第6章 均方误差和最小无偏
§6.3 估计量的优良性
1
26.3.1 均方误差
设为参数计评假用作的估量，价估计优劣的一个自然准则可定义如下：
2()E
()MSE 称上式为均方误差，(Mean Squared Error)
简记为MSE 。
()MSE MSE 如果，则由的均值和方差
确定，即 2()()(,),MSE Var b
其中 (,)(),b E
(,)b T 称为用估计产生的偏差（bias ）。
3
例的和方差均值求正态总体2
2),( N MLE 的均方误差。
,
0)(),( X E X b 2
MSE(,)(),X Var X n ,)?()?,(2
222n E b 422222(21)???MSE(,)()(,).n Var b n 2
21E n
n S n E()EX X 解：
4从均方误差可知，我们自然希望估计的MSE 越小越好。
G 用表示所有可能估计组成的类，如果
G G
在中存在一个元使得对任一，有 M SE(,)M SE(,)
对所有的成立， ()x
则应是的最好估计。
5 遗憾的是，这样的估计并不存在。因为倘若这样的估计存在，()x
，那么对任一 0 0, 令 0MSE(,)0
则，这样 00MSE(,)MSE(,)0,
0().x
即 0()x 由的任意性，因此这样不存在。平凡估计
(Trivial Estimate)
基于最小均方误差的Tikhonov正则化参数优化研究
基于最小均方误差的Tikhonov正则化参数优化研究 摘要：本文首先介绍了求解病态方程的L-曲线法、GCV法等常用的方法，然后提出了基于最小均方误差的最优Tikhonov正则化求解参数的方法。通过仿真实验表明，本文提出的基于最小均方误差的Tikhonov正则化参数优化选择方法是一种可行有效的方法。 关键字：Tikhonov正则化、均方误差、病态问题 Based on the minimum mean square error of Tikhonov regularization parameter optimization research Abstract:This paper first introduces the morbid equation of L - curve method, GCV method such as the commonly used method, and then based on the minimum mean square error of the optimal Tikhonov regularization method to solve the parameter. Through the simulation experiments show that the proposed based on the minimum mean square error of Tikhonov regularization parameter optimization selection method is a feasible and effective method. Key words: Tikhonov regularization, mean square error (mse), pathological problems 1 引言 求解线性不适定问题的正则化方法中，应用最广泛也最经典的是Tikhonov正则化方法[1]。随着各个领域中数据的处理中应用多种不适定问题的正则化方法，Tikhonov正则化方法是比较常见也是应用比较广泛的方法。该方法可以解决不同领域中不适定问题的纠正，地震中发射波长中的应用、电容层析成像图像重建、无线传感器网络实现监测和跟踪等病态问题中均可以应用Tikhonov正则化方法。本文通过对Tikhonov正则化方法中常见的L-曲线法和GCV 法进行分析Tikhonov正则化方法的特点，通过L-曲线法和GCV法进行Tikhonov正则化方法参数的确定，从而确定基于最小均方误差的Tikhonov正则化优化参数，并通过仿真实验进行验证，从而确定基于最小均方误差的Tikhonov正则化优化参数可行。从而为更深入的研究提供可靠依据。 2迭代Tikhonov正则化方法参数确定方法： 目前正则化参数的选择有先验和后验两种方法。用先验法选择正则化参数时，都需要预先对于原始数据的误差水平做出估计，但在大多数情况下这是难以做到的。后验取法可以直接应用带有噪音的原始数据对正则化参数作出估计。 2.1L-曲线法
数值计算中误差的传播规律
数值计算方法 实 验 报 告 实验序号：实验一 实验名称：数值计算中误差的传播规律 实验人： 专业年级： 教学班： 学号： 实验时间：
实验一 数值计算中误差的传播规律 一、实验目的 １．观察并初步分析数值计算中误差的传播； ２．观察有效数字与误差传播的关系． 二、实验内容 1．使用MATLAB 的help 命令学习MATLAB 命令digits 和vpa 的用途和使用格式； 2．在4位浮点数下解二次方程01622=++x x ； 3．计算下列５个函数在点2=x 处的近似值 （1）60)1(-=x y ， （2）61) 1(1+=x y ， （3）32)23(x y -=， （4）3 3)23(1x y +=， （5）x y 70994-=． 三、实验步骤 本次实验包含三个相对独立的内容． 1．在内容１中，请解释两个命令的格式和作用； 在matlab 中采用help 语句得到：
1、digits用于规定运算精度，比如： digits(20); 这个语句就规定了运算精度是20位有效数字。但并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。vpa就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa函数。 例如： digits(5); a=vpa(sqrt(2)); 这样a的值就是1.4142，而不是准确的1.4142135623730950488016887242097 又如： digits(11); a=vpa(2/3+4/7+5/9); b=2/3+4/7+5/9; a的结果为1.7936507936，b的结果为1.793650793650794......也就是说，计算a的值的时候，先对2/3，4 /7，5/9这三个运算都控制了精度，又对三个数相加的运算控制了精度。而b的值是真实值，对它取11位有效数字的话，结果为1.7936507937，与a不同，就是说vpa 并不是先把表达式的值用matlab本身的精度求出来，再取有效数字，而是每运算一次都控制精度。 2．求解方程时，分别使用求根公式和韦达定理两种方法，并比较其有效数字和相对误差； 用求根公式解得：x1=-0.015,x2=-62.00 用韦达定理解得：x11=-0.016,x22=-62.00 x22=x2,x11=1/x22
误差基本知识及中误差计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。 §2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值），n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=
2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。§3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m 1、m 2 、…m n ，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error） m ，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
最小均方算法
第3章最小均方算法 3．1 引言 最小均方(LMS ,least-mean-square)算法是一种搜索算法，它通过对目标函数进行适当的调整[1]—[2],简化了对梯度向量的计算。由于其计算简单性，LMS 算法和其他与之相关的算法已经广泛应用于白适应滤波的各种应用中[3]-[7]。为了确定保证稳定性的收敛因子范围，本章考察了LMS 算法的收敛特征。研究表明，LMS 算法的收敛速度依赖于输入信号相关矩阵的特征值扩展[2]—[6]。在本章中，讨论了LMS 算法的几个特性，包括在乎稳和非平稳环境下的失调[2]—[9]和跟踪性能[10]-[12]。本章通过大量仿真举例对分析结果进行了证实。在附录B 的B ．1节中，通过对LMS 算法中的有限字长效应进行分析，对本章内容做了补充。 LMS 算法是自适应滤波理论中应用最广泛的算法，这有多方面的原因。LMS 算法的 主要特征包括低计算复杂度、在乎稳环境中的收敛性、其均值无俯地收敛到维纳解以及利用有限精度算法实现时的稳定特性等。 3．2 LMS 算法 在第2章中，我们利用线性组合器实现自适应滤波器，并导出了其参数的最优解，这对应于多个输入信号的情形。该解导致在估计参考信号以d()k 时的最小均方误差。最优(维纳)解由下式给出： 其中，R=E[()x ()]T x k k 且p=E[d()x()] k k ，假设d()k 和x()k 联合广义平稳过程。 如果可以得到矩阵R 和向量p 的较好估计，分别记为()R k ∧ 和()p k ∧ ，则可以利用如下最陡下降算法搜索式(3．1)的维纳解： w(+1)=w()-g ()w k k k μ∧ w()(()()w())k p k R k k μ∧∧ =-＋２(3.2) 其中，k ＝0，1，2，…,g ()w k ∧ 表示目标函数相对于滤波器系数的梯度向量估计值。 一种可能的解是通过利用R 和p 的瞬时估计值来估计梯度向量，即 1 0w R p -=(3.1)
3.1-3.2.1-估计量的性质、最小方差无偏估计
第三章估计理论 什么是“估计”？ 通俗解释：对事物做大致的判断 专业解释：通过一定的技术手段获得关于被估计事件、参数、过程的相关信息，再对这些信 息进行加工、处理获得结果的过程。
3.1引言 3.1 引言 根据研究对象的不同估计分为二种 参量估计：被估计的对象是随机变量或非随机的未知量 波形估计：被估计的对象是随机过程或非随机的未知过程 信号参量估计理论 与信号参量估计相关的理论 最佳估计 一定准则下的“最好”估计 应用领域 通信系统、雷达系统、语音、图像处理、自动控制
3.1.2 估计量的性质质 假设得到N 个观测样本数据为： 为待估计参量，[][]0,1,,1 x n w n n N θ=+=?…式中，是观测噪声。 θ[]w n 估计的任务就是利用观测样本数据构造估计量,获得估计量后，通常需要对的质量进行评价,这就需要研[]x n θ θ θ究估计量的主要性质。 估计量也是一个随机变量，具有均值和方差等统计特征，可以利用其统计特征对估计量的性质进行评价。评价 θ 指标包括：无偏性、一致性、充分性和有效性。
1、无偏性 非随机参量随机参量??θθ 无偏估计 渐进无偏估计()E θθ=()()E E θ=?lim ()N E θθ→∞=?lim ()()N E E θ θ→∞=如果上式不满足，则是一个有偏估计 θ 定义 为估计量的偏估计量的无偏性保证估计量分布在参量真值附近，是衡量()()b E θθθ=?估计量性能优劣的重要指标。然而，一个估计量是无偏的不能确保就是好的估计量，它仅能保证估值的均值近似真值。
2、一致性 可以通过增加观测样本数据来减少估计量的估计误差，具有这种性质的估计称为一致估计。 简单一致性： ?lim (||)1N P θθδ→∞?<=均方一致性：2?lim [()]0N E θ θ→∞ ?= ?定义估计误差，对无偏估计，误差的方差为 222?εθθ=?在同时满足无偏性、均方一致性的条件下，随着观测样本()()()() Var E b E εεθε==数的增加，估计误差的方差将减小并趋于零。
定位误差计算方法
定位误差的计算方法： （1）合成法 为基准不重合误差和基准位移误差之和； （2）极限位置法 工序基准相对于刀具（机床）的两个极限位置间的距离就是定位误差； （3）微分法 先用几何方法找出工序基准到定位元件上某一固定点的距离，然后对其全微分，用微小增量代替微分，将尺寸误差视为微小增量代入，就可以得到某一加工尺寸的定位误差。 注：基准不重合误差和基准位移误差它们在工序尺寸方向上的投影之和即为定位误差。 例如：用V 型块定位铣键槽，键槽尺寸标注是轴的中心到键槽底面的尺寸H 。T D 为工件定位外圆的公差；α为V 型块夹角。 1. 工序基准为圆柱体的中心线。 表示一批工件依次放到V 型块上定位时所处的两个极端位置情形，当工件外圆直径尺寸为极大和极小时，其工件外圆中心线分别出于点 O '和点O ''。 因此工序基准的最大位置变动量O O '''，便是对加工尺寸 H 1所产生的定位误差： 故得： O E O E H H O O 11DH 1 ''-'='-''='''=ε O A E Rt 1''?中： max 1 D 2 1A O ='' 2 sin A O O E 1α''= ' O A E Rt 1''''?中：min 1 D 2 1 A O ='''' 2 sin A O O E 1α''''= '' 2 sin 2T 2sin 2T 2sin A O A O O E O E D D 11DH 1 α=α=α''''-''=''-'=ε 2. 工序基准为圆柱体的下母线：
工件加工表面以下母线C 为其工序基准时，工序基准的极限位置变动量 C C '''就是加工尺寸H2所产生的定位误差。 C S C S C O O O H H 22DH 2 '-''=''-'''='-''=ε C O C O O O ) C O O S ()C O O S (' '-''''+'''=''+'-'''+'= 而 2 sin 2T O O D α= ''' min D 2 1C O ='''' max D 2 1C O ='' 所以： C O C O O O 2 DH ''-''''+'''=ε ) 12 sin 1(2T 2T 2sin 2T 2D D 2 sin 2T )D (21 )D (212sin 2T D D D max min D max min D DH 2 -α=-α=-+ α=-+α=ε 3. 工序基准为上母线 如果键槽的位置尺寸采用上母线标注时，上母线K 的极限位置变动量为 K K '''，就是对加工尺寸H 3 所产生的定位误差。
次级通路估计误差偏移下的滤波-x最小均方算法收敛性能
V ol 35No.6 Dec.2015 噪 声与振动控制NOISE AND VIBRATION CONTROL 第35卷第6期2015年12月 文章编号：1006-1355(2015)06-0152-07 次级通路估计误差偏移下的滤波-x 最小均方算法 收敛性能 玉昊昕，陈克安 (西北工业大学航海学院环境工程系，西安710072) 摘要：实现自适应有源噪声控制算法时，次级通路辨识是其关键环节。由于环境干扰等因素的存在，实际的次级通路特性不是恒定的，而是在一定范围内随机变化。次级通路传递函数建模结果与实际通路之间会存在随机偏移误差，将影响自适应有源控制算法的收敛性能，严重的可能导致系统不稳定，因此研究此种情况下的系统收敛性能十分必要。以单频噪声为例，通过建立滤波-x 最小均方算法（Fx LMS ）的等效传递函数，用线性时不变（LTI ）系统的稳定性判据求解算法稳定条件，求得次级通路误差存在时收敛系数的取值范围，然后通过系统极点来分析此时算法收敛特性，并研究收敛系数取值对次级通路误差的承受能力。最后，通过实验证明了分析的有效性。 关键词：振动与波；有源噪声控制；Fx LMS 算法；次级通路误差；收敛性能中图分类号：TU112.3 文献标识码：A DOI 编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.06.033 Convergence Performance of Filtered-x LMS Algorithm with Shifting Secondary Path Estimation Errors YU Hao-xin ,CHEN Ke-an (School of Marine Engineering,Northwestern Polytechnical University,Xi ’an 710072,China ) Abstract :Implementation of adaptive active noise control requires an estimate model of the secondary path.In practice,the characteristics of physical secondary path are not constant but vary randomly within a specific range because of the environmental disturbance.Thus,random shifting errors,which can lead to low convergence performance or instability,will exist between the modeling results and the physical path.In this paper,the equivalent transfer function of filtered-x LMS (FxLMS)algorithm was applied to calculate the stable conditions of the algorithm according to the stability criterion of linear time invariant (LTI)system.Convergence performance of the algorithm was studied by analyzing the root locus of the equivalent transfer function.Then the effect of adaptive step on the secondary path estimation error tolerance was studied.Finally,an experiment was done to validate the analysis. Key words :vibration and wave ;active noise control ;FxLMS algorithm ;secondary path error ;convergence performance Fx LMS 算法在有源噪声控制中是最常用的前馈算法[1]，特别适用于抑制周期性扰动，特别是单频信号，在此情况下，可以忽略前馈结构的因果性约束。 Fx LMS 算法形式简单，便于实现，且运算复杂度较低，有较好的稳定性，是ANC 领域最基本的算法，因此虽然已经得到了广泛运用和研究，但仍然有 收稿日期：2015－04－08 作者简介：玉昊昕（1987－），男，广西梧州市人，博士生，主要 研究方向：有源噪声控制算法研究。 通讯作者：陈克安，男，博士生导师。 E-mail:kachen@https://www.360docs.net/doc/9813074533.html, 进一步研究的必要。在Fx LMS 算法中，为了补偿次级通路（从控制器输出到误差传感器输入之间的物理通路）的影响，参考信号要先经过预估计的次级通路传递函数进行滤波。理论上讲，当估计完全精确时，必定存在使算法收敛的收敛系数。然而实际中，次级通路特性的估计误差总是存在的。对存在次级通路误差时的算法收敛性，已有一些得到广泛认同的结论。 对于宽带信号，Wang 通过常微分方程（ODE ）给出了Fx LMS 算法收敛的一个充分条件[2]，并将其推广到Fu LMS 算法上[3]，Mosquera 也完成了类似工作[4]。他们得到的充分条件十分严格，要求次级通
加权平均值及其中误差
6-7 加权平均值及其中误差 一、不等精度观测和观测值的权 在测量实践中，除了等精度观测之外，还有不等精度观测。此时，求多次观测的最或然值就不能简单地用算术平均值，而是需要用“加权平均值”的方法求解。 某一观测值或观测值的函数的误差越小（精度越高），其权越大；反之，其误差越大（精度越小），其权越小。一般用“”表示中误差，用“P”表示权，并定义：“权与中误差的平方成反比”，以公式表示为 （6-26） 式中，C为任意常数。等于1的权称为“单位权“，权等于1的中误差称为“单位权中误差”，一般用表示。因此，权的另一种表达式为 （6-27） 中误差的另一种表达式为 （6-28） 在测量工作中，为了使权的概念简单明了，一般取一次观测、一个测回或单位长度（1m 或1km ）等的测量误差作为单位权中误差。 二、加权平均值及其中误差 对某一未知量进行一组不等精度观测：，其中误差为，则观测值的权为。按照误差理论，此时应按下式取其加权平均值，作为该量的最或然值： 上式可以写成线性函数的形式： 根据线性函数的误差传播公式，得到 上式可化为
因此，加权平均值的中误差为 （6-29） 加权平均值的权为所有观测值的权之和： （6-30） 三、单位权中误差的计算 在处理不等精度的测量成果时，需要根据单位权中误差来计算观测值的权和加权平均值的中误差。单位权中误差一般取某一类观测值的基本精度，例如，水平角观测的一测回的中误差等。根据一组对同一量的不等精度观测，可以估算本类观测值的单位权中误差。 如对同一量的n个不等精度观测，得到 …. 取以上各式的总和，并除以n，得到 用真误差代替中误差，得到在观测量的真值已知时用真误差求单位权中误差的公式： （6-31） 在观测值的真值未知的情况下，用观测值的加权平均值代替真值；用观测值的改正值代替真误差，得到按不等精度观测值的改正值计算单位权中误差的公式； （6-32）
第5章552均方误差准则MSE和LMS算法
5.5.2均方误差准则（MSE ）和LMS 算法 引言：均方误差准则同时考虑ISI 及噪声的影响，使其最小化。 本节讨论问题： 1. 均方误差准则； 2. 无限长LMS 均衡器（C (z )，J min ）； 3. 有限长LMS 均衡器（C opt ，J min ）； 4. LMS 算法； 5. 均衡器的操作； 6. 递推LMS 算法收敛特性的分析。 一. 均方误差准则 其中， 接收数据样本为：k n k n k n f I η-=+∑v ，k η为白噪声。
估计误差：?ISI k k k k I I εε=-，包括及噪声 定义：估计值2?[]k k I J E ε=的均方误差为均衡器的性能指数。 均方误差准则：使均方误差性能指数J 最小（min J ），此准则同时考虑使ISI 及噪声影响最小。 获得min J 的途径：调整{}j c ，当min J J =时，opt C C =(最佳抽头系数) 寻找opt C 的方法：1)根据正交性原理（线性均方估计）：* []0k k l E l ε-=，所有v 。（注：与ZF 准则不同的是，这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本k v ，这就包含了噪声）。 即*?[]0k k l E l ε-=，所有I 。 2)求函数极值方法：令 ?0=→=??opt k J C C 2013年5月3日星期五上午讲于此处，已经是第十次矣。 这两种方法是等价的，证明如下。 证明：求导置零方法与正交性原理等价。 ?lim K k j k j j k j K j j K I c c ∞ --→∞ =-∞ =-==∑∑v v lim T k K →∞ =V c 假如均衡器为有限长，则 ?T k k I =V c 其中 11 T k k K k K k k K k K v v v v v ++--+-??=??V ，以及 1 1T K K K K c c c c c --+-??=??c 。
测站高差中误差
水准测量，一测站高差中误差为±3mm,若每公里观测16站，求每公里及K公里的高差中误差为多少 解：每千米的误差： ±√(16×3^2)=±4×3=±12(mm)，即：±12mm/km k千米的误差：±√(k×12^2)=±(√k)12mm。 在最新版的《建筑变形测量规范》JGJ 8-2007中提到有关监测等级的定义和精度要求，其中关于沉降监测方面提到观测点测站高差中误差的概念。现我有一些疑问，特咨询大家： 1、在2007版的《建规》中提到关于变形等级为二级的精度要求，其要求观测点测站高差中误差《0.5(正负)。 问1：那么这里提到的观测点测站高差中误差如何求得，其计算公式有没有？ 2、关于提到的观测点测站高差中误差，我查询了本规范中对观测点的定义，它是这样描述的： 观测点observation point：布设在建筑地基、基础、场地及上部结构的敏感位置上能反映其变形特征的测量点，亦称变形点。 问2：是不是可以认为，在判断某次沉降监测数据处理的精度是否满足相应等级的精度要求，只需要求得变形点的测站高差中误差，与之相比即可。而不用求得基准点和工作基点相应的测站高差中误差？ 3.、现在回到最根本的地方，就是如何定义监测的等级，如何判定它是按二级还是按三级来监测，是否有一个公式可以计算出来。 我通过查资料，看到有这么一个推导过程： 沉降监测精度取决于监测目的、建筑物的结构和基础类型。为了监测建筑物的安全，其观测中误差应小于容许变形值的1/10～1/20;根据这一原则，通常采用“以当时可能达到的最高精度“确定变形观测精度。按照上述要求，结合该楼的实际情况，基准网采用国家一等水准测量的技术要求。沉降点的观测精度，采用以下公式进行估算m=△k/t。式中，Δ为容许变形值，t为置信区间内最大误差与中误差的比例值;K为安全系数。估算时，通常采用K=0.05，t=2。参考以上资料与方法，最后沉降观测精度确定为最弱点高程中误差m≤+1mm。由此而确定沉降监测等级。 问：不知道这么做是否科学，是否可行，或者还有其他方法来确定监测的等级。
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差 数学表达式： S-标准偏差（%） n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 六个计算标准偏差的公式[1] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i?X σ2 = l2?X …… σn = l n?X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
（1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即 设一组等精度测量值为l1、l2、……l n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有
(2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时， ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为 (2') 在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差σ的无偏估计 数理统计中定义S2为样本方差
基于最小均方误差(MMSE)估计的因果维纳滤波的实现.
基于最小均方误差(MMSE)估计的因果维纳滤波的实现 一．功能简介 基于最小均方误差(MMSE)估计的因果维纳滤波的Matlab 实现，用莱文森-德宾(Levinson-Durbin)算法求解维纳-霍夫方程(Yule-wa1ker)方程，得到滤波器系数，进行维纳滤波。 二．维纳滤波简介 信号处理的实际问题，常常是要解决在噪声中提取信号的问题，因此，我们需要寻找一种所谓有最佳线性过滤特性的滤波器，这种滤波器当信号与噪声同时输入时，在输出端能将信号尽可能精确地重现出来，而噪声却受到最大抑制。 维纳(Wiener)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)方法。 一个线性系统，如果它的单位样本响应为h (n )，当输入一个随机信号x (n )，且 )()()(n n s n x υ+= 其中s (n )表示信号，)(n υ表示噪声，则输出y (n )为 ∑-=m m n x m h n y )()()( 我们希望x (n )通过线性系统h (n )后得到的y (n )尽量接近于s (n )，因此称y (n )为s (n )的估计值， 用)(?n s 表示，即 )(?)(n s n y = 维纳滤波器的输入—输出关系 如上图所示。这个线性系统)(?h 称为对于s(n)的一种估计器。 如果我们以s s ?与分别表示信号的真值与估计值，而用e (n )表示它们之间的误差，即
)(?)()(n s n s n e -= 显然，e (n )可能是正的，也可能是负的，并且它是一个随机变量。因此，用它的均方值来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计平均值最小： [][] 22)?()(s s E n e E -=最小 已知希望输出为： 1 ?()()()()N m y n s n h m x n m -===-∑ 误差为： 1 ?()()()()()()N m e n s n s n s n h m x n m -==-=--∑ 均方误差为： 1 2 20()(()()())N m E e n E s n h m x n m -=????=--???? ?? ∑ 上式对() m=0,1,,N-1h m 求导得到： 1 02(()()())()0 0,1,21N opt m E s n h m x n m x n j j N -=??---==-???? ∑ 进一步得： [][] 1 ()()()()()0,1,1N opt m E s n x n j h m E x n m x n j j N -=-=--=-∑ 从而有： 1 ()()() 0,1,2,,1N xs opt xx m R j h m R j m j N -==-=-∑ 于是就得到N 个线性方程： (0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)1(1)(0)(1)(1)(0)(1)(2)1(1)(0)(1)(1)(2)(1)(0) xs xx xx xx xs xx xx xx xs xx xx xx j R h R h R h N R N j R h R h R h N R N j N R N h R N h R N h N R ==+++--??==+++--? ? ??=--=-+-++-?
定位误差计算方法
定位误差计算方法 皇甫彦卿 (杭州电子科技大学信息工程学院，浙江杭州310018) 摘要：分析了定位误差产生的原因和定位误差的本质,并结合具体的实例，对定位误差的计算提出了三种方法：几何法、微分法、组合法，并且为正确选择计算方法提供了依据。 关键词：定位误差；几何法；微分法；组合法 Position error calculation method Abstract：To analyze the causes of the positioning error and the nature of the positioning error, and combined with concrete examples, three methods are put forward for the calculation of position error: geometric method, differential method, group legal, and provide the basis for correct selection of calculation method. Key words: positioning error; Geometry method; Differentiation; Set of legal 1 引言 定位误差分析与计算，是机床夹具设计课程中的重点和难点。在机械加工中，能否保证工件的加工要求，取决于工件与刀具间的相互位置。而引起相互位置产生误差的因素有四个，定位误差就是重要因素之一（定位误差一般允许占工序公差的三分之一至五分之一）。定位误差分析与计算目的是为了对定位方案进行论证，发现问题并及时解决。 2 工件定位误差 2.1定位误差计算的概念 按照六点定位原理，可以设计和检查工件在夹具上的正确位置，但能否满足工件对工序加工精度的要求，则取决于刀具与工件之间正确的相互位置，而影响这个正确位置关系的因素很多，如夹具在机床上的装夹误差、工件在夹具中的定位误差和夹紧误差、机床的调整误差、工艺系统的弹性变形和热变形误差、机床和刀具的制造误差及磨损误差等。 因此，为保证工件的加工质量，应满足如下关系式： δ ?式中：?--各种因素产生的误差总和；δ--工件被加工尺寸的公差。 ≤ 2.2定位误差及其产生原因 所谓定位误差，是指由于工件定位造成的加工面相对工序基准的位置误差。因为对一批
最小方差无偏估计
最小方差无偏估计 ?最小方差无偏估计的定义?RBLS定理 ?计算实例
1. 最小方差无偏估计的定义 对于未知常数的估计不宜采用最小均方估计,但可以约束偏差项为零的条件下,使方差最小。 定义：最小方差无偏估计定义为 约束估计是无偏的条件下，使方差 {}{} 22????()[()]()min Var E E E θ=θ-θ=θ-θ→估计的均方误差为 22????(){[]}()[()] Mse E Var E θ=θ-θ=θ+θ-θ偏差项 估计方差
在前面讨论的有效估计量是无偏的，且方差达到CRLB，所以有效估计量是最小方差无偏估计。 如果有效估计量不存在，如何求最小方差无偏估计呢？这时可利用RBLS定理求解。
2. RBLS(Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe)定理如果是一个无偏估计、是一个充分统计量， 那么是：(1) θ的一个可用的估计(a valid estimator)； (2) 无偏； (3) 对所有的θ，方差小于等于的方差。 θ()T z ?(|())E T θ =θz θ如果充分统计量是完备的， 则是最小方差无偏估计。()T z ?(|())E T θ =θz 完备: 只存在唯一的T (z)的函数,使其无偏。
例1：高斯白噪声中未知常数的估计 0,1,...,1 i i z A w i N =+=-i w 其中是均值为零、方差为σ2高斯白噪声序列。求最小方差无偏估计。 解：首先找一个无偏估计，很显然是无偏。 1A z =其次，求A 的充分统计量，由前面的例题可知， 是A 的充分统计量。 1 ()N i i T z -==∑z 3. 计算举例
误差基本知识及中误差计算公式
测量中误差 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=
2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即： 。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差 （unit weight mean square error）m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
最小均方(LMS)算法
第3章最小均方(LMS)算法 最小均方算法即LMS算法是B．widrow和Hoff于1960年提出的：由于实现简单且对信号统计特性变化具有稳健件，LMS算法获得了极广泛的应用。LMS算法是基于最小均方误差准则(MMSE)的维纳滤波器和最陡下降法提出的。本章将进—步时论最小均方误差滤波器和针对这种滤波器的最陡下降法，并在此基础上详细讨论LMS算法。 LMS算法的缺点在于当输人信号的自相关关矩阵的特征值分散时，其收敛件变差。为了克服这问题并进一步简化LMs算法，学者们进行广长期研究并提出了不少改进算法，本章将对这些算法进行讨论。 最小均方误差滤波器 最小均方误差滤波器的推导 第2章2．2节已对均于图1．2的最小均力误差滤波器作了概述。本分将针对时域滤波情况进一步讨论最小均方误差滤波器。为便于讨论， I.5国内外MIMO技术研究现状 虽然MIMO无线通信技术源于天线分集技术与智能天线技术，但是MIMO系统在无需增加频谱与发射功率下就可以获得令人振奋的容量与可靠性提升，它引发了大量的理论研究与外场实验。自从1995年Telatar推导出多天线高斯信道容量['6}, 1996年Foschini提出BLAST算法[72]与1998年Tarokh等提出空时编码[(4]以来，MIMO无线通信技术的研究如雨后春笋般涌现[(73-300]。至2004年底，IEEE数据库收录该领域的研究论文己达数千篇(http://ieeexplore. ieee. org/}，它们包含了MIMO无线通信技术的理论研究到实验验证以及商用化的各个方面。目前，国际上很多科研院校与商业机构都争相对MIMO通信技术进行深入研究，MIMO技术正以前所未有的速度向前发展[85]。这里列举一些国内外在研究MIMO 通信技术方面最具有代表性的机构与个人，以洞察MIMO技术的研究现状与发展动态。 A T&T Bell Lab是多天线技术研究的倡导者，其研究员I. E. Telatar ,G.J.Foschini、M.J.Gans,GD.Golden, R.A.V alenzuela, P.W.Wolniansky、D-S.Shiu,J.M.Kahn, J.Ling, J.C.Liberti,Jr.等长期从事MIMO技术研究[68,84]，其第一个空时方案就是著名的BLAST结构[[74一，S,lzz]，其开创性的研究包括【5,72-76,88】等]https://www.360docs.net/doc/9813074533.html,lproject/blastl] o J.H.Winters等还公布了一些研究与测试结果[ 19,64,96,180,279,282,283,285,286,306]。 斯坦福大学A.J.Paulraj教授是研究空时无线通信技术的先锋，长期从事智能天线与空时处理研究[1,11,32,41,47,91,110-111,126,139,147,152,160,255,284]{www.stanford.cdw-apaulraj}在MIMO技术研究方面具有很深的造诣，其创建的Iospan无线通信公司，主要研究MIMO 空时固定无线接入技术[80,83,305]。 奥斯汀德州大学(Univ, of Texas at Austin)电子与计算机工程系Robert W. Heath Jr教授课题组()httpa/www. ece. utexas. edu/)rheafh/)深入而系统地研究MIMO无线通信系统及其物理层、链路层与网络层方面，包括调制、编码与自适应调制、软件调度、干扰消除以及先进的多址技术等[[48,54,255]。 伯克利加州大学(University of California at Berkeley)电子工程与计算机科学系David Tse
基于LMS最小均方误差法的语音降噪北工大
信号处理与分析课程设计报告 项目名称：基于LMS最小均方误差法的 语音降噪 ：07021102 台斯瑶 07021106 王金泊 指导教师：如玮
目录 一、课题背景和简介 (3) 二、训练目的 (3) 三、训练容 (4) 四、最小均方差LMS实现自适应滤波器的方法介绍 (4) 五、实验设计及实施过程 (6) 1、滤波器结构设计 (7) 2、高斯白噪声的实现方法 (8) 3、LMS算法的实现 (10) 六、实验结果分析 (11) 七、从实验中分析LMS算法的缺点 (14) 八、实验完整程序 (14) 九、参考文献 (18) 十、特别鸣 (18)
一、课题背景和简介 本课题是根据电子信息类本科生信号处理和分析课程的学习容和语音信号处理的实际应用相结合而设计的实践性训练。课程训练以数字信号处理为基础，在掌握基本原理的同时，理解语音信号的相关知识并结合实际应用实现对语音信号的分析和处理。 滤波是一种数字信号处理操作，其目的是为了处理某个信号，以便提取出输入信号中所包含的期望信息。在数字信号处理课程中，我们基本掌握了一些线性滤波器的设计方法，有固定的规可遵循。而在我们的实际生活中，充满了偶然和随机，时不变滤波器已不能够满足更好效果的滤波。在这种情况下，我们就需要自适应滤波器。可以看到，随着数字超大规模集成技术的发展，自适应滤波技术在很多领域得到了广泛应用。 最小均方算法是一种搜索算法，他通过对目标函数进行适当的调整，简化了对梯度相量的计算。由于其计算简单性，LMS算法以及其它一些相关算法已广泛应用于自适应滤波的各种应用中。而LMS算法是自适应滤波理论中应用最广泛的算法。这主要归因于其地计算复杂度、在平稳环境中的收敛性、其均值无偏地收敛到维纳解以及利用有限精度算法实现时的稳定特性等等。 对LMS最小均方算法的学习，将加深我们对数字信号处理课程的理解，同时对我们今后滤波技术的应用奠定了巩固的基础。 二、训练目的 1. 通过利用c程序实现数字信号处理的相关功能，巩固对信号处理原理知识的理解，提高实际编程和处理数据的综合能力，初步培养在解决信号处理实际应用问题中所应具备的基本素质和要求。 2. 培养研发能力，通过设计实现不同的信号处理问题，初步掌握在给定条件和功能的情况下，实现合理设计算法结构的能力。