高中物理竞赛中的高等数学
高中物理竞赛中的高等数学
一、微积分初步
物理学研究的是物质的运动规律，因此经常遇到的物理量大多数是变量，而要研究的正是一些变量彼此间的联系．这样，微积分这个数学工具就成为必要的了．考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的．所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要．至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成． §1．函数及其图形
1．1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量
在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x 和y ，如果每当变量x 取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y 的对应值，那么称y 是x 的函数，并记作：y =f (x )，（A ．1）；其中x 叫做自变量，y 叫做因变量，f 是一个函数记号，它表示y 和x 数值的对应关系．有时把y =f (x )也记作y =y (x )．如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，也可以用其它字母作为函数记号，如?(x )、ψ(x )等等．①
常见的函数可以用公式来表达，例如()32y f x x ==+，21
2
ax bx +，c x ，cos2x π，ln x ，x e 等等．
在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面出现的13 2 2
e π、
、、、和a b c 、、等，它们叫做常量；常量有两类：一类如13 2 2
e π、
、、、等，它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a 、b 、c 等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量．在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a 、b 、c ）代表任意常量，最后面几个（x 、y 、z ）代表变量．
当y =f (x )的具体形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0)．例如： （1）若y =f (x )=3+2x ，则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1．一般地说，当x =x 0时，y =f (x 0)=3+2x 0．
（2）若()c
y f x x
==，则当0x x =时，00()c f x x =．
1．2 函数的图形
在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的．作图的办法是先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量x ，纵轴代表因变量（函数值）y =f (x )．这样一来，把坐标为（x ，y ）且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌．图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形，其中P 1，P 2，P 3，P 4，P 5各点的坐标分别为：（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线．图A -2是
第二个例子()c
y f x x
==的图形，其中P 1，P 2，P 3，P 4，P 5各点的坐标分别为：
1(,4)4c 、1
(,2)2
c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c ，各点连接成双曲线的一支．
1．3 物理学中函数的实例
反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的．下面举几个例子． （1）匀速直线运动公式：s =s 0＋vt ．（A ．2）
此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律，在这里t 相当于自变量x ，s 相当于因变量y ，s 是t 的函数．因此记作：s =s (t )＝s 0＋vt ，（A ．3）
式中初始位置s 0和速度v 是任意常量，s 0与坐标原点的选择有关，v 对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值．图A -3是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线．易知它的斜率等于v ．
（2）匀变速直线运动公式：2001
2
s s v t at =++，（A ．4），v =v 0＋at ．（A ．5）两式中s 和v 是因变量，它们都是自
变量t 的函数，因此记作：2001
()2
s s t s v t at ==++，（A ．6），v =v (t )=v 0＋at ，（A ．7）
图A -4a 、4b 分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线．（A ．6）和（A ．7）式是匀变速直线运动的普遍公式，式中初始位置s 0、初速v 0和加速度a 都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化．
例如在讨论自由落体问题时，若把坐标原点选择在开始运动的地方，则s 0＝0，v 0＝0，a ＝g ≈9.8M ／s 2
，这时（A ．6）
和（A ．7）式具有如下形式：21
()2
s s t gt ==,（A ．8）；v ＝v (t )＝gt ．（A ．9）；这里的g 可看作是绝对常量，式中
不再有任意常量了．
（3）玻意耳定律：PV ＝C ．（A ．10）
上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强P 和体积V 之间的函数关系，式中的C 是任意常量．可
以选择V 为自变量，P 为因变量，这样，（A ．10）式就可写作：()C
P P V V
==，（A ．11）
它的图形和图A -2是一样的，只不过图中的x 、y 应换成V 、P ．
在（A ．10）式中也可以选择P 为自变量，V 为因变量，这样它就应写成：()C
V V P P
==，（A ．12）
由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的． （4）欧姆定律：U IR =．（A ．13）
当讨论一段导线中的电流I 这样随着外加电压U 而改变的问题时，U 是自变量，I 是因变量，R 是常量．这时，（A ．
13）式应写作：()U
I I U R
==，（A ．14）；即I 与U 成正比．
应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的．例如，当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于通过各元件的电流是一样的，（A ．13）式中的电流I 成了常量，而R 是自变量，U 是因变量．
于是U ＝U (R )＝IR ，（A ．15）即U 与R 成正比．但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时，由于各
分支两端具有共同的电压，（A ．13）式中的U 就成了常量，而R 为自变量，I 是因变量，于是：()U
I I R R
==，（A ．
16）即I 与R 成反比．
总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时公式本身反映不出来，需要根据所要讨论的问题来具体分析． §2．导数
2．1 极限
若当自变量x 无限趋近某一数值x 0（记作x →x 0）时，函数f (x )的数值无限趋近某一确定的数值a ，则a 叫做x →x 0时函数f (x )的极限值，并记作：0
lim ()x x f x a →=，（A ．17）
（A ．17）式中的“lim ”是英语“limit （极限）”一词的缩写，（A ．17）式读作“当x 趋近x 0时，f （x ）的极限值等于a ”．
极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广．这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义．
考虑下面这个函数：232
()1
x x y f x x --==-，（A ．18），这里除x ＝1外，计算任何其它地方的函数值都是没有
困难的．例如当0x =时，(0)2f =，当2x =，(2)8f =，等等．
但是若问x ＝1时函数值f （1）＝？，就会发现，这时（A ．18）式的分子和分母都等于0，即0
(1)0
f =
！用0去除以0，一般地说是没有意义的．所以表达式（A ．18）没有直接给出f （1），但给出了x 无论如何接近1时的函数值来．下表列出了当x 的值从小于1和大于1两方面趋于1时f （x ）值的变化情况：
表A -1 x 与f (x )的变化值
x
232x x --
1x -
232()1
x x f x x --=
- 0.9 -0.47 -0.1 4.7 0.99 -0.0497 -0.01 4.97 0.999 -0.004997 -0.001 4.997 0.9999 -0.0004997 -0.0001 4.9997 1.1 0.53 0.1 5.3 1.01 0.503 0.01 5.03 1.001 0.005003 0.001 5.003 1.0001 0.00050003 0.0001 5.0003
从上表看，x 值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值5，这便是x →1时f (x )的极限值．
其实计算f (x )值的极限无需这样麻烦，只要将（A ．18）式的分子作因式分解：3x 2
-x -2＝(3x ＋2)(x -1)，并在x ≠1的
情况下从分子和分母中将因式(x －1)消去：(32)(1)
()3 2 (1)1
x x y f x x x x +-==
=+≠-；即可看出：x 趋于1时，函数f (x )的数值趋于：3×1＋2＝5．
所以根据函数极限的定义，21132
lim ()lim
51
x x x x f x x →→--==-． 2．2 几个物理学中的实例 （1）瞬时速度
当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点O 的距离s 来描述．在运动过程中s 是随时间t 变化的，也就是说，s 是t 的函数：s ＝s (t )．
函数s (t )表示的是这个物体什么时刻到达什么地方．形象一些说，假如物体是一列火车，则函数s (t )就是它的一张“旅行时刻表”．但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表”，还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念．例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等．
为了建立速率的概念，就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况．假设考虑的是从t ＝t 0到t ＝t 1的一段时间间隔，则这间隔的大小为：△t ＝t 1-t 0．
根据s 和t 的函数关系s （t ）可知，在t 0和t 1＝t 0+△t 两个时刻，s 的数值分别为s （t 0）和s （t 1）＝s （t 0+△t ），即在t 0到t 1这段时间间隔里s 改变了：△s ＝s （t 1）－s （t 0）＝s （t 0+△t ）－s （t 0）．
在同样大小的时间间隔△t 里，若s 的改变量△s 小，就表明物体运动得慢， 所以就把s ?与t ?之比s
t
??叫做这段
时间间隔里的平均速率，用v 来表示，则00()()s t t s t s v t t
+?-?==??，（A ．19），举例说明如下． 对于匀变速直线运动，根据（A ．4）式有2000001()2s t s v t at =++和2000001
()()()2
s t t s v t t a t t +?=++?++?，
222
00000000000000111
[()()]()()()()()12222s v t t a t t s v t at v at t a t s t t s t v v at a t t t t ++?++?-+++?+?+?-====++????；
平均速率s v t ?=?反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢，除了匀速直线运动的特殊情况外，s
t
??的数值或多或少与
t ?的大小有关；t ?取得越短，s t ??就越能反映出物体在0t t =时刻运动的快慢；通常就把0t ?→时s
t
??的极限值叫做
物体在t ＝t 0时刻的瞬时速率v ，即0000()()lim lim t t s t t s t s
v t t ?→?→+?-?==??，（A ．20） 对于匀变速直线运动来说，0000001lim lim()2
t t s v v at a t v at t ?
→?→?==++?=+?． 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A ．5）．
（2）瞬时加速度
一般地说，瞬时速度或瞬时速率v 也是t 的函数：v ＝v （t ）．
但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的概念．平均加速度a 和瞬时加速度a 概念的建立与v 和v 的建立类似．在直线运动中，首先取一段时间间隔t 0到t 1，根据瞬时速率v 和时间t 的函数关系v （t ）可知，在t ＝t 0和t ＝t 1两时刻的瞬时速率分别为v （t 0）和v （t 1）＝v （t 0+△t ），因此在t 0到t 1这段时间间隔里v 改变了△v =v （t 0+△t ）-v （t 0）．
通常把v t
??叫做这段时间间隔里的平均加速度，记作a ；00()()
v t t v t v a t t +?-?==??，（A ．21） 举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A ．5）式有000()v t v at =+，000()()v t t v a t t +?=++?．
所以平均加速度为000000()()[()]()v t t v t v a t t v at v a a t t t
+?-++?-+?====???（常数）． 对于一般的变速运动，a 也是与t ?有关的，这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢，就需要取v
t
??在0t ?→时
的极限，这就是物体在t ＝t 0时刻的瞬时加速度a ：0000()()lim lim t t v t t v t v
a t t
?→?→+?-?==??，（A ．22）
（3）应用举例
水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动．为简单起见，假设水渠是直的，这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图A -5），于是各处渠底的高度h 便是x 的函数：h =h （x ）．
知道了这个函数，就可以计算任意两点之间的高度差．
在修建水渠的时候，人们经常运用“坡度”的概念．譬如说，若逆水渠而上，渠底在100m 的距离内升高了20cm ，
人们就说这水渠的坡度是0.22
1001000
m m =，因此所谓坡度，就是指单位长度内的高度差，它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度．如果用数学语言来表达，就要取一段水渠，设它的两端的坐标分别为x 0和x 1，于是这段水渠的长度为：△x ＝x 1-x 0．
根据h 和x 的函数关系h (x )可知，在x 0和x 1=x 0+△x 两地h 的数值分别为h (x 0)和h （x 1）＝h (x 0+△x )，所以在△x 这段长度内h 改变了：△h ＝h (x 0+△x )-h (x 0)．
根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为：00()()h x x h x h k x x
+?-?==??，（A ．23） 前面所举例子，△x 采用了100米的数值．实际上在100米的范围内，水渠的坡度可能各处不同．为了更细致地
把水渠在各处的坡度反映出来，应当取更小的长度间隔x ?，x ?取得越小，h
x
??就越能精确反映出x =x 0处的坡度．所
以在x =x 0处的坡度k 应是0x ?→时的平均坡度k 的极限值，即0000()()lim lim x x h x x h x h
k x x
?→?→+?-?==??，（A ．24）
2．3 函数的变化率——导数
前面举了三个例子，在前两个例子中自变量都是t ，第三个例子中自变量是x ．这三个例子都表明，在研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，即函数的“变化率”概念．
当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量．增量，通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示．例如，当自变量x 的数值由x 0变到x 1时，其增量就是△x ≡x 1-x 0．（A ．25）
与此对应．因变量y 的数值将由y 0＝f (x 0)变到y 1=f (x 1)，它的增量为△y ≡y 1-y 0=f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0+△x )－f (x 0)．（A ．
26）应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少．增量比00()()f x x f x y x x
+?-?=??，（A ．27） 可以叫做函数在x ＝x 0到x ＝x 0+△x 这一区间内的平均变化率，它在△x →0时的极限值叫做函数y ＝f (x )对x 的导数
或微商，记作y ′或f ′(x )，0000()()()lim lim x x f x x f x y
y f x x x
?→?→+?-?''===??，（A ．28）
除y '或()f x '外，导数或微商还常常写作
dy dx 、df dx 、d dx
等其它形式．导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率．
应当指出，函数f (x )的导数f ′(x )本身也是x 的一个函数，因此可以再取它对x 的导数，这叫做函数y ＝f (x )的二阶导
数，记作y ''、()f x ''、2
2d y
dx
等；22()()()d y d dy d y f x f x dx dx dx dx '''''====，（A ．29）
据此类推，则不难定义出高阶的导数来．
有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：
瞬时速率：ds v dt =，（A ．30）；瞬时加速度：22dv d s
a dt dt
==，（A ．31）；水渠坡度：dh k dx =，（A ．32）．
2．4 导数的几何意义
在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的．如图A -6所示，为了确定曲线在P 0点的切线，先在曲线上P 0附近选另一点P 1，并设想P 1点沿着曲线向P 0点靠拢．P 0P 1的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述．从图上不难看出，P 1点愈靠近P 0点，α角就愈接近一个确定的值α0，当P 1点完全和P 0点重合的时候，割线P 0P 1变成切线P 0T ，α的极限值α0就是切线与横轴的夹角．
在解析几何中，把一条直线与横坐标轴夹角的正切tan α叫做这条直线的斜率．斜率为正时表示α是锐角，从左到右直线是上坡的（见图A -7a ）；斜率为负时表示α是钝角，从左到右直线是下坡的（见图A -7b ）．
现在来研究图A -6中割线P 0P 1和切线P 0T 的斜率．
设P 0和P 1的坐标分别为（x 0，y 0）和（x 0+△x ，y 0+△y ），以割线P 0P 1为斜边作一直角三角形△P 0P 1M ，它的水平边P 0M 的长度为△x ，竖直边MP 1的长度为△y ，因此这条割线的斜率为：1
0tan MP y P M x
α?=
=?． 如果图A -6中的曲线代表函数y =f (x )，则割线P 0P 1的斜率就等于函数在 0x x =附近的增量比y
x
??，切线0P T 的低斜率0tan α是10P P →时，割线P 0P 1斜率的极限值，即1
1
00tan lim tan lim ()P P P P
y
f x x
αα→→?'===?；所以导数的几何意义是切线的斜率． §3．导数的运算
在上节里只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理，利用它们可以把常见函数的导数求出来．
3．1 基本函数的导数公式
（1）y ＝f (x )＝C (常量)：00()()()lim lim 0x x f x x f x C C y f x x x ?
→?→+?--''====??； （2）y ＝f (x )＝x ：000()()()()lim lim lim 1x x x f x x f x x x x x y f x x x
x ?
→?→?→+?-+?-?''=====???； （3）y ＝f (x )=x 2
：22000()()()()lim
lim lim(2)2x x x f x x f x x x x y f x x x x x x
?→?→?→+?-+?-''====+?=??； （4）y ＝f (x )＝x 3
：33222000()()()()lim
lim lim[33()]3x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x x
?→?→?→+?-+?-''====+?+?=??； （5）y ＝f (x )＝1x ：0()()
()lim x f x x f x y f x x ?
→+?-''===?011
lim x x x x x
?→-+?=? 200()11
lim
lim ()()x x x x x x x x x x x x x
?→?→-+?-===-+???+?；
（6）y ＝f (x )＝x ：0
00()()()lim lim lim[]x x x f x x f x x x x x x x x x x
y f x x x x x x x
?
→?→?→+?-+?-+?-+?+''====????+?+ 220
()()1
1
lim
lim
()
2x x x x x x x x x x x x x
?→?→+?-===
?+?++?+
上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当n
y x =时，1n n dx y nx dx
-'=
=，（n 为任何数），（A ．33）． 例如：当1n =时，()y f x x ==，1dx
y dx '==；
当2n =时，2
()y f x x ==，22dx y x dx '==； 当3n =时，3
()y f x x ==，323dx y x dx '==；
当1n =-时，11()y f x x x -===，2211
()(1)d y x dx x x
-'==-=-；
当12n =时，12()y f x x x ===，121122d x y x dx x
-'===；等等．
利用（A ．33）式还可以计算其它幂函数的导数（见表A -2）．
除了幂函数n x 外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数．现在只给出这些函数的导数公式（见表A -2）而不推导，解题时可以直接引用．
3．2 有关导数运算的几个定理
定理一：[()()]d du dv
u x v x dx dx dx ±=±，（A ．34）．
证明：00[()()]lim lim[]x x d u v u v du dv
u x v x dx x x x dx dx
?→?→?±???±==±=±???． 定理二：[()()]()()d du dv
u x v x v x u x dx dx dx ?=+，（A ．35）．
证明：00[()][()]u(x)v(x)v()()[()()]lim lim x x d u x u v x v x u u x v u v
u x v x dx x x
?
→?→+?+?-?+?+???==?? 0lim[()()]()()x u v du dv
v x u x v x u x x x dx dx
?→??=+=+??．
表A -2基本导数公式
函数y =f (x ) 导数y ′=f ′(x ) 函数y =f (x ) 导数y ′=f ′(x )
c (任意常量) 0 1
2
n =- ，1
2
1
x x -=
3
321212()x x --=-
x n
(n 为任意常量) nx n -1
32
n =- ，3
3
2
1()x x -= 5
5
2
32
32()x x --=-
n =1， x 1 ……
…… n =2， x 2 2x sin x cos x
n =3， x 3 3x 2 cos x
sin x -
1n =-，11x x -=
221(1)x x --=-
ln x
1x
2n =-，221
x x -=
332
(2)x x --=-
x e
x e
12n =，121x x
=
1
21212x x -= …… ……
定理三：2
()
()()[]()
[()]
du dv v x u x d u x dx dx dx v x v x -=
，（A ．36）．
证明：000()()
()[()]()[()]()()()()()[]lim lim lim
()[()]()[()]()x x x u x u u x d u x u x u v x v x v u x v x u u x v v x v v x dx v x x v x v v x x
v x v v x x ?→?→?→+?-
+?-+??-?+?===?+??+?? 20()()()()
lim [()]()[()]
x u v du dv v x u x v x u x x x dx dx v x v v x v x ?→??--??==+?． 定理四：
[()]d du dv
u v x dx dv dx
=?，（A ．37）． 证明：00[()][()]()()[()]lim lim[]x x d u v x x u v x u v v v v v u v x dx x v x ?
→?→+?-+?-?==????00()()lim[]lim[]x x u v v v v v du dv
v x dv dx
?→?→+?-?=?=??? 例1．求22
y x a =±（a 为常量）的导数．解：22202dy dx da x x dx dx dx
=
±=±=． 例2．求ln x y a =（a 为常量）的导数． 解：ln ln 11
0dy d x d a dx dx dx x x
=
-=-=． 例3．求2
y ax =（a 为常量）的导数． 解：222022dy da dx x a x a x ax dx dx dx
=?+?
=?+?=． 例4．求2x y x e =的导数． 解：22222(2)x
x x x x dy dx de e x x e x e x x e dx dx dx
=+=?+?=+． 例5．求232
51x y x -=+的导数．
解：2222222
(32)(51)
(51)(32)
6(51)(32)515610(51)(51)(51)d x d x x x dy x x x x x dx dx dx x x x -++--?+--?++===
+++． 例6．求tan y x =的导数．
解：2222
sin cos cos sin sin cos cos sin (sin )1(tan )()sec cos cos cos cos d x d x x x
dy d d x x x x x dx dx x x dx dx dx x x x x -?-?-======． 例7．求cos()y ax b =+（a 、b 为常量）的导数．
解：令v ax b =+，()cos y u v v ==，则(sin )sin()dy du dv
v a a ax b dx dv dx
=?=-?=-+．
例8．求21y x =-的导数．解：令21v x =-，()y u v v ==，则21221
dy du dv x x dx dv dx v x =?=?=-．
例9．求2
2ax y x e -=（a 为常量）的导数．
解：令v u e =，2
v ax =-，则2222222(2)2(1)v ax dy dx du dv
u x xu x e ax x ax e dx dx dv dx
-=
+?=+??-=- §4．微分和函数的幂级数展开 4．1 微分
自变量的微分，就是它的任意一个无限小的增量△x ．用dx 代表x 的微分，则dx =△x ．（A ．38）
一函数y =f (x )的导数f ′(x )乘以自变量的微分dx 即为该函数的微分，用dy 或df (x )表示，即dy =df (x )=f ′(x )dx ，（A ．
39） 所以()dy
f x dx
'=，（A ．40）
在之前曾把导数写成dy
dx
的形式，是把它作为一个整体引入的．当时它虽然表面上具有分数的形式，但在运算时并
不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分．在引入微分的概念之后，就可把导数看成微分dy 与dx 之商（所谓“微商”），即一个真正的分数了．把导数写成分数形式，常常是很方便的，例如，把上节定理四（A ．37）
式的左端[()]d u v x dx 简写成du dx
，则该式化为du du dv
dx dv dx =?；此公式从形式上看和分数运算法则一致，很便于记忆．
下面看微分的几何意义．图A -8是任一函数y ＝f (x )的图形，P 0（x 0，y 0）和P 1（x 0+△x ，y 0+△y ）是曲线上两个邻近的点，P 0T 是通过P 0的切线．直角三角形△P 0MP 1的水平边0P M x =?，竖直边1MP y =?（见图8A -）．
设0P T 与1MP 的交点为N ，则0tan MN MN
NP M x
PM
∠=
=
?，但0tan NP M ∠为切线P 0T 的斜率，它等于x =x 0处的导数f ′(x 0)，因此00()tan dy f x x NP M x MN '=?=∠??=．
所以微分dy 在几何图形上相当于线段MN 的长度，它和增量1y MP ?=相差1NP 一段长；从上一节计算导数时取
极限的过程可以看出，dy 是y ?中正比于x ?的那一部分，而1NP 则是正比于(△x )2
以及△x 更高幂次的各项之和[例如
对于函数y =f (x )＝x 3，△y ＝3x 2△x ＋3x (△x )2＋(△)3，而d y =f ′(x )△x =3x 2△x ]．当△x 很小时，（△x ）2、（△x ）3
、…
比△x 小得多，1NP 也就比
dy 小得多，所以可以把微分dy 叫做增量y ?中的线性主部．也就是说，若函数在x =x 0的地方像线性函数那样增长，则它的增量就是dy ．
4．2幂函数的展开
已知一个函数f (x )在x ＝x 0一点的数值f (x 0)，如何求得其附近的点x ＝x 0+△x 处的函数值f (x )＝f (x 0+△x )？ 若f (x )为x 的幂函数n x ，可以利用牛顿的二项式定理：
23
000000000
(1)(1)(2)()()[1(
)]()[1()]()[1()()()]2!3!n n n
n n x x x n n x n n n x f x x x x x f x f x n x x x x x ???-?--?==+?=+=+=++++??? 00
0(1)(1)()()!n
m
m n n n m x f x m x =-???-+?=∑
，（A ．41）
此式适用于任何n （整数、非整数、正数、负数等等）．若n 为正整数，则上式中的级数在M ＝n 的地方截断，余
下的项自动为0，否则上式为无穷级数．不过当△x < 不要以为数学表达式越精确越好．如图A -9中A 、B 两点间的水平距离为l ，若将B 点竖直向上提高一个很小的距离a (a < 这是个精确的公式，但没有给出一个鲜明的印象，究竟△l 是随a 怎样变化的？若用二项式定理将它展开，只保留 到最低级的非0项，则有12 2 22221[1()1]{[1()]1}[1()1]()222a a a l a a l l l l l l l l l ?=+-=+-=++???-≈=，即△l 是正比于a 平方增长的，属二级小量．这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法，在物理学里是经常用到的． 4．3泰勒展开 非幂函数(譬如s in x 、e x )如何作幂级数展开？这要用泰勒(Taylor)展开． 下面用一种不太严格，但简单明了的办法将它导出． 假设函数f (x )在x =x 0处的增量△f =f (x )－f (x 0)能够展成△x ＝x －x 0的幂级数：001 ()()()m m m f x f x a x x ∞ =-=-∑，（A ． 42）则通过逐项求导可得1 01()()m m m f x ma x x ∞ -='=-∑；当x →x 0时，m ＞1的项都趋于0，于是有f ′(x 0)＝a 1；再次求导，得 202 ()(1)()m m m f x m m a x x ∞ -=''=--∑，当x →x 0时，m ＞2的项都趋于0，于是有f (x 0)＝2a 2；如此类推，一般地说，对于M 阶导数有() 0()!M M f x M a =；于是(A ．42)式可以写为：()000() ()()()! m m m M f x f x f x x x m ∞ =-= -∑ ，(A ．43)． 若定义第0阶导数f (0) (x )就是函数f (x )本身，则上式还可进一步简写为：()000 () ()()! m m m f x f x x x m ∞ ==-∑ ，(A ．44)． 上述(A ．43)或(A ．44)式称为泰勒展开式，它在物理学中是非常有用的公式． 下面在表A -3中给出几个常见函数在x 0＝0或1处的泰勒展开式． 表A -3 常见函数的幂级数展开式 函数 展开式 收敛范围 1 2(1)x ± 234111113113512242462468x x x x ??????±-±-±????????? 1x ≤ 32(1)x ± 234331311311312242462468x x x x ??????±+±+±????????? 1x ≤ 52(1)x ± 234553531531112242462468x x x x ??????±+±+±????????? 1x ≤ 12(1)x -± 234113135135712242462468x x x x ??????±+±+±????????? 1x < 3 2(1)x - ± 234335357357912242462468x x x x ??????±+±+±????????? 1x < 5 2(1)x - ± 2345575795791112242462468x x x x ??????±+±+±????????? 1x < 1(1)x -± 2341x x x x ±+±+±??? 1x < 2(1)x -± 23412345x x x x ±+±+±??? 1x < sin x 357 3!5!7!x x x x -+-+??? x <∞ cos x 246 12!4!6!x x x -+-+??? x <∞ tan x 35791217623153152835x x x x x +++++??? x <∞ x e 234 11!2!3!4!x x x x +++++??? x <∞ ln(1)x + 234 234x x x x -+-+??? 11x -<≤ ln(1)x - 234 ()234 x x x x -++++??? 11x -≤< §5．积分 5．1几个物理中的实例 （1）变速直线运动的路程 大家都熟悉匀速直线运动的路程公式． 若物体的速率是v ，则它在t a 到t b 一段时间间隔内走过的路程是s ＝v (t b －t a )，(A ．45)． 对于变速直线运动来说，物体的速率v 是时间的函数：v ＝v (t )，函数的图形是一条曲线(见图A -10a )，只有在匀速直线运动的特殊情况下，它才是一条直线(参见图A -4b )．对于变速直线运动，(A .45)式已不适用．但是，可以把t ＝t a 到t ＝t b 这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的．这样一来，物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到t a 到t b 这段时间里走过的总路程． 设时间间隔(t b －t a )被t ＝t 1(=t a )、t 2、t 3、…、t n 、t b 分割成n 小段，每小段时间间隔都是△t ，则在t 1、t 2、t 3、…、t n 各时刻速率分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )．若把各小段时间的速率v 看成是不变的，则按照匀速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分等于v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t ．于是，在整个(t b -t a )这段时间里的总路程是1231()()()()()n n i i s v t t v t t v t t v t t v t t ==?+?+?+???+?=?∑，(A ．46)． 现在再看看上式的几何意义．在函数v ＝v (t )的图形中，通过t =t 1、t 2、t 3、…、t n 各点垂线的高度分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )(见图A -10b )，所以v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t 就分别是图中那些狭长矩形的面积，而1()n i i v t t =?∑则是所有这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状图形的面积． 在上面的计算中，把各小段时间△t 里的速率v 看做是不变的，实际上在每小段时间里v 多少还是有些变化的，所以上面的计算并不精确．要使计算精确，就需要把小段的数目n 加大，同时所有小段的△t 缩短(见图A -10c )．△t 越短，在各小段里v 就改变得越少，把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况．所以要严格地计算变速运动的路 程s ，就应对(A ．46)式取n →∞、△t →0的极限，即0 1 lim ()n i t i n s v t t ?→=→∞=?∑，(A ．47)． 当n 越来越大，△t 越来越小的时候，图A -10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v (t )曲线下面的面积(图A -10d)．所 以(A ．47)式中的极限值等于(t b －t a )区间内v (t )曲线下的面积． 总之，在变速直线运动中，物体在任一段时间间隔(t b －t a )里走过的路程要用(A ．47)式来计算，这个极限值的几何意义相当于这区间内v (t )曲线下的面积． （2）变力的功 当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置s ＝s a 移到s ＝s b 的过程中，恒力F 对它所作的功为： A ＝F (s b －s a )（A ．48)；若力F 是随位置变化的，即F 是s 的函数：F ＝F (s )，则不能运用(A ．48)式来计算力F 的功． 此时，也需要象计算变速运动的路程那样，把(s b －s a )这段距离分割成n 个长度为△s 的小段(见图A -11)： 并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每小段路程△s 上的功，然后加起来取n →∞、△s →0的极限值．具体地说，设力F 在各小段路程内的数值分别为F (s 1)、F (s 2)、F (s 3)、…、F (s n )，则在各小段路程上力F 所作的功分别为F (s 1)△s 、F (s 2)△s 、F (s 3)△s 、…、F (s n )△s ，在(s b －s a )整段路程上力F 的总功A 就近似地等于1()n i i F s s =?∑；因为实际上在每一小段路程上加F 都是变化的，所以严格地计算，还应取n →∞、△s →0的极值， 即0 1 lim ()n i t i n A F s s ?→=→∞=?∑，(A ．49)．同上例，这极限值应是(s b －s a )区间内F (s )下面的面积(见图A -12)． 5．2定积分 以上两个例子表明，许多物理问题中需要计算象(A ．47)和(A ．49)式中给出的那类极限值．概括起来说，就是要解决如下的数学问题：给定一个函数f (x )，用x ＝x 1(=a )、x 2、x 3、…、x n 、b 把自变量x 在(b －a )区间内的数值分成n 小段，设每小段的大小为△x ，求n →∞、△x →0时1()n i i f x x =?∑的极限；通常把这类形式的极限用符号()b a f x dx ?来表示，即 01 ()lim ()n b i a x i n f x dx f x x ?→=→∞=?∑? ，(A ．50)； ()b a f x dx ? 叫做x a =到x b =区间内()f x 对x 的定积分，()f x 叫做被积函数， b 和a 分别叫做定积分的上限和下限． 用定积分的符号来表示，(A ．47)和(A ．49)式可分别写为()b a t t s v t dt =?，(A ．51)、()b a s s A F s ds =?，(A ．52)． 在变速直线运动的路程公式(A ．51)里，自变量是t ，被积函数是v (t )，积分的上、下限分别是t b 和t a ；在变力作功的公式(A ．52)里，自变量是s ，被积函数是F (s )，积分的上、下限分别是s b 和s a ． 求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理： 若被积函数f (x )是某个函数Ф(x )的导数，即f (x )=Ф′(x )，则在x ＝a 到x ＝b 区间内f (x )对x 的定积分等于Ф(x )在这区间内的增量，即()()()b a f x dx b a =Φ-Φ?，(A ．53)．下面来证明上述定理． 在a ≤x ≤b 区间内任选一点x i ，首先考虑Ф(x )在x =x i 到x =x i +△x =x i+1区间的增量△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )： ()()i i x x x x ?Φ?Φ=???，当0x ?→时，可用Ф(x )的导数()d x dx Φ'Φ=代替x ?Φ ?；但按照定理的前提，Ф′(x )=f (x )， 故△Ф(x i )≈Ф′(x i )△x =f (x i )△x 式中≈表示“近似等于”，若取△x →0的极限，上式就是严格的等式． 把a ≤x ≤b 区间分成n －1小段，每段长△x ；上式适用于每小段．根据积分的定义和上式，有： 12112100()lim[()()()]lim[()()()]b n n a x x n n f x dx f x x f x x f x x x x x --?→?→→∞→∞ =?+?+???+?=?Φ+?Φ+???+?Φ? 2132110lim{[()()][()()][()()]}()() n n n x n x x x x x x x x -?→→∞ =Φ-Φ+Φ-Φ+???+Φ-Φ=Φ-Φ 因x 1＝a ，xn ＝b ，于是得(A .53)式，至此定理证毕． 下面看看函数Ф(x )在f -x 图(见图A -13)中所表现的几何意义．如前所述，△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )=f (x i )△x ，正是宽为△x 、高为()i i i f x x P =的一个矩形（即图13A -中的1i i i x x NP +）的面积．它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i 的面积只是相差一小三角形P i NP i ＋1的面积．当△x →0时，可认为△Ф(x i )就是梯形x i x i+1P i+1P i 的面积． 既然当x 由x i 变到x i+1时，Ф(x )的增量的几何意义是相应区间f -x 曲线下的面积，则Ф(x )本身的几何意义就是从原点O 到x 区间f -x 曲线下面的面积加上一个常量C ＝Ф(0)．例如Ф(x i )的几何意义是图形Ox i P i P 0的面积加C ，Ф(x i ＋1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P 0的面积加C ，等等．这样，△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )就是：(Ox i+1P i+1P 0的面积+C )-(Ox i P i P 0的面积+C )=x i x i+1P i+1P i 的面积，而Ф(b )-Ф(a )的几何意义是：(ObP b P 0的面积+C )－(OaP a P 0的面积+C )＝abP b P a 的面积． 它相当于定积分()b a f x dx ?的值． 5．3不定积分及其运算 在证明了上述定积分的基本定理之后，就可以着手解决积分的运算问题了．根据上述定理，只要求得函数Ф(x )的表达式，利用(A .53)式立即可以算出定积分()b a f x dx ?来，那么，给出了被积函数()f x 的表达式之后，怎样去求Ф(x )的表达式呢？上述定理说明，Ф′(x )=f (x )，所以这就相当于问f (x )是什么函数的导数．由此可见，积分运算是求导的逆运算．如果f (x )是Ф(x )的导数，可以称Ф(x )是f (x )的逆导数或原函数．求f (x )的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数． 在上节里讲了一些求导数的公式和定理，常见的函数都可以按照一定的法则把它们的导数求出来．然而求逆导数 的问题却不像求导数那样容易，而需要靠判断和试探．例如，知道了Ф(x )＝x 3的导数Ф′(x )＝3x 2 ，也就知道了F (x )＝3x 2的逆导数是Ф(x )＝x 3；这时，如果要问函数f (x )＝x 2的逆导数是什么，那么就不难想到，它的逆导数应该是x 3/3； 这里要指出一点，即对于一个给定的函数f (x )来说，它的逆导数并不是唯一的．Ф1(x )＝x 3/3是f (x )＝x 2 的逆导数，Ф2(x )＝x 3/3＋1和Ф3(x )=x 3/3－5也都是它的逆导数，因为Ф1′(x )、Ф2′(x )、Ф3′(x )都等于x 2 .一般说来，在函数f (x )的某个逆导数Ф(x )上加一任意常量C ，仍旧是f (x )的逆导数．通常把一个函数f (x )的逆导数的通式Ф(x )＋C 叫做它的不定积分，并记作()f x dx ?，于是()()f x dx x C =Φ+?，(A ．54)． 因在不定积分中包含任意常量，它代表的不是个别函数，而是一组函数． 表A -4基本不定积分公式 函数()f x 不定积分()f x dx ? 函数()f x 不定积分()f x dx ? (1)n x n ≠- 1 1n x C n +++ 当1n =时，1 x x = 2 2x C + 当2n =时，2x 3 3 x C + 当3n =时，3x 4 4 x C + 当2n =-时，2 21 x x -= 11 1x C C x -+=-+- 当12 n =时，1 2x x = 3 2 332 2 ()3 x C x C += + 当12n =-时，121x x -= 1 2122x C x C +=+ 当32n =-时，3231()x x -= 1 212 2x C C x -+=-+- sin x cos x C -+ cos x sin x C + 1 x ln x C + x e x e C + 上面所给的例子太简单了，一眼就能猜到逆导数是什么．在一般的情况下求逆导数，首先要求对各种函数的导数掌握得很熟练，才能确定选用那一种形式的函数去试探．此外，掌握表A -4中给出的基本不定积分公式和其后的几个有关积分运算的定理，也是很重要的．(表中的公式可以通过求导运算倒过来验证，望读者自己去完成) 下面是几个有关积分运算的定理． 定理一 若()()f x au x =(a 是常量)，则()()f x dx a u x dx =??，(A ．55)． 定理二 若()()()f x u x v x =±，则()()()f x dx u x dx v x dx =±???，(A ．56)． 这两个定理的证明是显而易见的，下面利用这两个定理和表A －4中的公式计算两个例题． 例10．求2 5x dx ?． 解：2235 553 x dx x dx x C ==+??． 例11．求3 (34)x x dx -+?． 解：334231 (34)34442 x x dx x dx xdx dx x x x C -+=-+=-++????． 定理三 若()()()f x u v v x '=，则()()()()f x dx u v v x dx u x dx '==???，(A ．57)． 此定理表明，当f (x )具有这种形式时，就可以用v 来代替x 作自变量，这叫做换元法．经过换元往往可以把比较复杂的积分化成表A -4中给出的现成结果．再看看下面几个例题． 例12．求sin()ax b dx +?． 解：令()sin u v v =，()v x ax b =+，()dv v x dx adx '==，经换元得： 111 sin()sin cos cos()ax b dx vdv v C ax b C a a a +==-+=-++??． 例13．求sin cos x xdx ?． 解：令()sin v x x =，则()cos dv v x dx xdx '==，于是21 sin 2 vdv x C =+?． 例14．求22 xdx x a +?． 解：令1()u v v =，22 ()v x x a =+，则()2dv v x dx xdx '==，于是2222 2xdx dv v C x a C v x a ==+=+++? ?． 例15．求dx x a -? ． 解：令1()u v v =，()v x x a =-，则()dv v x dx dx '==，于是ln ln dx dv v C x a C x a v ==+=-+-??． 5．4通过不定积分计算定积分 当求得不定积分()()f x dx x C =Φ+?之后，再将它们的上、下限的数值代入相减，就得到所求的定积分的值： ()()()f x dx b a =Φ+Φ?，(A ．58)．作定积分运算时，任意常量就被消掉了． 例16．计算：1 2 0sin 2xdx π?和1 0sin 2xdx π?． 解：因为1 sin 2cos22xdx x C πππ =- +?， 所以1 212 01111sin 2cos 2(cos cos 0)(11)0222xdx x πππππππ =-=--=---=?； 1 1111 sin 2cos 2(cos 2cos 0)(11)00222xdx x ππππππ =- =--=--=? ． 图A －14是f (x )=s i n 2πx 的曲线，它在x ＝0到12一段是正的，在x ＝1 2 到1一段是负的．从x ＝0到1的定积分为 0，是因为横轴上下两块面积大小相等，一正一负，相互抵消了． 例17．推导匀变速直线运动的路程公式． 解：0()v t v at =+，22000000 11()()22t t t s v t dt v at dt v t at v t at ? ?==+=+=+??????． 例18．若在(A ．52)式中力F (s )与距离平方成反比：F (s )＝2 a s ，求功A ． 解：2 11 ()( )b b b a a a s s s s s s a b ads a A F s ds a s s s s ===- =-??． 习 题 一、回答下列问题： （1）若f (x )=x 2 ，写出f (0)、f (1)、f (2)、f (3)之值． （2）若()cos 2f x x π=，写出(0)f 、1 ()12 f 、1()8f 、1()6f 、1()4f 、1()2f 、(1)f 的值． （3）若f (x )＝a ＋bx ，f (0)＝？x 0为多少时，f (x 0)=0？ 二、求下列函数的导数： （1）y ＝3x 4－2x 2＋8； （2）y =5＋3x －4x 3 ； （3）2y ax =； （4）2a bx cx y x ++=； （5）a x y a x -=+； （6）221y x a =+； （7）22y x a =-；（8）22 1y x a =+； （9）tan y x x =； （10）sin()y ax b =+； （11）ln()y x a =+；（12）2ax y x e -=． 三、求第二题中y 的微分． 四、求以下函数围绕x ＝0的泰勒级数中前两个非0项： （1）11()f x x a x a =--+； （2）21()1ax f x ax x -=-+； （3）21()cos 12f x x x =+-； （4）21 1cos sin 2 x x --． 五、求下列不定积分： （1）3(1)x x dx +-?； （2）8 (349)x x dx --?； （3）21)3x x dx ++?； （4）241x x dx x ++?； （5）22 236x x dx x -+?； （6）x adx +?； （7）22 x x a dx -?； （8）dx ax b +?； （9）22xdx x a -?； （10）22dx x a -?，[提示：221111 ( )2a x a x a x a =--+-]； （11）22xdx x a -?； （12）2sin cos x xdx ?； （13）2 cos sin x xdx ?； （14）tan xdx ?； （15）2sin xdx ?，[提示：21sin (1cos 2)2 x x =-]； （16）2 cos xdx ?； （17）ln x dx x ?； （18）ax e dx -?； （19）2ax xe dx -?； （20）x dx e ?． 六、计算下列定积分： （1）12 0(341)x x dx -+?； （2）131(8)x x dx --?； （3）632 dx x -?； （4）821dx x ?； （5）31dx x ?； （6）223dx x -+?； （7）12 0sin 2xdx π?； （8）120cos 2xdx π?； （9）1 0ax e dx -?； （10）2 2 1 ax xe dx -?． 二、矢量 1．矢量及其解析表示 物理学中有各种物理量，像质量、密度、能量、温度、压强等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小，这类物理量叫做标量；而像位移、速度、加速度、动量、力等，除数量的大小外还具有一定的方向，这类物理量叫做矢量．严格地说，作为一个矢量，还必须遵从一定的合成法则与随坐标变换的法则． 通常手写时用字母上加箭头（如F ）来表示一个矢量，印刷中则常用黑体字(如A )．在作图时，用一个加箭头的线段来代表矢量，线段的长度正比于矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向(见图B -1)． 直角坐标系来描述空间和表示其中的矢量，是最基本的方法．n 维的直角坐标系有n 个相互垂直的坐标轴． 先从二维空间说起． 如图B －2所示，在平面上取二维直角坐标系xOy ，在平面某点P 上有矢量A ，其大小为A ，与x 轴的夹角为α则它在x 、y 轴上的投影分别为A x = Acos α，A y ＝As i n α，A x 和A y 分别称为矢量A 的x 分量和y 分量．应注意，一个矢量的分量是代数量，即其值是可正可负的．分别沿坐标轴Ox 和Oy 取单位矢量(即长度为1的矢量)i 和j(见图B －2)，则有：A ＝A x i ＋A y j ，(B ．1)；这里i 、j 称为坐标系的基矢．当坐标系及其基矢选定后，数列(A x ，A y )可以把矢量A 的全部特征确定下来，所以也可以说矢量是个按一定顺序排列的数列，如：数列(2，1)代表A x ＝2，A y ＝1的矢量，数列(0，－5) 代表A x ＝0，A y ＝－5的矢量，等等．矢量大小的平方等于它的分量的平方和：A 2＝A x 2＋A y 2 ，(B ．2)． 图B-3所示为三维空间里的直角坐标系，这里有三个相互垂直的坐标轴Ox、Oy和Oz，在空间某点P上的矢量A 大小为A，方向与Ox、Oy、Oz轴的夹角分别为α、β、γ，则它在Ox、Oy、Oz轴上的投影，即x、y、z三个分量，分别为A x＝A cosα，A y＝A cosβ，A z＝A cosγ，这里cosα、cosβ、cosγ称为这矢量的方向余弦．因方向余弦满足下列恒等式：cos2α＋cos2β+cos2γ≡1，(B．3)． 三个数中只有两个是独立的，它们把矢量的方向唯一地确定下来． 通常用i、j、k来代表三维直角坐标系的基矢．在三维的情况下，正交基矢有左手和右手两种系统．设想基矢i沿小于180°的角度转向基矢j.如图B-4a所示将右手的四指弯曲，代表上述旋转方向，则伸直的姆指指向基矢k；如此规定的正交基矢系统称为右手系统．若用左手代替上述操作过程所规定的正交基矢系统(见图B-4b)，则是左手系统．按照国际惯例，一律采用右手系统． 有了正交基矢，矢量可以写成解析形式：A＝A x i＋A y j+A z k，(B．4) 三维的矢量要用长度为3的数列(Ax，Ay，Az)来表示，如(1，3，0)、(-2，0，－1)等． 与二维的情况类似，有A2＝A x2＋A y2＋A z2，(B．5) 2．矢量的加减法 从上面看到，一个n维的矢量可看成是一个长度为n的有序数列(A1，A2，…，A n)．从这种意义上说，标量是个一维的矢量．把标量的加减运算推广到矢量，有(A1,A2,…,A n)±(B1,B2,…,B n)＝(A1±B1,A2±B2,…,A n±B n)，(B．6) 从矢量的叠加图B-5不难看出，上述运算(解析运算)与通常矢量合成的平行四边形法则(几何运算)是一致的． 用几何法运算矢量A和B的叠加，可利用如图B－6a所示的平行四边形，也可利用与之等价的三角形(见图B-6b)．这后一种图示，对于两个以上矢量的的合成特别方便，因为只需把它们首尾衔接起来就行了(见图B－7)．在一个矢量前面加个负号，表示一个与它大小相等、方向相反的矢量(见图B-8a)．矢量之差A－B可理解为矢量A与-B的合成A+(- B)(见图B－8b)，它也可利用A和B组成的另一种方式组合成的三角形来表示(见图B-6c)． 从矢量加减的解析表示(B．6)式可立即看出，它们是符合通常的交换律和组合律的： A ＋ B ＝B +A ，(交换律)(B ．7)； A +(B + C )＝(A ＋B )＋C ，(组合律)(B ．8) 用几何运算法来验证上述法则，也不算太困难，特别是利用三角形来表示的话，并不是所有带有方向的物理量都服从上述叠加法则的(如大角度的角位移就是例外)，不符合这法则的物理量不是矢量． 3．矢量的标积 设A 和B 是两个任意矢量，其标积(常用A · B 表示，又称点乘)的解析定义为：A ·B =A x B x ＋A y B y +A z B ，z (B ．9)． 由此定义不难看出，点乘是服从交换律和分配律的： A ·B ＝B ·A ，(交换律)(B ．10)；A ·(B ＋ C )＝A · B ＋ A ·C ，(分配律)，(B ．11) 下面看点乘的几何意义．把A 、B 两矢量的起点O 叠在一起，二者决定一个平面， 取此平面为直角坐标系的xy 面，从而Az =Bz =0；令A 、B 与Ox 轴的夹角分别为α、β (见图B －9)，则A x =Acos α，A y ＝As i n α，B x ＝B cos β，By =B s i n β，标积： A · B ＝A x B x ＋A y B y ＝AB (cos α cos β＋s i n α s i n β)＝AB cos (β－α)， 即A · B ＝AB cos θ，(B ．12)式中θ＝β－α为两矢量之间的夹角． (B ．12)式可看作是标积的几何定义． 从这个定义可立即看出：A 、B 平行时，θ＝0，标积 A · B ＝AB ；A 、B 反平行时，θ=π，标积A ·B ＝- AB ；A 、B 垂直时，θ＝π/2，标积A · B ＝0；一般说来，θ为锐角时，标积取正值；θ为钝角时，标积取负值．一个矢量A 与自身的标积A · A ＝A 2 ． 在物理学中标积的典型例子是功． 4．矢量的矢积 设A 和B 是两个任意矢量，它们的矢积(常用A ×B 表示，故又称叉乘)的解析定义为如下矢量： A × B ＝(A y B z －A z B y )i ＋(A z B x －A x B z )j ＋(A x B y －A y B x )k x y z x y z I j k A A A B B B ，(B ．13) 由此定义不难看出，点乘是服从反交换律和分配律的： A × B =-B ×A ，(反交换律)(B ．14) A ×(B ＋ C )＝ A ×B ＋A ×C ，(分配律)(B ．15) 下面看叉乘的几何意义．同前，把A 、B 两矢量的起点O 叠在一起，二者决定一个平面，取此平面为直角坐标系的xy 面，从而A z ＝B z ＝0．令A 、B 与Ox 轴的夹角分别为α、β，则A x =Acos α，A y ＝As i n α，B x ＝Bcos β，B y = Bs i n β，矢积：A ×B ＝(A x B y -A y B x )k ＝AB (cos αs i n β－s i n αcos β)k =AB s i n (β-α)k ；即矢积C =A ×B ＝ABs i n θk ，(B ．16) 式中θ=β-α为两矢量之间的夹角．当β＞α时，θ＞0，C 沿k 的正方向；当β＜α时，θ＜0，C 沿k 的负方向．由 于采用的是右手坐标系，C 的指向可用如图B －10a 所示的右手定则来判断：设想矢量A 沿小于180°的角度转向矢量B ； 将右手的四指弯曲，代表上述旋转方向，则伸直的姆指指向它们的矢积C ． (B ．16)式可看作是矢积的几何意义：矢量A 、B 的矢积C ＝A ×B 的数值C ＝AB s i n θ，正好是由A 、B 为边组成的平行四边形的面积(见图B －10b )；C 的方向与A 和B 组成的平面垂直，其指向由上述右手定则来规定．从这个定义可立即看出：A 、B 平行或反平行时，θ＝0或π，矢积C ＝A ×B ＝0；A 、B 垂直时，θ＝π/2，矢积的数值C ＝｜A ×B ｜＝AB 最大．一个矢量A 与自身的矢积A ×A ＝0． 在物理学中矢积的典型例子有角动量、力矩等． 5．矢量的三重积 物理学中经常遇到矢量的三重积．最常见的三重积有以下两个．（1）三重标积A·(B×C) 这三重积是个标量．不难验证，此三重积的解析表达式为() x y z x y z x y z A A A A B C B B B C C C ??=，(B．17) 从几何上看，因｜B×C｜是以B和C为边组成平行四边形的面积，矢积B×C的方向沿其法线，故而再与A点乘，相当于再乘上A在法线上的投影．亦即，这三重积的绝对值等于以A、B、C三矢量为棱组成的平行六面体的体积(见图B-11)，其正负号与三矢量的循环次序有关．由于计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关，点乘又是可交换的，所以A、B、C三矢量的轮换，以及和×的位置对调，都不影响此三重积的计算结果．唯一要注意的是三矢量的循环次序不能变，否则差一个负号．概括起来写成公式，有： A·(B×C)＝B·(C×A)＝C·(A×B)＝(A×B)·C＝(B×C)·A＝(C×A)·B＝-A·(C×B)＝- C·(B×A)＝－B·(A×C) ＝-(A×C)·B＝-(C×B)·A=-(B×A)·C，(B．18) 从解析表达式(B．17)来看(B．18)式的成立，就更显然了． 最后提请注意：在A、B、C三个矢量中有任意两个平行或反平行时，三重标积为0． （2）三重矢积A×(B×C) 这三重积是个矢量．矢积B×C与B、C组成的平面Ⅱ垂直，而A与它的矢积又回到Ⅱ平面内．故矢量A×(B×C)与B、C共面．(见图B-12)，前者是后面二者的线性组合：A×(B×C)＝a1B＋a2C；用矢量的解析表达式可以直接验证：a1＝A·C，a2＝－A·B，即存在下列恒等式：A×(B×C)=(A·C)B－(A·B)C，(B．19)；这是有关这三重积最重要的恒等式． 6．极矢量和轴矢量 左手在镜子中的象是右手，右手在镜子中的象是左手．左右手具有镜象对称．一般说来，所谓对称性，就是在某种操作下的不变性．与镜象对称相联系的是空间反射操作．在这种操作下，沿镜面法线方向的坐标z→-z，其它方向不变，于是左手坐标系变成了右手坐标系(见图B-13)． 物理学中有各种矢量，它们在空间反射操作下怎样变换？对于位矢r来说，这是清楚的：与镜面垂直的分量反向，平行分量不变．与r相联系的速度v、加速度a、乃至力f等矢量都应有相同的变换规律．但存在另一类矢量，它们在空间反射操作下具有不同的变换规律．按右手螺旋法则把角速度ω定义成矢量(见图2－50)，这定义的前提是采用右手坐标系．如图B－14所示，在空间反射操作下，ω与镜面垂直的分量不变，平行的分量却反向．和ω相似，角速度、角加速度、角动量、力矩等矢量，都具有这样的变换规律通常把在空间反射变换下服从前一类变换规律的矢量叫做极 矢量，后一类的叫做轴矢量．应指出，两个极矢量叉乘，得到的是轴矢量．实际上许多轴矢量都能写成两个极矢量叉乘的形式．例如一个质点的角动量J =Mr ×v ，力矩M ＝r ×f ，等等． 习 题 一、有三个矢量A =(1，0，2)、B ＝(1，1，1)、C =(2，2，-1)，试计算： （1）A · B ； （2）B ·A ； （3）B · C ； （4）C ·A ； （5）A ·(B ＋C )； （6）B ·(2A -C )； （7）A ×B ； （8）A ×(2B ＋C )；（9）A · (B ×C )；（10）(A B )C ； (11)(A ×B )×C ； （12）A ×(B ×C )． 二、证明下列矢量恒等式： （1）(A ×B )×C ＝(A · C )B -(B ·C )A ； （2）(A ×B )·(C × D )＝(A ·C )(B ·D )－(A ·D)(B ·C )． 三、有三个矢量a =(1，2，3)、b ＝(3，2，1)、c ＝(1，0，1)，试计算： （1）三个矢量的大小和方向余弦； （2）两两之间的夹角； （3）以三矢量为棱组成平行六面体的体积和各表面的面积． 四、试证明： (1)极矢量A 和B 的矢积A ×B 是轴矢量； (2)极矢量A 和轴矢量B 的矢积A ×B 是极矢量． 三 复数的运算 1．复数的表示法 复数 A 是一个二维数，它对应于复平面中的一个坐标为(,)x y 的点，或对应于复平面中的一个长度为A 、仰角为?的矢量(见图C －1)．与此相应地复数有下列两种表示法： , (. 1), (. 2) i A x yi C A Ae C ? ?=+??=??，式中1i =-，cos sin i e i ? ??=+（欧拉公式）； (C ．1)式是复数的直角坐标表示，对应点的横坐标x 为复数的实部， 记作： Re x A =，纵坐标y 为复数的虚部，记作： Im y A =． (C ．2)式是复数的极坐标表示，对应矢量的长度A 为复数的模或绝对值， 记作： A A =，仰角?为复数的辐角，记作： arg A ?=． 两种表示之间有如下换算关系：221, (. 3) tan , (. 4)A x y C y C x ?-?=+? ?=?? ；或反过来，有cos , (. 5)sin , (. 6)x A C y A C ??=??=?． 单位虚数1i =-有如下性质：21i =-，1i i =-，2i i e π =，21i e i π-=． 复数 i A x yi e ?=+=的共轭复数定义为i A x yi e ?-=-=，（C ．7） 所以 222AA A x y ==+，（C ．8）；即一对共轭复数的乘积等于模的平方． 两个复数 1 1111 i A x y i Ae ? =+=、 2 2222i A x y i A e ?=+=相等的原理为：实部相等且虚部相等即12x x =且12y y =； 或者为：模相等且辐角相等即12A A =且12??=． 2．复数的四则运算 （1）加减法： 1211221212()()()()A A x y i x y i x x y y i ±=+±+=±+±，(C ．9)；即实部、虚部分别加减． （2）乘法： 1 2 12 ()1 2 1 2 12 ()()i i i A A Ae A e A A e ????+?=?=，(C ．10)；即模相乘，辐角相加． 或者 12112212121121()()()()A A x y i x y i x x y y x y x y i ?=+?+=-++，(C ．11)． （3）除法： 1122 () 11122 2i i i A A e A e A A e A ????-==，(C ．12)；即模相除，辐角相减． 或者1111221212121212121212 222222 222222222222 ()()()()()()x y i x y i x y i x x y y y x x y i x x y y y x x y i x y i x y i x y i x y x y x y ++-++-+-===+++-+++，(C ．13) 倒数运算可以看作是除法的特例： 111 i i e A Ae A ??-==，(C ．14)； 或者 22 221 1 ()()x yi x y i x yi x yi x yi x y x y A -===-++-++，(C ．15)． 3．欧拉公式 现在介绍一下欧拉公式是如何得来的．从参考书中可以查到x e 、cos x 、sin x 的幂级数展开式： 234 246357 11!2!3!4!cos 12!4!6!sin 3!5!7!x x x x x e x x x x x x x x x ?=+++++??? ?? ?=-+-+????? ?=-+-+??? ?? ；在x e 的展开式中把x 换成ix ±，注意到2()1i ±=-，3 ()i i ±= ，4()1i ±=，???， 即可得到：23423 1(1)()1!3!4!2!3! ix x x x x x e i i x ±=±++???=-+???±-+??? ，即cos sin ix e x i x ±=+，(C ．16)． 这就是欧拉公式．下面给出几个常用的三角函数与复指数函数之间的变换公式． 从欧拉公式可以反解出：1 cos ()2 i i e e ???-=+，(C ．17)；1sin ()2i i e e i ???-=-，(C ．18) 由此立即得到：tan i i i i e e i e e ?? ???---=-+，(C ．19) 4．简诣振动的复数表示 简谐振动：0()cos()S t A t ω?=+，也可用一个复数 0 ()()i t S t Ae ω?+=的实部或虚部来表示． 上式右端又可写为 0 ()i i t i t Ae e A e ?ωω=，其中 0 i A Ae ?=称为复振幅，它集振幅A 和初相位0?于一身． 于是，简谐振动的复数表示可写为 ()i t S t A e ω=，(C ．20)；若 ()S t 代表位移的话，则速度和加速度为： dS v i S dt ω== ， 2222()d S a i S S dt ωω===-，亦即，对t 求导数相当于乘上一个因子i ω，运算起来十分方便． 有时候需要计算两个同频简谐量乘积在一个周期里的平均值，如平均功率，这也可以用复数来运算． 设两个同频简谐量为111222 ()cos() ()cos()a t A t a t A t ωω=+Φ??=+Φ?，它们的乘积在一个周期内的平均值等于： 22121212121212120001()()cos()(cos )[cos()(cos2)44T A A A A a a a t a t dt t t dt t dt T ππωωωωωωωππ==+Φ+Φ=Φ-Φ++Φ+Φ??? 1212cos()2 A A =Φ-Φ 若用相应的复数 12()11 () 22()()i t i t a t A e a t A e ωω+Φ+Φ?=??=??来计算的话，下列公式给出同样的结果： 1212()()()12121212121Re(*)Re[]Re[]cos()2222 i t i t i A A A A A A a a e e e ωω+Φ-+ΦΦ-Φ= ==Φ-Φ 所以今后将用下式来计算两简谐量乘积的平均值： 12121Re(*)2 a a a a =?，（C ．21） 习 题 一、计算下列复数的模和辐角： （1）(1＋2i)＋(2＋3i)； （2）（3+i ）-[1+(1+3)i] (3)(2＋3i)-(3＋4i)； (4)(－2＋7i)＋(－1－2i)． 二、计算下列复数的实部和虚部： （1）(13)(1)i i --?+； （2）2(13)i --； （3）21i i --； （4）133i i -+． 三、用复数求两个简谐量： ()cos()a a t A t ω?=+和()cos()b b t A t ω?=+乘积的平均值0 1()()()()T a t b t a t b t dt T =?2()T πω=： A ?a B ?b 平均值 (1) 2 π/3 1 2π/3 (2) 6 π/4 2 0 (3) 3 π/3 1 -2π/3 (4) 0.2 4π/5 7 6π/5 物理竞赛中的数学知识 一、重要函数 1．指数函数 2．三角函数 1 -1 y=sinx -3π 2 -5π 2 -7π 2 7π 2 5π 2 3π 2 π 2 - π 2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x 1 -1 y=cosx -3π 2 -5π 2 -7π 2 7π 2 5π 2 3π 2 π 2 - π 2 -4π -3π -2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π 2 π π 2 - 3π 2 -π- π 2 o y x 3．反三角函数 反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。 二、数列、极限 1．数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。 数列的一般形式可以写成 a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），… 简记为｛an ｝， 通项公式：数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2． 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。通项公式a n =a 1+(n-1)d ，前n 项和11(1) 22 n n a a n n S n na d +-= =+ 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同 一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。通项公式a n =a 1q (n-1)，前n 项和11 (1)(1)11n n n a a q a q S q q q --= =≠-- 所有项和1 (1)1n a S q q =<- 3． 求和符号 高中物理竞赛模拟试卷（一） 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得 4 分，选不全的得 2 分，有错选或不答的得 0 分. 1.置于水平面的支架上吊着一只装满细砂的漏斗，让漏斗左、右摆动，于是桌面上漏下许多砂子，经过一段时间形成一砂堆，砂堆的纵剖面最接近下图Ⅰ-1中的哪一种形状 2.如图Ⅰ-2所示，甲乙两物体在同一光滑水平轨道上相向运动，乙上连有一段轻弹簧，甲乙相互作用过程中无机械能损失，下列说法正确的有 A.若甲的初速度比乙大，则甲的速度后减到 0 B.若甲的初动量比乙大，则甲的速度后减到0 C.若甲的初动能比乙大，则甲的速度后减到0 D.若甲的质量比乙大，则甲的速度后减到0 3.特技演员从高处跳下，要求落地时必须脚先着地，为尽量保证安全，他落地时最好是采用哪种方法 A.让脚尖先着地，且着地瞬间同时下蹲 B.让整个脚板着地，且着地瞬间同时下蹲 C.让整个脚板着地，且着地瞬间不下蹲 D.让脚跟先着地，且着地瞬间同时下蹲 4.动物园的水平地面上放着一只质量为M 的笼子，笼内有一只质量为 m 的猴子.当猴以某一加速度沿竖直柱子加速向上爬时，笼子对地面的压力为F 1；当猴以同样大小的加速度沿竖直柱子加速下滑时，笼子对地面的压力为 F 2（如图Ⅰ-3），关于 F 1 和 F 2 的大小，下列判断中正确的是 A.F 1 = F 2＞(M + m )g B.F 1＞(M + m )g ,F 2＜(M + m )g C.F 1＞F 2＞(M + m )g D.F 1＜(M + m )g ，F 2＞(M + m )g 5.下列说法中正确的是 A.布朗运动与分子的运动无关 B.分子力做正功时，分子间距离一定减小 C.在环绕地球运行的空间实验室里不能观察热传递的对流现象 D.通过热传递可以使热转变为功 6.如图Ⅰ-4所示，虚线a 、b 、c 代表电场中的三个等势面，相邻等势面之 图Ⅰ -3 图Ⅰ -4 图Ⅰ-2 全国第31届中学生物理竞赛预赛试题 一、选择题．本题共5小题，每小题6分，在每小题给出的4个选 项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于 A．αB．α1/3 C．α3D．3α 2．按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为lcm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度．当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如图所示，当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度．下列说法中错误的是 A．密度秤的零点刻度在Q点 B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边 C．密度秤的刻度都在Q点的右侧 D．密度秤的刻度都在Q点的左侧 3．一列简谐横波在均匀的介质中沿z轴正向传播，两质点P1和P2的平衡位置在x轴上，它们相距60cm，当P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为24 m/s，则该波的频率可能为 A．50Hz B．60Hz C．400Hz D．410Hz 4．电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式，电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用钢、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环；当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3．若环的重力可忽略，下列说法正确的是 A．F1>F2>F3B．F2>F3 >F1 C．F3 >F2> F1D．F1=F2=F3 5．质量为m A的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰．假设B球的质量m B可选取为不同的值，则 A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大 B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大 物理知识整理 知识点睛 一．惯性力 先思考一个问题:设有一质量为m 的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？ 地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律； 车上的观察者觉得：小球以－a s 相对于小车作加速运动； 我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有 -a s 的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为 - ma s ；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用, 物理上把这个力命名为惯性力。 惯性力的理解 ： (1) 惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。 (2)惯性力的大小等于研究对象的质量m 与非惯性系的加速度a s 的乘积，而方向与 a s 相反，即 s a m f -=* （3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空间加速度为a s ，物体受相对此参考系 加速度为a',牛顿定律可以写成：a m f F '=+* 其中F 为物理受的“真实的力”，f*为惯性力，是个“假力”。 （4）如果研究对象是刚体，则惯性力等效作用点在质心处， 说明：关于真假力，绝对空间之类的概念很诡异，这样说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。所以质疑和争论的人比较多。不过笔者建议初学的时候不必较真，要能比较深刻的认识这个问题，既需要很广的物理知识面，也需要很强的物理思维能力。在这个问题的思考中培养出爱因斯坦2.0版本的概率很低（因为现有的迷惑都被1.0版本解决了），在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念，空间的概念清晰起来，脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。 极其不建议想不明白这问题的同学Baidu 这个问题，网上的讨论文章倒是极其多，不过基本都是民哲们的梦呓，很容易对不懂的人产生误导。 二．惯性力的具体表现（选讲） 1.作直线加速运动的非惯性系中的惯性力 这时惯性力仅与牵连运动有关，即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具有与恒定重力相类似的特性，即与惯性质量正比。记为： s a m f -=* 2.做圆周运动的非惯性系中的惯性力 这时候的惯性力可分为离心力以及科里奥利力： 1）离心力为背向圆心的一个力： r m f 2ω=* 《全国中学生物理竞赛大纲2020版》 (2020年4月修订，2020年开始实行) 2011年对《全国中学生物理竞赛内容提要》进行了修订，修订稿经全国中学生物理竞赛委员会第30次全体会议通过，并决定从2020年开始实行。修订后的“内容提要”中，凡用※号标出的内容，仅限于复赛和决赛。 力学 1.运动学 参考系 坐标系直角坐标系 ※平面极坐标※自然坐标系 矢量和标量 质点运动的位移和路程速度加速度 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成与分解抛体运动圆周运动 圆周运动中的切向加速度和法向加速度 曲率半径角速度和※角加速度 相对运动伽里略速度变换 2．动力学 重力弹性力摩擦力惯性参考系 牛顿第一、二、三运动定律胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不要求导出) ※非惯性参考系※平动加速参考系中的惯性力 ※匀速转动参考系惯性离心力、视重 ☆科里奥利力 3．物体的平衡 共点力作用下物体的平衡 力矩刚体的平衡条件 ☆虚功原理 4．动量 冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律※质心 ※质心运动定理 ※质心参考系 反冲运动 ※变质量体系的运动 5．机械能 功和功率 动能和动能定理※质心动能定理 重力势能引力势能 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(不要求导出)弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律 碰撞 弹性碰撞与非弹性碰撞恢复系数 6．※角动量 冲量矩角动量 质点和质点组的角动量定理和转动定理 角动量守恒定律 7．有心运动 在万有引力和库仑力作用下物体的运动 开普勒定律 行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 8．※刚体 刚体的平动刚体的定轴转动 绕轴的转动惯量 平行轴定理正交轴定理 刚体定轴转动的角动量定理刚体的平面平行运动9．流体力学 静止流体中的压强 浮力 ☆连续性方程☆伯努利方程 10．振动 简谐振动振幅频率和周期相位 振动的图像 参考圆简谐振动的速度 （线性）恢复力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成 阻尼振动受迫振动和共振(定性了解) 11．波动 横波和纵波 波长频率和波速的关系 波的图像 ※平面简谐波的表示式 波的干涉※驻波波的衍射(定性) 声波 声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声 24届 二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角， a的大小和方向已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度 c （用与CD杆之间的夹角表示） 27复 28复 二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的 静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触， 杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均 为m，长度均为l。 1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆 与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的 方程式表示）。 2、若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°。求系统平衡时 α的取值范围（用数值计算求出）。 26复 二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O 至角A 的连线 OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令c OA OP =，求桌面 对桌腿1的压力F 1。 25复 三、（22分）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数0.70μ=，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角θ（小于 90 ）来表示。不计空气及重力的影响。 27复 24届 一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹 A 普通物理的数学基础 选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。 §1．函数及其图形 本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。 1．1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x和y，如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y的对应值，我们就称y是x的函数，并记作 y=f(x），（A．1） 其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个函数记号，它表示y和x数值的对应关系。有时把y=f（x）也记作y=y（x）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号， 如 （x）、ψ（x）等等。① 常见的函数可以用公式来表达，例如 e x等等。 在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面 切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a、b、c等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量。 在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量。 当y=f（x）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值x0相对应的函数值f（x0）。例如： （1）若y=f（x）=3+2x，则当x=-2时y=f（-2）=3+2×（-2）=-1． 一般地说，当x=x0时，y=f（x0）=3+2x0． 1．2函数的图形 在解析几何学和物理学中经常用平面 上的曲线来表示两个变量之间的函数关系， 这种方法对于我们直观地了解一个函数的 特征是很有帮助的。作图的办法是先在平面 上取一直角坐标系，横轴代表自变量x，纵 轴代表因变量（函数值）y=f（x）．这样一 来，把坐标为（x，y）且满足函数关系y=f （x）的那些点连接起来的轨迹就构成一条 曲线，它描绘出函数的面貌。图A-1便是上 面举的第一个例子y=f（x）=3+2x的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线。图A-2是第二个例子 各点连接成双曲线的一支。 1．3物理学中函数的实例 反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。下面我们举几个例子。 （1）匀速直线运动公式 s=s0＋vt，（A．2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数。因此我们记作s=s（t）＝s0＋vt，（A．3） 式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。 最近十年初中应用物理知识竞赛题分类解析专题12--简单机械 一、选择题 1. （2013全国初中应用物理知识竞赛预赛题）某次刮大风时把一棵大树吹倒了，需要两个工人把它扶起，工人们想到了如图l2所示的四种方案，每个人所需拉力最小的方案是 ( ) 1.答案：B 解析：根据滑轮知识，AB图绳中拉力为二人拉力之和，且拉树的力为两根绳中的拉力。根据杠杆知识，B图在动力臂大，所以每个人所需拉力最小的方案是B。 2.(2010全国初中应用物理知识竞赛题).图5是环卫工人用的一种垃圾夹的结构示意图。拉绳的一端固定在手把上，另一端穿过空心管杆与两夹爪的一端相连。当用力捏手把时，夹爪在拉绳的作用下可夹持物体，同时弹簧被压缩；当松开手把时， 夹爪在弹簧的作用下恢复原状。在使用过程中，手 把和夹爪分别是 ( ) A.省力杠杆，费力杠杆 B.费力杠杆，省力杠杆 C省力杠杆，省力杠杆 D.费力杠杆，费力杠杆 . 答案：A解析：手把动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，夹爪动力臂小于阻力臂，是费力杠杆。 3.(2010全国初中应用物理知识竞赛题).体操、投掷、攀岩等体育运动都不能缺少的“镁粉”，它的学名是碳酸镁。体操运动员在上杠前都要在手上涂擦“镁粉”，其目的是 ( ) A.仅仅是为了利用“镁粉”，吸汗的作用，增加手和器械表面的摩擦而防止打滑 B.仅仅是为了利用手握着器械并急剧转动时“镁粉”，能起到衬垫作用，相当于在中间添加了一层“小球”做“滚动摩擦” C仅仅是为了利用“镁粉”，填平手掌的褶皱和纹路，使手掌与器械的接触面增大，将握力变得更加实在和均匀 D.上述各种功能都具有 .答案：D解析：体操运动员在上杠前在手上涂擦“镁粉”的目的是为了利用“镁粉”吸汗的作用，增加手和器械表面的摩擦而防止打滑；利用手握着器械并急剧转动时“镁粉”能起到衬垫作用，相当于在中间添加了一层“小球”做“滚动摩擦”；利用“镁粉”填平手掌的褶皱和纹路，使手掌与器械的接触面增大，将握力变得更加实在和均匀，所以选项D正确。 4. (2011上海初中物理知识竞赛题)某人在车后用80牛的水平力推车，使车在平直公路上匀速前进，突然发现车辆前方出现情况，他马上改用120的水平拉力使车减速，在减速的过程中，车受到的合力大小为( ) A．40牛 B．80牛 C．120牛 D．200牛 3. 答案：D解析：用80牛的水平力推车，使车在平直公路上匀速前进，说明车运动受到的阻力为80N。改用120的水平拉力使车减速，在减速的过程中，车受到人向后拉力120N，阻力80N，所以车受到的合力大小为120N+80N=200N. ，选项D正确。 5. （2011上海初中物理知识竞赛题）分别用铁和铝做成两个外部直径和高度 相等，但内径不等的圆柱形容器，铁杯装满质量为m1的水后总重为G1；铝杯装 满质量为m2的水后总重为G2。下列关系不可能正确的是（） A．G1 2014第31届全国中学生物理竞赛预赛试题及参考答案与评分标准 一、选择题．本题共5小题，每小题6分，在每小题给出的4个选 项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于 A．αB．α1/3 C．α3D．3α 2．按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为lcm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度．当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如图所示，当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度．下列说法中错误的是 A．密度秤的零点刻度在Q点 B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边 C．密度秤的刻度都在Q点的右侧 D．密度秤的刻度都在Q点的左侧 3．一列简谐横波在均匀的介质中沿z轴正向传播，两质点P1和P2的平衡位置在x轴上，它们相距60cm，当P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为24 m/s，则该波的频率可能为 A．50Hz B．60Hz C．400Hz D．410Hz 4．电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式，电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用钢、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环；当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3．若环的重力可忽略，下列说法正确的是 A．F1>F2>F3B．F2>F3 >F1 C．F3 >F2> F1D．F1=F2=F3 5．质量为m A的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰．假设B球的质量m B可选取为不同的值，则 A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大 B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大 C．在保持m B>m A的条件下，m B越小，碰后B球的速度越大 物理竞赛中的数学知识 一、重要函数 1． 指数函数 2． 三角函数 3． 反三角函数 反正弦Arcsin x ，反余弦Arccos x ，反正切Arctan x ，反余切Arccot x 这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。 二、数列、极限 1． 数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。 数列的一般形式可以写成 a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），… 简记为｛an ｝， 通项公式：数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2． 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。通项公式a n =a 1+(n-1)d ，前n 项和11(1) 22 n n a a n n S n na d +-= =+ 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。通项公式a n =a 1q (n-1) ，前n 项和11(1) (1)11n n n a a q a q S q q q --= =≠-- 所有项和1 (1)1n a S q q =<- 3． 求和符号 4． 数列的极限： 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作A a n n =∞ →lim 否则称数列{}n a 发散或n n a ∞ →lim 不存在. 三、函数的极限：在自变量x 的某变化过程中，对应的函数值f (x )无限接近于常数A ，则称常数A 是函数f (x )当自变量x 在该变化过程中的极限。 设f (x )在x>a (a >0)有定义,对任意ε>0,总存在X >0,当x>X 时，恒有| f (x )-A |<ε，则称常数A 是函数f (x )当x →+∞时的极限。记为+∞ →x lim f (x )=A ，或f (x ) → A (x →+∞)。 运算法则 lim x x →[f (x )± g (x )]=0 lim x x →f (x ) ±0 lim x x →g (x ) lim x x →[f (x ) ? g (x )]=0 lim x x →f (x ) ?0 lim x x →g (x ) ) (lim )(lim )()(lim 0 0x g x f x g x f x x x x x x →→→=，其中0lim x x →g (x )≠ 0. 四、无穷小量与无穷大量 1．若0)(lim 0 =→x f x x ，则称)(x f 是0x x →时的无穷小量。 四、（20分）某些非电磁量的测量是可以通过一些相应的装 置转化为电磁量来测量的。一平板电容器的两个极扳竖直放 置在光滑的水平平台上，极板的面积为S ，极板间的距离为 d 。极板1固定不动，与周围绝缘；极板2接地，且可在水 平平台上滑动并始终与极板1保持平行。极板2的两个侧边 与劲度系数为k 、自然长度为L 的两个完全相同的弹簧相连， 两弹簧的另一端固定．图预17-4-1是这一装置的俯视图．先将电容器充电至电压U 后即与电源断开，再在极板2的右侧的整个表面上施以均匀的向左的待测压强p ；使两极板之间的距离发生微小的变化，如图预17-4-2所示。测得此时电容器的电压改变量为U ?。设作用在电容器极板2上的静电作用力不致引起弹簧的可测量到的形变，试求待测压强p 。 五、（20分）如图预17-5-1所示，在正方形导线回路所围的区域 1234A A A A 内分布有方向垂直于回路平面向里的匀强磁场，磁感应强 度B 随时间以恒定的变化率增大，回路中的感应电流为 1.0mA I =．已知12A A 、34A A 两边的电阻皆为零；41A A 边的电阻 1 3.0k R =Ω，23A A 边的电阻27.0k R =Ω。 1．试求12A A 两点间的电压12U 、23A A 两点间的电压23U 、34 A A 两点间的电压34U 、41A A 两点间的电压41U 。 2．若一内阻可视为无限大的电压表V 位于正方形导线回路所在的平面内，其正负端与连线 位置分别如图预17-5-2、图预17-5-3和图预17-5-4所示，求三种情况下电压表的读数1U 、 2U 、3U 。 六、（20分）绝热容器A 经一阀门与另一容积比A 的容积大得很多的绝热容器B 相连。开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30℃，B 中气体的压强为A 中的2倍。现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。问此时容器A 中气体的温度为多少？假设在打开到关闭 高中物理竞赛内容标准 一、理论基础 力学 物理必修1 本模块是高中物理的第一模块。在本模块中学生，学生将进一步学习物理学的内容和研究方法，了解物理学的思想和研究方法，了解物理学在技术上的应用和物理学对社会的影响。 本模块的概念和规律是进一步学习物理的基础，有关实验在高中物理中具有基础性和典型性。要通过这些实验学习基本的操作技能，体验实验在物理学中的地位及实践人类在认识世界中的作用。 本模块划分两个四主题： ·运动的描述 ·相互作用与运动规律 ·抛体运动与圆周运动 ·经典力学的成就与局限性 （一）运动的描述 1．内容标准 （1）通过史实，初步了解近代实验科学产生的背景，认识实验对物理学发展的推动作用。 例1 了解亚里士多德、迪卡尔等关于力与运动的主要观点与研究方法。 例2 了解伽利略的实验研究工作，认识伽利略有关实验的科学思想和方法。 （2）通过对质点的认识，了解物理学中物理模型特点，体会物理模型在探索自然规律中的作用。 例3 在日常生活中，物体在哪些情况下可以看做质点？ （3）经历匀变速直线运动的实验过程，理解参考糸、位移、时间、时刻、路程、速度、相对速度、加速度的概念及物理量的标矢性，掌握匀变速直线运动的规律，体会实验在发现自然运动规律中作用。 例4 用实验方法和图像方法研究物体的运动。 例5 通过实例描述物体的变速运动，运动的矢量性。 例6 通过史实及实验研究自由落体运动。 （4）能用公式和图像描述匀变速直线运动，掌握微元法，积分法等数学思想在研究物理问题中的重要性。 （5）对过位移、速度、加速度的学习，理解矢量与标量在物理学中重要性。掌握矢量的合成和分解。 例7 通过实例研究物体竖直上抛运动，体会物体在共线条件下的矢量合成与分解。 2．活动建议 （1）通过研究汽车的运行来分析交通事故的原因。 （2）通过实验研究自由落体运动的影响因素。 （3）通过查阅物理学史，了解并讨论伽利略对物体运动的研究在科学发展和人类进步上的重大意义。 （二）相互作用与运动规律 1．内容标准 （1）知道常见的形变，通过实验了解物体的弹性，知道胡克定律。 例1 调查在日常生活和生产中所用弹簧的形状及使用目的。 例2 制作弹簧秤并用胡克定律解释。 （2）通过实验认识滑动摩擦、静摩擦的规律，理解静摩擦力、滑动摩擦力、摩擦角的概念。能用动摩擦因数计算滑动摩擦力。 例3 设计实验测量摩擦力。体会摩擦力与摩擦角的实际意义。 （3）通过实验，理解力的合成与分解，掌握共点的平衡条件，物体平衡的种类。用力的合成与分解分析日常生活中的问题。 例4 通过实验，研究两个共点力在不同夹角时与合力的关系。 例5 调查日常生活和生产中平衡的类型，分析平衡原理。 全国中学生物理竞赛真题汇编---光学 1.（19Y5）五、（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角α为60?，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f = 的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上 距主光轴下方14.3cm y =处放一单色点光源S ，已知 其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱 镜的折射率． 2.（21Y6）六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O 下方玻璃中的C 点，球面的半径R ＝1.50cm ，O 到杯口平面的距离为8.0cm 。在杯脚底中心处P 点紧贴一张画片，P 点距O 点6.3cm 。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n 1＝1.56，酒的折射率n 2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。 3．（22Y3）三、(18分)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为尺的黑球，距球心为2R 处有一点光源S ，球心p 和光源s.皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r 最大为多少? 4．（16F2）（25分）两个焦距分别是1f 和2f 的薄透镜1L 和2L ，相距为d ，被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。 5．（17F2） 如图1所示，在真空中有一个折射率为ｎ（ｎ＞ｎ0，ｎ0为真空的折射率），半径为ｒ的质地均匀的小球，频率为ν的细激光束在真空中沿直线ＢＣ传播，直线BC 与小球球心O 的距离为ｌ（ｌ＜ｒ），光束于小球体表面的点Ｃ经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D 又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小． 图1 全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编 力学 第16届预赛题. 1.（15分）一质量为M 的平顶小车，以速度0v 沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为m 的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为μ。 1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？ 2. 若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？ 参考解答 1.物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。令v 表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即 0()Mv m M v =+（1） 从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即 2112 mv mg s μ=（2） 其中1s 为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即 22021122 Mv mv mgs μ-=-（3） 其中2s 为小车移动的距离。用l 表示车顶的最小长度，则 21l s s =-（4） 由以上四式，可解得 202() Mv l g m M μ=+（5） 即车顶的长度至少应为202() Mv l g m M μ=+。 2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即 22011()22 W m M v Mv =+-（6） 由（1）、（6）式可得 202() mMv W m M =-+（7） 2.（20分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为1ρ和2ρ（12ρρ<）。现让一长为L 、密度为121()2 ρρ+的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两 序言 物理集训队最后一天，宋老师说，“人过留名，雁过留声”，我学了这么多年的竞赛，在心态，学习，考试等方面都有一些心得，要是消逝在记忆之中，未免有些遗憾。所以愿意整理出这样一份心得体会，全都是肺腑之言，希望能对广大竞赛同胞们有所帮助。 那些对竞赛有成见的人就不要喷了。认为我讲的不对的（尤其是各位学长），欢迎在“评论”里面留下自己的看法，给大家更多的帮助。可能有一些措辞失当，还请见谅。 下面讲的会比较多，而且会比较散，有些部分大家可以自行跳过。 〇学习成就大事记（还是简单说一下吧，大家给点面子不要喷） 小学五年级仁华一班一号进入一流奥数圈子 初一数学初联一等 初三数学高联一等 高二数学进北京队，CMO满分金牌，集训队前十 高二物理高联一等 高三数学物理联赛均以第一名进队，随后CMO金牌，CPhO银牌（涉险过关，太幸运了）高三物理进入IPhO国家队 出国方面TOEFL110+，SAT2300+ 课内成绩高中不出年级前十，高二CMO前不出前三 一明心见性，直指本心 是亦不可以已乎？此之谓失其本心。 ——《孟子·告子上》 细细数来，初步接触竞赛，数学是小学三年级进入华校，物理是初二；而进入MO和PhO，那都是高中的事了。 很多人都会有疑问：学这么多年的竞赛，到底是为什么？ 实话实说，小学的时候学习数学竞赛，说的好听点，是出于好胜心和自尊心；说的实在点，就是好面子，听见别人夸奖心里高兴，自得。当然也有“兴趣”。注意，兴趣和自得之心是完全可以一致的。 但是到了中学，尤其是进入高中以后，上述心态固然存在（所谓本性难移是也），但更多的则是真正有求知欲，并且能在数竞中发现乐趣。我记的特别清楚的一次是去年的暑假，在上海旁听国家队培训的时候，有一个数论题。有两个参数m和k，让你证一个结论。我用了一个小时，一直对着m“使劲”，毫无斩获；后来灵机一动，对着k“使劲”，豁然而解。（好吧，没有原题就跟看笑话似的）当时就特别特别高兴，就有一种“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”的感觉。我觉得这就是数学竞赛中的乐趣。 当然了，我学物理竞赛也经历了这样的过程，到了高二的暑假，才渐渐体会到物理的乐趣。 §2. 4、电路化简 2．4．1、 等效电源定理 实际的直流电源 可以看作电动势为 ε，内阻为零的恒压 源与内阻r 的串联， 如图2-4-1所示，这部分电路被称为电压源。 不论外电阻R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源ε、r 对外电阻R 提供电流I 为 r R r r r R I +? =+=ε ε 其中r /ε 为电源短路电流0I ，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并 联的电流源，如图2-4-2所示。 实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。 等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内 阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。 如图2-4-3所示为两端有源网络A 与电阻R 的串联，网络A 可视为一电压源， 图2-4-1 图 2-4-2 图2-4-3 图2-4-4 等效电源电动势0ε等于a 、b 两点开路时端电压，等效内阻0r 等于网络中除去电动势的内阻，如图2-4-4所示。 等效电流源定理 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的0I 等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。 例4、如图2-4-5所示的电路中， Ω=Ω= Ω=Ω=Ω===0.194 ,5.43,0.101 ,0.12 ,5.01,0.12 ,0.31R R R R r r V V εε （1）试用等效电压源定理计算从电源()22r 、ε正极流出的电流2I ；（2）试用等效电流源定理计算从结点B 流向节点A 的电流1I 。 分析： 根据题意，在求通过2ε电源的电流时，可将ABCDE 部分电路等效为一个电压源，求解通过1R 的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。 解： （1）设ABCDE 等效电压源电动势0ε，内阻0r ，如图2-4-6所示，由等效电压源定理，应有 V R R R r R 5.11321110=+++=εε ()Ω=+++++= 53 21132110R R R r R R r R r 电源00r 、ε与电源22r 、ε串联，故 A r R r I 02.02 400 22-=+++= εε A 2 图2-4-5 图2-4-6 全国高中物理竞赛历年试题与详解答案汇编 ———广东省鹤山市纪元中学 2014年5月 全国中学生物理竞赛提要 编者按：按照中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会第九次全体会议的建议，由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会常务委员会根据《全国中学生物理竞赛章程》中关于命题原则的规定，结合我国目前中学生的实际情况，制定了《全国中学生物理竞赛内容提要》，作为今后物理竞赛预赛和决赛命题的依据，它包括理论基础、实验基础、其他方面等部分。其中理论基础的绝大部分内容和国家教委制订的（全日制中学物理教学大纲》中的附录，即 1983年教育部发布的《高中物理教学纲要（草案）》的内容相同。主要差别有两点：一是少数地方做了几点增补，二是去掉了教学纲要中的说明部分。此外，在编排的次序上做了一些变动，内容表述上做了一些简化。1991年2月20日经全国中学生物理竞赛委员会常务委员会扩大会议讨论通过并开始试行。1991年9月11日在南宁由全国中学生物理竞赛委员会第10次全体会议正式通过，开始实施。 一、理论基础 力学 1、运动学 参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。相对速度。 矢量和标量。矢量的合成和分解。 匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。 刚体的平动和绕定轴的转动。 2、牛顿运动定律 力学中常见的几种力 牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。 摩擦力。 弹性力。胡克定律。 万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。 3、物体的平衡 共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。 物体平衡的种类。 4、动量 冲量。动量。动量定理。 动量守恒定律。 反冲运动及火箭。 5、机械能 功和功率。动能和动能定理。 重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。 功能原理。机械能守恒定律。 碰撞。 6、流体静力学 静止流体中的压强。 浮力。 7、振动 简揩振动。振幅。频率和周期。位相。 29届全国中学生物理竞赛决赛试题 panxinw 整理 一、(15分) 如图，竖直的光滑墙面上有A 和B 两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l ，有一原长为l 、劲度系数为k 的轻橡皮筋，一端由A 钉固定，另一端系有一质量为m=g kl 4的小 球，其中g 为重力加速度．钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰 撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连．现将小球水平向右拉伸到与A 钉 距离为2l 的C 点，B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触．初始时刻小球获得大小为20gl v 、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿 竖直方向的速度为零的时刻． 二、(20分) 如图所示，三个质量均为m的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点A、B和C处．AD ⊥BC，且AD=BD=CD=a，小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架 悬空．桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ，在AD杆上距A点a／4 1．试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时， 三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力； 2．如果在AD杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕 该转轴转动．问转轴在AD杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出 该推力的大小． 三、(20分) 不光滑水平地面上有一质量为m的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为μ．柱体正视图如图所示，正视图下部为一高度为h的矩形，上部为一半径为R的半圆形．柱体上表面静置一质量同为m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h／2，链条和柱体表面始终光滑接触．初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑．试求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系时， 1．柱体能在地面上滑动； 2．柱体能向一侧倾倒； 3．在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生．物理竞赛中数学习知识
高中物理竞赛试题及答案
全国第31届高中物理竞赛初赛试题
高中物理竞赛知识系统整理
《全国中学生物理竞赛大纲》2020版
全国高中物理竞赛-历年赛题分析电学+力学
(完整word版)高中物理竞赛的数学基础
历届全国初中物理竞赛(简单机械)
全国高中物理竞赛初赛试题及标准答案
物理竞赛中数学知识
全国高中物理竞赛难题
高中物理竞赛内容标准
全国中学生物理竞赛真题汇编(光学)
【名师推荐】全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编
胥晓宇-数学物理竞赛心得体会
高中物理竞赛基础：电路化简
全国高中物理竞赛历年试题与详解答案汇编
第29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案(word版)