麦克斯韦速率分布律、三种统计速率习题11
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率
1、选择题
题号：21111001 分值：3分
难度系数等级：1
麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率
（B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率
（D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半
[ ] 答案：（ D ）
题号：21111002 分值：3分
难度系数等级：1
麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是，它是气体分子
（A ） 处于v 附近单位速率区间的概率 （B ） 处于v 附近的频率
（C ） 处于dv v v +~速率区间内的概率 （D ） 处于dv v v +~速率区间内的相对
分子数
[ ] 答案：（ A ）
题号：21111003 分值：3分
难度系数等级：1
气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2
v ，它们之间的大
小关系为
（A ）2..v v v p >
> （B ）2v v v p ==
（C ）2v v v p <
< （D ）无法确定
[ ] 答案：（ C ）
题号：21111004 分值：3分
难度系数等级：1
设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为
（A ）N dN v f =
)( （B ）dv dN
N v f 1)(= （C ）vdv dN N v f 1)(= （D ）dv
v dN
N v f 21)(=
[ ]
答案：（ B ）
题号：21112005 分值：3分
难度系数等级：2
空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ A ）
题号：21112006 分值：3分
难度系数等级：2
已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则x x dv v nf )(表
示为
（A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数
（B ）单位体积内速度分量x v 处于x x x
dv v v +~区间的分子数
（C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数
[ ] 答案：（ B ）
题号：21112007 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K 时的平均速率为1v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的平均速率为2v ，则平均速率1v 和2v 的大小分别为 （A ）211069.1?=v m/s ，321078.1?=v m/s （B ）311078.1?=v m/s ，221069.1?=v m/s （C ）211083.1?=v m/s ，221093.1?=v m/s （D ））311058.1?=v m/s ，321050.1?=v m/s ，
[ ] 答案：（ B ）
题号：21112008 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K 时的最概然速率为1p v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的最概然速率为2p v ，则最概然速率1p v 和2p v 的大小分别为 （A ）211069.1?=p v m/s ，3
21078.1?=p v m/s （B ）311078.1?=p v m/s ，2
21069.1?=p v m/s （C ）311058.1?=p v m/s ，2
21050.1?=p v m/s （D ））211050.1?=p v m/s ，3
21058.1?=p v m/s ，
[ ] 答案：（ C ）
题号：21112009 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K 时的方均根速率为2
1v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的方均根速率为2
2v ，则方均根速率2
1v 和2
2v 的大小分别为
（A ）3211078.1?=v m/s ，2
221069.1?=v m/s （B ）3
2
11058.1?=v m/s ，2
2
21050.1?=v m/s （C ）3
2
11093.1?=v m/s ，3
2
21083.1?=v m/s （D ））3
2
11093.1?=v m/s ，2
2
21083.1?=v m/s ，
[ ] 答案：（ D ）
题号：21112010 分值：3分
难度系数等级：2
（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）5.00 m/s [ ] 答案：（ C ）
题号：21113011 分值：3分
难度系数等级：3
理想气体的温度由27?C 升高到927?C ，其最概然速率将增大到原来的 （A ） 2倍 （B ） 4倍 （C ） 6倍 （D ） 34倍 [ ] 答案：（ A ）
题号：21113012 分值：3分
难度系数等级：3
已知n 为单位体积的分子数，)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，则)(v nf 表示 （A ） 速率v 附近，dv 区间内的分子数
（B ） 单位体积内速率在dv v v +~区间内的分子数 （C ）速率v 附近，dv 区间内的分子数占总分子数的比率
（D ） 单位时间内碰到单位器壁上，速率在dv v v +~区间内的分子数
[ ]
答案：（ B ）
题号：21113013 分值：3分
难度系数等级：3
已知一定量的某种理想气体，在温度为1T 和2T 时分子的最概然速率分别为1p v 和2p v ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p v f 和)(2p v f ，已知1T >2T ，则在下列几个关系式
中正确的是 （A ） 1p v >2p v ，)(1p v f >)(2p v f （B ） 1p v <2p v ，)(1p v f >)(2p v f （C ） 1p v >2p v ，)(1p v f <)(2p v f （D ） 1p v <2p v ，
)(1p v f <)(2p v f
[ ] 答案：（ C ）
题号：21113014 分值：3分
难度系数等级：3
（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）2.41 m/s [ ] 答案：（ B ）
题号：21113015 分值：3分
难度系数等级：3
某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为)(v f ，则速率分布在速率间隔21~v v 内的气体分子的算术平均速率的计算式为
（A ）?
?=2
2
10
)()(v v v dv v f dv
v vf v （B ）?
?∞
=
1
2
1)()(v v v dv
v f dv
v vf v
（C ）?
?∞
=0
)()(2
1dv v f dv
v vf v v v （D ）?
?=
2
1
2
1)()(v v v v dv
v f dv
v vf v
[ ]
答案：（ D ）
题号：21113016 分值：3分
难度系数等级：3
设有一群粒子按速率分布如下：
则其平均速率为
（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）0.68 m/s
[ ] 答案：（ A ）
题号：21114017 分值：3分
难度系数等级：4
如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2
)(o p v 和2
)(H p v 分别表示氧
气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是
（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且
4)()(2
2
=H p O p v v
（B ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且
4)()(2
2
=H
p O p v v （C ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且
41)()(2
2
=
H p O p v v （D ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且
4
1)()(2
2
=
H
p O p v v
[ ] 答案：（ C ）
题号：21114018 分值：3分
难度系数等级：4
如右图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和
氢气分子速率分布曲线，2
)(o p v 和2
)(H p v 分别表示氧气
和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是
（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且s m v O
p /2000)(2
= （B ）图中a 表示氢气分子的速率分布曲线，且s m v H p /2000)(2
= （C ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且s m v O
p /2000)(2
= （D ）图中b 表示氢气分子的速率分布曲线，且s m v H
p /2000)(2
=
[ ] 答案：（ D ）
题号：21114019 分值：3分
难度系数等级：4
一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时的压强为1p ，温度为1T ，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为2p ，则使用前后分子热运动平均速率之比
2
1
v v 为 （A ）
212p p （B ）212p p （C ）122p p （D ）1
2
2p p [ ]
答案：（ B ）
题号：21115020 分值：3分
难度系数等级：5
处于平衡状态的理想气体，其分子的速率分布曲线如图所示，
设p v 表示最概然速率，p N ?表示速率分布在v v v p p ?+~之间的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则
（A ）p v 减小，p N ?也减小 （B ）p v 增大，p N ?也增大
（C ）p v 减小，p N ?增大 （D ）p v 增大，p N ?减小
[ ] 答案：（ C ）
2、判断题
题号：21121001 分值：2分
难度系数等级：1
理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
[ ] 答案：对
题号：21121002 分值：2分
难度系数等级：1
两容器都储有氢气，温度和体积都相同，但两者的气体质量不相等，所以它们的分子速率分布也不相同。
[ ] 答案：错（因两容器的分子质量和温度相等）
题号：21122003 分值：2分
难度系数等级：2
两容器都储有氢气，温度相同，体积不相同，两者的气体质量也不相等，但它们的分子速率分布相同。
[ ] 答案：对（因两容器的分子质量相等、温度相等）
题号：21122004 分值：2分
难度系数等级：2
气体处于平衡态时，具有某一速率的分子数是确定的，速率刚好为最概然速率的分子数与总分子数的比值也是确定的。
[ ] 答案：错
题号：21122005 分值：2分
难度系数等级：2
麦克斯韦速率分布函数Ndv
dN
v f =
)(是平衡态下理想气体质心的速率分布函数。它表示平衡态下的理想气体分子数按速率的分布规律。
[ ] 答案：对
题号：21123006 分值：2分
难度系数等级：3
两容器分别储有氮气和氢气，温度和体积都相同，而且两气体的质量相等，所以它们的分子速率分布也相同。
[ ] 答案：错（因两气体的分子质量不相等）
题号：21123007 分值：2分
难度系数等级：3
两容器分别贮有氢气和氧气，如果压强、体积和温度都相同，则它们的分子速率分布也是相同的。
[ ] 答案：错（因两气体的分子质量不相等）
题号：21123008 分值：2分
难度系数等级：3
混合气体处于平衡状态时，每种气体分子的速率分布情况与该种气体单独存在时分子的速率分布情况完全相同。
[ ] 答案：对
题号：21124009 分值：2分
难度系数等级：4
恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备与氧分子化合的条件而化合成水，所以瓶内剩余的氢分子的速率分布将会改变。
[ ] 答案：错（因温度不变，所以氢分子的速率分布也不变）
题号：21124010 分值：2分
难度系数等级：4
?
2
1
)(v v dv v vf 表示在21~v v 区间分子的平均速率。
[ ] 答案：错（?
?=2
1
2
11
2
)()(~v v v v v v dv
v f dv
v vf v ）
题号：21125011 分值：2分
难度系数等级：5
最概然速率相同的两种不同气体，它们的速率分布曲线一定相同。
[ ] 答案：对（2)(
32
4
)(v e
v v f p
v v p --=π
）
3、填空题
题号：21131001 分值：2分
难度系数等级：1
已知某理想气体的速率分布函数为Ndv
dN
v f =)(，其中N 为气体的总分子数，dN 为分子速率在dv v v
+~区间内的分子数，则表达式dv v Nf )(的物理意义是：
。 答案：表示速率在dv v v +~区间内的分子数
题号：21131002 分值：2分
难度系数等级：1
在标准状态下，氮分子的平均速率为 m/s 。 答案：455 m/s
题号：21131003 分值：2分
难度系数等级：1
温度为C 0
127的氧气分子的最概然速率为 m/s 。 答案：456 m/s
题号：21131004 分值：2分
难度系数等级：1
温度为C 0
127的氧气分子的方均根速率为 m/s 。 答案：558 m/s
题号：21132005 分值：2分
难度系数等级：2
如图所示，两条曲线分别表示相同温度下
的氢气和氧气分子的速率分布曲线，则b 曲 线表示 分子的速率分布曲线。 （填氧气或氢气） 答案：氢气
题号：21132006 分值：2分
难度系数等级：2
已知某理想气体的速率分布函数为Ndv
dN
v f =)(，其中N 为气体的总分子数，dN 为分子速率在dv v v
+~区间内的分子数，则表达式dv v f )(的物理意义是：
。 答案：表示在总分子数N 中，速率在dv v v +~区间的分子数占分子总数的百分比，或者
表示分子在速率dv v v +~区间内的概率
题号：21132007 分值：2分
难度系数等级：2
同温度下氢气分子与氧气分子的平均速率之比为_____ ____。 答案：4：1
题号：21132008 分值：2分
难度系数等级：2
如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克斯韦分子速率分布曲线，则氧气分子的最概然速
率为 。 答案：6002=po v m/s
题号：21132009 分值：2分
难度系数等级：2
在麦克斯韦速率分布关系中，若取)(v Nf 为纵坐标，速率v 为横坐标，则速率分布曲线与横坐标所包围的总面积等于____ 。 答案：N
题号：21132010 分值：2分
难度系数等级：2
理想气体分子的最慨然速率p v 的物理意义是 。 答案：分子速率在p v 附近分布的概率最大或分子速率在p v 附近的分子数最多
题号：21133011 分值：2分
难度系数等级：3
已知)(v f 麦克斯韦速率分布函数，p v 为分子的最概然速率，则
?dv v f v p
)(0表
示 。 答案：速率区间p ν~0的分子数占总分子数的百分比
题号：21133012 分值：2分
难度系数等级：3
已知某理想气体分子总数为N ，分子质量为m ，在温度T 时的
速率分布曲线如图所示，其中Ndv
dN
v f =
)(为速率分布函数，则表达式?2
1
)(v v dv v Nf 的物理意义是
。 答案：表示速率在21~v v 区间内的平均分子数
题号：21133013 分值：2分
难度系数等级：3
温度为C 0
127的氧气分子的平均速率为 m/s 。 答案：514 m/s
题号：21133014 分值：2分
难度系数等级：3
已知)(v f 麦克斯韦速率分布函数，p v 为分子的最概然速率，则p v v >速率的分子的平均速率表达式为： 。
答案：dv v f v dv v f v v p p ??∞
∞
=）
（）（··
ν
题号：21133015 分值：2分
难度系数等级：3
一个容器内有摩尔质量分别为1μ和2μ两种不同的理想气体，当此混合气体处于平衡状态时，1和2两种气体分子的方均为根速率之比是 。 答案：
12/μμ
题号：21133016 分值：2分
难度系数等级：3
如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克斯韦分子速率分布曲线，则氢气分子的最概然速率为 。
答案：24002=pH v m/s
题号：21134017 分值：2分
难度系数等级：4
在容积为3
2
100.3m -?的容器中装有kg 2100.2-?的理想气体，容器内气体的压强为
41006.5?Pa ，则气体分子的最概然速率为 m/s 。
答案：389 m/s 或390 m/s
题号：21134018 分值：2分
难度系数等级：4
已知某理想气体分子总数为N ，分子质量为m ，在温度
T 时的速率分布曲线如图所示，其中Ndv
dN
v f =
)(为速率分布函数，则表达式?21
)(v v
dv v f 的物理意义是
。
答案：表示在总分子数N 中，速率在21
~v v 区间内的平均分子数占总分子数的百分比
题号：21134019 分值：2分
难度系数等级：4
如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克斯韦分子速率分布曲线，则气体的温度为 。 答案：T=693 K
题号：21135020 分值：2分
难度系数等级：5
已知某理想气体分子总数为N ，分子质量为m ，在温度T 时的速率分布曲线如图所示，其中Ndv
dN
v f =
)(为速率分布函数，则表达式?2
1
)(2
12
v v
dv v Nf mv 的物理意义是 。 答案：表示速率在21~v v 区间内分子的平均平动动能之和
4、计算题
题号：21141001 分值：10分 难度系数等级：1
20个质点的速率如下：2个具有速率0v ，3个具有速率02v ，5个具有速率03v ，4个具有速率04v ，3个具有速率05v ，2个具有速率06v ，1个具有速率07v 。试计算：（1）平均速率；（2）方均根速率；（3）最概然速率。 解答及评分标准： 根据定义，有
（1）
00000065.3207162534435232v v v v v v v v v =?+?+?+?+?+?+?=
（3分）
（2）
2
1
20
2020202020202]20
)7(1)6(2)5(3)4(4)3(5)2(32[v v v v v v v v ?+?+?+?+?+?+?= =099.3v （5分） （3）因为有5个质点速率是03v ，所以
03v v p = （2分）
题号：21141002 分值：10分 难度系数等级：1
在一容积为V 的容器内盛有质量分别为
1M 和2M 的两种不同的单原子分
子气体，此混合气体处于平衡状态时，其中两种组分的气体内能相等，均为E ，求两种气体分子的平均速率之比2
1
v v 。 解答及评分标准：
由
πμ
RT
v 8=
， 得：
1
221
μμ=v v （4分）
又由内能相同 RT M RT M E 23
232211μμ==，即 1
212M M =
μμ （3分） 故
1
2
21
M M v v = （3分）
题号：21142003 分值：10分 难度系数等级：2
求速率大小在最概然速率p v 与p v 01.1之间的气体分子数占总分子数的百分之几。 解答及评分标准： 根据m
kT
v p 2=
，可以将麦克斯韦速率分布函数公式改写为
x e x N N x ??=?-224
π
（5分） 式中p v v x =
，p
v v x ?=? 根据题意p v v =，所以
01.0,01.0,1=?=?=x v v x p （3分） 代入，有
0083.001.04
1=??=?-e N N π
（2分）
题号：21142004
分值：10分 难度系数等级：2
一容器内储有温度为127 ?C 的理想气体，其压强为2.07×104 Pa 。求该气体的（1）分子数密度；（2）分子平均平动动能；（3）理想气体是H 2时的方均根速率；（4）理想气体是CO 2时的平均速率。 解答及评分标准：
（1）3
2423
41075.3400
1038.11007.2--?=???==m kT p n （2分） （2）J kT k 21231028.84001038.12
3
23--?=???==
ε （2分） 或：J n p k 21
24
41028.810
75.31007.22323-?=???==ε （3）s m RT
v H /1023.210240031.8333
3
2
2?=???=
=
-μ （3分） （4）s m RT
v CO /43910
4414.3400
31.8883
2
=????=
=
-πμ （3分）
题号：21142005 分值：10分 难度系数等级：2
证明：麦克斯韦速率分布函数可写成 x e x x -=24
)(π
?，其中 p
v v x =
。 解答及评分标准：
由麦克斯韦速率分布函数 kT
mv kT mv e Cv e v kT
m v f 22222322)2(4)(--=??=ππ 22
324p
v v p
e v v -
=π （5分）
令 p
v v
x =
，则有 p v dx dv =，故有
x xv v e x dx dv v f x p
-==???
?
??=24)()(π? （5分）
题号：21143006 分值：10分 难度系数等级：3
一氧气瓶的容积为V ，充了氧气后，未使用时的压强为1p ，温度为1T ；使用后瓶内氧
气质量减少为原来的一半，其压强降为2p 。（1）试求使用前后氧气分子热运动平均速率之比21v v ；（2）若使用后氧气分子的平均平动动能为J 21
1021.6-?，试求氧气分子的方均根
速率和此时氧气的温度。 解答及评分标准：
（1）设使用前质量为M ，则使用后为2
M 则221121,RT M
V p RT M
V p μ
μ
=
=
（2分） 所以
2
121211
2
122//,2p p T T v v p p T T =
==
（3分）
（2）由平均平动动能公式：kT mv k 2
3212==
ε ，（氧分子：kg m 261031.5-?=）（1分） 得 氧气分子的方均根速率为： ()
()
12
/12
/12
63
.483/2-?==s m m v
k ε （2分）
此时氧气的温度为： K k T k 3003/2==ε （2分）
题号：21143007 分值：10分 难度系数等级：3
设N 个粒子系统的速率分布函数为：Kdv dN v = （0>>v V ，K 为常数）
0=v dN （V v >）
求：（1）画出分布函数图；（2）用N 和V 定出常数K ；（3）用V 表示出算术平均速率。 解答及评分标准：
（1）因为Kdv dN v =，所以
N
K
Ndv dN v f v ==
)( （0>>v V ） 0)(=v f （V v >）
其分布函数图如右上图所示。 （4分）
（2）由
1)(00==??
∞
dv N K dv v f V
，得 V
N K = （3分）
（3）V V V vdv N K dv v vf v V 2
1
2
11)(2
00=?===??∞ （3分）
题号：21143008 分值：10分 难度系数等级：3
试利用麦克斯韦速率分布函数，推求气体分子的最概然速率p v 。 解答及评分标准：
麦克斯韦速率分布函数为
kT
mv kT mv e Cv e v kT
m v f 22222322)2(4)(--=??=ππ （3分） 求极值，有 0222())((322=?-=-=v kT
m v Ce dv v df kT
mv v v p （5分） 最概然速率为 m
kT
v p 2=
（2分） 或者 μ
RT
v p 2=
（μ为分子摩尔质量）
题号：21144009 分值：10分 难度系数等级：4
N 个假想的气体分子，其速率分布如图所示 （当 v > 2 v 0时，粒子数为零）。 求：（1）C ； （2）速率在v 0到2v 0之间的分子数； （3）气体分子的平均速率。
解答及评分标准： (1) 由归一化条件：?
∞
=?+?=
0012
1
)(C v C v dv v f 得 0
32
v C =
（3分） (2) N v Nv v v v v C N dv v f N
N 3232)2(2)(00000
==-??==?? （3分） 或：N N N N 3213232=??=??
?
????=?曲线下所围总面积
（3）
00
020
32)(232)(0v C v f v v v v v v f v v ==≤≤=
<≤
所以 ?
?
?
?
?+
=
==
=
∞
20
220
20
20
3232
)()(v v v v v v d v
v dv v v dv v vf N
dv v vf N N
vdN v 0009
11
92v v v =+=
（4分）
题号：21145010 分值：10分 难度系数等级：5
导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动（故称电子气）。设导体中共有N 个自由电子，其中电子的最大速率为F v （称为费米速率），电子在速率dv v v +~之间的概
率为
dv v N A N dN 24π=（0>>v v F ，A 为常数），0=N
dN
（F v v >）。（1）画出分布函数图；（2）用N 、F v 定出常数A ；（3）证明电子气中电子的平均动能F εε5
3
=，其中
2
2
1F F mv =ε。
解答及评分标准：
（1）由题设可知，电子的速率分布函数为
2
4)(v N A Ndv dN v f π==
（0>>v v F ，A 为常数） 0)(==Ndv
dN
v f （F v v >）
其分布函数图如下图所示 （4分）
（2）由分布函数的归一化条件142
=?
dv v N
A F
v π 得 3
43F
v N
A π=
（3分） （3）5
3544)(2
54
2
2
F F v v N Av dv v N A dv v f v v F
====
?
?
∞
ππ
麦克斯韦速率分布律的推导和验证
完美WORD 格式 编辑 麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证 摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法 推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。 关键词：速度分布函数，实验验证。 一． 内容 1、麦克斯韦速度分布律的内容 当气体处于平衡态时，气体分子的速度在v ~v dv +间隔内，及分子速度分量在 x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +间隔内的分子数dN(v)占总分子数N 的比率为： 2223 ()/22x y z d v m ()v v v N 2kT x y z m v v v kT N e d d d π-++=（）， 其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，22 22 11()v 22 x y z m v v v m ++=为气体分子平动能。d v N N （） 表示速度矢量的端点在速度体元d τ内的分子数占总 分子数的比率，换言之，一个分子取得v ~v dv +间隔内速度的几率。 2、分子速度分布函数 2223()/22m f ()2kT x y z m v v v kT e π-++=x y z dN(v)（v ）=Ndv dv dv f （v ）的物理意义是：分子速度在v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分子数的比率。 3、速度分量分布函数 2221 /221/221 /22m f ()2kT m f ()2kT m f ()2kT x y z mv kT mv kT mv kT e e e πππ---===x x x y y y z z z dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv 3、麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布律与平动动能分布律关系
麦克斯韦速率分布律与平动动能分布律关系 卜子明（1号） 摘要：麦克斯韦首先把统计学的方法引入分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速率分布率，现根据麦克斯韦速率分布函数，求出相应的气体分子平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质，求出平动动能的最概然值及平均值。并比较相似点和不同点。 引言：麦克斯韦把统计方法引入了分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。这是对于大量气体分子才有的统计规律。现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。 方法：采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在ε附近的单位动能区间内的分子数与总分子数的比的函数 )(εf 的表达式。并由此进一步推出与麦克斯韦分布函 数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。 麦克斯韦速率分布律Ndv dN v f = )(这个函数称为气体分子的速率分布函 数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为 2 223 2 24)(v e kT m Ndv dN v f kT mv πππ-?? ? ??==式中T 是气体系统的热力学温度， k 是玻耳兹曼常量，m 是单个分子的质量。式(8-30)称为麦克斯韦速率分布律。式子 dv v f v v ?=?2 1 )(N N 表示在平衡态下，理想气体分子速率在v 1到v 2 区间的分子数 占总分子数的比率。 而应用麦克斯韦速率分布函数可以求出气体分子三个重要的速率： （1）最概然速率p v ，f(v)的极大值所对应的速率 M RT M RT m kT v p 41 .1220 ≈= = 其物理意义为：在平衡态的条件下，理
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率习题11
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率 1、选择题 题号：21111001 分值：3分 难度系数等级：1 麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率 （B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率 （D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半 [ ] 答案：（ D ） 题号：21111002 分值：3分 难度系数等级：1 麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是，它是气体分子 （A ） 处于v 附近单位速率区间的概率 （B ） 处于v 附近的频率 （C ） 处于dv v v +~速率区间内的概率 （D ） 处于dv v v +~速率区间内的相对 分子数 [ ] 答案：（ A ） 题号：21111003 分值：3分 难度系数等级：1 气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2 v ，它们之间的大小关系为 （A ）2..v v v p > > （B ）2v v v p ==
（C ）2v v v p < < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ C ） 题号：21111004 分值：3分 难度系数等级：1 设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为 （A ）N dN v f = )( （B ）dv dN N v f 1)(= （C ）vdv dN N v f 1)(= （D ）dv v dN N v f 21)(= [ ] 答案：（ B ） 题号：21112005 分值：3分 难度系数等级：2 空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ A ） 题号：21112006 分值：3分 难度系数等级：2 已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则x x dv v nf )(表 示为 （A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数 （B ）单位体积内速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数 （C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数 [ ] 答案：（ B ）
麦克斯韦方程组浅析
麦克斯韦方程 摘要：本文对麦克斯韦方程组作了全面的分析和阐述，主要包括：麦克斯韦方程组的建立与推导，麦克斯韦方程组的表现形式及其意义，麦克斯韦方程组的应用等三个方面的内容。 关键词：麦克斯韦方程组 库仑定律 毕奥—萨伐尔定律 法拉第定律 引言：麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在1865年英国皇家学会上发表的《电磁场的动力学理论》中提出来的。麦克斯韦在全面深入的审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，经过长达十年的研究后才得到的成果。可以说，麦克斯韦方程组概括了电磁场的基本性质和规律，构成完整的经典电磁场理论体系。它与洛伦磁力方程共同组成经典电磁学的基础方程，其重要性不言而喻。 一 、麦克斯韦方程组的建立与推导 1、麦克斯韦方程组的建立 麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心，因此麦克斯韦方程组的建立过程实际上就是经典电磁学理论的建立过程。 到1845年，关于电磁现象的三个基本实验定律：库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律已经被总结出来，这为麦克斯韦方程组的建立提供了理论基础。此外，19世纪30年代，法拉第创造性的提出了场和场线的概念，结束了长期以来科学历史上关于超距作用与近距作用的争论。随后，场的思想逐渐完善，科学家们建立了较为成熟的电磁场概念，这对麦克斯韦的工作具有极大的帮助。 1855年，麦克斯韦开始了电磁学基础理论方面的研究。在随后的十年里，他相继发表了《论法拉第力线》、《论物理力线》、《电磁场的动力学理论》等三篇论文。麦克斯韦建立电磁理论的过程大致可分为三步：第一步，麦克斯韦分析总结了电磁学已有的成果，提出感生电场的概念；第二步，他设计了电磁作用的力学模型，对已经确立的电学量和磁学量之间的关系给以物理解释。第三步，他把近距作用理论引向深入，明确地提出了电磁场的概念，并且全面阐述了电磁场的含义，建立了电磁场的普遍方程即麦克斯韦方程组。【1】 2、麦克斯韦方程组的推导 我们先来考察一下库仑定律： r e F 2 00 14r q q πε= 因为q F E =，所以E = r e 2 004r q πε。 （1）电场高斯定律推导 (a) 对于真空中静止的单个点电荷，作任意的高斯面，电荷位于面内。则有：
麦克斯韦速率分律与平动动能分布律关系
麦克斯韦速率分律与平动动能分布律关系
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麦克斯韦速率分布律与平动动能分布律关系 卜子明（1号） 摘要：麦克斯韦首先把统计学的方法引入分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速率分布率，现根据麦克斯韦速率分布函数，求出相应的气体分子平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质，求出平动动能的最概然值及平均值。并比较相似点和不同点。 引言：麦克斯韦把统计方法引入了分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。这是对于大量气体分子才有的统计规律。现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。 方法：采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在ε附近的单位动能区间内的分子数 与总分子数的比的函数 )(εf 的表达式。并由此进一步推出与麦克斯韦分布函 数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。 麦克斯韦速率分布律 Ndv dN v f = )(这个函数称为气体分子的速率分布函 数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为 222 32 24)(v e kT m Ndv dN v f kT mv πππ-?? ? ??==式中T 是气体系统的热力学温度，k 是玻耳兹曼常量，m 是单个分子的质量。式(8-30)称为麦克斯韦速率分布律。式子 dv v f v v ?=?2 1 )(N N 表示在平衡态下，理想气体分子速率在v 1到v 2 区间的分子数 占总分子数的比率。 而应用麦克斯韦速率分布函数可以求出气体分子三个重要的速率： （1）最概然速率 p v ，f(v)的极大值所对应的速率 M RT M RT m kT v p 41 .1220≈==其物理意义为：在平衡态的条件下，理
关于麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组▽-----乐天10518 关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。 麦克斯韦方程组Maxwell's equations 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与的四个基 本方程。 方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。在方程组中，电场和磁场已经成 为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了 电磁波的存在。 麦克斯韦提出的涡旋电场和假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场， 变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激 发组成一个统一的电磁场。麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立 了完整的体系。这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。 麦克斯韦方程组在中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方 程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的的完美 统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统 一的。另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。 [] 历史背景
1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。 概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。 1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了、—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 [] 积分形式 麦克斯韦方程组的积分形式： 麦克斯韦方程组的积分形式: 这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。 （1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。 （2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。 （3）描述了变化的磁场激发电场的规律。 （4）描述了变化的电场激发磁场的规律。 变化场与稳恒场的关系： 当 时， 方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程：
深入浅出讲解麦克斯韦方程组
深入浅出讲解麦克斯韦方程组 前一段时间给大家发过一篇《世界上最伟大的十个公式》，排在第一位的是麦克斯韦方程，它是电磁学理论的基础，也是相对论假定光速不变的依据，可见排在十大公式之首，理所应当！为了让大家更好地理解该方程，我们找到了一篇由孙研发表在知乎上的关于麦克斯韦方程的非常完美的讲解，呈现个大家。在文章的最后，我们还为大家附上了一段讲解麦克斯韦方程的英文动画视频，如果你英文比较好，不妨看一下。以下是正文： 有人要求不讲微积分来讲解一下麦克斯韦方程组？感觉到基本不太可能啊，你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。 1. 力、能、场、势 经典物理研究的一个重要对象就是力force。比如牛顿力学的核心就是F=m a这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。 在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B) 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势potential。 一张图表明关系： 积分 力－－－＞能 ｜｜ 场＜－－－势 微分
麦克斯韦方程组的理解
麦克斯韦方程组的积分形式： 麦克斯韦方程组的积分形式: (in matter) 这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。 其中：（1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。 （2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。 （3）描述了变化的磁场激发电场的规律。 （4）描述了变化的电场激发磁场的规律。 变化场与稳恒场的关系： 当 变化场与稳恒场的关系 时， 方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程： (in matter) 在没有场源的自由空间，即q=0, I=0，方程组就成为如下形式：
(in matter) 麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。 编辑本段 微分形式 麦克斯韦方程组微分形式：在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。利用矢量分析方法，可得： (in matter) 注意：(1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。 (2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系： 在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。 编辑本段 科学意义 (一)经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电
麦克斯韦Maxwell方程组各个物理量介绍
麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的: ?高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。 ?高斯磁定律表明，磁单极子实际上并不存在于宇宙。所以，没有磁荷，磁场线没有初始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。 ?法拉第感应定律描述含时磁场怎样生成（感应出）电场。电磁感应在这方面是许多发电机的运作原理。例如，一块旋转的条形磁铁会产生含时磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭循环因而感应出电流。 ?麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项）。在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着含时电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，含时磁场又可以生成电场。这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间（更详尽细节，请参阅条目电磁波方程）。 自由空间: 在自由空间里，不需要考虑介电质或磁化物质的问题。假设源电流和源电荷为零，则麦克斯韦方程组变为:、 、 、 。
对于这方程组，平面行进正弦波是一组解。这解答波的电场和磁场相互垂直，并且分别垂直于平面波行进的方向。电场与磁场同相位地以光速传播： 。 仔细地观察麦克斯韦方程组，就可以发现这方程组很明确地解释了电磁波怎样传播于空间。根据法拉第感应定律，时变磁场会生成电场；根据麦克斯韦-安培定律，时变电场又生成了磁场。这不停的循环使得电磁波能够以光速传播于空间。 第一种表述: 将自由电荷和束缚电荷总和为高斯定律所需要的总电荷，又将自由电流、束缚电流和电极化电流总合为麦克斯韦-安培定律内的总电流。这种表述采用比较基础、微观的观点。这种表述可以应用于计算在真空里有限源电荷与源电流所产生的电场与磁场。但是，对于物质内部超多的电子与原子核无法纳入计算。事实上，经典电磁学也不需要这么精确的答案。 第二种表述: 以自由电荷和自由电流为源头，而不直接计算出现于介电质的束缚电荷和出现于磁化物质的束缚电流和电极化电流所给出的贡献。由于在一般实际状况，能够直接控制的参数是自由电荷和自由电流，而束缚电荷、束缚电流和电极化电流是物质经过极化后产生的现象，采用这种表述会使得在介电质或磁化物质内各种物理计算更加简易[7]。 注意：麦克斯韦方程组中有B、E两个矢量未知量，共6个未知分量；方程个数是8个（散度是标量，所以两个高斯定律是两个方程；旋度是矢量，法拉第电磁感应定律和安培定律是6个方程；加起来共8个方程）
麦克斯韦速率分布律的推导与验证.
麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证 摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法 推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。 关键词：速度分布函数，实验验证。 一． 内容 1、麦克斯韦速度分布律的内容 当气体处于平衡态时，气体分子的速度在v ~v dv +间隔内，及分子速度分量在 x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +间隔内的分子数dN(v)占总分子数N 的比率为： 2223 ()/22x y z d v m ()v v v N 2kT x y z m v v v kT N e d d d π-++=（）， 其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，22 2211()v 22 x y z m v v v m ++=为气体分子平动能。d v N N （） 表示速度矢量的端点在速度体元d τ内的分子数占总 分子数的比率，换言之，一个分子取得v ~v dv +间隔内速度的几率。 2、分子速度分布函数 2223()/22m f ()2kT x y z m v v v kT e π-++=x y z dN(v)（v ）=Ndv dv dv f （v ）的物理意义是：分子速度在v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分 子数的比率。 3、速度分量分布函数 2221 /221 /221 /22m f ()2kT m f ()2kT m f ()2kT x y z mv kT mv kT mv kT e e e πππ---===x x x y y y z z z dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv 3、麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6麦克斯韦方程组 关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理： 静电场的高斯定理： 静电场的环路定理： 稳恒磁场的高斯定理： 磁场的安培环路定理： 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。 麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1.麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即 上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。 2.麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环 路定理在真空或介质中的表示形式，即 上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。 在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为 又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则 一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为 因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，
根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位 移通量等于零，故有： 2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是 3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用，即 4.磁场的安培环路定理由本节公式（3）已知，变化的电场和它所激发的磁场满足的环路定理为 在变化电磁场的上述规律中，电场和磁场成为不可分割的一个整体。 将两种电、磁场的规律合并在一起，就得到电磁场的基本规律，称之为麦克斯韦方程组，表示如下 上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分形式。 将麦克斯韦方程组的积分形式用高等数学中的方法可变换为微分形式。微分形式的方程组如下
麦克斯韦方程组的由来及物理意义
麦克斯韦方程组的由来及意义 麦克斯韦总结了从库仑到安培、法拉第以来电磁学的全部成就,并发扬了法拉第场的思想,针对变化磁场能激发电场以及变化电场能激发磁场的现象,一提出了有旋电场和位移电流,并归纳出电磁场的基本方程,即麦克斯韦电磁场的基本方程. 在恒定电流磁场中的'安培环路定理 表明,磁场强度沿任意闭合回路的环流等于此闭合回路所围传导电流的代数和.那么在非恒定电流的情况下这个定律是否仍可用呢?首先从电流连续性问题谈起. 在一个不含有电容器的闭合电路中,传导电流是连续的,即任一时刻,流过导体上某一截面的电流是流过任何其它截面的电流是相等的,但在含有电容器的电路中情况就不同了.无论电容器是被充电还是放电,传导电流都不能在电容器的两极板间流过,这时传导电流不连续了.这说明,在非恒定电流的情况下,安培环路定理是不适用的,必须寻求新的规律.为了修正安培环路定理,使之也适合非恒定电流的情形,于是麦克斯韦提出位移电流的假设 并总结出全电流的安培环路定理:磁场强度H 沿任意闭合回路的环流等于穿过此闭合回路所围面积的全电流.dt d I I dl H e S L ψ+ ==?? 麦克斯韦关于有旋电场和位移电流的两个假设前者指出变化磁场要激发有旋电场，后者指出变化电场要激发有旋磁场这两个假设揭示了电场和磁场的内在联系。 麦克斯韦认为静电场的高斯定理和磁场的高斯定理不仅适用于静电场和恒定磁场，也适用于一般电磁场，为了得到电磁场的四个基本方程，首先 1，静电场的高斯定理q dV ds D v s == ???ρ 2，静电场的环流定理 0=??l dl E 3，磁场的高斯定理 0=??s ds B 4，安培环路定理 e s s I dS j dl H =?=??? 麦克斯韦在引入有旋电场和位移电流两个重要概念后，将静电场的环流定理修改为dS t B dt d dl E s l ???-=- =???φ 将安培环路定理修改为dS t D j I I dl H s c d l c ??? ? ????+ =+=??? 于是得到适用于一般电场的电磁场的四个基本方程 q dV dS D V s ==???ρ dS t B dl E s l ???-=??? 0=??s dS B ???==?s L S j I l H ????d d 0
麦克斯韦速率分布函数的物理意义
速率分布函数[1]是一个描述分子运动速率分布状态的函数。一个符合玻尔兹曼分布的粒子体系，如理想气体，其体系中粒子运动速率的分布可以用如下的速率分布函数来描述：通常速率分布函数也采用依动量和依动能分布的形式，虽然形式上有所不同但因为动量动能和速率的相关关系，这些表达方式本质上和依速率表示的速率分布函数还是一样的在处理某些特殊体系的情况下可能会用到二维和一维的速率分布函数，如固体表面吸附的理想气体就可以看做是在二维平面上运动的一个二维独立粒子体系，当处理这个体系有关分子运动速率的问题的时候就要用到二维速率分布函数 在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N . dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比： 其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率. 分布函数f(v)满足归一化条件： 大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律. 麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最
概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞. 上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N . 我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组 关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理： 静电场的高斯定理： 静电场的环路定理： 稳恒磁场的高斯定理： 磁场的安培环路定理： 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。 麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法 拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即 上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。 2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即 上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。 综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在 一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为 又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间 任一点的磁感强度应该表示为 因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律， 根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系 列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有： 2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是 3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用，即
麦克斯韦方程组(彩图完美解释版)
麦克斯韦方程组 关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。 麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。 它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。 在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。 该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。 麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是： 变化的磁场可以激发涡旋电场， 变化的电场可以激发涡旋磁场； 电场和磁场不是彼此孤立的， 它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场 （也是电磁波的形成原理）。 麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来， 建立了完整的电磁场理论体系。 这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。 从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。 麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。 从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。 麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。 他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。 现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。 麦克斯韦方程组的地位 麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。 以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。 它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：
第十三章电磁场与麦克斯韦方程组习题解答和分析.
第十三章习题解答 题图13-1 题图13-2 13-1如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直 导线平行，到两长直导线的距离分别为r1，r2。已知两导线中电流都为，其中I0和为常数，t为时间。导线框长为a宽为b，求导线框中的感应电动势。 分析：当导线中电流I随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉第 电磁感应定律计算感应电动势，其中磁通量，B为两导线产生的磁场的叠加。 解：无限长直电流激发的磁感应强度为。取坐标Ox垂直于直导线，坐标原点取在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的叠加原理可得x处的磁感应强度大小 通过微分面积的磁通量为 通过矩形线圈的磁通量为 感生电动势
时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；时，回路中感应电动势的实际方向为逆时针。 13-2 如题图13-2所示，有一半径为r=10cm的多匝圆形线圈，匝数N=100，置于均匀磁场 中（B=0.5T）。圆形线圈可绕通过圆心的轴O1O2转动，转速n=600rev/min。求圆线圈自图示的初始位置转过时， (1 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R=100，不计自感）； (2 感应电流在圆心处产生的磁感应强度。 分析：应用法拉第电磁感应定律求解感应电动势。应用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求出感应电流在圆心处产生的磁感应强度。 解：(1 圆形线圈转动的角速度 rad/s 设t=0时圆形线圈处在图示位置，取顺时针方向为回路绕行的正方向。则t时刻通过该回路的全磁通 电动势 感应电流 将圆线圈自图示的初始位置转过时， 代入已知数值得： (2 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为 的方向与均匀外磁场的方向垂直。
麦克斯韦气体速率分布函数
设总粒子数为N，粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为v(x),v(y),v(z)。(1)以dNv(x)表示速度分量v(x)在v(x)到v(x)+dv(x)之间的粒子数，则一个粒子在此dv(x)区间出现的概率为dNv(x)/N。粒子在不同的v(x)附近区间dv(x)内出现的概率不同，用分布函数g(v(x))表示在单位v(x)区间粒子出现的概率，则应有dNv(x)/N=g(v(x))dv(x) 系统处于平衡态时，容器内各处粒子数密度n相同，粒子朝任何方向运动的概率相等。因此相应于速度分量v(y),v(z)，也应有相同形式的分布函数g(v(y))， g(v(z))，使得相应的概率可表示为 dNv(y)/N=g(v(y))dv(y) dNv(z)/N=g(v(z))dv(z) (2)假设上述三个概率是彼此独立的，又根据独立概率相乘的概率原理，得到粒子出现在v(x)到v(x)+dv(x)，v(y)到v(y)+dv(y)，v(z)到v(z)+dv(z)间的概率为dNv/N=g(v(x))g(v(y))g(v(z))dv(x)dv(y)dv(z)=Fdv(x)dv(y)dv(z) 式中F=g(v(x))g(v(y))g(v(z))，即为速度分布函数。 (3)由于粒子向任何方向运动的概率相等，所以速度分布应与粒子的速度方向无关。因而速度分布函数应只是速度大小v=√(v(x)2+v(y)2+v(z)2)的函数。这样，速度分布函数就可以写成下面的形式： g(v(x))g(v(y))g(v(z))=F(v(x)2+v(y)2+v(z)2) 要满足这一关系，函数g(v(x))应具有C*exp(A*v(x)^2)的形式。因此可得 F=C*exp(A*v(x)2)*C*exp(A*v(y)2)*C*exp(A*v(z)2)=C3exp(Av2) 下面来定常数C及A。考虑到具有无限大速率的粒子出现的概率极小，故A应为负值。令A=-1/α2，则 dNv/N=C3exp(-v2/α2)dv(x)dv(y)dv(z)=C3exp[-(v(x)2+v(y)2+v(z)2)/α2]dv(x)dv(y)dv (z) 由于粒子的速率在从-∞到+∞的全部速率区间内出现的概率应等于1，即分布函数应满足归一化条件，所以 ∫dNv/N=C3∫exp(-v(x)2/α2)dv(x)∫exp(-v(y)2/α2)dv(y)∫exp(-v(z)2/α2)dv(z)=C3√(πα2)3=1， 可得C=1/(α√π)，从而得到麦克斯韦速度分布律： dNv/N=(α√π)￣3exp(-v2/α2)dv(x)dv(y)dv(z)=(α√π)￣3exp[-(v(x)2+v(y)2+v(z)2)/α2]dv( x)dv(y)dv(z) (4)由上式还可导出速率分布律。可以设想一个用三个相互垂直的轴分别表示 v(x),v(y),v(z)的“速度空间”。在这一空间内从原点到任一点(v(x),v(y),v(z))的连线都代表一个粒子可能具有的速度。由于速率分布与速度的方向无关，所以粒子的速率出现在同一速率v处的速率区间dv内的概率相同。这一速率区间是半径为v，厚度为dv的球壳，其总体积为4πv2dv，从而可得粒子的速率在v到v+dv 区间出现的概率为 dNv/N=4π(α￣3/√π)exp(-v2/α2)v2dv (5)确定常数α。由上式可求出粒子速率平方的平均值为
麦克斯韦方程组(彩图完美解释版)复习进程
麦克斯韦方程组(彩图完美解释版)
麦克斯韦方程组 关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。 麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。 它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。 在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。 该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。 麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：
变化的磁场可以激发涡旋电场， 变化的电场可以激发涡旋磁场； 电场和磁场不是彼此孤立的， 它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场 （也是电磁波的形成原理）。 麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来， 建立了完整的电磁场理论体系。 这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。 麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。 从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。 麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。 从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。 麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。 现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。 麦克斯韦方程组的地位 麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。 以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。 它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念： 物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。 另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组中电场的旋度、散度有什么物理意义？磁场的旋度、散度呢？ 简单来说，前面两个叉乘表示：电场的空间变化会引起磁场的时间变化，磁场的空间变化会引起电场的时间变化。同时看出传播方向与电磁场方向垂直，所以电磁波是个横波。 后面两个点乘表示H和D在边界不能突变，是连续的。 找了一个描述比较系统的给你看看。 麦克斯韦方程组 关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理： 静电场的高斯定理： 静电场的环路定理： 稳恒磁场的高斯定理： 磁场的安培环路定理： 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。 麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，公式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。 2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，公式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。 综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。 在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为 又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场。 因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，也包含变化电磁场的规律， 根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零。 2.电场的环路定理。 3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用。 4.磁场的安培环路定。 在变化电磁场的上述规律中，电场和磁场成为不可分割的一个整体。 将两种电、磁场的规律合并在一起，就得到电磁场的基本规律，称之为麦克斯韦方程组。