传染病传播的数学模型---上课
微分方程模型
[学习目的]
1.加深对微分方程概念的理解，掌握针对一些问题通过建立微分方程
的方法及微分方程的求解过程；
2.了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧；
3.领会建立微分方程模型的逐步改进法的核心及优点，并掌握该方法；
4.理解微分方程的解的稳定性的意义，会用稳定性判定模型的解是否
有效；
5.体会微分方程建摸的艺术性。
在自然学科（如物理、化学、生物、天文）以及在工程、经济、军事、社会等学科中大量的问题可以用微分方程来描述。正如列宁所说：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似中’．”（列宁选集第二卷，人民出版社1972年版第295页）。要建立微分方程模型，读者必须掌握元素法（有关元素法，在高等数学中已有介绍）。所谓元素法，从某种角度上讲，就是分析的方法，它是以自然规律的普遍性为根据并且以局部规律的独立的假定为基础。在解决各种实际问题时，微分方程用得极其广泛。读者通过下面的几个不同领域中的模型介绍便有所体会，要想掌握好它，在这方面应作大量的练习。
§17.1、传染病传播的数学模型
[学习目标]
1.通过学习建立传染病传播的数学模型的思维方法，能归纳出该类建模的关键
性步骤及思维方法；并能指出求解传染病传播的数学模型的方法技巧；
2.能用已知的传染病传播的数学模型，预报某种传染病的传播；
3.学会从简单到复杂的处理问题的方法。
由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。生物医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。以下仅讨论传染病的传播问题。人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与
实际过程比较吻合，这个现象才得到了比较满意的解释。
传染病传播所涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等。如果还要考虑人员的迁入与迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的传播等因素的影响，那么传染病的传播就变得非常复杂。
如果一开始就把所有的因素考虑在内，那么将陷入多如乱麻的头绪中不能自拔，倒不如舍去众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。下面由简单到复杂将建模的思考过程作一示范，读者可以从中得到很好的启发。
模型一 、 考虑最简单的情形：
假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数；
假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。记表示t 时刻病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，，即最初有个传染病人。则在时间内增加的病人数为
于是得微分方程
(1)， 其解为 结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播快，被传染人数按指数函数增长。但由方程(1)的解可以推出，当时，，这显然是不符合实际情况的。问题在于两条假设均不合理。特别是假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数与实际不符。因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多；而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的。为了与实际情况吻合，我们在原有基础上修改假设建立新的模型。
模型二 、 用表示t 时刻传染病人数和未被传染人数，。假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，
即
；假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；
K 0i t ()K 0i i ()00=i 0?t i t t i t K i t t
()()()+-=??0?????==00)0()()(i i t i K dt t di i t i e k t
()=00t →∞i t ()→∞i t s t (),()i i ()00=K Ks t 0=()
假设(3)，总人数为n ，即．
由以上假设得微分方程
(2)用分离变量法求得其解为 (3)
其图形如图17.1所示．
模型二可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。
i(t)
n
图17.1
图17.2 医学上称为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，
如图17.2所示。 由(3)式可得 (4) 令 ，得极大点为 (5)
由此可见，当传染病强度K 或总人数n 增加时，都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。同时，如果知道了传染强度K （K 由统计数据得出），即可预报传染病高峰到来的时间，这对于防治传染病是有益处的。模型二的缺点是：当时，由(3)式可知，，即最后人人都要生病，这显然是不符合实际情况的。造成该问题的原因是假设(2)中假设了人得病后经
s t i t n ()()+=di t dt Ks t i t s t i t n i i ()()()
()()()=+==?????
??00i t n
n i e Knt
()=+-?? ???-110i )/(t dt di -d i d t K n n i e n i e K n t
K n t =-?? ???+-?? ????????
?--2002111d i t d t 220()=t n i K n 101=-ln ()t 1t 1t →∞i t n ()→di dt 01t
久不愈。
为了与实际问题更加吻合，对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得了病后有的会死亡；另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为其中一部分会被隔离。还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设的那样，人得病后经久不愈。为此作出新的假设，建立新的模型。
模型三 在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍要把问题简单化。设患过传染病而完全痊愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形，并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即一个人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下，把居民分成三类：
第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的，用I(t)表示t 时刻第一类人数；第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用s(t)表示t 时刻第二类人数；第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人，用R(t)表示t 时刻第三类人数。
假设疾病传染服从下列法则：
(1) 在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N ，即不考虑出生及其它原因引起的死亡，以及迁入迁出等情况；
(2) 易受传染者人数s(t)的变化率正比于第一类的人数I(t)与第二类人数s(t)的乘积；
(3) 由第一类向第三类转变的速率与第一类的人数成正比。
由(1)、(2)、(3)条得微分方程组
(6)其中、为两个比例常数，为传染率，为排除率。
由(6)式的三个方程相加得
则 （人口总数）
故 （7）
由此可知，只要知道了s(t)和I(t)，即可求出R(t)。
????
?????=-=-=I dt dR I rsI dt dI rsI
dt ds γγr γr γ[]d dt
s t I t R t ()()()++=0s t I t R t ()()()++=N R t N s t I t ()()()=--
而(6)式的第一和第二个方程与R(t)无关。因此，由
（8）得 ， 。当时，，，记，有 （9）下面讨论积分曲线(9)的性质。
由(8)式知
所以当时，I(s)是s 的增函数，时，I(s)是s 的减函数。
由连续函数中间值定理及单调性知，存在唯一点， 使得。而当时，I(s) > 0。
由(7)知I = 0时，，。
图17.3
如果，则随着s(t)减小到时，I(t)增加，且当时，I(t)达到最大值。当时，I(t)才开始减小。由以上分析可以得出如下结论：只是当居民中
d s d t r s I
d I d t
r s I I =-=-?????γdI ds rsI I rsI rs
=--=-+γγ1I s s r s c ()ln =-++γt t =0I t I ()00=s t s ()00=ργ=
r I s I s s s s ()ln =+-+000
ρI s s s s s '(),,,=-+<>==>
s <ρs >ρ()()0
,000>=-∞=I s I I s ∞00<<∞s s I s ()∞=0s s s ∞<≤0ds dt /=0dI dt /=0ρ>0s ρs =ρs t ()<ρ所以(,)s ∞0为方程组(7)的平衡点．
当t t ≥0时，方程(9)的图形如图17.3
当t 由t 0变化到∞时，点(s(t),I(t))沿曲线(9)移动，并
沿s 减少方向移动，因为s(t)随时间的增加而单调减少。
因此，如果s 0小于ρ，则I(t)单调减小到零，s(t)单调
减小到s ∞。所以，如果为数不多的一群传染者I 0分散
在居民s 0中，且s 0<
ρ，则这种疾病会很快被消灭。由上分析可以得出如下结论：
的易受传染者的人数超过阈值 时传染病才会蔓延。用一般的常识来检验上面的结论也是符合的。当人口拥挤、密度高，缺乏应有的科学文化知识，缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围内出现却很快被消灭。
如果起初易受传染者的人数大于但接近于阈值，即如果 与相比是小量，则最终患病的人数近似于2．这就是著名的传染病学中的阈值定理。生物数学家Kermack 和Mekendrick 在1927年首先证明了这个定理。定理（传染病学中的阈值定理）：设，且假设 同1相比是小量。并设最初传染者人数很小，则最终患病的人数为。即易受传染者的人数最初比阈值高多少，那最终就会比阈值低多少。
证明略。
根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数。这个定理解释了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所波及的人数大体上是一常数的现象。
在传染病发生过程中，不可能准确的调查每一天或每一星期得病的人数。因为只有那些来医院就医者才能被人知道他们得了病，并把他们隔离起来防止传染。因此，统计的记录是每一天或每一星期新排除者的人数，而不是新得病的人数。所以，为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较，必须解出（6）式中的第三个方程：
因为
， ， 所以
有 (10)方程(10)虽是可分离变量的，但是不能用显式求解。
如果传染病不严重，则是小量，取泰勒级数
的前三项，取近似值得
ργ
=r
s 0ρ()s 0-ρρ()s 0-ρs r 0=+ρr /ρI 02r )(s R N I dt dR --==γγds dR ds dt dR dt rsI I r s s ==-=-=-γγρds s dR =-ρs R s e R ()/=-0ρdR dt
N R s e R =---γρ()/0R ρe R R R -=-+?? ??
+/ρρρ1122 ?????????????????????? ??+---=20211ρργR R s R N dt dR
其解为 ，其中 ，，因此 （11）方程(11)在平面上定义了一条对称钟形曲线，称为疾病传染曲线．疾病传染曲线很好的说明了实际发生的传染病。每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值，然后又减少下来。
800600400200
5 10 15 20 30 星期数 图17.4 图17.5
Kermack 和Mekendrick 把(11)得到的的值，同取自1905年下半年至1906年上半年在孟买发生的瘟疫资料进行比较，他们设
其中t 按星期计，在图17.5中，dR/dt 的实际数字（图上用“．”表示）同理论曲线非常一致。这就表明了模型三是在固定的居民中传染病传播的准确而可靠的数学模型。对于同一事物，可用不同的数学工具来描述它。下面介绍一般随机传染病模型。
模型四 、 一般随机传染病的数学模型：
以上建立的常微分方程描述的传染病的传播是确定性的模型。但人生病是随机的，因而建立随机的传染病的数学模型才能更实际的反映传染病的传播。
=-+-?? ???-?? ???????????γρρN s s R s R 000212?????
???? ??-+-=?αγαρρt tg s s t R 211)(002()αρρ＝s s N s 02001212-?? ???+-??????
?????? ??-=110ρα?s arctg ??
? ??-=?αγργαt s dt dR 21sec 22022t dR dt -r
αdR dt dR dt
h t =-89002342sec (..)
设X(t)表示t 时刻易受传染者人数，Y(t)表示t 时刻已受传染者人数，n 表示易受传染者总数，又设t 时刻有i(i>0)个易受传染者移入已受传染者中来。
这种传染病传播的机制如下：(1) 在群体中个体均匀的混和；
(2) 在区间()内，一个新传染病例出现的概率为，其中是传染率；
(3) 在区间()内，排除一个个体的概率为，其中是排除率；
(4) 在区间()内，有多次转移（即多个传染或排除）发生的概率为；
(5) 在区间()内，无变化的概率为，
令，，，。
从(2)和(3)知有两种可能的转移及()。因此，表征随机传染病流行过程的差分方程为：
(12)其中。在(12)式中为相对排
除率，并已对时间变量作了变换，使方程对传染率是无量纲的。
方程(12)的初始条件为 方程(12)所描述的随机传染病流行数学模型可以推得确定性模型(6)。1942年Wilson 和Burker 讨论了潜伏期的重要性,他们用微分差分方程来描述传染病传播的数学模型．
其中A 是易受感染者乘以恢复健康的比率，是易受感染者变成传染者的潜伏期，r 是易受感染者与病人的接触率。
Cooke 除了考虑潜伏期，还引进了阻尼阈值的概念，这个概念说明个别成员从易受感染者成为传染者之前可能反复发病，Cooke 模型是很复杂的泛函微分方程。
还有人用最优控制理论的模型来描述传染病的传播，在这里就不再一一介
t t t ?+,)(t o t xy ?+?λ()0>λλt t t ,+?μy t o t ??+()μμ()>0t t t ,+?o t ()?t t t ,+?()()1-++λμx y t o t ??{}P t X t x Y t y xy ()(),()===Φx ≥0y ≥0t ≥0(,)x x y y →-→+11y y →-1???
????+-=+++--+=+-+)()()()()1()()()()1)(1()(1,1,1t P n i dt t dP t P y t P x y t P y x dt t dP ni ni y x xy y x xy ρρρ000≤+≤+≤≤≤≤+x y n i x n y n i ,,ρμλ=/λ?
??===其他,0,,1)0(i y n x P xy []
x t A rx t A x t x t '()()()()=---+--σττσσ
绍了。
习题17.1
1.在传染病传播的数学模型中，假设给第二类人员（即易受传染者）注射预防针，注射的速率同第二类人员数与第一类人员（即传染者）人数的平方之积成正比。
（1）试建立传染病传播的数学模型；
（2）求（1）的轨线；
（3）当疾病被消灭后，还剩有易受传染者吗？
2.本世纪初，在伦敦曾观察到一种现象，大约每两年发生一次麻疹传染病，生物数学家H E 素帕（soper ）试图解释这种现象.他认为易受传染者的人数因人口中增添新的成员而不断得到补充,试建立数学模型.
λ?
数学建模之传染病模型
第五章 微 分 方 程 模 型 如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型. §1 传 染 病 模 型 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题. 考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位. 一. SI 模 型 假设条件： 1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人 和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i . 2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康 人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述()t i 变化的数学模型. 解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴ 由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为 ()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染. 于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有 i s N dt di N λ= (1)
i s dt di λ=∴ 而1=+i s . 又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则 ()()?????=-=0 01i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-??? ? ??-+= 11110 ［结果分析］ 作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下： 1. 当2 1=i 时，dt di 取到最大值m dt di ?? ? ??，此时刻为 ??? ? ??-=-11ln 01i t m λ 2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）. 二. SIS 模 型 在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.
精选-传染病流行的三个环节
传染病流行的三个环节 传染病流行是由细菌、病毒等病原体所引起的一类常见病、多发病。它可在人群中传播，造成流行。旧社会，由于鼠疫、霍乱、天花、血吸虫病、伤寒等传染病的猖厥流行，我国人民贫病交加，人均寿命只有35岁。解放后，党和政府高度重视传染病的防治工作，一些烈性传染病已在我国绝迹，1989年9月1日，我国又贫布了《中华人民共和国传染病防治法》，使许多传染病得到有效控制。但当前，我国传染病的发病率仍占年总发病率的第一位，普及传染病防治知识、增强大众的防病意识，达到最终消灭传染病的目标还任重而道远。夏秋季是胃肠道传染病的高发季节，为此，从本期开始我们在《医学常识》栏目中将连续刊出传染防治的一般常识。 传染病在人群人传播，必须具备三个环节——传染源、传播途径、易感人群。这三个环节是构成传染病在人群中发生和流行的生物学基础，只有这三个环节同时存在，传染病才可能造成传播与流行，而只要切断其中的任一五一节，传染病就不能传播与流行。例如，接种疫苗就是为了保护易感人群，从而不得传染病。 一、传染源 是指受了传染的人或动物 传染源体内一定有病原体生存繁殖，并不时地排出体外，感染别人。传染源包括了传染病的病人、病原体携带者（体内带有病原体，但没有临床表现的人）和受感染的动物。 （一）病人传染病病人是主要的传染源，其体内的病原体数量多，而且病人的症状有利于病原全向外播散，如病原体可通过病人的咳嗽、喷嚏、呕吐、腹泻等方式排出体外。一般传染病在发病初期的传染性最强，如麻疹、病毒性肝炎等。有些传染病如白喉、伤寒在恢复期还有传染性。 （二）病原携带者是指没有疾病的表现而携带病原体的人。病原携带者可分为三类：潜伏期携带者、病后携带者、“健康”携带者。由于这些病原携带者都没有临床症状和表现，但可不断排出病原体，所以不容易被人发现，是最重要、最危险的传染源。 （三）受感染的动物人类有许多传染病来自动物（包括家畜和野生动物），其中以鼠类最为重要，因为它能传播多种疾病如鼠疫、出血热、钩端螺旋体病等。以动物作为传染源的疾病，称为“动物性传染病”，如炭疽、布氏菌病、狂犬病、流行性出血热、钩端螺旋体病等。这些动物性传染病可以由动物传染给人，但人与人之间一般不相互传染（鼠疫可在人与人之间传播）。 二、传播途径
数学建模 传染病模型
传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍 乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 方程（1）的解为 结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。 模型2 SI模型 假设条件为 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者即健康人（Susceptible）（S）和已感染者即病人（Infective）（i）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。
数学建模传染病模型剖析
传染病的传播 摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合
MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率 1问题的重述 SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： 1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。 2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。 3)说明建立传染病数学模型的重要性。 2 定义与符号说明 N …………………………………表示为SARS 病人的总数； K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数； L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数； dt d N(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数； N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数； t …………………………………表示时间； R 2 ………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型 3.1模型假设 1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。单位时间（一天）内一个病人能传播的人数是常数k ； 2) 在 所传染的人当中不考虑已治愈的人是否被再次被传播，治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k; 3) 病者在潜伏期传播可能性很小， 仍按健康人处理； 4) SARS 对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是一样的；
数学建模 传染病模型
传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。 三、模型假设 模型二和模型三的假设条件： 假设一：在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 假设二：每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人
数学建模论文资料传染病模型)
传染病模型 摘要 “传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一．问题的提出 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 二．问题的分析 2.1 问题分析 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。 2.2模型分工
传染病传播数学模型
第二节传染病传播的数学模型很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t时刻的病人数， k表示每个病人单位时间内传染的人 数，i(0)= i表示最初时有0i个传染病人，则在t?时间内增加的病人 数为 ()()() i t t i t k i t t +?-=?
两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程 ()()()000di t k i t dt i i ?=???=? ………… （2.1） 其解为 ()00 k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即()0k ks t =； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程
传染病的数学模型
传染病模型详解 /,SI SIS SIR 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。 SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下： dS SI dt N I SI d t N ββ?=-????=?? 从而得到 (1)di i i dt β=- 对此方程进行求解可得： 0000(),01t t i e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。 SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。 假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 所示。建立的平均场方程：
传染病传播的数学模型_上课
微分方程模型 [学习目的] 1.加深对微分方程概念的理解，掌握针对一些问题通过建立微分方程 的方法及微分方程的求解过程； 2.了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧； 3.领会建立微分方程模型的逐步改进法的核心及优点，并掌握该方法； 4.理解微分方程的解的稳定性的意义，会用稳定性判定模型的解是否 有效； 5.体会微分方程建摸的艺术性。 在自然学科（如物理、化学、生物、天文）以及在工程、经济、军事、社会等学科量的问题可以用微分方程来描述。正如列宁所说：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似中’．”（列宁选集第二卷，人民1972年版第295页）。要建立微分方程模型，读者必须掌握元素法（有关元素法，在高等数学中已有介绍）。所谓元素法，从某种角度上讲，就是分析的方法，它是以自然规律的普遍性为根据并且以局部规律的独立的假定为基础。在解决各种实际问题时，微分方程用得极其广泛。读者通过下面的几个不同领域中的模型介绍便有所体会，要想掌握好它，在这方面应作大量的练习。 §17.1、传染病传播的数学模型 [学习目标] 1.通过学习建立传染病传播的数学模型的思维方法，能归纳出该类建模的关键 性步骤及思维方法；并能指出求解传染病传播的数学模型的方法技巧； 2.能用已知的传染病传播的数学模型，预报某种传染病的传播； 3.学会从简单到复杂的处理问题的方法。 由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。生物医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。 以下仅讨论传染病的传播问题。人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与
传染病的数学模型
222 SI/SIS,SIR 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态 S ,易感染态I 和免疫态R 。S 态表示该个体 带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。 I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。 R 表示当经过一个或多个 感染周期后，该个体永远不再被感染。 SI 模型考虑了最简单的情况， 即一个个体被感染， 就永远成为感染态， 向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为 Γι ,总人数为 N ,在各状态均匀混合网络中 建立传播模型如下: dS - SI dU ：SI .t N 从而得到 对此方程进行求解可得: ∣o e ∣(t) ------- —∣o +i °e 可见，起初绝大部分的个体为 I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对 方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。 与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为 S 态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的 R 态。而有些节点可能会从 S 态转变I 态，因此简单 的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现 SIS 模型和SIR 模型。 SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。 采用与病毒传播相似的过程中的 S , I , R 态 代表传播过程中的三种状态。 Zanetee, Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为 S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传 播）。 假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率,（k ）变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率: （k ）变为R ,如图2.9所示。建立的平均场方程: 传染病模型详解 [,i ° =K O ) BI 1 9 SlR 權峑眄优■业趨图
传染病传播地数学模型
传染病传播的数学模型 很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t时刻的病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 表示最初时有个传染病人，则在时间内增加的病人数为
两边除以，并令→0得微分方程 …………（2.1） 其解为 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t→∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t时刻这两类人的人数。i (0)= 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程
传染病模型数学建模论文
甲型H1N1流感传播模型研究 摘要 本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。 一、问题重述 近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。 二、问题分析 甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。
三、建立模型 （一）、不考虑潜伏期的数学模型 1、模型假设 （1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不 考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。 （2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。 病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。治愈 的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。 （3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。 2、模型构成 易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。 所以有： ()()()dS t S t I t dt λ=- （1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即 ()()dR t I t dt ν= （2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即 ()()()()dI t S t I t I t dt λν=- （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。 3、模型求解 方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 /σλν=，于是可以求出方程的解为： 000 1()ln s i s i s s σ=+-+ （4） 下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况： a 、不论初始条件0S 、0R 如何，病人最终将消失，即0i ∞=。 b 、最终未被感染者的健康者的比例是s ∞，是方程 0001()ln 0s s i s s σ +-+=在(0,1/)σ内的根。
数学建模_传染病模型 (1)
传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数， 病人人数的增加，就有 到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ?+λ)(t t x t x t t x ?=-?+)()()(λ 程有个病人，即得微分方时有再设00x t = )1()0(,d d 0x x x t x ==λ 方程（1）的解为 )2()(0t e x t x λ= 结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人
传染病的数学模型-数学建模-论文Word版
数 学 建 模 论 文 班级：商英1002班 学号：14号 姓名：谭嘉坤 指导老师：周爱群
由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性： 设S k表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数，H k表示在开始观察后第k天传染病人的人数，I k表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么 S k+1=S k-0.01S k (1) H k+1=H k-0.2H k＋0.01S k (2) I k+1=I k+0.2H k (3) 其中(1)式表示从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2H k(假设该病的患病期为5 (3)式表示在第k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k 天后病人痊愈的人数。 将(1)，(2)和(3)式化简得 如果已知S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组S k，H k，I k的值。因此，我们把S k+1，H k＋1，I k+1和S k，H k，I k之间的关系式叫做递推关系式。 现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为 将上述数据(5)代入(4)式右边得
传染病传播的数学模型
传染病传播的数学模型 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
传染病传播的 数学模型 很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k ；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t 时刻的病人数，0k 表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 0i 表示最初时有0i 个传染病人，则在t ?时间内增加的病人数为 ()()()0i t t i t k i t t +?-=?
两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程 ()()()000di t k i t dt i i ?=???=? ………… （） 其解为 ()00k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成 正比。即()0k ks t =； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程
传染病相关知识及预防汇总
传染病相关知识及预防 一、常见的传染病 根据传染病的主要传播途径，分为以下几类： 1、肠道传染病：霍乱（二号病）、痢疾、伤寒、甲肝、戊肝、脊髓灰质炎（小儿麻痹症）、感染性腹泻等； 2、呼吸道传染病：传染性非典型肺炎、肺结核、流行性感冒、麻疹、流脑、流行性腮腺炎、白日咳、白喉、猩红热、风疹等； 3、血源性传染病：乙肝、丙肝、丁肝、艾滋病等； 4、虫媒传播及自然疫源性传染病：鼠疫、狂犬病、钩体、乙脑、疟疾、登革热、黑热病等； 5、其它：炭疽、布鲁氏菌病、急性出血性眼结膜炎（红眼病）等。 二、传染病的基本特征 1、有病原体：包括细菌、病毒、立克次体、螺旋体、原虫、蠕虫等； 2、有传染性：传染病病人必须隔离治疗； 3、有流行病学特征：不同传染病的发病时间、地区、人群等方面有各自的分布特点；
4、有感染后免疫：人体感染病原体后，体内会产生相应的抗体，可抵抗相同的病原体。 三、肠道传染病的预防 （一）什么是肠道传染病？ 肠道传染病是一组经消化道传播的疾病。常见的主要有伤寒、副伤寒、细菌性痢疾、霍乱、甲型肺炎、细菌性食物中毒等。肠道传染病病人的病原体从病人和病原携带者的粪便、呕吐物中排出，污染了周围环境，再通过水、食物、手、苍蝇、蟑螂、等媒介经口腔进入胃肠道，在人体内繁殖、产生毒素引起发病，并继续排出病原体再传染给其他健康人。 （二）肠道传染病的传播途径 1、经水传播由于生活饮水源被肠道传染病人和病原携带者的粪便、呕吐物中排入水中或洗涤病人的衣裤、器具、手等造成了水源污染，可引起霍乱、伤寒、细菌性痢疾的暴发流行。 2、经食物传播在食品的加工、储存、制作、运输的销售等过程中被肠道传染病的病原体污染，可造成局部的流行和暴发流行。 3、接触传播通过握手、使用或接触过病人的衣物、文具、门具、门把手、人民币等造成病原体传播。 4、昆虫传播有些肠道传染病的病原体可在人体内存活
常见传染病的传播途径与及预防知识
常见传染病的传播途径与及预防知识 一、什么叫传染病 在我们人类生活的环境巾，存在着各种各样的微生物和寄生虫。能够使人体发病的微生物和寄生虫在医学’ 上称为病原体，当病原体进入人休后I可以i盖过不同的形式使人生病，而且，如果病人与其他健康人接触后，会使健康人也生梢。疾捕从－个人传给另·个人的过程叫传染。人还可以通过与动物的接触被传染上 疾病。总之，这种由病原体引起的，能在人与人、动物与 动物WG人与动物之间相互传染的疾病叫做传染病．二、 传染病是怎样传播的 传染俐的流行必须具备气个基本环节。 1. 传染源：身I：.带有传染性疾病｜药的人和动物称为传染源。如病人、捕商禽、老鼠等。 2.传播途径：细商或病毒从传染源转入其他人动物的途径 称为传播途径。如空气传播、食物传播、七壤传播、虫媒 传播等。 3.易感人群：容易感染上某些病的人群称为易感人群。 儿童是多种传染病的易感人群。三、
怎样预防肠道传染病 安徽省朗溪县一所学佼肉水井被污染，使全校’许多学生发生翩痰。有些肠道传染病还可以通过其他途径传 播，如乙型肝炎可以经未消帘的针头或病人的血液而传播，脊髓灰股炎币1经谷可气中飞沫传播。 肠道传染病在不同季节旦发病率有向街低，以正4秋季比较多友，i主与苍蝇活 动频繁、紫销加速、人们接触生冷饮食、瓜果蔬菜 较多有关。 预防肠道传染病，产要应管理传染源，发现病人应隔离 治疗，对与病人接触密切的人也要检查或预防件．服药。切断传播途径也是预防肠道传染病有效方法。妥认真搞好环境卫生、饮食卫生，保护水源，搞好厕所卫生，严格 粪便利污水处理，消灭老眠、苍蝇、蜘蛛铃，害有动物。教 育学生养成饭前便后洗手、不l喝生7)(、瓜呆要冲干净、不吃变质的饭菜等卫生习惯，配合有关部门搞好预防接种工作。 四、怎样预防呼吸道传染病 呼吸道传染病的主要特点是病原体通过空气飞沫、灰尘使人｜吸入后而发病，病人咳嗽、Il l：痰时可将病原体 排出体外地。入空气和灰尘中，再传给他人。常见
传染病模型数学建模论文
甲型H1N1流感传播模型研究 小组成员：宋科康张晓鹏姚步泉 摘要 本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。
一、问题重述 近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。 二、问题分析 甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。 美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量： 三、建立模型 （一）、不考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设 （1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生 死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。 （2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。 病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。治愈 的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。 （3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。 2、模型构成 易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。所以有： () ()()dS t S t I t dt λ=-（1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即 () ()dR t I t dt ν=（2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即 () ()()()dI t S t I t I t dt λν=-（3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。 3、模型求解 方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 /σλν=，于是可以求出方程的解为： 0001()ln s i s i s s σ=+-+（4） 下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况： a 、不论初始条件0S 、0R 如何，病人最终将消失，即0i ∞=。 b 、最终未被感染者的健康者的比例是s ∞，是方程 0001()ln 0s s i s s σ +-+=在(0,1/)σ内的根。 C 、若01/s σ>，则开始有：()i t 先增加。当01/s σ=时，()i t 达到最大值，然后() i t
传染病传播的数学模型
. 传染病传播的数学模型 很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种 现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t时刻的病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，k0i(0)= 表示最初时有个传染病人，则在时间内增加的病人数为ii t 001 /
11 . ???????ttt?i?t?tk?ii0?t?t→0得微分方程，并令两边除以??tdi???ti?k?0dt?…………（2.1 ）????i0i?0??kt ei?ti0其解为0这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t→∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，i。时刻这两类人的人数。表示ti (0)= 和分别用i(t)s(t)0假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的??t?kks；人数成正比。即0(2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程 2 / 11 . ??tdi?????ttksi??