③为公共弦（即相交弦）所在直线；（两圆相交弦的中垂线为连心线，但是连心线段的中垂线不一定是相交弦所在直线，除非两圆是等圆）③当两圆外切时，方程③为两圆内公切线所在直线； ④当两圆内切时，方程③为两圆公切线所在直线； ⑤当两圆相离时，方程③为与两圆连心线垂直的直线； ⑥当两圆半径相等时，方程③为两圆的对称轴. 2. 过两圆交点的圆系方程：

设圆2

21111:0C x

y D x E y F ++++=和圆222222:0C x y D x E y F ++++=相交，过交点的圆系方程为：

2222111222()0(1)x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++++=≠-.

当1λ=-时，方程变为121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=，它表示过两圆交点的直线. 【典例分析】

例1. 已知圆2

2

2

62(1)102240()x y mx m y m m m R +---+--=∈，求证：不论m 为何值，圆心在同一直线上。 解:（1）证明：配方得2

2

(3)[(1)]25x m y m -+--=

设圆心为(,)x y ，则33301m

x m x y y m =????→--=?

=-?

消去

则不论m 为何值，圆心恒在直线:330l x y --=上.

例2. 若过点A(4,0)的直线l 与圆2

2

(2)1x y -+=有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围. 解：因为点A(4,0)在圆外，所以斜率必存在.

设经过该点的直线方程为40kx y k --=，

1≤,解得k ≤≤

例3. 已知两圆2

2

2610x y x y +---=和2

210120x

y x y m +--+=.

求:（1）m 取何值时，两圆外切？（2）m 取何值时，两圆内切？

解:将两圆分别化为标准方程圆2

2

11):((3)11C x y -+-=,圆2

2

2:(5)(6)61C x y m -+-=-.

两圆圆心距12

5C C ==，12r r =

(1)当1212C C r r =, 5=,即25m =+,两圆相切.

(2)当1212||C C r r =-,5=,即2525m m =+=-,

由(1)知25m =+,故25m =-时,两圆内切. 例4. 已知点(0,5)P 及圆2

2

:412240C x y x y ++-+=.

(1) 若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为求l 的方程; (2) 求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.

分析:（1）可以用代数法——将直线l 的斜率k 设出（优先考虑斜率不存在的情况），写出直线方程，并将其代

入圆C 的方程，然后运用弦长公式12|d

x x -来解决；也可以用几何法——设出直线l 方程：

5y kx -=,首先注意斜率不存在情况，运用圆心到直线的距离，圆半径和一半弦长构成直角三角形来解决.

（2）中点弦问题，可以考虑“代点作差法”，也可以利用“垂直于弦的直径平分弦”这一几何特征来求解.

解:(1)方法一：如图所示，AB =是AB 中点，,4CD AB AD AC ⊥==,

在Rt △ACD 中，可得CD=2.

设所求直线的斜率为k ,则直线的方程为5y kx -=,即50kx y -+=, 由点C 到直线AB 的距离公式

3

24

k =?=

当3

4

k =

时,直线l 的方程为34200x y -+=. 又直线l 的斜率不存在时也满足题意，此时方程为0x =. ∴所求直线的方程为0x =或34200x y -+=.

方法二：设所求直线的斜率为k ,

则直线l 的方程为5y kx -=,即5y kx =+, 联立直线与圆的方程22

5

412240

y kx x y x y =+??

++-+=?,消去y ，得22

(1)(42)110k x k x ++--=①

设方程①的两根为12,x x ,由韦达定理,得122122241111k x x k x x k -?

+=??+?

?=-?+?

② 由弦长公式,

12|x x -==将②式代入，解得3

4

k

= ，此时直线方程为34200x y -+=. 又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为0x =. ∴所求直线方程为0x =或34200x y -+=.

(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为(,)D x y ，则CD PD ⊥即0CD PD ?=,即(2,6)(,5)0x y x y +--=,

化简得22211300x y x y ++-+=

所求轨迹方程为22211300x y x y ++-+=.

例5. (2009·陕西改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆22

40x y y +-=所截得的弦长为. 解: 2

2

40x y y +-=即2

2

(2)4x y +-=,则圆心(0,2),2A OA =,所求弦长为22cos3023??=例6. 求过直线2x+y+4=0与圆2

2

2410x y x y ++-+=的交点，且过原点的圆的方程.

分析:可用待定系数法，由两交点坐标和过原点的条件，求出待定系数，也可用圆系方程求经过两圆交点的圆的方程.解:方法一:由2

2

115

2

5

324102240x x y x y x y y x y =-

=??=-?++-+=??????

=++=?????或,所以交点坐标为112(3,2),(,)55A B -- 设所求圆的方程为22

0x y Dx Ey F ++++=,由题意得32174094320112112

05555D E F D E F F D E F ==-?

???=?

??+-++=?????=??-+-++=??

?

方法二：设所求圆的方程为22

241(24)0x y x y x y λ++-++++=

即2

2

2(1)(4)(14)0x y x y λλλ++++-++= ∵此圆过原点，∴11404

λλ+=?=- ∴所求圆的方程为22317

024

x y x y ++

-= 例7. 求过直线2x+y+4=0和圆2

2

2410x y x y ++-+=的交点且面积最小的圆的方程.

解:求圆的方程为2

2

241(24)0x y x y x y λ++-++++=即2

2

2(1)(4)(14)0x y x y λλλ++++-++=①

方法一:当半径最小时,圆面积也最小,对①左边配,得22

24

5

844[(1)]()()2

4555

x y λλλ-++++

=

-+≥ 所以当85λ=

时,此圆面积最小,故满足条件的圆的方程为22364

()()555

x y ++-= 方法二：当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆面积最小.易求得圆心坐标为4

(1,)2

λλ----,

代入直线方程，得42(1)402

λλ--+-+=,解得85λ=，所以当8

5

λ=时，此圆面积最小.

故满足条件圆的方程为2

2261237

0555

x y x y ++

-+=. 例8. 求与直线20x y +

-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的、半径最小的圆的标准方程.

解:如图所示，∵圆2

2

:(6)(6)18A x y -+-=,(6,6)A ∴,半径

1r =由图可知，当圆心B 在过点A 与直线l 垂直的直线上时，圆的半径最小.

∵点A 到l

=

∴所求圆B 的直径212r r ==即2r =

又21OB OA r r =--=且OA 与x 轴正半轴成角45°,(2,2)B ∴. ∴所求圆的标准方程为2

2

(2)(2)2x y -+-=.