人教版-数学-八年级下册矩形中的折叠问题

对学生进行知识、方法、能力梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。进一步提高学生综合解决数学问题的能力，掌握数学方法和技能。

一共有四个问题，问题一为小组合作，大约十分钟后交流，分享成果，总结规律，找到方法。然后从问题二至问题四自主尝试。

问题一：把一个矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C落在E处，BE与AD交于M点，折叠后出现的相等的线段有______________________________________(不包括AB=CD，AD=BC)折叠后出现的相等的角

有________________(不包括∠A=∠C和

∠AMB=∠DME)（你是用什么方法得到的？）

（1）你能从中找到全等三角形吗？若存在请证明。（2）重合部分是什么图形？并说明理由。

（3）当AB=3,BC=4,重合部分面积是多少呢？

设计意图：学生通过多种方法，合作探究，解决折叠问题中具有代表性的问题。教师适时加以点拨，整理思路总结规律和方法。

成果展示，提炼方法

展示环节是学生展示自我，体验成功的重要手段。师生评价与生生评价相结合。

学生小结：通过这四个问题的解决，可以发现，解决图

形中的折叠问题时，需要发现折叠后出现的等腰三角形、直角三角形是解决问题的关键。

自主尝试，运用方法

问题二：折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，

已知AB=4，BC=5，求EC的长。

问题三：把矩形ABCD如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF，

（1）找出图中的全等的三角形，并证明。

（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。

（3）连接BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形？

BD与EF有什么关系？并证明

（4）若AB=3,BC=4，求折痕EF的长？（你有几种求法？）

问题四：折叠矩形ABCD的一边AB，使点B落在对角线AC上的点F处，若AB=3,BC=4，求折痕AE的长。

设计意图：举一反三，让学生运用学会的方法和思路来解决问题，形成触类旁通的数学能力。要充分相信学生，多数题目学生可以当“老师”，完全可以讲明白，

在不断学习中使数学能力得到提高。

三、知识迁移，提高能力

小组合作解决学案中的疑难问题，如果仍有疑问，可组组交流解决完成或找老师解决。

四、感悟与反思

（1）这节课我学到了什么？

（2）我对这节课的学习经历有何感受？

（3）本节课的问题解决主要采用了什么方法？

（4）本节课的学习对我的生活有什么影响吗？

（5）我还有那些疑问？

五、当堂反馈：

（吉林）如图，ABCD是矩形纸片，如图翻折，使AB、CD 恰好落在BD上，设F,H分别是C、A落在BD上的

两点，E,G分别是折痕DE、BG与BC、的交点。（1）求证：四边形BEDG是平行四边形。

（2）若AB=3cm,BC=4cm,求线段EF的长。

课后作业：

1、拓展作业：整理学案，完成剩余两题。学生通过本节课掌握的规律和方法可以解决。

通过拓展作业，引导学生拓展延伸，从而掌握解决图形中的折叠问题的规律和方法。

中考数学中的折叠问题

D ' C ' B ' D A B C M E F B E ' D ' A C D E F 中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（） A 、85° B 、90° C 、95° D 、100° 分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ， ''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合，则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11 ()18022 BMC CMC ∠+∠=?°= 90°，故选B 。例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、 'D 。已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（） A 、31° B 、28° C 、24° D 、22° 分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点'A 的位置，若OB=5，1 tan 2 BOC ∠=，则点' A 的坐标为。分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。 x A ' B O y C A G E F

初中数学折叠问题

第1题图第2题图 G 第3 题图第4题图第5题图第6 题图折叠问题文稿（不含压轴题） 1.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=___． 2.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 的长． 3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于_ ____． 4.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，折痕交CD 于点E ，已知AB=8cm, BC=10cm ，求EC 的长． 5.如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，将BC 边折叠，使点B 与点D 重合，折痕经过点C ，若AD=2，AB=4，求∠BCE 的正切值． 6.如图，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将点A 沿过DE 的直线拆叠．（1）说明点A 的对应点A ＇一定落在BC 上；（2）当A ＇在BC 中点处时，求证：AB=AC ．

第7题图 7. 如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是多少？ 8. 如图是面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边上的中点，将点C 折至MN 上，落在点P 位置，折痕为BQ ，连结PQ ．（1）求MP 的长；（2）求证：以PQ 为边长的正方形面积等于 1 3 ． 9. 把矩形ABCD 对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕上，得到Rt △ABE ，延长EB 交AD 于点F ，若矩形的宽CD=4．（1 ）求证：△AEF 是等边三角形；（2）求△ AEF 的面积．第8题图第9题图

初中数学中的折叠问题电子教案

初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度． 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是． 3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可 4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（）注意折叠前后角的对应关系 5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形3 2 1 F E D C B A G A' C A B D

6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF 7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．理清在每一个折叠过程中的变与不变 8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中 ①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等 9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B 落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN交于P． (1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式； (3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形 MNC’B’面积最小？并验证你的猜想． 5 4 1 32 G D‘ F C‘ D B C A E

初中数学专题折叠问题

专题八折叠问题学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。基本图形：在矩形ABCD 中，将△ABF 沿BE 折叠至△FBE,可得何结论（1）基本图形练习：如图，将三角形纸片ABC 沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 上，折痕为AD ，展开纸片；再次折叠，使得A 和D 点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF 是等腰三角形，对吗（2）折叠中角的考法与做法：将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使得A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （图1）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 边上的点D ’，折痕为EG （图2）,再展开纸片，求图（3）中角a 的大小。（3）折叠中边的考法与做法：如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是多少模块精讲例1.（2014扬州）已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP ∽△PDA ； ②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．例2.（2013苏州）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若=，则= 用含k 的代数式表示）．例3、（2013苏州）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm ，BC=12cm ，点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s ，点F 的运动速度为3cm/s ，点G 的运动速度为s ，当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB′F ．设点E 、F 、G 运动的时间为t （单位：s ）．（1）当t= s 时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在实数t ，使得点B′与点O 重合若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．例4、如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G ，F ，AE 与FG 交于点O ．结论：（1）全等；（2）垂直。 ★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上；第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。

中考数学折叠问题

2016年中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点： 1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形； 2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称； 3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形； 4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系； 5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。折叠问题数学思想： (1)思考问题的逆向(反方向)， (2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路； (3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想； (4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)； (5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2：证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。典型例题一．折叠后求度数例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．950 练习 1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（） A．50°B．55°C．60°D．65°

八年级数学(上册)专题突破平行线性质的综合应用折叠问题试题

八年级数学上册专题突破平行线性质的综合应用折叠问题试题平行线性质的综合应用：折叠问题一、平行线的性质方法归纳：平行关系数量关系（由“线”推“角”）由“线”的位置关系（平行），定“角”的数量关系（相等或互补）如（1）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1＝60°，则∠2的度数为（） A.30° B.45°c.60°D.120° 解：∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝∠3＝60°。故选c。（2）如图，直线c与a、b均相交，当a∥b时，则（） A.∠1＞∠2 B.∠1＜∠2c.∠1＝∠2D.∠1＋∠2＝90°

解：∵a∥b， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），故选：c。二、折叠问题（翻折变换） 1.折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换。 2.折叠是一种对称变换，它属于轴对称。（1）对称轴是对应点的连线的垂直平分线；（2）折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化；（3）对应边和对应角相等。 3.对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。例题1如图所示。已知AB∥cD，∠B＝100°，EF平分∠BEc，EG⊥EF。求∠BEG和∠DEG。解析：根据平行线的性质及角平分线的性质可求出∠BEc、∠BED的度数，再根据EG⊥EF可得出要求的两角的度数。答案：解：由题意得：∠BEc＝80°，∠BED＝100°，∠BEF＝∠BEc＝40°， ∴∠BEG＝90°－∠BEF＝50°，

∠DEG＝∠BED－50°＝50°。 ∴∠BEG和∠DEG都为50°。点拨：解答此类题目要熟悉平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补。例题2如图所示，将宽为4厘米的纸条折叠，折痕为AB，如果∠AcB＝30°，折叠后重叠部分的面积为多少平方厘米？解析：根据翻折不变性，得到∠α＝∠cAB，从而求出∠ABc＝∠BAc，再得出△AcB为等腰三角形，求出AD和cB 的长，进而求出△ABc的面积。答案：解：延长GA到F，根据翻折不变性，∠α＝∠cAB，∵AG∥Bc，∴∠GAc＝∠AcB＝30°，∴∠α＝∠cAB ＝（180°－30°）÷2＝75°， ∴∠ABc＝180°－30°－75°＝75°，∴Ac＝Bc。作AD⊥Bc，垂足为D，∵纸条的宽＝4c， ∴AD＝4c，在Rt△AcD中，∠AcD＝30°，∴Ac＝2AD ＝2×4＝8c，∴Ac＝Bc＝8c， ∴△ABc的面积为（4×8）÷2＝16c2。故重叠部分的面积为16c2。点拨：此题考查了翻折不变性和平行线的性质和等腰三角

中考数学中的折叠问题

专题：漫谈折叠问题（二）、折叠问题小技巧 A 要注意折叠前后线段、角的变化，全等图形的构造; B 通常要设求知数； C 利用勾股定理构造方程。、折叠问题常见考察点（一）求角的度数 1. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张 △KBC 纸片，点D E 分别是边AB AC 上，将△KBC 沿着DE 折叠压平，A 与A 重合，若ZA=75°则△+￡=【】【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 AB= AC, △BAO 50° △BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 D. 75 ABCC 中，虫=70°,将平行四边形折叠，使点 D C 分别落在点F 、E C. 105 2.如图，在平行四边形，折痕为MN 则△KMF 等于【 D . 20° 3.如图，在等腰 △XBC 中,

C沿EF折叠后与点Q重合，则?EF的度数是【考点】翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。

4.如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A处，连接A'C,则 5.如图，在△KBC中，D,、E分别是边AB AC的中点，ZB=5O°o现将△KDE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A i,则的度数为____________________________ ° 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，三角形中位线定理，平行的性质。（二）求线段长度 1. 如图，正方形纸片ABCD勺边长为3，点E、F分别在边BC CD上,将AB AD分别和AE、 AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1,贝U EF的长为【【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。 2. 如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A 恰好落在边BC的点F处?若AE= 5, BF= 3，则CD的长是【 A. 7 B . 8 C . 9 D . 10 【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。

八年级数学上册 1 勾股定理专题训练(一)利用勾股定理解决折叠问题 (新版)北师大版

专题训练(一) 利用勾股定理解决折叠问题 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( ) A ．1 cm B ．1.5 cm C ．2 cm D ．3 cm 2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为D E ，则CD 的长为( ) A.252 cm B.152 cm C. 254 cm D.154 cm 4．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝ 25 4 cm ，则AD 的长为( ) A ．4 cm B ．5 cm C ．6 cm D ．7 cm 5．(铜仁中考)如图，在长方形A BC D 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( ) A ．3 B.15 4 C ．5 D.15 2 6．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE

的周长为________．

中考数学折叠问题分析

中考数学“折叠”问题分析平顶山市第二十七中学高国普 2019年4月

中考数学“折叠”问题分析一、近年来河南中考数学题中“折叠”考查内容 ①直接考查折叠的性质（全等变换）；与点坐标、角度结合，借助折叠（轴对称）的性质转移边、角，一般作为选择、填空题中的简单题、中等题进行考查。 ②在考查折叠的性质同时，对折叠作图提出了要求；结合起来考查，以特殊△、正方形、矩形的折叠为背景，考查学生分类作图、分析转化、设计方案求解的能力，一般作为填空题中的小压轴出现。 ③将折叠作为背景放在综合问题中进行考查，侧重考查折叠特征的理解以及常见相关的常见组合搭配、套路等

二、轴对称（折叠）的思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对称轴性质：①对应点所连线段被对称轴垂直平分； ②对称轴上的点到对应点的距离相等。（3）组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、两次折叠常出现直角，60°角；折叠会出现圆弧等．（4）作图：关注对称轴和对应点，有时需要依据不变特征分析转化，补全图形。三、15题基本解题步骤： 1．研究背景图形：求解边、角；表达式、坐标（尤其注意特殊角） 2．组合特征、辨识结构：先考虑折叠，根据折叠的思考层次尝试分析；然后从存在性问题出发，考虑不变特征以及需要满足的条件因素；两者组合进行分析. 3．依据特征分类，作图 4．求解、验证应用举例如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A的对应点为A'，且B'C=3，则 BN=______，AM=______ ，MN=______. 四、直角思考层次： 1.边：勾股定理 2.角：互余（常多个直角配合进行角的传递） 3.面积：看作高（考虑等积公式） 4.常见组合搭配 ①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边一半) ②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形） ③直角+角平分线（等腰三角形三线合一） ④直角三角形斜边上的高（母子型相似） ⑤弦图结构 ⑥三等角模型 ⑦斜直角放正 ⑧十字模型 5.函数背景下： 6.圆背景下：90°圆周角——直径注：常由顶点移动的90°直角考虑该顶点所在的圆应用举例直角结构——固定用法“斜直角放正” ①一线三等角

(精心整理)2017年中考数学复习专题图形折叠问题及答案

2017年中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习一选择题： 1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( ) A．40° B．35° C．20° D．15° 2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（） A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（） A．12 B．24 C．12 D．16 4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）

A．1 B．2 C. D. 6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（） A．12 B．10 C．8 D．6 7.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（） A.7 B.8 C．9 D． 10 8.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（） A．78° B．75° C．60° D．45° 9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（） A． 10 B． 13 C． 15 D． 12 10.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( ) A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米

八年级数学折叠问题

D ' C ' B' D A B C M E F 八年级数学折叠问题 1、如图,四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠,使点B 恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF．若CD＝6,则AF等于（） A．4B．3C．4D．8 2、如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,若∠DBC＝22.5°八年级数学折叠问题中45°的角（虚线也视为角的边）有（） A．6个B．5个C．4个D．3个 3、把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠, EM、FM为折痕,折叠后的C点落在' B M或'B M的延长线上,那么∠EMF的度数是（） A、85° B、90° C、95° D、100° 4、如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC＝3,则折痕CE的长为（） A、23 B、33 2 C、3 D、6 5、如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6,D,E 分别在 AB、AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE 的中点,则折痕DE的长为（） A、B、2 C、3 D、4 6、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,将BC向BA 方向翻折过去,使点C落在BA上的点C′,折痕为BE,则EC的长度是（） A、53 B、535 -C、1053 -D、5 5 3 + 7、如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在C′,D′的位置上,EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°,

A B C D F E 那么∠BEG= °． 8、如图,将纸片△ABC 沿DE 折叠,点A 落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A= ____________度．八年级期中复习------折叠问题（2） 9、如图,矩形纸片ABCD 中,已知AD =8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合,点B 落在点F 处,折痕为AE,且EF=3,则AB 的长为（） A.3 B.4 C.5 D.6 10、如图所示,将矩形纸片ABCD 折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在点C′处,折痕为EF,若∠EFC′＝1250 ,那么∠ABE 的度数为（） A ．150 B ．200 C ．250 D ．30 11、如图,在△ABC 中,∠C=90°,点D 在AC 上,将△BCD 沿着直线BD 翻折,使点C 落在斜边AB 上的点E 处,DC=5cm,则点D 到斜边AB 的距离是 cm ． 12、点D 、E 分别在等边△ABC 的边AB 、BC 上,将△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 落在B 1处,DB 1、EB 1分别交边AC 于点 F 、 G ．若∠ADF＝80o,则∠CGE＝． 13、把一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠,使顶点B 和顶点D 重合,折痕为EF ．若BF ＝4,FC ＝2,则∠DEF 的度数是_ ． 14、如图所示,在△ABC 中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为DE,则△ABE 的周长为． 15、如图,在矩形纸片ABCD 中,AB ＝2cm,点E 在BC 上,且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠,点B 恰好与AC 上的点B 1重合, 则AC ＝ cm ． 16、将矩形ABCD 沿AE 折叠,得到如图所示图形．若∠CED′＝56°,则∠AED 的大小是． 17、如图,将长8 cm,宽4 cm 的矩形纸片ABCD 折叠,使点A 与C 重合,则折痕EF 的长等于 cm ．

中考数学中的折叠问题

专题：漫谈折叠问题（二）一、折叠问题小技巧 A 要注意折叠前后线段、角的变化，全等图形的构造； B 通常要设求知数； C 利用勾股定理构造方程。二、折叠问题常见考察点（一）求角的度数 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【】 A．150°B．210°C．105°D．75° 【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于【】

A．70° B．40° C．30° D．20° 3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是__________．【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。

4. 如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=__________度． 5.如图,在△ABC中，D,、E分别是边AB、AC的中点, ∠B=50°o.现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为__________°. 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，三角形中位线定理，平行的性质。（二）求线段长度 1.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【】

八年级复习专题1：折叠问题

八年级复习专题1：折叠问题一、折叠问题如图所示，将长方形纸片ABCD 的一边AD 向下折叠，点D 落在BC 边的F 处。已知AB=CD=8cm ，BC=AD=10cm ，求EC 的长。解题步骤归纳： 1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x ； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边用含x 的代数式表示，转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。练习 1、如图，将矩形ABCD 纸片沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在边BC 的F 处，已知3, CE cm =8AB cm =，求图中阴影部分的面积． 2、如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，求DE 的长 3、如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC 折叠,使AB 落在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD ，求BD 的长． 4、如图所示，在?ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，把?ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分(阴影部分)的面积． 5、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9 cm ，宽AB=3 cm ，将其折叠，使点 D 与点B 重合，那么折叠后D E 的长是多少? 6、如图，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点 E 处，点A 落在点 F 处，折痕为MN ，求线段CN 的长． 8.如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =30°，△ABD 是等边三角形，AB =8，如果将四边形ACBD 折叠，使点D 与点C 重合，EF 为折痕，则AE= . 9.（2016年金华中考15题）如图，Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D,AB′与边BC 交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD 的长是 . C D B A E

(完整版)初中数学专题：折叠问题

（3）折叠中边的考法与做法：如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是多少？ ★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上；第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。模块精讲例1.（2014?扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

中考数学复习专题：折叠问题

根据折叠的性质，可得 ∠A′D′F=∠D=120°， ∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。 ∵D′F⊥CD ，∴∠D′FM=90°， ∠M=90°-∠FD′M=30°。 ∵∠BCM=180°-∠BCD=120° ，∴∠CBM=180°-∠BCM -∠M=30°。∴∠CBM=∠M。 ∴BC=CM。设 CF=x ，D′F=DF=y ，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°=D F y 3FM 2x y '==+3-1x =。 ∴CF x 3-1FD y ==。故选A 。 3. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【】

A3 1 B2＋1 C．2.5 D5【答案】B。【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处， ∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°， ∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处， ∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝045 ＝ 2 22.5°。∴∠FAB＝67.5°。设AB＝x，则AE＝EF2x， ∴an67.5°＝tan∠FAB＝ t FB2x+x21 ==。故选B。 AB x 4. （2012广东河源3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在

初中数学中的折叠问题

. . 初中数学中的折叠问题对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换． 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系． 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠 1．将一长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度． BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90° 折叠前后的对应角相等 2．如图所示，一矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 1 2 AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积 = 24 对称轴垂直平分对应点的连线 3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌△ A’DG，由A’D = AD = 3，AG’ = AG，则A’B = 5 – 3 A' C D

初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题监利县第一初级中学刘光杰折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换． 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系． 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度． BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90° 折叠前后的对应角相等 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 1 2AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24

初二折叠问题

1、如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90o，沿着B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合。当∠A 满足什么条件时，点D 恰好是AB 的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点。 2、将长方形ABCD 的纸片，沿EF 折成如图所示，延长C`E 交AD 于H ，连结GH 。求证：GEHF 是菱形 4、如图，AD 是?ABC 的中线，∠ADC=45o，把?ADC 沿AD 对折，点C 落在点C'的位置，求BC'与BC 之间的数量关系。 5、在梯形纸片 ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明．

6、如图，将一张对边平行的纸条先沿折叠，点A 、B 分别落在、处，线段与交于点，再将纸条的另一部分沿折叠，点C 、D 分别落在、处，且使经过点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当翻折角度时，四边形是菱形．（将答案直接填写在横线上）∠EMF=90o 7、现有一张矩形纸片ABCD （如图），其中AB=4㎝，BC=6㎝，点E 是BC 的中点。实施操作将直线AE 对折，使点B 落在梯形 AECD 内，记为点B / （1）请用尺规，在图中作出 (保留作图痕迹)；（2）试求B / 、C 两点之间的距离。在画出图形的基础上，根据轴对称变化的性质，可得3,4''====E B BE AB AB 。根据等面积法，通过求四边形 A AB B '的面积，可求得= 'BB 5 12 。根据在三角形中,一边中线等于这条边的一半,则此三角形是直角三角形，可得' CBB ?是直角三角形。根据勾股定理，可得()2 5 122' 6-=C B = 215 6 8、（如图1）将一张长方形纸对折可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折六次能得到几条折痕，n 次有几条折痕？图1 分析：在这个折叠问题中对折方式不变，变化的是随着对折次数的增加折痕有规律的增加，情况如下表

中考数学中的折叠问题专题复习

中考数学中的折叠问题专题复习中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标 1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。 2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。 3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。四、教学程序及设想 1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC （AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD, 展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为 EF,展开纸片后得到AEF （如图1）。小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。引出课题。 2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B 重合，点C 落在点C'处，折痕为EF，如果∠ ABE ＝20°，则∠ EFC' ＝（） A. 125 ° B. 80 ° C. 75 ° D. 无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的

两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。 1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，已知∠ ADB=20°，那么，∠ BAF 为多少度时，才能使AB' ∥BD？（∠ BAF ＝55°）利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。若条件中没有任何一个角的度数已知时，该怎样思考？ 2、如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片， AD=2AB ，沿过点D 的折痕，将A 角翻折，使A 落在BC边上的A1处，则∠ E A1B= （本题和上题的区别在于条件中没有任何一个角的度数是已知的，要把线段之间的关系转化角的度数，然后求得未知角的度数。在难度上有所加深，其目的在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能力。）利用折叠的性质，除了可以求角的度数之外，还可以求线段的长度引出。归类二：求线段的长度例2、如图在长方形ABCD 中，AB=8,BC=10,经折叠，A 点落在BC边的 F 点处，折痕DE 与AB 的交点是E ，求EF 的长。解：连接DF，设AE ＝X 根据题意，AE＝EF＝X，DF＝AD ＝BC ＝10 所以根据勾股定理得CF＝6 所以BF＝10－6＝4 因为BE＝8－X 所以根据勾股定理得：