数学二次函数的专项培优练习题含详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；
（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；
（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；
(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；
(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
【详解】
（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，
令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）．
（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．
把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，
得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，
∴55
∴Q55
（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．
①当MK=OA ，NK=OC=5时，四边形ACNM 是平行四边形． ∵此时点M 的横坐标为1， ∴y=8，
∴M （1，8），N （2，13），
②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形， 此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC 可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.
2．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．
【答案】（1）2
23y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；
（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3?? ???或21,3??- ???
. 【解析】 【分析】
()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐
标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，
利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=
-+-，
()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分
AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】
解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2
y x bx c =-++中，
得：{
10
3b c c --+==，解得：{
2
3b c ==，
∴抛物线的解析式为223y x x =-++．
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．
当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，
∴点B 的坐标为()3,0．
抛物线的解析式为2
2
23(1)4y x x x =-++=--+，
∴抛物线的对称轴为直线1x =．
设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{
30
3k d d +==，解得：{
1
3k d =-=，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+．
当1x =时，32y x =-+=，
∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．
()3设点M 的坐标为()1,m ，
则22(10)(3)CM m =-+-，()2
2
[01](30)10AC =--+-=
()22[11](0)AM m =--+-．
分三种情况考虑：
①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，
解得：11m =，22m =，
∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；
②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，
解得：83
m =
， ∴点M 的坐标为81,3??
???
；
③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，
解得：23
m =-
， ∴点M 的坐标为21,.3?
?- ??
?
综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3?? ???或21,.3
?
?- ??
?
【点睛】
本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．
3．已知点A （﹣1，2）、B （3，6）在抛物线y=ax 2+bx 上 (1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点F 的坐标为（0，m ）（m ＞2），直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ．设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH 、AE ，求证：FH ∥AE ； (3)如图2，直线AB 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点．点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为每秒
个单位长度；同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速
度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，
QM=2PM，直接写出t的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．
【解析】
【分析】
（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；
（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；
（3）具体见详解.
【详解】
．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．
（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，
将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，
∴k=m﹣2，
∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．
联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得：或，
∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．
∵GH⊥x轴，
∴点H的坐标为（m，0）．
∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），
∴点E的坐标为（1，0）．
过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．
∵点A（﹣1，2），
∴A′（﹣1，0），
∴AE=2，AA′=2．
∴ =1， = =1，
∴= ，
∵∠AA′E=∠FOH，
∴△AA′E∽△FOH，
∴∠AEA′=∠FHO，
∴FH∥AE．
（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，
将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．
当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，
∵QM=2PM，
∴ =，
∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，
∴点M的坐标为（t﹣2， t）．
又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，
∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），
解得：t=；
当点M在线段QP的延长线上时，
同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），
∵点M在抛物线y=x2﹣x上，
∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），
解得：t=．
综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．
【点睛】
本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：
2
y mx2mx3m
=--（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S △PBC 最大值为2716
（3）2
m 2
=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】
（1）在2
y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】
解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，
∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （
，0）、B （3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
把C （0，3
2-）代入可得，12
a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213
y x x 22
=--．
设P （p ，
213
p p 22
--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =2
3
327p 4
2
16
--+（）． ∵3a 4=-
<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716
． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m 2=-
,22
m 2
=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2
m =或1m =-时，△BDM 为直角三角形．
5．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；
（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P
为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【答案】（1）2
23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；
（3）2213
(03)22
13(03)2
2t t t S t t t t ?-+??=??-??＜＜＜或＞
【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2
23
y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{
3b c c -+==-，∴2
{3
b c =-=-，∴抛物线解析式为
223y x x =--；
（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），
∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；
（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为
t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．
①当点P 在点M 上方时，即0
＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，
∴S=
12
PM×QF=21(3)2t t -+=213
22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t
＞3时，PM=2
23t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12
（23t t -）=213
22t t -．
综上所述，S=2213
(03)22
{13 (03)22
t t t t t t t 或-+<<-．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
6．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，
2）；②P （﹣32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2
）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于
点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{3
1
2a b c c b
a
++==-=-，解得：1
{23a b c =-=-=，∴二次函数的
解析式为2
23y x x =--+=2
(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2
230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作
PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =
12OB?OC+12AD?PD+12
(PD+OC)?OD=111
31+(3)(3)()222x y y x ???+++-=
333222
x y -+ =
2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，2
23y x x =--+=154，此时P
（32
-
，15
4）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
7．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．
【解析】
试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得
有最小值1，即可求得结果；
②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．
试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即
，∴DE=4﹣2t，
∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1
时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；
②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，
=，=，
当△EFP为直角三角形时，
①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，
②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，
③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．
考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C
（0，﹣4
3
），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足
tan∠OAD=3
4
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q 从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=21433x x +-；（2）①存在t=10047或t=3534
，使得△ADC 与△PQA 相似；②当t=13
9
时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. 【解析】
分析：（1）应用待定系数法求解析式
（2）①分别用t 表示△ADC 、△PQA 各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t 值； ②分别用t 表示△APQ 与△CAQ 的面积之和，讨论最大值． 详解：（1）∵OA=1，OB=4， ∴A （1，0），B （﹣4，0），
设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x ﹣1）， ∵点C （0，﹣4
3
）在抛物线上， ∴﹣
4
=4(1)3a ??-， 解得a=
13
. ∴抛物线的解析式为y=2114(4)(1)3
33
x x x x +-=+-. （2）存在t ，使得△ADC 与△PQA 相似．
理由：①在Rt △AOC 中，OA=1，OC=43
， 则tan ∠ACO=3
4
OA OC =， ∵tan ∠OAD=
34
， ∴∠OAD=∠ACO ， ∵直线l 的解析式为y=
3
(1)4
x -， ∴D （0，﹣
3
4）， ∵点C （0，﹣4
3
），
∴CD=4373412
-=，
由AC 2=OC 2+OA 2，得AC=
53
， 在△AQP 中，AP=AB ﹣PB=5﹣2t ，AQ=t ， 由∠PAQ=∠ACD ，要使△ADC 与△PQA 相似，
只需AP CD
AQ AC
=或
AP AC
AQ CD
=，
则有
7
5212
5
3
t
t
-
=或
5
523
7
12
t
t
-
=，
解得t1=
100
47
，t2=
35
34
，
∵t1＜2.5，t2＜2.5，
∴存在t=100
47
或t=
35
34
，使得△ADC与△PQA相似；
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，
理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N，
在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=
3
52)
5
t
-
（，
在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=
5
4
，
在△ADC中，由S△ADC=
11
··
22
AD CN CD OA
=，
∴CN=
7
1
·7
12
515
4
CD OA
AD
?
==，
∴S△AQP+S△AQC=2
1137313169
()[(52)]()
2251559135
AQ PF CN t t t
+=--+=--+，
∴当t=13
9
时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.
点睛：本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想．
9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；
（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值． 【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN
为直角三角形时，t 的值为1或4．
【解析】 【分析】
（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论． 【详解】
（1）将()1,0A 、()3,0B 代入2
3y ax bx =++，得：
309330a b a b ++=??++=?，解得：1
4
a b =??
=-?， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．
（2）BCD ?为直角三角形，理由如下：
()2
24321y x x x =-+=--， ∴顶点D 的坐标为()2,1-．
当0x =时，2
433y x x =-+=，
∴点C 的坐标为()0,3．
点B 的坐标为()3,0，
()()22
300332BC ∴=-+-=， ()()
2
2
23102BD =
-+--=，
CD =
=
22220BC BD CD +==，
90CBD ∴∠=?，
BCD ∴?为直角三角形．
（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠， 将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：
303k c c +=??
=?，解得：1
3k c =-??=?
， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．
联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2
343
y x t
y x x =-++??
=-+
?，
解得：11322x t y ?=???+-?
=??
，22322x t y ?=???+?=??
，
∴点M 的坐标为
，点N 的坐标为
，
．
点A 的坐标为()
1,0，
(22
22
10571AM t t t ??∴=+-=++-+??????
??
(2
2
2210571AN t t t ??=-+-=++++?????
???
，2
2
2188MN t =+=+?
??
?
． AMN ?为直角三角形， ∴分三种情况考虑：
①当90MAN ∠=?时，有222AM AN MN
+=，即
(
(22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，
整理，得：220t t +-=，
解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）；
②当90AMN ∠=?时，有222AM MN AN +=，即
()()225719418857194t t t t t t t t t ++-++++=+++++，
整理，得：2280t t --=，
解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）； ③当90ANM ∠=?时，有222AN MN AN +=，即
()()225719418857194t t t t t t t t t +++++++=++-++，
整理，得：()
941940t t t ++++=．
0t >，
∴该方程无解（或解均为增解）．
综上所述：当AMN ?为直角三角形时，t 的值为1或4． 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．
10．如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3,0)，点c 的坐标为(0,6).点P 从点
O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以
每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止.设运动时间为t 秒.
（1）当2t =时，线段PQ 的中点坐标为________； （2）当CBQ ?与PAQ ?相似时，求t 的值；
（3）当1t =时，抛物线2
y x bx c =++经过P 、Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶
点为K ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D ，使1
2
MQD MKQ ∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）PQ 的中点坐标是(2.5,2)；（2）92
t -=
或3t 4=；（3）
124(,)39D ，2240
(,)39D -. 【解析】
分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根据中点坐标公式可得结论；
（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：
①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝，②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB
＝，分别列方程可得t 的值；
（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q （3，2），M （0，2），可得MQ ∥x 轴，∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ，画出符合条件的点D ，证明△KEQ ∽△QMH ，列比例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D ．
详解：（1）如图1，∵点A 的坐标为（3，0）， ∴OA=3，
当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4， ∴P （2，0），Q （3，4）， ∴线段PQ 的中点坐标为：（2+32，0+4
2），即（52
，2）； 故答案为：（
5
2
，2）； （2）如图1，∵四边形OABC 是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：
①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝， ∴
36223t t
t --＝， 4t 2-15t+9=0，
（t-3）（t-3
4
）=0， t 1=3（舍），t 2=3
4
，
②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB
＝， ∴
33
262t t t
＝--，
t 2-9t+9=0， t=
935
±， ∵0≤t≤6
，9+35
＞7， ∴x=
9+35
2
不符合题意，舍去， 综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是34或9+35； （3）当t=1时，P （1，0），Q （3，2），
把P （1，0），Q （3，2）代入抛物线y=x 2+bx+c 中得：
10932b c b c ++??++?＝＝，解得：3
2
b c -??
?＝＝， ∴抛物线：y=x 2-3x+2=（x-32）2-1
4
， ∴顶点k （
32，-1
4
）， ∵Q （3，2），M （0，2）， ∴MQ ∥x 轴，
作抛物线对称轴，交MQ 于E ， ∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ， ∴∠MKE=∠QKE=1
2
∠MKQ ， 如图2，∠MQD=
1
2
∠MKQ=∠QKE ，设DQ 交y 轴于H ，
∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ ∽△QMH ，
∴KE MQ EQ MH
＝，
【精】二年级数学单元测试题全套及答案
二年级数学上册单元试题全套及答案 第一单元达标测试卷 一、我会填。(每空1分，共20分) 1．测量笔盒的宽用() 作单位，测量教室的长用()作单位。2．小学生的两臂长大约1()，手掌宽大约7()。 3．线段有()个端点，直尺上从刻度3到刻度8是()厘米。 4． 钢笔大约()个长树叶大约()个长 5. 铅笔长()厘米木条长()厘米 木棍长()厘米钉子长()厘米 6．2米＝()厘米1米35厘米＝()厘米400厘米＝()米160厘米＝()米()厘米 7．在()里填上“厘米”或“米”。 楼房高约30()蜜蜂身长约2()马高约2()
二、先估一估，再量一量。(每空1分，共10分) 1. 2. 三、我会比。(6分) 8厘米8米1米96厘米200厘米2米 10米100厘米6米60厘米83米38米 四、我会画。(4题4分，其余每题2分，共10分) 1．画一条比4厘米短的线段。 2．画一条比3厘米长2厘米的线段。 3．画一条和下面线段同样长的线段。 4．在小兔子左边2厘米处画一根萝卜，右边4厘米处画一朵小花。
五、我会选。(每题2分，共10分) 1．下面三个图形中是线段的是()。 2．黑板的长大约是()。 ①40厘米②4米③15厘米 3．笑笑参加短跑比赛用了18秒，她跑完了100()。 ①厘米②元③米 4．下面的测量方法正确的是()。 5．1米长的绳子和100厘米长的铁丝比，()。 ①绳子长②铁丝长③同样长 六、我会辨，对的画“√”，错的画“×”。(每题2分，共10分) 1．10厘米和1米同样长。() 2．小明一拃长20米。() 3．教室门高比1米高。() 4．方桌边，书本的边，黑板的边，圆桌的边都可以看作是线段。() 5．直尺上从刻度1到刻度10的长度是10厘米。() 七、我会排。(5分) ()>()>()>()>()
二次函数培优专项练习
学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由
小学二年级数学下册模拟试题及答案
二年级数学模拟试卷 一、填空。（共26分。其中第1、5、6题4分，第4、7题3分，第2、3、8、9题2分。） 1、 ÷＝（盘）……（个） ÷＝（个）…… 2）个一合起来是607；486里面有（）个百、（）个十和（）个一。 3、44里面最多有（）个5，53里面最多有（）个6。 4、999前面的一个数是（），后面的一个数（），598和602都比较接近（）。 5、在○里填上“<”“>”或“=”。 698 703 420 402 300+60 30+600 10分米 99厘米497 947 987 897 296+305 600 5毫米 4厘米 6、在（）内填上合适的单位名称。 生活中处处有数学。小明量得一块橡皮长35（），一元硬币厚度大约2（），一枝铅笔长2 （），估计学校旗杆高约24（）。 7、根据每组数排列的规律接着往下写。 （1）320、330、340、、 （2）807、808、809、、 （3）950、900、850、、 8、÷= 8……3 , 除数最小是（），这时被除数是（）。 9、用5、8、3组成四个三位数，并按从小到大的顺序写出来。 （）＜（）＜（）＜（） 二、选择正确答案的序号填在括号里。（共10分。每题2分） 1、用5、4、0、2中的三个数字组成的数中，最大的一个数是（）。 A、504 B、452 C、542 2、3□9﹥328 □里最小填（）。
A 、2 B 、3 C 、9 3、下面哪道题的结果大于700。 （ ） A 、445+198 B 、382+402 C 、167+417 D 、299+185 4、“548”的“4”表示（ ）。 A 5、3位老师和53个学生坐船过河，每条船最多坐6人，至少要（ ）只船才能一次就把他们送到对岸。 A 、10 B 、8 C 、9 三、计算。（共24分） 1、直接写得数。（9分） 230-30= 80+200= 72÷9= 40+70= 380-80+200= 600+400＝ 6×7= 20+800＝ 330-300= 700+300-400= 760－700= 50+90= 43÷6= 500+60= 45÷5÷3= 2、用竖式计算（打☆的要验算）（共15分。第1题3分，其余每题4分。） 57÷8= ☆65+127= ☆366＋548= 263＋408＋146= 四、观察操作题。（共10分。第1题8分，每空1分。第2题2分。） 1、 北
二次函数培优专题一(图像与性质)
二次函数培优专题一（图像和性质）姓名： 一：填空题： 1．若y ＝(2－m )2 3 m x -是二次函数，且开口向上，则m 的值为__________． 2．抛物线y ＝x 2＋8x －4与直线x ＝4的交点坐标是__________． 3．若抛物线y ＝(k ＋2)x 2＋(k －2)x ＋(k 2＋k －2)经过原点，则k ＝________． 4．已知点P (a ，m )和Q (b ，m )是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同点，则a ＋b ＝_____． 5．函数y ＝mx 2＋x －2m (m 是常数)，图象与x 轴的交点有_____个． 二、选择题： 6.如果反比例函数y ＝k x 的图象如图4所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（ ） 7．函数在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ） 8．二次函数y ＝x 2－(12－k )x ＋12，当x ＞1时，y 随着x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取( )．A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 9．如果抛物线y ＝x 2－6x ＋c －2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于( )． A ．8 B ．14 C ．8或14 D ．－8或－14 10．若0培优二次函数辅导专题训练及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
二次函数培优经典题
112O x y 培优训练五（二次函数1） 1、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ） A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＜0；③a ﹣2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有（ ） A ． 3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个 3、如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标 为（1,12 ），下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③244ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A （－1，y 1）、B （2，y 2）、C （23+，y 3）三点，则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图，一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、
小学二年级奥数题及答案
小学二年级奥数题及答案 1．妹妹今年6岁，哥哥今年11岁，当哥哥16岁时，妹妹几岁？ 2．小明从学校步行到少年宫要25分钟，如果每人的步行速度相同，那么小明、小丽、小刚、小红4个人一起从学校步行到少年宫，需要多少分钟？ 3．一张长方形彩纸有四个角，沿直线剪去一个角后，还剩几个角？（画图表示） 4．晚上停电，小文在家点了8支蜡烛，先被风吹灭了1支蜡烛，后来又被风吹灭了2支。最后还剩多少支蜡烛？ 5．有16个小朋友在操场上玩捉迷藏游戏，已经捉住了9人，藏着的还有几人？ 6．19名战士要过一条河，只有一条小船，船上每次只能坐4名战士，至少要渡几次，才能使全体战士过河？ 7．布袋里有两只红袜子和两只黑袜子，至少拿出几只，才能保证配成一双同样颜色的袜子？ 8．布袋里有形状大小完全一样的篮球和黄球各4个，要保证一次拿出两种颜色不相同的球，至少必须摸出几个球？ 9．跷跷板的两边各有四个铁球，这时跷跷板保持平衡。如果拿掉一个铁球，跷跷板上还有几个铁球？ 10．一根电线，对折再对折，最后从中间剪开，剪开的电线一共有几段？ 答案 1．16-11+6=11（岁） 2 、4个人一起到从学校步行到少年宫所用的时间等于小明1个人从学校步行到少年宫所用的时间，需要25分钟。 3．根据不同的剪法，可以剩下5个角、4个角或3个角 4．1+2=3（支） 5．16－9 －1=6（人） 6．19－4=15（名）4－1=3（名）15÷3=5（次）5+1=6（次） 7．如果一次摸出2只恰好是不同颜色，再摸1只一定和其中1只颜色相同。所以一次至少要摸出3只才能保证配成一双颜色相同的袜子。 8．如果一次摸出的4个是同一种颜色的球，再摸一个一定是另一种颜色的球，所以一次至少摸出5个球才能保证得到两种颜色不同的球。 9．如果拿掉一个铁球，翘翘板上一个铁球也没有了。 10．对折后再对折，从中间剪开，有三头是连着的，所以一共有8－3=5（段） 按规律找数字 ①1、2、5、8、（11）、（14）、17②8、8、10、6、12、4、（14）、（2） ③1、2、3、2、3、4、3、4、5、（4）、（5）④16、3、8、9、4、（27）、（2） 2、东东做一道加法题时，把个位上的1看成7,把十位上的6看成9,结果是75,可是正确的
最新中考数学专题培优：二次函数综合应用(含答案)
2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用（含答案） 一、解答题（共有7道小题） 1.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线 () 20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。 （1）球抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+ PC 的和最小。求出点P 的坐标。 2.如图，已知二次函数2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3， 0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数 2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形， 请求出此时点P 的坐标； (3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积． 3.如图，已知二次函数 2 ＝ ＋ ＋ y ax bx c 的图象与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴相交于点C(0，－3)． y x C D B A O x y P B A C O
(1)求这个二次函数的表达式； (2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值； ②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标． 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数265＝－ ＋ － y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与 y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ． (1)求点P ，C 的坐标； (2)直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，已知二次函数2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3， 0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数 2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标； (3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积． y x M C A O B P H y x D B A l C P O x y P B A C O
【数学】数学二次函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0， ），点M 是抛物线C 2： 2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2 m 2 =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】 （1）在2 y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标． （2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值． （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】 解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=， ∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．理由如下： ∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
小学数学小学二年级奥数100题(含答案)
100道二年级数学奥数题 1、用0、1、 2、3能组成多少个不同的三位数？ 18个 2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？ （10×10-85）÷（10+5）=1题10-1=9题 3、2，3，5，8，12，( 20 )，( 32 ) 4、1，3，7，15，(31 )，63,( 127 ) 5、1，5，2，10，3，15，4，( 20 )，( 5) 6、○、△、☆分别代表什么数？ (1)、○+○+○=18 (2)、△+○=14 (3)、☆+☆+☆+☆=20 ○=( 6) △=(8 ) ☆=( 5 ) 7、△+○=9 △+△+○+○+○=25 △=( 2) ○=(7 ) 8、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？35÷4=8……3 丁丁 9、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 56+128=184（元） 10、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？ 5分钟 11.修花坛要用94块砖，?第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？(用两种方法计算) 94-（36+38）=20（块）94-36-38=20（块） 12.王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米？ 20-5=15（米） 13.食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在人多少棵？ 60-56+30=34（棵） 14、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？ 41-3×6=23（元） 15、二(1)班从书店买来了89本书，第一组同学借了25本，第二组同学借了38本，还剩多少本？89-25-38=27（本） 16、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？ 126+126÷3=168 17、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( 55 ) 18、11+12+13+14+15+16+17+18+19=( 145 ) 19、按规律填数。 (1)1，3，5，7，9，( 11 ) (2)1，2，3，5，8，13( 21 ) (3)1，4，9，16，( 25 )，36 (4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( 11 ) 20、在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。 (1)8 ×（8×8 + 8×8）- 8- 8 - 8 =1000 (2)（4+ 4 ）×4 – 4× 4 =16 (3)9 + 8 ×7- 6×5- 4×3- 2+ 1=22 21、30名学生报名参加小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？ 26+17-30=13
二次函数专题培优(含答案)
二次函数专题复习 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
小学二年级奥数试题及答案大全
小学二年级奥数试题及答案大全 小学二年级奥数试题及答案大全一 51.一张纸片，第一次将它撕成4片，以后每次在纸片中取一片，并将它撕成4片，这样撕10次，共有______片纸片。 答案：每次撕一次纸片，创造了四张，减少了一张，即创造了3张，撕10次，共有30张，加上原来的一张，共有31张。 52.把下图分割成4 块形状大小相同的图形，使每个图形中都含有一只小猴，你能做到吗? 答案：切成L 状即可，答案不唯一 53. △ + □ = 9; △ + △ + □ + □ + □ = 25; △ = ( ) ; □ = ( ) 答案：因为△ + □ = 9，我们就可把△+△+□+□+□=25中的△+□换成9，变成9+△+□+□=25;再替换一次，变成9+9+□=25，可以得出□=7;再根据△+□=9和求出的□=7，可以求出△=2。 54.下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数? (1)□+5=13-6; (2)28-○=15+7; (3)3×△=54; (4)☆÷3=87; (5)56÷*=7。 答案：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5=2; (2)由减法运算规则知，○=28-(15+7)=6; (3)由乘法运算规则知，△=54÷3=18; (4)由除法运算规则知，☆=87×3=261; (5)由除法运算规则知，*=56÷7=8。 55.1、长颈鹿问小羊：’一根竹竿两个头，二根竹竿四个头，四根半竹竿几个头?’小羊高兴地回九个头’。小羊回答得对吗?为什么? 答案：小羊回答的不正确，因为就算半根竹竿也有两个头，所以四根半竹竿有10个头。
56.□+□+□+□+□=30在上面的□中填上5个连续的自然数，使等式成立。 答案：4+5+6+7+8=30 57.顺序观察下面图形，并按其变化规律在“?”处填上合适的图形. 答案：每个图逐个加三个圆点，而且是按照加实心三个、空心三个的顺序递加的。 58.两个母亲给他们的两个女儿一些钱，一个给她女儿120元，一个给她女儿100元，当两个女儿计算她们的钱时，总共只有120元。小朋友，你知道为什么不是220元，却只有120元呢? 答案：因为只有3个人，外祖母、母亲和女儿。 59.某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5。求这个数。 答案：从后往前推，原来是加法，推回去是减法;原来是减法，推回去是加法;原来是乘法，推回去是除法;原来是除法，推回去是乘法。从最后一步推起，“除以5，其结果等于5”可以求出被除数5×5=30;再看倒数第2步，“减去5”得25，可以求出被减数25+5=30;然后看倒数第3步，“乘以5”得30，可以求出被乘数30÷5=6;最后看第1步，“某数加上5”得6，某数为6-5=1。5×5=25 25+5=30 30÷5=6 6-5=1 答所求的数为1。 60.根据图中数字的规律，在最上边的空格中填上合适的数。 答案：64，每个数字是下面的两个数字之和 61. 两个整数之积为144，差为10，求这两个数。
二次函数培优专题训练
二次函数培优专题训练 一、实际应用专题 例题1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 例题2 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元∕只，售价20元∕只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元（例如：某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20-10）=1元，就可以按19元∕只的价格购买），但是最低价为16元∕只．（1）顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2）写出当一次购买x只时（x＞10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式． （3）星期天，小华来到专卖店勤工俭学，上午做成了两笔生意，一是向顾客甲卖了46只，二是向顾客乙卖了50只，记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少．为了使每次卖得越多赚钱越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元∕只至少要提高到多少？为什么？ 例题3（2010?恩施州）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【数学】小学数学二年级下册数学测试题含答案及知识点
【数学】小学数学二年级下册数学测试题含答案及知识点 一、培优题易错题 1．小明、小华、小强星期天去公园划船，他们都戴了一顶漂亮的太阳帽。太阳帽有三种颜色：红、黄、蓝。他们戴的分别是什么颜色的帽子?涂一涂。 【答案】根据分析可得：小明戴的是黄色的，小华戴的是红色的，小强戴的是蓝色的，涂色如下： 【解析】【分析】根据小强的话“我戴的不是红色的，也不是黄色的”可知，小强戴的是蓝色的；根据小明的话“我戴的不是红色的”可知，小明戴的可能是黄色的或蓝色的，因为小强戴的是蓝色的，则小明戴的是黄色的，那么小华戴的是红色的，据此解答。 2．下面四个小朋友站的位置是这样的：乙站在甲的右边；丙站在甲的左边；丁站在丙的左边。请你将甲、乙、丙、丁分别填写在横线上。
【答案】 【解析】【分析】根据条件“ 丙站在甲的左边；丁站在丙的左边”可知，甲、丙、丁三人的 位置是：从左往右分别是丁，丙，甲，结合条件“乙站在甲的右边”，则四个人的位置是：丁，丙，甲，乙，据此解答。 3．甲、乙、丙三人分别是二年级一班、二班、三班的学生，在学校运动会上，他们分别获 得了跳高、百米赛跑和铅球冠军。已知：二班的是百米冠军；一班的不是铅球冠军；甲不 是百米冠军；乙既不是二班的也不是跳高冠军。他们三人分别是哪个班的?获得了哪项冠军? 【答案】解：甲是一班的跳高冠军；乙是三班的铅球冠军；丙是二班的百米赛跑冠军。 【解析】【分析】根据条件“ 二班的是百米冠军，甲不是百米冠军”可知，甲不是二班的， 结合条件“乙既不是二班的也不是跳高冠军”乙不是二班的，则丙是二班的，丙是二班的百 米赛跑冠军；根据条件“ 一班的不是铅球冠军”可知，一班是跳高冠军，根据条件“乙既不 是二班的也不是跳高冠军”可知，乙是三班的铅球冠军，则甲是一班的跳高冠军，据此推理。 4．小明、小刚、小丽每个人手中都拿了一张数字卡片，分别是4、9、2。小明说：”我拿 的不是9。”小刚说：”我拿的是4。"你知道他们分别拿的是什么数字卡片吗? 【答案】解：小明拿的是2，小刚拿的是4，小丽拿的是9 【解析】【分析】小刚拿的是4，因为小明拿的不是9，那么小明一定拿的是2，则小丽拿 的就是9。 5．下一个应该是什么?请圈出来。 （1） （2） （3） 【答案】（1）
九年级二次函数培优竞赛试题及答案
九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． (1)求点C的坐标； (2)若抛物线y＝－1 4 x2＋ax＋4经过点C． ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
1.【解析】 试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标； （2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式； ②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑： （i）A为直角顶点，过A作AP 1垂直于AB，且AP 1 =AB，过P 1 作P 1 M垂直于x轴， 如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP 1 ，利用AAS可证明三角 形AP 1M与三角形ACD全等，得出AP 1 与P 1 M的长，再由P 1 为第二象限的点，得出 此时P 1 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作 BP 2垂直于BA，且BP 2 =BA，过P 2 作P 2 N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形 BP 2N与三角形AOB全等，得出P 2 N与BN的长，由P 2 为第三象限的点，写出P 2 的 坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP 3 垂直 于BA，且BP 3=BA，如图所示，过P 3 作P 3 H垂直于y轴，同理可证明三角形P 3 BH 全等于三角形AOB，可得出P 3H与BH的长，由P 3 为第四象限的点，写出P 3 的坐 标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°， ∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2）， ∴OA=CD=1，OB=AD=2， ∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点， ∴C的坐标为（3，﹣1）； （2）①∵抛物线y=﹣1 2 x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1）， ∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣9 2 +3a+2，解得：a= 1 2 ， 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x2+ 1 2 x+2； ②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
二年级数学试卷及参考答案,共10套
小学二年级数学下册综合练习题（一） 一、口算 380－200= 28÷4= 43＋50= 6×7= 87－55= 51÷7= 37＋45= 71－26= 1600－700= 5900－2000= 74+32= 120＋50= 二、填空 1、长方形有四个（）角，长方形（）边相等。 2、四千写作：（）三千零七写作：（） 3、按照从小到大排列下面各数：3050、5030、5003、350、3500、53 （）＜（）＜（）＜（）＜（）＜（） 4、选择合适的单位填空（km、m 、dm、cm、mm） 数学本厚约5（）二年级的小红高128（）深圳到广州大约120（）一棵大树高9（） 5、选择合适的符号（“＜”“＞”“＝”） 1km ( )100m 999( )1000 20cm( )2dm 6、在计算35－35÷7 时，要先算（）法，再算（）法。 三、判断题 1、在有余数的除法里余数一定要比除数小。（） 2、锐角比直角大。（） 3、五位数都比四位数大。（） 4、学校的操场跑道约200 mm。（） 5、一个角有一个顶点，两条边。（） 四、1脱式计算 86－（23+46）= 63－42÷7= 1000－132－452= 896－253+74=
2、竖式计算并验算。 457+326= 4100－648= 36÷4= 261+425= 56×6= 五、应用题 ①小兵有32张动物邮票，每页放6张，可以放几页，还剩多少张？ ②30个同学要栽树60棵，已经栽了25棵，剩下的分给5个小组栽，平均每个小组栽树多少棵？ ③商店运进7 箱粉笔，每箱8 盒，其中白粉笔30 盒，其余是彩色粉笔，彩色粉笔有多少盒？ ④菜园里有大白菜680棵，上午运走265棵，下午运走284棵，菜园里还有大白菜多少棵？ ⑤三班44名同学去旅游，中型客车每辆坐24人，小车每辆4人，请你安排一下，可以派几辆大车，几辆小车？ ⑦同学们参加劳动。二（1）班去了26人，二（2）班去了38人，每8人编成一组，可以编几组？ ⑧有45人去东湖游玩。其中15人去参观植物园，剩下的去划船，每条船坐6人，需要几条船？
中考数学 二次函数培优专题
二次函数培优专题 基础训练 1.已知抛物线9)2(2 ++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________. 2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ?＝3，则b ＝____________. 3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ； （3）根据图象回答，当x _______时，0>y . 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21- ，4 1-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. 5.二次函数c bx ax y ++=2 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2 的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ） A .过点（3，0） B .顶点是（2，－2） C .在x 轴上截得的线段长度是2 D .与y 轴的交点是（0，3） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2 与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ）
A .0=b B . 2 c S ABE =? C .1-=ac D .0=+c a 第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ） A .9.2米 B .9.1米 C .9米 D .5.1米 9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝ 28 9, tan β＝83,位于O 点正上方35 千米D 点处的直 升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中 E 点）. （1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式； （2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由. 10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ； （2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积. 11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2） . C E D B A