专题5-第3讲
一、选择题
1．(2017·河北衡水二中模拟，11)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近平行，则p ＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【解析】 由抛物线x 2＝2py (p ＞0)可知其焦点为? ?
???0，p 2，所以b ＝p 2，又a
＝22，因此双曲线的方程为x 28－4y 2p 2＝1，渐近线方程为y ＝±p
42
x .直线y ＝kx －1
与双曲线的一条渐近线平行，不妨设
k ＝p 42
，由???
y ＝p 42x －1，x 2＝2py
可得x 2＝
2p ? ????p 42x －1＝p 222x －2p ，即x 2－p 222
x ＋2p ＝0，则Δ＝? ????－p 2222
－8p ＝0，解得p ＝4.故选A.
【答案】 A
2．(2017·湖南长沙模拟，11)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )
A ．1
B ．2＋15
5 C ．4＋155
D ．22＋1
【解析】 设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|
＋|PQ |最小，且最小值为F 2到l 的距离．易知l 的方程为y ＝
x 2或y ＝－x
2
，F 2(3，0)，求得F 2到l 的距离为1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1.选D.
【答案】 D
3．已知椭圆x 24＋y 2
b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )
A ．1 B. 2 C.32
D. 3
【解析】 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.
由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中通径最短，即2b 2
a ＝3，可求得
b 2＝3，即b ＝ 3.
【答案】 D
4．(2017·榆林模拟)若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是( )
A ．(1,2)
B ．(1,2]
C ．(1，5)
D ．(1，5]
【解析】 因为双曲线的渐近线为y ＝±
b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b
a ≤3，即
b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，
c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1＜e ≤2.
【答案】 B
5．(2017·湖南长郡中学3月月考，8)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN |
|AB |的最大值为( )
A.33 B ．1 C.233
D ．2
【解析】 过A 、B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝1
2(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |cos 120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |.
∴? ????|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2
＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |
＝14? ????1＋
|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2
＋|AF ||BF | ＝14? ?????1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×? ????1＋12＋1 ＝1
3，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号， ∴|MN ||AB |的最大值为33. 【答案】 A 二、填空题
6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2
＋2
＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2,0)，半径为 2.
因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交，所以|2b |
a 2＋
b 2
＜2，整理得b 2
＜a 2，从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.
又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2)． 【答案】 (1，2)
7．(2017·河南安阳二模，15)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，点M ，P ? ????
32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，
则|MP |＋|MF |的最小值为________．
【解析】 将P ? ????
32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴
抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D 、M 、P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.
【答案】 2
8．(2017·课标全国Ⅰ，15)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．
【解析】 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，
∴点A 到l 的距离d ＝
ab a 2
＋b
2
.
又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝3
2b ，即ab
a 2＋
b 2＝3
2b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 【答案】
233
三、解答题
9．(2015·陕西卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.
(1)求椭圆E 的方程．
(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.
(1)【解】 由题设知c a ＝2
2，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)【证明】 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 2
2＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.
由已知Δ>0，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝
4k k －1
1＋2k 2
，x 1x 2＝
2k k －21＋2k
2
.
从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2
＝kx 1＋2－k
x 1＋
高考二轮教师用书：第1部分 专题5 第3讲 概要写作 含解析
第3讲概要写作 概要写作作为浙江英语高考新题型，就是对所读过的文章简要概括，写出文章的中心大意，也称之为摘要。写概要时，读者要把文章的具体信息用一些具有概括功能的词和句表述出来，而不是抄袭文章的原句，更不是把细节性信息作为中心，而是要通过对文章中的单词、词组和句子进行合理转换，对文章 的具体信息进行概括，再用合适的语言表述出来。这一题型主要考查学生对文章主旨大意的概括和准确获取关键词的能力，同时考查学生用简洁的语言概括文章重要信息的能力以及对文章整体结构的把握能力。因此，概要写作是基于阅读理解和书面表达的，是二者的有机结合体，是阅读理解和书面表达的沟通桥梁。[选材特点] 1．所需阅读的短文词数在350以内； 2．所选材料体裁没有限制，以说明文、议论文和记叙文为主。 [评分参考] 阅卷时主要考虑以下内容： 1．对原文要点的理解和呈现情况； 2．应用语法结构和词汇的准确性； 3．上下文的连贯性； 4．对各要点表达的独立性情况。 注意：理解准确，涵盖全部要求，完全使用自己的语言，准确使用相应的语法结构和词汇，得分相应比较高。相反，如果概要写作部分出现两句以上整句抄自原文现象，得分档次将会大大降低；所写内容与所提供内容无关不得分。 [写作步骤] 1．阅读 首先要通读全文，对文章的体裁和大意有所了解。阅读时要快速地找到主
题句，以便抓住中心，理解全文。学生还需要根据文章内容列出一个简单 的提纲，以便在写作过程中不会遗漏要点，总结全面。 2．写出初稿 在写作过程中，学生要注意词数要求，使用精炼的句子概括文章的要点，可以引用所给阅读材料的重要词语，但不可过多，否则便失去了概要的意 义；学生还需谨记：概要必须全面、清晰地表达所给阅读材料的信息，客 观、准确地反映所给阅读材料的真实意图，不可随意添加或增减内容。3．修正定稿 初稿完成后，要将其与所给阅读材料核对一遍，看原材料中的要点是否在 概要中都得到了体现，语句间的衔接是否符合逻辑，同时还需要检查句子 是否有错误，时态和语态的使用是否正确，标点、格式、大小写是否有误 等。通过细致的修正与调整，力争使文章在各个方面都万无一失。 [方法技巧] 1．议论文 议论文类型的文章通常包括论点、论据和结论三部分，其关键是找出主题 句或结论句。因此写议论文的概要主要是找出主题句、支撑句和结论句。 若文中有一分为二的观点的，两种观点都要概括，不要漏掉其中一方的观 点。概要模板：论点＋论据(结论)。 议论文可用以下开头语： ①The passage/author argues that...本文/作者主张…… ②The passage/author highlights the importance of...本文/作者强调了……的 重要性。 ③The passage/author discusses the impact of...本文/作者讨论了……的影响。 ④The passage/author compares...with...本文/作者比较了……与…… 2．说明文 此类文章通常会有中心句(多在首段)，写概要时要注意找出中心句，抓 住关键词，然后重组文章的信息，用自己的话表述出来。不同类型的说 明文的几种参考模板： 1)描写某事物的性质功用。即“对象＋性质功用＋利好”：(In the passage)the writer introduces...(对象)to us...(性质或功用)．..(对象带来的利
(文理通用)201X届高考数学大二轮复习 第1部分 专题5 立体几何 第3讲 用空间向量的方法解立体
第一部分 专题五 第三讲 用空间向量的方法解立体几何问题 A 组 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为( B ) A ．1 20 B ． 10 10 C ．－ 10 10 D ．－120 [解析] 设正方体棱长为1，以D 为原点建立空间直角坐标系 如图所示， 则D (0,0,0)，E (0，1 2，1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)， 所以DE → ＝(0，12 ，1)，AC → ＝(－1,1,0)， 则cos 〈DE →，AC → 〉＝DE → ·AC → |DE →||AC →| ＝ 121 4 ＋1·2＝ 1010 ， 则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为10 10 . 2．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP → ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面 ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( B ) A ．337，－15 7，4 B ．407，－157，4 C ．40 7 ，－2,4 D ．4，40 7 ，－15 [解析] AB →⊥BC →?AB →·BC → ＝3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4，又BP ⊥平面ABC ， 所以BP →·AB → ＝x －1＋5y ＋6＝0，① BP →·BC → ＝3x －3＋y －3z ＝0，②
由①②得x ＝407，y ＝－15 7 .
3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列命题：①(A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→)2＝3A 1B 1―→ 2，②A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0，③向量AD 1―→与向量A 1B ―→ 的夹角为60°，④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ―→·A 1A ―→·AD ―→ |，其中正确命题的序号是( B ) A ．①③ B ．①② C ．①④ D ．①②④ [解析] 如图所示： 以点D 为坐标原点，以向量DA →，DC →，DD 1→ 所在直线分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)， 对于①：A 1A ―→＝(0,0，－1)，A 1D 1―→ ＝(－1,0,0)， A 1 B 1―→ ＝(0,1,0)， 所以A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→＝(－1,1，－1)，(A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→)2＝3，而A 1B 1―→2＝1，所以(A 1A ―→＋ A 1D 1―→＋A 1 B 1―→)2＝3A 1B 1―→ 2.所以①正确； 对于②：A 1C ―→＝(－1,1，－1)，A 1A ―→＝(0,0，－1)，A 1B 1―→＝(0,1,0)，所以A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0.所以②正确； 对于③：AD 1―→＝(－1,0,1)，A 1B ―→＝(0,1，－1)，AD 1―→·A 1B ―→＝－1，cos 〈AD 1―→，A 1B ―→ 〉＝ AD 1―→·A 1B ―→|AD 1―→||A 1B ―→|＝ －1 2×2 ＝－12，所以AD 1―→与A 1B ―→ 的夹角为120°，所以③不正确； 对于④：因为AB ―→·A 1A ―→ ＝0，所以④错误．故选B ． 4．(2018·海口一模)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，点C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，PA ＝BC ＝3，则二面角A －BC －P 的大小为( C ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° [解析] 因为AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，点C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，PA ＝BC ＝3，
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 第二编 专题三 数列 第3讲 数列的综合问题练习 理
第3讲 数列的综合问题 「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分. 核心知识回顾 数列综合应用主要体现在以下两点： (1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等． (2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力． 热点考向探究 考向1 数列与函数的综合问题 例 1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋b (a ，b ∈R )，且不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2 |对任意的x ∈[0,10]都成立，数列{a n }是以7＋a 为首项，公差为1的等差数列(n ∈N * )． (1)当x ∈[0,10]时，写出方程2x －x 2 ＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式(不必证明)； (2)若b n ＝a n ·? ?? ??13an (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N * ，都有S n 2012年高考数学二轮复习同步练习：专题5 立体几何 第3讲 空间 向量及其应用（理） 一、选择题 1．以下命题中，不正确的命题个数为( ) ①已知A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则A B →＋B C →＋C D →＋D A → ＝0 ②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ③对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若O P →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ，y ，z ∈R )， 则P 、A 、B 、C 四点共面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B [解析] 由向量的加法运算知①正确． ∵a ，b ，c 为空间一个基底， 则a ，b ，c 为两两不共线的非零向量． 不妨假设a ＋b ＝x (b ＋c )＋y (c ＋a )， 即(1－y )a ＋(1－x )b －(x ＋y )c ＝0. ∵a 、b 、c 不共面，∴???? ? 1－x ＝01－y ＝0 x ＋y ＝0 ， 不存在实数x 、y 使假设成立，故②正确． ③中若加入x ＋y ＋z ＝1则结论正确，故③错误． 2．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝ A 1 B 1 4 ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( ) A.15 17 B.12 C. 817 D.32 [答案] A [解析] 取D 为空间直角坐标系原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直角坐标系，设AD ＝4，则B (4,4,0)，E 1(4,3,4)，F 1(0,1,4)， ∴BE 1→＝(0，－1,4)，DF 1→ ＝(0,1,4)， |BE 1→|＝|DF 1→|＝17，BE 1→·DF 1→ ＝15， ∴cos 一、选择题 (2011年广东佛山市模拟)下图为某地区水循环示意图，读图回答1～2题。 1．图示地区建有大型水库，水库建成后对水循环的各环节可能造成的影响，说法不．正确的 是() A．库区下渗加强，周边地下水位上升 B．库区水汽蒸发增强，周边空气湿度增大 C．库区受热力环流影响，冬季降水减少，夏季降水增加 D．库区下游河流径流量变化幅度减小 2．在F处建有一座海水淡化工厂，从水循环角度看其作用类似于() A．海陆间循环B．跨流域调水 C．水库D．地下水补给湖水 解析：建水库后，库区下渗量增大，必然导致周边地下水位升高；库区蒸发量增大，周边空气湿度增大；由于水库的调节作用，下游河流的径流季节变化幅度减小；库区形成小型“海陆风”，冬季库区降温慢，相对周边地区是热源，故降水增加，夏季库区增温慢，相对周边地区是冷源，故降水减少。海陆间循环可以使陆地的淡水资源得到更新，这与海水淡化的作用类似。 答案：1.C 2.A 一年中等于和大于某一水位出现的天数之和称为历时。下图为“在某河流某水文观测站测得的水位过程线(水位随时间变化的曲线)与水位历时曲线图”。读图完成3～4题。 3．图中曲线表示水位历时曲线的是() A．甲B．乙 C．丙D．丁 4．若该河流水位高于58米时可通航，则通航时间大约有() A．210天B．240天 C．300天D．366天 解析：第3题，根据历时的含义可知，水位高，历时时间短，水位低，历时时间长，所以甲表示水位历时曲线。第4题，读图可知，该河流水位高于58米的时段为1～10月，所以通航时间大约有300天。 答案：3.A 4.C 5．读下图，若此时地球公转速度较慢，甲地的河水和地下水的互补关系最有可能的是() 第3讲导数及其应用 [考情考向分析] 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型． 热点一导数的几何意义 1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k ＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同． 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 答案 D 解析方法一∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立， ∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1， ∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 故选D. 方法二∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数， ∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 故选D. (2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，则实数b＝________. 答案ln 2 解析设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋1和曲线y＝ln(x＋2)的切点分别为(x1，ln x1＋1)，(x2，ln(x2＋2))．∵直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线， ∴1 x1 ＝ 1 x2＋2 ，即x1－x2＝2. 专题三 语言表达简明、连贯、得体，准确、鲜明、生动(含应用文体写作) 第1讲 语言表达得体——老题型有可 能披上“新嫁衣” 1．(2018·全国卷Ⅰ)下面是某校一则启事初稿的片段，其中有 五处不合书面语体的要求，请找出并作修改。(5分) 我校学生宿舍下水道时常堵住。后勤处认真调查了原因，发现管子陈旧，需要换掉。学校打算7月15日开始施工。施工期间正遇上暑假，为安全起见，请 全体学生暑假期间不要在校住宿。望大家配合。 解析：启事应用书面语，“下水道时常堵住”“管子陈旧”“需要换掉”等几处语言表达口语化，应将“堵住”改为“堵塞”，“管子”改为“管道”，“换掉”改为“更换”，“打算”改为“计划”，“正遇上”改为“正值”。 答案：①“堵住”改为“堵塞”；②“管子”改为“管道”；③“换掉”改为“更换”；④“打算”改为“计划”；⑤“正遇上”改为“正值”。(每点1分) 2．(2018·全国卷Ⅲ)下面是一封信的主要内容，其中有五处不得体，请找出并作修改。(5分) 获悉文学院下周举办活动，隆重庆贺先生教书50周年，我因 俗务缠身，不能光临，特惠赠鲜花一束，以表敬意。随信寄去近期出版的拙著一册，还望先生先睹为快。 盛夏快来了，请先生保重身体。 解析：作答本题，要注意题干中“五处不得体”“找出并作修改”等关键信息。阅读文段，可以先圈出文段中涉及得体的词句，如“获悉”“隆重庆贺”“俗务缠身”“光临”“惠赠”“以表敬意”“拙著”“先睹为快”“请先生保重身体”等，然后再根据具体语境判断这些词句使用是否得体，例如“光临”是对他人来访的敬称，“惠赠”是对别人赠予自己东西的敬称，“先睹为快”是说自己殷切盼望，用在句中都不得体。另外，从文段整体来看，语言较为文雅，相比之下，“教书”“快来了”就显得过于口语化了，也不得体。 答案：(示例)①“教书”改为“从教”；②“光临”改为“前往”或“参加”；③“惠赠”改为“奉上”“奉送”或“敬赠”；④“先睹 第一讲概要写作 (对应学生用书第94页) 一、记叙文的概要写作 对记叙文进行概括时，要抓住原文的人物、事件、结果三大要素。有些记叙文的结尾有一个点题句，表达深刻内涵或故事带给人们的启示，在写摘要时也需把故事寓意表达出来。 (一)记叙文摘要的写法——要素串联法 1．寻词摘句，确定要素 记叙文通常包含时间(when)、地点(where)、人物(who)、事件(what)、起因(why)、经过(how)等六大要素。在阅读时要圈定这些要素。 2．整合信息，串联要素 列出上述要素和关键词后，需要对其进行整合，把所圈定的要素按一定的逻辑顺序，在整合时要有所取舍，对于有助于揭示主题的主要信息，应该全部概括；而对于主题之外的内容要毫不吝啬地舍弃。 3．认真审题，注意表达 表达时要注意以下三点： (1)确定人称：如果原文是第一人称，在转述时一般要改为第三人称。 (2)确定时态：记叙文以一般过去时为主。若记叙文中有作者从中得到的 “启示”或“意义”等，一般用一般现在时表达。 (3)确定词数与句数：摘要要求是“以约30个单词概括”，从近两年高考 阅卷的实际来看，满分作文概括的词数在26～38个单词之间。 受词数限制，概括部分一般用1～3句表达，以用2句最佳，句子过多，要么内容累赘，要么句式过于简单，均会影响表达效果。 (二)记叙文摘要的常用句式 1．The writer mainly tells us... 2．The author shares his experiences ... 3．From the passage，we know that ... 4．In the passage ... (三)典题示例 第3讲立体几何中的向量方法 高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上. 真题感悟 1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为() A. 3 2 B. 15 5 C. 10 5 D. 3 3 解析法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系. 图(1) 图(2) 则B (0，0，0)，B 1(0，0，1)，C 1(1，0，1). 又在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，则A (－1，3，0). 所以AB 1→＝(1，－3，1)，BC 1→ ＝(1，0，1)， 则cos 〈AB 1→，BC 1→ 〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→| ＝ （1，－3，1）·（1，0，1） 5×2 ＝ 25×2 ＝10 5， 因此，异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为10 5. 法二 如图(2)，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1中点，则PN ∥BC 1，MN ∥AB 1， ∴AB 1与BC 1所成的角是∠MNP 或其补角. ∵AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， ∴MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝2 2. 取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，则可知△PQM 为直角三角形，且PQ ＝1，MQ ＝1 2AC ， 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1× ? ???? －12＝7，AC ＝7， 则MQ ＝72，则△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝11 2， 则△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 2 2·MN ·NP ＝? ????522＋? ????222－? ????1122 2×52×22 ＝－105， 又异面直线所成角范围为? ? ???0，π2，则余弦值为105. 答案 C 2.(2018·全国Ⅲ卷)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵ 上异于C ，D 的点. (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ； (2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值. (1)证明 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD . 因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ， 所以BC ⊥平面CMD ，又DM ?平面CDM ，故BC ⊥DM . 第3讲 化学键 A 组 基础题组 1.(2018江苏单科,2,2分)用化学用语表示NH 3+HCl NH 4Cl 中的相关微粒,其中正确的是( ) A.中子数为8 的氮原子 N B.HCl 的电子式:H + [·· ·· ·· ··]- C.NH 3的结构式: D.Cl - 的结构示意图: 答案 C A 项,中子数为8的氮原子为 N;B 项,HCl 的电子式为H·× ·· ····;D 项,Cl - 的结构示意图 为。 2.下列比较中正确的是( ) A.硬度:干冰>SiO 2 B.稳定性:HF>HCl C.熔点:HBr>HI D.稳定性:SiCl 4>CCl 4 答案 B A 项,硬度:干冰 错误。氨气中只存在共价键,属于共价化合物;氮气中只存在共价键,氮气属于单质,C错误。硝酸中只存在共价键,属于共价化合物;次氯酸中只存在共价键,属于共价化合物,D正确。 4.下列叙述中正确的个数是( ) ①离子化合物一定含离子键,也可能含极性键或非极性键 ②若晶体中有阳离子,则一定也含有阴离子 ③含金属元素的化合物不一定是离子化合物 ④由非金属元素组成的化合物一定是共价化合物 ⑤由分子组成的物质中一定存在共价键 ⑥熔融状态能导电的物质一定是离子化合物 ⑦冰融化时水分子中共价键发生断裂 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案 A ①离子化合物一定含离子键,也可能含极性键或非极性键,如NaOH、Na2O2等,正确;②在金属晶体中只有金属阳离子,没有阴离子,错误;③含金属元素的化合物不一定是离子化合物,如AlCl3、HgCl2等,正确;④铵盐一般全部由非金属元素组成,但其属于离子化合物,错误;⑤由稀有气体分子组成的物质中 不含化学键,错误;⑥金属单质在熔融状态时也能导电,但不是离子化合物,错误;⑦冰融化时破坏的是水分子间的氢键,并没有使水分子内的共价键断裂,错误。 5.固体NH5属离子化合物,它与水反应的化学方程式为NH5+H2O NH3·H2O+H2↑。它也能跟乙醇、乙酸、盐酸等发生类似的反应,并都产生氢气。下列有关NH5叙述正确的是( ) A.1 mol NH5中含有3N A个N—H键 B.NH5中N的化合价为-5价 C.1 mol NH5与水反应时,转移电子为N A D.与乙酸反应时,NH5被还原 第1讲 基本不等式与线性规划 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解. 真 题 感 悟 1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________. 解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋ 4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当 3 600 x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 30 2.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足约束条件???x －2y ＋4≥0， 2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0， 那么x 2＋y 2的取值范 围是________. 解析 作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方. 由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2 )min ＝45； 点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是???? ?? 45，13. 答案 ???? ??45，13 3.(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝2x ＋? ?? ??12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x ) －6恒成立，则实数m 的最大值为________. 解析 由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立. 又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2 f （x ）·4 f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0） ＝4， ∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 4 4.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________. 解析 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 等式两边同时除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又因为tan A ＝－tan(B ＋C )＝ tan B ＋tan C tan B tan C －1 ， 所以tan A tan B tan C －tan A ＝2tan B tan C ， 即tan B tan C (tan A －2)＝tan A . 因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C >0， 且tan A >2， 第一讲概要写作 一、记叙文的概要写作 对记叙文进行概括时，要抓住原文的人物、事件、结果三大要素。有些记叙文的结尾有一个点题句，表达深刻内涵或故事带给人们的启示，在写摘要时也需把故事寓意表达出来。 (一)记叙文摘要的写法——要素串联法 1．寻词摘句，确定要素 记叙文通常包含时间(when)、地点(where)、人物(who)、事件(what)、起因(why)、经过(how)等六大要素。在阅读时要圈定这些要素。 2．整合信息，串联要素 列出上述要素和关键词后，需要对其进行整合，把所圈定的要素按一定的逻辑顺序，在整合时要有所取舍，对于有助于揭示主题的主要信息，应该全部概括；而对于主题之外的内容要毫不吝啬地舍弃。 表达时要注意以下三点： (1)确定人称：如果原文是第一人称，在转述时一般要改为第三人称。 (2)确定时态：记叙文以一般过去时为主。若记叙文中有作者从中得到的 “启示”或“意义”等，一般用一般现在时表达。 (3)确定词数与句数：摘要要求是“以约30个单词概括”，从近两年高考 阅卷的实际来看，满分作文概括的词数在26～38个单词之间。 受词数限制，概括部分一般用1～3句表达，以用2句最佳，句子过多，要么内容累赘，要么句式过于简单，均会影响表达效果。 (二)记叙文摘要的常用句式 1．The writer mainly tells us... 2．The author shares his experiences ... 3．From the passage，we know that ... 4．In the passage ... (三)典题示例 阅读下面短文，然后以约30个词概括其内容要点。 第2讲读后续写 【考情展示·考向预测】 读后续写作为浙江英语高考新题型，是一种常见的“给材料作文”，它要求学生在阅读完一篇还未写完的文章之后，根据所给出的开头语和关键词语把这篇未写完的文章补充完整。读后续写要紧扣文章前文所述，去推想之后可能出现的情况，要展开合理、充分的想象，构思适当的情节，写成一篇完整的文章。读后续写有助于培养学生的想象能力、创新思维能力和语言表达能力。 [选材特点] 1．所需阅读的短文词数在350以内； 2．多以记叙文故事类文章或者夹叙夹议类文章为主，故事情节有曲折、有起伏，但是，故事线索的逻辑性比较强。 [评分参考] 阅卷时主要考虑以下内容： 1．与所给短文及段落开头语的衔接程度； 2．内容的丰富性和对所给关键词语的覆盖情况； 3．应用语法结构和词汇的丰富性和准确性； 4．上下文的连贯性。 注意： 1．所续写短文的词数应为150左右(词数少于130的，从总分中减去2分)；2．应使用5个以上短文中标有下划线的关键词语； 3．续写部分分为两段，每段的开头语已为你写好； 4．续写完成后，请用下划线标出你所使用的关键词语。 [写作步骤] 1．精读文章，确定文章线索，如是以时间为线索还是以空间为线索等，这有利于“顺藤摸瓜”。 3．回扣原文，想象续写内容。快速回读短文，揣摩文章的思路，结合段首的提示语和划线词语提示，确定续写段落的内容。 4．拟写草稿，修改错词病句。结合提示语和文中划线的关键词拟写出草稿，注意句子结构的多样性，语言的丰富性，上下文的衔接。 5．标出所使用的原材料中标有下划线的关键词语，最后誊写文字时，务必做到“字迹工整、清晰”。 [方法技巧] 1．掌握所给文章的主旨意图及故事情节的发展方向。这点至关重要。只有把握了文章的主旨意图，才能很好地完成续写。 2．正确理解故事的脉络线索和段落结构，设计续写内容的基本框架。只有对原文的脉络线索和段落结构有正确的和深刻的理解，续写的内容才能和原文骨肉相连，契合紧密。 3．理清文章中的要点信息和逻辑关系。确保续写的内容和原文要有逻辑上的一致性，并能回应原文的信息。 4．感知文章的用词特点，以便使续写的内容在语言色彩上和所给文章保持一致。5．注意语言的使用。考试说明中非常明确的指出，写作中要准确使用语法和词 1．(2012·山东潍坊二模)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12 时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程； (2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12 时， l 的方程为y ＝12 (x ＋4)，即x ＝2y －4， 联立????? x 2＝2py x ＝2y －4 ，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， y 1＋y 2＝8＋p 2 ，y 1y 2＝4， 由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1， 由根与系数的关系及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y . (2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0， 设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)， 由? ???? x 2＝4y y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0， 由Δ>0得k <－4或k >0， ∴x 0＝x B ＋x C 2 ＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ， BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， ∴b ＝2(k ＋1)2， ∴b >2. 故b 的取值范围是(2，＋∞)． 2．(2012·河南八校联考)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F 1，F 2在y 轴上，它的一个顶 点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14 ，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程． 解：(1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)． 由于椭圆的一个顶点是A (2，0)，故b 2＝2. 根据题意得，∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝b a ， 即a ＝2b ，a 2＝8， 所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22 ＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)． 直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得： 第1讲函数的图象与性质 热点一函数的性质及应用 1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内： ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)． (5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性 定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (2)若f (x ＋a )＝ 1 f (x ) ，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2 对称． 例1 (1)设函数f (x )＝cos ??? ?π 2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2 的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 019的值为( ) A ．1 B ．2 C ．22 019 D ．32 019 答案 A 解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ??? ?π 2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2 ＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1， 令g (x )＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2 ，易知g (x )为奇函数， 由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0， M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，所以(M ＋N －1)2 019＝1，故选A. 《创新设计》图书 第2讲 三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题 高考定位 高考对本内容的考查主要有：（1）一元二次不等式是 C 级要求，要求 在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联 系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题; 立问题、存在性问题通常以不等式为载体，体现了转化与化归思想 真题感悟 1.（2017江苏卷）记函数f （x ）"6+ X — X 2 的定义域为D.在区间［—4, 5］上随机 取 一个数X ,则x € D 的概率是 解析 由 6 + x — x 2>0 得一2< x <3,贝U D 为[—2, 3]. 故所求概率p = 3 一（一 2 ） = 9. 5—（— 4） 9 2.（2015江苏卷）不等式2x2— x <4的解集为 解析 由2x2— x <4,知x 2—x<2,解得一1 —专vm<〒，解得 3 —2 故实数m的取值范围为 答案—乎,0 普,0. 考点整合 1.三个二次”的关系 解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图 象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号, 有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解 2.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：(1)对二次项系 数与0的大小进行讨论；(2)在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式 与0的大小进行讨论；⑶当判别式大于0,但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；(4)讨论根与定义域的关系 3.四个常用结论 (1)ax2+ bx+ c> 0(a工0恒成立的条件是a> 0, A< 0. (2)ax2+ bx+ CV 0(aM 0恒成立的条件是av 0, A< 0. (3)a>f (x)恒成立？ a>f (x) max， a< f(X)恒成立？ a< f (x)min. ⑷ 存在 f (x)f (x)min，存在 f (x)>a 成立？ 热点一含参一元二次不等式的解法 【例1】解关于x的不等式(X- 2)(ax—2)>0. 第1讲 等差数列与等比数列 [考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼 等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1. (3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . (4)等比数列的求和公式：S n ＝??? ?? a 1 (1－q n )1－q ＝a 1 －a n q 1－q ，q ≠1， na 1 ，q ＝1. 例1 (1)(2020·阳泉期末)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知a 1＋a 21＝0，S 14＝98，则( ) A ．a n ＝－n ＋11 B ．a n ＝－2n ＋22 C ．S n ＝n 2－7n D ．S n ＝－1 2 n 2＋14n 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意可知，2a 1＋20d ＝0,14a 1＋91d ＝98， 解方程可得，a 1＝20，d ＝－2， 故a n ＝－2n ＋22，S n ＝－n 2＋21n . (2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1 的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝ ，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 答案 －30 解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1的图象上， ∴a n ＝2n －1(n ∈N *)， ∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1， 则b n ＝ n ＝2n －12(n ∈N *)， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴T n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝????n －1122－121 4. 又n ∈N *， ∴T n 的最小值为T 5＝T 6＝????122－121 4＝－30. 规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q . (2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列． (3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算． 跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ， ∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列，高考数学二轮复习 专题5 第3讲 空间向量及其应用(理)同步练习 新人教A
高三地理专题复习：第一部分专题三第3讲专题针对训练
2020高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第3讲 导数及其应用学案
2020版 第1部分 专题3 第1讲 语言表达得体——老题型有可能披上“新嫁衣”
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