数学系 毕业论文：求一元函数极限的若干方法
绪论
极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限.函数的极限概念在高等数学中是一个很重要的概念.极限概念是微分概念的基础,因此加深理解函数极限的概念是十分必要的.在近代数学许多分支中,一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化.只有深刻地理解极限概念并熟练掌握求极限的方法,才能真正地学好微积分.极限是初等数学和高等数学接壤部分,极限概念是高等数学最基本的概念.导数,微分,积分都是建立在极限概念的基础上的,高等数学就是以极限方法为主要工具来研究变量与变量之间关系的科学.
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理.到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法.
求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样，有的可以用同一种方法求解，有的不可以，因此研究函数求极限的方法显得尤为重要.
第一章 函数极限的概念
1.1 函数极限的概念
1.1.1 x →∞时函数的极限
设函数f 定义在[),a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x 趋于+∞
图象上可见，当x 无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数
x 趋于+∞时有极限.一般地，当x 趋于+∞时函数极限的精确定义如下： 定义1 设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，
使得当x M >时有
则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作
lim ()x f x A →+∞
= 或 ()f x A → ()x →+∞
定义 2 设f 为定义在](,a -∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，
使得当x M <-时有
则称函数f 当x 趋于-∞时以A 为极限，记作
()lim x f x A →-∞
= 或 ()f x A → ()x →-∞
则称常数A 为函数()x f 当∞→x 时的极限，记作
()()()lim x f x A f x A x →∞
=→→∞或当
若f 为定义在()U x 上的函数，则
+lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞
→-∞
→∞
=?==.
定理1 +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞
→-∞
→∞
=?==.
1.1.2 x →0x 时函数的极限
设f 为定义在0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数.现在讨论当x 趋于
00()x x x ≠时，对应的函数值能否趋于某个定数A .这类函数极限的精确定义如
下：
定义4（函数极限的εδ-定义） 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()
'
00;δx U
时有
则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作
lim ()x x
f x A →= 或 0()()f x A x x →→.
注：1.0ε>是可以任意给的，在确定δ的过程中又看成是个定数； 2.δ与ε有关，但与x 无关，并且不唯一；
3.极限()0
lim x x f x →是否存在，与()f x 在点0x 是否有定义以及()0f x 的值为
多少无关；
4.0
lim ()x x f x A →=的前提：()f x 在某()
'00;δx U 内有定义.
定义5 设函数f 在()()()
'0'00;;U x U x δδ+-或内有定义，A 为定数.若对任给
的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当()0000x x x x x x δδ<<+-<<或时有
则称A 为函数f 当()00x x x +
-趋于时的右（左）极限，记作
()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→??== ???
或()()0f x A x x +→→ ()()()
0f x A x x -→→. 右极限与左极限统称为单侧极限.f 在点0x 的右极限与左极限又分别记为：
()()()()0
000lim 0lim x x x x f x f x f x f x +-
→→+=-=与 极限存在的充要条件：()()()0
lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-
→→→=?== 关于函数极限()0
lim x x f x →与相应的左、右极限之间的关系，有下述定理：
定理2 ()()()0
lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-
→→→=?==.
第二章 函数极限的求解方法
2.1 利用函数极限的定义求极限
分析:利用函数极限的定义来证明,首先要任取0ε>；其次是写出不等式
lim ()x x f x A →=.
由函数极限的εδ-定义得：
分析：根据前面所学的函数极限的定义证明，要证明这道题就要找出M 的值.
分析：要验证这道题不仅要找到M 的值，还要利用函数的左、右极限的定义.
证 ： 任给ε>0,由于
而此不等式的左半部分对任何
x 都成立，所以只要考察其右半部分x 的变化范围.
这就证明了1）.类似地可证2）.
注： +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞
→-∞
→∞
=?==（f 为定义在()U ∞上的函数）
所以当
x →∞时arctan x 不存在极限.
一般来说应尽可能将()f x 的表达式简化.值得注意的是，有时()f x 不能简化，反倒是可以把A 变复杂，写成与()f x 相类似的形式.
以要用单侧极限的定义进行求解.
()221x
ε-<时，就是
小结:利用极限定义求函数极限是熟悉和掌握求极限方法的基础.
2.2 利用函数极限的性质求极限
定理3 （1）若()f x 在0x x =处连续，则()()0
0lim x x f x f x →=
（2）若()f x ?????是复合函数，又()0
lim x x x a ?→=且()f u 在u a =处连续，则()()()()0
0lim lim x x x x f x f x f a ??→→??
==????
.
分析：利用函数极限的性质及定理3，并且要看清该函数是否连续，最后在进行计算.
在u e =处连续，所以由定理3（2）知 ：
2.3 利用函数极限的四则运算求极限
定理4（四则运算法则） 若极限()()0
lim lim x x x x
f x
g x →→与都存在，则函数,f g f g ±?当0x x →时极限也存在，且
1）()()()()0
lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±????；
2）()()()()0
lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→=?????；
又若()0
lim 0x x g x →≠，则0/f g x x →当时极限存在，且有
4）()()0
lim lim x x x x
c f x c f x →→?=? (
C 为常数） 上述的性质对于0,,,x x x x x ±
→∞→+∞→-∞→时也同样成立.
计算.
解： 当10x +≠时有
故所求的极限等于
分析：利用函数极限的四则运算法则，把所求函数的极限化为一些已知的简单函数的极限来计算.像（2）中的类型就是1→x 时，分子、分母的极限都是零
注：使用极限的四则运算法则的前提是各部分极限都存在.
2.4 利用迫敛性定理求极限
定理5 设()()0
lim lim ,x x x x f x g x A →→==且在某()0'0;U x δ内有
(
)()()f x h x g x ≤≤ 则有()0
lim x x h x A →=.
分析：应用迫敛性的定理进行计算.
解：因为1cos 1≤≤-x ，所以当0x <时
分析：要求出这道题，必须应用到前面所学的知识点，即关于函数[]y x =有
所以应用这个可以进行计算.
故由迫敛性得
小结：利用函数极限的迫敛性与四则运算，我们可以从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限.
2.5 利用两个重要极限求极限
（1
我们经常使用的是它们的变形：
（1）的特点：（01）分子、分母的极限值为0；（02）分子是分母的正弦函数. （2）的特点：（01）幂指函数的底趋于1，指数趋于无穷时，其极限值是e ； （02）底是常数1与一个无穷小量之和，指数是底中无穷小量的倒数.
例12 求下列函数极限
1)0sin 2lim x x x →; 2)0tan lim x x
→; 3)1lim sin x x →+∞; 4)()1
0lim 1(x x x αα→+为给定实数）. 解：1）0sin 2lim x x x →=02lim
2122x x →=?= 2）0tan lim x x x →=0sin 1
lim
1cos x x x x
→?= 3）令1y x =
，于是当x →∞时，0y →,从而1
lim sin x x x →+∞=0sin lim
1y y y
→=. 4） ()
()1
1
lim 1lim 1x
x x x x x e α
αααα→→??+=+=????
. 例13 求下列函数极限
x a x x 1lim )1(0-→、 bx
ax
x cos ln cos ln lim )2(0→、. 分析：首先要看题目的类型，看看是否符合两个重要的极限及特点.
)
1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a
u x a a u x u a x x
+=-+==-于是则）令解：（
a u a
u u a u a u x
a u x u
u u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 0
10000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当
)]
1(cos 1ln[)]
1(cos 1ln[(lim
)2(0-+-+=→bx ax x 、原式
1
cos 1
cos 1cos )]
1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim
0--?--+--+=→ax bx bx bx ax ax x
1
cos 1
cos lim 0--=→ax bx x
=2022sin 2lim
2sin 2x a x
b x
→-- 2
22
2022
sin 222lim sin 222x a x a b x x b
a x x
b x →???? ? ?????
=???
????? ???
2
2b a
=.
2.6 利用无穷小量的性质求极限
2.6.1利用无穷小量与有界变量之乘积仍为无穷小量求极限
与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义.
定义6 设f 在某()00U x 内有定义，若 ()0
lim 0x x f x →=，
则称f 为当0x x →时的无穷小量.
若函数g 在某()00U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量. 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质：
1.两个(相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.
2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 定理6 设函数()f x 、()g x 满足：
()()0
lim 0x x g x f x →=.
2.6.2 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限
定义7 设函数f 在某()00U x 内有定义.若对任给的0G >，存在0δ>，使得当()()()0000;x U x U x δ∈?时有
则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞，记作 ()0
lim x x f x →=∞.
若（1.2）式换成“()f x G >”或“()f x G <-”，则分别称f 当0x x →时有非正常极限+∞或-∞，记作
()0
lim x x f x →=+∞ 或 ()0
lim x x f x →=-∞.
定义8 对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞，+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.
定理7 （I ）若：∞=)(lim x f ，则 0)
(1
lim
=x f . (II) 若: 0)(lim =x f 且 ()0f x ≠ 则 ∞=)
(1
lim x f . 例15 求下列极限
(1) 51lim
+∞→x x (1)1
1
lim 1-→x x .
解:(1)由∞=+∞
→)5(lim x x ,故 051
lim
=+∞→x x . (2)由0)1(lim 1
=-→x x ,故 11
lim 1-→x x =∞.
注：无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数；若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为()00U x 上的无界函数.但无界函数却不一定是无穷大量.
2.6.3 利用等价无穷小替换求极限
定理8 设函数()00,,f g h U x 在内有定义，且有
()
f x ()
g x ()0x x →.
(1）若()()()()0
lim ,lim x x x x f x h x A g x h x A →→==则；
注：设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：
'
'
~,~ββαα， ''
lim β
α 存在，
则 βαlim 也存在，且有βα
lim
= ''lim βα.
解：由于()arctan 0x
x x →，()sin 440x x x →.故有定理8得
例17 求极限2
22
0sin cos 1lim
x x x x -→ .
分析：本题切忌将2
cos x
和2sin x 用2x 等价替换.
解: ,~sin 2
2
x x 2
)(~cos 12
22
x x -
∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=0lim x →2
12)(222
2=x x x 注：1、在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换.
2、常用的等价无穷小量. 当0x →时，有x
sin x ，tan x x ，2
11cos 2
x
x -，()ln 1x x +，arcsin x x ，
1ln x a x a -，arctan x
x ，e x
x ，()11a
x ax +-()0a ≠.
2.7 用左右极限与极限关系求极限
适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形.
定理9 函数极限)(lim 0
x f x x →存在且等于A 的充分必要条件是左极限)
(lim 0
x f x x -→及右极限)(lim 0
x f x x +→都存在且都等于A .即有
?=→A x f x x )(lim 0
)(lim 0
x f x x -→=)(lim 0
x f x x +→=A.
例18 设)(x f =??
?
??
??≥<<-≤--1,10,0,212x x x x x
x x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1
x f x →.
分析：此题一看就知道是分段函数，要分多步来计算，最后再综合起来. 解：
()()0
lim lim 12x x x f x e --
-→→=-1=
(
)00lim lim x x f x +
+→→??
=
)
0lim 1x +→=1=
由1)(lim )(lim 0
-==+-→→x f x f x x
1)(lim 0
-=∴→x f x
不存在
由（又)(lim )01()01(1lim )(lim 0)1lim lim )(lim 1
21
11
1
1
x f f f x x f x x
x x x f x x x
x x x →→→→→→∴+≠-===-=-=++-
-
-
注：此方法一般适用于分段函数.
2.8 利用函数的数学公式、定理求极限
2.8.1利用罗比塔法则求极限（适用于不定式极限） 定理10 若
A x g x f x g x f A A x g x f iii x g x u x g f ii x g x f i x x x x x x x x x x ==∞∞±=≠==→→→→→)
()(lim )()(lim ()
()(lim )(0
)()()(0
)(lim ,0)(lim )(''''
'0000000
），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与 此定理是对0x x →时而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则，该
定理对00型或∞
∞
型均成立.
注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：
1、要注意条件，也就是说，在没有化为∞
∞
,00时不可求导.
2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.
3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误.
4、当)()
(lim ''x g x f a x → 不存在时，本方法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极
限须用另外方法.
例19 求下列函数的极限
①)
1ln()21(lim 22
10x x e x x ++-→ ②)0,0(ln lim
>>+∞→x a x x
a
x
解：①令()f x = 21
)21(x e x +-, ()g x = l )1n(2x + 2
1')
21()(-+-=x e x f x , 2
'12)(x
x
x g +=
2
22"
2
3
"
)
1()
1(2)(,)
21()(x x x g x e x f x
+-=++=- 由于0)0()0(,0)0()0(''====g g f f 但2)0(,2)0(""==g f
从而运用罗比塔法则两次后得到
12
2
)1()
1(2)21(lim 12)
21(lim )
1ln()
21(lim
2
222
3
02
2
1
022
10==
+-++=++-=++--→-→→x x x e x x
x e x x e x
x x
x x
x . ② 由∞=∞=+∞
→+∞
→a x x x x lim ,ln lim ，故此例属于
∞
∞
型，由罗比塔法则有： )0,0(01
lim 1
lim ln lim 1>>===+∞→-+∞→+∞→x a ax ax x x x a
x a x a x .
2.8.2 利用泰勒公式求极限
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的泰勒展开式：
1、)(!
!212n n
x
x o n x x x e +++++= 2、)()!
12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-
=--
3、)()!
2()1(!4!21cos 12242++-+++-
=n n
n x o n x x x x 4、)()1(2)1ln(12n n
n x o n
x x x x +-++-=+- 5、)(!
)
1()1(!
2)
1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--+
+-++=+ααααααα
6、
)(x x 1 11
2n n x o x x
+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 都有:
0)
(lim 0=→n n x x
x o 例20 求)0(2lim
>+-+→a x
x
a x a x
解:利用泰勒公式，当0→x 有
)(2
11x o x
x ++
=+ 于是 x
x
a x a x +-+→2lim
=x
a
x a x a x )121(lim 0+-+
→
=x x o a x x o a x a x ?
?
?
???-?--++→)(211)()2(211lim
=a
x x o x a x x o a x a x x 21)(21lim )
(2lim
00
=+=+?
→→
2.8.3 利用拉格朗日中值定理求极限 定理11 若函数f 满足如下条件：
(I) f 在闭区间[],a b 上连续 (II)f 在(),a b 内可导 则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得
a
b a f b f f --=
)()()('ξ
此式变形可为:
)10( ))(()
()('<<-+=--θθa b a f a
b a f b f .
例21 求 x
x e e x
x x sin lim sin 0--→.
分析：对于这个题目，好多同学看到题目之后，发现所求极限的函数是“0
”
型不定式，马上想到用罗比塔法则法，但是此题用拉格朗日中值定理更容易，更简单.
解:令x e x f =)( 对它应用拉格朗日中值定理得
)1(0 ))sin ((sin )sin ()(sin )('sin <<-+-=-=-θθx x x f x x x f x f e e x x 即
1)(0 ))sin ((sin sin 'sin <<-+=--θθx x x f x
x e e x
x x e x f =)(' 连续
1)0())sin ((sin lim '
'
==-+∴→f x x x f x θ，从而有 1sin lim
sin 0=--→x x e e x
x x .
2.9利用分子或分母有理化求极限
若分子或分母的极限为0，不能运用四则运算中商的极限运算法则时，采
用通过分子或分母有理化，消去分母中的趋于0的因子，再运用极限的运算法则.
2.9.1.约去零因式（此法适用于型时0
,0x x →）
例22 求1216720
16lim 23
232+++----→x x x x x x x
解:原式=()
()
)
12102(65)
2062(103lim
2
23223
2
+++++--+---→x x x x x x x x x x
x =)
65)(2()
103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x
=)
65()
103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2
lim -→x 73
5
-=+-x x .
2.9.2通分法（适用于∞-∞型） 例23 求 )21
44(
lim 2
2
x x
x ---→. 解:原式=)2()2()
2(4lim
2x x x x -?++-→
=)
2)(2()
2(lim
2x x x x -+-→
=4
1
21lim
2=+→x x .
例24
求极限20
x →.
解：20
x →
=
2
1
x x
→
=)2
2
1lim
x x x →
=)
lim
1x →
=2.
2.10 利用定积分求极限
定义9 设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义，在闭区间[],a b 内任意插入1
n -个分点将[],a b 分成n 个区间[],x i i x x -，记i x ?1i i x x -=-()1,2,3,,i n =???，
求函数极限的方法
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε -定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,
例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44( lim 2 2 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：
求函数极限的方法和技巧
求函数极限的方法和技巧 在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义： 例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质： 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x
毕业设计(论文)所用研究方法9种整合
教育课题研究的基本方法有： ⑴观察法⑵调查法⑶测验法⑷行动研究法⑸文献法⑹经验总结法⑺个案研究法⑻案例研究法⑼实验法（在一个课题研究过程中，根据不同的研究目的和要求，往往会用到两种以上方法） 3.1观察法： 为了了解事实真相，从而发现某种现象的本质和规律。 观察法的步骤：观察法的实施分为以下三个步骤,步骤之一就是进行观察研究的设计,此步骤可分为如下几个方面： 3.1.1作大略调查和试探性观察。 这一步工作的目的不在于搜集材料，而在于掌握基本情况，以便能正确地计划整个观察过程。例如：要观察某一教师的教学工作，便应当预先到学校大致了解这位教师的工作情况，学生的情况，有关的环境和条件等等。这可以通过跟教师和学校领导人谈话，查阅一些有关的材料，如教案、教学日记、学生作业等，以及听课等方式进行。 3.1.2确定观察的目的和中心。 根据研究任务和研究对象的特点，考虑弄清楚什么问题，需要什么材料和条件，然后作明确的规定。如果这规定不明确，观察便不能集中，结果就不能深入。观察不能有几个中心，范围不能太广，全部
观察要围绕一个中心进行。如果必须要观察几个中心，那就采取小组观察，分工合作。 3.1.3确定观察对象 一是确定拟观察的的总体范围； 二是确定拟观察的个案对象； 三是确定拟观察的具体项目。 比如，要研究新分配到小学任教的中师或大专毕业生在课余时间进行业务、文化进修的情况，那么，拟观察总体就是教师工作年限达一年或两年的新教师。在这一总体范围内，再定下具体观察哪几所小学，哪几个教研组中的哪些教师。具体观察名单确定以后，再把拟观察的时间、场合、具体观察项目确定下来。 3.1.4制定观察计划 观察计划除了明确规定观察的目的、中心、范围，以及要了解什么问题、搜集什么材料之外，还应当安排观察过程：观察次数、密度、每次观察持续的时间，如何保证观察现象的常态等。 3.1.5策划和准备观察手段 观察手段一般包括两种： 一种是获得观察资料的手段；一种是保存观察资料的手段。
极限的常用求法及技巧.
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
毕业论文研究方法模板 论文研究方法思路模板
毕业论文研究方法模板论文研究方法思路模板 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
毕业论文是高等教育自学考试本科专业应考者完成本科阶段学业的最后一个环节，那它的研究方法是什么呢？下面是由小编整理的毕业论文研究方法模板，谢谢你的阅读。毕业论文研究方法模板 本科专业自考生在各专业课程考试成绩合格后，都要进行毕业论文的撰写及其答辩考核。毕业论文的撰写及答辩考核是取得高等教育自学考试本科毕业文凭的重要环节之一，也是衡量自考毕业生是否达到全日制普通高校相同层次相同专业的学力水平的重要依据之一。但是，由于许多应考者缺少系统的课堂授课和平时训练，往往对毕业论文的独立写作感到压力很大，心中无数，难以下笔。因此，对本科专业自考生这一特定群体，就毕业论文的撰写进行必要指导，具有重要的意义。 本文试就如何撰写毕业论文作简要论述，供参考。
毕业论文是高等教育自学考试本科专业应考者完成本科阶段学业的最后一个环节，它是应考者的总结性独立作业，目的在于总结学习专业的成果，培养综合运用所学知识解决实际问题的能力。从文体而言，它也是对某一专业领域的现实问题或理论问题进行科学研究探索的具有一定意义的论说文。完成毕业论文的撰写可以分两个步骤，即选择课题和研究课题。 首先是选择课题。选题是论文撰写成败的关键。因为，选题是毕业论文撰写的第一步，它实际上就是确定“写什么”的问题，亦即确定科学研究的方向。如果“写什么”不明确，“怎么写”就无从谈起。 教育部自学考试办公室有关对毕业论文选题的途径和要求是“为鼓励理论与工作实践结合，应考者可结合本单位或本人从事的工作提出论文题目，报主考学校审查同意后确立。也可由主考学校公布论文题目，由应考者选择。毕业
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：
求极限的常用方法(精髓版)考试必备
求极限的常用方法（精髓版） 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。 例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim
毕业论文研究方法
毕业论文研丸方法样本 1.优劣对比分析诜 适用优劣对■比分析法，遇过优势和劣势妁比较，^thTA国企业貝工职业生漫规划设计的改革迪在用睡，为丈未朋业生注规划璨空的建立捏下了伏笔. 2.隶例法及实译*析进 泓过案例和统计战拯，阐進理论，寻找规律性，为我国企业員工耶业生理见划设计提佻了一些值再借鉴的经验.在仝面分析和比较国外如纠公司比工駅业生涯觇划设计成功经验的基础上捉出了我国金业員工苹业生涯设计模式. 1 分析张 首先，找出问题的理论基袖，并回?顾田内外相旻史弑.站仝国外企业艮工耶业生涯规划经脸归納出寥响我国貝工职业生涯规划的因承，找出解决我闯企业貝工职业生涯规划的it 在.在分祈具律冃题时，注盘全方住.多用度.宽磁圾.点蜿性地造视，毕业论丈的冊兗方法概述
叮叮小文库 调晝法於科事研宛屮摄常用的方法之一.它定有口的、有讦划'有系蜒地拽勵奘琲究对彖 现实状况旗历史狀况的封制的方播?调进方哉堤科学研料中緒用的it本研宛方法，它揣介运出 历史法.褪察法爭力袪以及谡话、问卷.牛決研究.泓堕轸科学方式，对教育现魚追行有计划 的、鬧巒的和果娩的了解*并对塀直搜集到的大捷资料进街1分祈、粽合*出藏、归蛤从而为人 们捉供觎律性的M爲 迺豪註中堆常用的蜒间程谓程崔?它问豊的舟戎理掘赛糾的一聆嶄姗方准.即调直祥就调 趣坝日紛制成衣式，分疑或邯部給有关人期*诣示填写鲁案,然垢回牧整乩魏计利研究n 册察法足指研究者根据一定的研究日的、研光提坍或观察表，用由已的唐盲和辅助I貝 古贞接煽察被研俪SG从両找帑磁料的料衣法.科学的规嚥具时日的性和计加性.盟统性棚可 重复性R在科学实验和调査研寛屮+观聚法具有如下几个庁商的件出匸①扩太人帕的脳性认 读”②启城人们的恩推-⑧导致新的发现“ 实耀是運过主支耋还.控制研燜对誓来发现与确认爭物阿的因果联泵的一耕科嘟方法.梵 主囁特点是|第一、主动直革tL现療与调査祁於在不干预研比对叢的前提下左认识研吭对象. 览现共中的甸恵a而娶脸却耍求主动操纵室脸乐件，人为地改空对象的#4 A式、 吏化过甑使它服从于科学认嗣的需取?第二控制性.科学克验耍琥抿慑研究的需％惜助各冲 方淮技相减少或酒廉各种可能廉响科学的无关同秦的干扰*左简低纯化的农盍下认坝研究对 象n第三.用果性+实验以发现、确认事物Z同的用果験茄的有效I具刊必賢途韬.
极限求解的若干方法
学科分类号0703 本科毕业论文 题目（中文）：极限求解的若干方法 （英文）：Some methods of limit solving 院（系）数学与计算机科学学院 专业、年级 2008级数学与应用数学
湖南师范大学本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 本科毕业论文作者签名： 二○一二年五月四日
湖南师范大学本科毕业论文开题报告书 论文题目极限求解的若干方法 作者姓名陈明波所属院、专业、年级数计院数学与应用数学专业2008年级 指导教师姓名、职称李小燕教授预计字数7000开题日期2012年2月18日选题的根据：1）说明本选题的理论、实际意义 2）综述国内外有关本选题的研究动态和自己的见解 高等数学是以函数为研究对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门科学，换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论，由于极限贯穿整个高等数学，故极限的计算就显得尤为重要。极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际问题不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用。因此，求极限是学生必须练好的一门基本功。然而，极限的题目错综复杂，针对不同的问题我们的解决方法不尽相同。定义固然要掌握牢固，但“具体问题具体分析”，面对这五花八门的极限问题有些方法是可以让我们在解决具体问题的时候走捷径的。 主要内容： 极限是高等数学基础，在高等数学中占有十分重要的位置。极限可分为函数极限和数列极限，本 -定义求极限；2、利用极限的课题主要讨论极限的求法，预计总结极限的十六种求法，1、利用εδ 四则运算性质求极限；3、利用两个准则求极限；4、利用两个重要极限公式求极限；5、换元法求极限； 6、利用单侧极限求极限； 7、利用导数的定义求极限； 8、利用函数的连续性求极限； 9、利用级数收敛的必要条件求极限；10、利用无穷小量的性质求极限；11、利用中值定理求极限；12、洛必达法则求极限；13、利用定积分求和式的极限；14、利用泰勒展开式求极限；15、利用海涅定理（归结原理）求极限；16、利用Stoltz公式法求极限。 研究方法： 研究步骤：到图书馆电子阅览室查找相关的期刊文献，并利用中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找论文相关的资料. 从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作. 研究方法：本课题研究方法主要是理论研究法，文献研究法、经验总结法． 措施：查阅资料，理解函数极限的定义，对函数极限的求法加以归纳.
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项 之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )() () (=，这
毕业论文的研究方案 研究内容 研究方法
研究方案(研究内容、研究方法)研究内容：本文主要的研究目的是揭示我国图书馆危机管理的现状，发现存在的问题，进而提出办法将其解决。 拟从以下几个方面进行研究： 1 首先拟介绍危机管理论点的提出，分析危机管理理论的产生背景，及其引入我国图书馆学界所带来的重大意义； 2 拟分析图书馆危机管理的含义、成因以及特征，分析图书馆危机的存在对图书馆建设和发展的不利影响； 3 拟介绍对图书馆进行危机管理的意义，重点分析对图书馆进行危机管理的必要性，突出论文的主题； 4 拟分析国内外不同图书馆的危机管理现状，需要结合对国内图书馆的了解以及通过资料阅览得到的有关国外图书馆的情况的了解，进行论述，发现我国图书馆危机管理中存在的问题； 5 拟分析图书馆危机管理中存在的制约因素，以及这些制约因素对我国图书馆危机管理所带来的危害和影响； 6拟根据图书馆危机管理存在的制约因素，提出改进的措施，从不同的方面提出对策，如危机意识方面、管理机制方面、读者和政府方面，分别解决产生于不同方面的问题；
7 拟结合前文的综合论述，进行总结，同时重申论文的研究目标以及对图书馆事业的展望。 研究方法：结合本文的特点，本文的研究会用到以下几种方法 1 文献检索法 本文的研究需要首先阅读大量的文献成果，才能总结出现在该论题的研究进展情况，找出以前研究的不足和避免研究内容的重复性；在了解国外图书馆危机管理现状和我国图书馆危机事件时，由于无法亲自调查研究，也需要借助文献检索法，通过各种资料的介绍进行分析总结。 2比较分析法 在论文中将对国内与国外图书馆的服务现状进行分析，需要对两者的管理方式、技术、内容等各方面进行比较，总结出不同的特点，看出国内与国外存在的差距，还要分析出国内图书馆危机管理方面的不足，进而根据不足提出对策。 3理论联系实际的方法 对图书馆危机管理理论进行分析，结合管理理论分析我国图书馆危机管理发展的现状以及图书馆危机的产生原因及特征，提出改善图书馆危机管理现状对图书馆发展必要性；结合图书馆学的理论知识，提出各种解决的对策。
一元函数求极限的若干方法
一元函数求极限的若干方法 （陕西师范大学 数学系，陕西 ） 摘 要：极限是数学分析中最基本的，也是最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，针对这种情况，本文探讨了一些常用的求极限的方法 关键词：极限；方法 大家知道，极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一，数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸，如：连续、导数、微积分等都是由极限定义的，而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值，因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限，而对极限的求法可谓是多种多样，针对这种情况，通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法. 1 利用极限的定义求极限 极限是指无穷的趋于一个固定的数值，数学分析中的极限包括：数列极限和函数极限. 1.1 数列极限的定义 设{}n x 是一个数列,a 是定数,如果对任意给定的0>ε,总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a x n , 我们就称定数a 是数列}{n x 的极限.记为 a x n n =∞ →lim 或 ()∞→→n a a n . 例1 按定义证明01 lim =∞→a n n ，这里a 是常数. 证 由于 a a n n 1 01=-， 故对任给的0>ε,只要取11 1+??? ?????=a εN ，则当N n >时，便有 εN n a a <<11 即εn a <-01.
这就证明了 01 lim =∞→a n n . 例2证明2 23lim 33 n n n →∞=- 分析 由于()222399 3333n n n n n -=≤≥-- （1） 因此，对任给的0ε>，只要 9 n ε<，便有 2 233,3 n n ε-<- （2） 即当9 n ε > 时，（2）式成立．又由于（1）式是在3n ≥的条件下成立的，故应取 9max 3,.N ε?? =???? （3） 证 任给0ε>，取9max 3,.N ε?? =????据分析，当n>N 时有（2）式成立．于 是本题得证． 注 本例在求N 的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N 就比较方便．但应注意这种放大必须“适当” ，以根据给定的ε能确定出N ．又（3）式给出的N 不一定是正整数．一般地，在定义1中N 不一定限于正整数，而只要它是正数即可． 1.2 函数极限的定义 函数极限的定义包括两个，一个是x 趋于∞时函数的极限，另一个是x 趋于 0x 时函数的极限. 1.2.1 x 趋于∞时函数的极限 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数,A 为定数.若对任给的0>ε，存在正数 ()a M ≥，使得当M x >时有 ()ε<-A x f ， 则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记为 ()A x f x =+∞ →lim 或 ()()+∞→→x A x f .
求极限的方法及例题总结
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
毕业论文研究方法总结
【附赠高价值精品文档】 毕业论文研究方法汇总 调查法 调查法是科学研究中最常用的方法之一。它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。调查方法是科学研究中常用的基本研究方法，它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解，并对调查搜集到的大量资料进行分析、综合、比较、归纳，从而为人们提供规律性的知识。 调查法中最常用的是问卷调查法，它是以书面提出问题的方式搜集资料的一种研究方法，即调查者就调查项目编制成表式，分发或邮寄给有关人员，请示填写答案，然后回收整理、统计和研究。 观察法 观察法是指研究者根据一定的研究目的、研究提纲或观察表，用自己的感官和辅助工具去直接观察被研究对象，从而获得资料的一种方法。科学的观察具有目的性和计划性、系统性和可重复性。在科学实验和调查研究中，观察法具有如下几个方面的作用：①扩大人们的感性认识。②启发人们的思维。③导致新的发现。 实验法 实验法是通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果联系的一种科研方法。其主要特点是：第一、主动变革性。观察与调查都是在不干预研究对象的前提下去认识研究对象，发现其中的问题。而实验却要求主动操纵实验条件，人为地改变对象的存在方式、变化过程，使它服从于科学认识的需要。第二、控制性。科学实验要求根据研究的需要，借助各种方法技术，减少或消除各种可能影响科学的无关因素的干扰，在简化、纯化的状态下认识研究对象。第三，因果性。实验以发现、确认事物之间的因果联系的有效工具和必要途径。 文献研究法 文献研究法是根据一定的研究目的或课题，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究问题的一种方法。文献研究法被子广泛用于各种学科研究中。其作用有：①能了解有关问题的历史和现状，帮助确定研究课题。②能形成关于研究对象的一般印象，有助于观察和访问。③能得到现实资料的比较资料。④有助于了解事物的全貌。
求极限方法总结
求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下： 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方
对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的
求一元函数极限的若干种方法.
求一元函数极限（含数列）的若干种方法 内容摘要：极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理 论基础。我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。 其中二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别。本文通过部分例题的解析,以详细介绍一元函数极限的求法为主。归纳了常用的十种求极限方法, 即: 运用极限的定义证明；利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限；用两个重要的极限来求函数的极限；利用变量替换求极限；利用迫敛性定理来求极限；利用洛比达法则求函数的极限；利用泰勒公式求极限；利用微分中值定理和积分中值定理求极限；利用积分定义求极限；求极限其他常用方法。并列举了大量的实例加以说明。 关键词：迫敛性定理中值定理洛必达法则 A number of ways to seek a function limit (including the number of columns) Abstract：The limit is a very important concept in mathematical analysis, it is an important theoretical basis for research and analytical methods. We know that many important concepts such as continuity, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral to define the limit. Therefore it is very important to master well limit. The limits of the function of two variables is on the basis of the function of one variables, the two have connection and have distinction. This article through the part of example analysis, to introduce the limit of the function of one variables. Summarizes the ten ways: Using the definition of the limits of proof; equivalent Infinitesimal Substitution and the primary deformation; two important limits to seek the limits of functions; variable substitution; the squeeze theorem; L'Hospital Rule; the Taylor formula; the mean value theorem and the integral mean value theorem to the limit; using the integral definition; other commonly used methods.And cited a number of examples to illustrate. Key words：The squeeze theorem Mean Value Theorem L'Hospital Rule
毕业论文中的研究方法
研究思路、研究方法、技术路线和实施步骤 1、研究什么？——怎样确定研究课题 一切科学研究始于问题——问题即课题；教学即研究（掌握方法很重要，否则就不是研究）；进步与成果即成长。 教育科研课题主要来源于两大方面： A．实践来源——客观存在的或潜在的教育实际问题，教育教学实践本身存在的问题。 教育教学与其外部的矛盾（教师与家长、教师与学校、学校与社会、教育与社会发展）。 B．理论来源——现有教育理论所揭示的问题以及理论体系中的空白和矛盾点（例如《关于“信息技术与课程整合”的冷思考》一文产生的过程） 2、怎样进行研究课题的论证？ 我们既然已选定了一个课题，我们就必须对这个课题的所有情况进行全面的了解。了解这个课题目前在国外、国内的研究情况，包括研究已取得的成果和存在的问题，了解这一课题所属的理论体系等等。对课题的全面了解，可以使我们在研究过程中少走弯路，确立研究的主攻方向，这就是我们常说的：“知己知彼，百战百胜”。 怎样对一个课题进行论证呢？论证一个课题主要是弄清如下几个问题： A．所要研究的问题是什么性质和类型的问题？ B．要研究的问题具有什么现实意义？它的理论价值（即在理论上预计有哪些突破？） C．要研究的问题目前已有哪些研究成果？研究的方向是什么？ D．要研究的问题所应具备的条件分析。 E．课题研究的策略和步骤如何？ F．课题研究的成果及其表现形式有哪些？ 3、教育课题研究的基本方法有： ⑴观察法⑵调查法⑶测验法⑷行动研究法⑸文献法⑹经验总结法⑺个案研究法⑻案例研究法 ⑼实验法（在一个课题研究过程中，根据不同的研究目的和要求，往往会用到两种以上方法） 3.1 观察法：为了了解事实真相，从而发现某种现象的本质和规律。 观察法的步骤：观察法的实施分为以下三个步骤,步骤之一就是进行观察研究的设计,此步骤可分为如下几个方面： 3.1.1 作大略调查和试探性观察。 这一步工作的目的不在于搜集材料，而在于掌握基本情况，以便能正确地计划整个观察过程。例如：要观察某一教师的教学工作，便应当预先到学
求极限的几种方法
求函数极限的方法和技巧 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词：函数极限 引言 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 主要内容 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x
()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-< 20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,
求函数极限方法的若干方法
求函数极限方法的若干方法 摘要： 关键词： 1引言：极限的重要性 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二 重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是 研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下 两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑 如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极 限进行综述。 2极限的概念及性质 2.1极限的概念 2.1.1lim n→∞x n=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有x n?A<ε。 2.1.2lim x→∞f x=A??ε>0，任意整数X，使得当x>X时就有f x?A<ε。类似可 以定义单侧极限lim x→+∞f x=A与lim x→?∞f(x)。 2.2.3，整数，使得当时有。类似可定义当时右极限与左极限：， 。在此处键入公式。 2.2极限的性质 2.2.1极限的不等式性质：设，。 若，则，当时有； 若，使得当时有，则。 2.2.1（推论）极限的保号性：设。 若,则，当时有； 若，使得当时有，则。 2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限，则在的某空心邻 域内有界，即与，使得当时有3求极限的方法
1、定义法 2、利用极限的四则运算性质求极限, 3、利用夹逼性定理求极限 4、利用两个重要极限求极限， 5、利用迫敛性求极限, 6、利用洛必达法则求极限, 7、利用定积分求极限, 8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17、利用中值定理求极限 3.1定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列 的极限.记为. 例1 证明 证任给，取，则当时有 ，所以。 3.2利用极限的四则运算性质求极限 设，，则， ，。 例1求 解这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以得 ，其中。 3.3利用夹逼性定理求极限 当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等