距离空间泛函分析第四章习题第一部分

第四章习题第一部分(1-18)

1. 在1中令1(x , y ) = (x y )2，2(x , y ) = | x y |1/2，，问1, 2

是否为1上的距离？

[解] 显然1, 2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但1不满足三角不等式：取点x = 1, y = 0, z = 1，则

1(x , z ) = 4 > 2 = 1(x , y ) + 1(y , z )，所以1不是

1

上的距离。 而x , y , z 1

，

2

(x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤-

||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==2

(x , z ) +

2

(z , y )；

所以2是1上的距离．

2. 设(X , )是距离空间，令

1

(x , y ) = n y x ),(ρ，x , y X ．证明(X ,

1

)

也是距离空间．

[证明] 显然1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明1满足三角不等式即可．

实际上x , y , z X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤

),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=．

3. 设(X , )是距离空间，证明

| (x , z ) (y , z ) | (x , y )，x , y , z X ；

| (x , y ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )，x , y , z , w X ． [证明] x , y , z , w X ，由三角不等式有

(x , y ) (x , z ) (y , z ) (x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式：

| (x , y ) (z , w ) | | (x , y ) (y , z ) | + | (y , z ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )．

4. 用Cauchy 不等式证明(| 1 | + | 1 | + ... + | n | )2 n (| 1 |2 + |

1 |

2 + ... + | n |2 )．

[证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | i |，b i = 1，i = 1, 2, ..., n 即可．

5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做．

6. 设(X , d )是距离空间，A X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集．

[证明] 若A = ，则int(A ) = ，结论显然成立． 若A ，则x A ，r > 0使得S (x , r ) A ．

对y S (x , r )，令s = r d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) S (x , r )

A ；

所以y int(A )．故S (x , r ) int(A )，从而int(A )是开集．

7. 设(X , d )是距离空间，A X ，A ．证明：A 是开集当且仅当A 是开球的并．

[证明] 若A 是开球的并，由于开球是开集，所以A 是开集． 若A 是开集，x A ，存在r (x ) > 0，使得S (x , r (x )) A ． 显然A = x A S (x , r (x ))．

8. 举例说明对于一般的距离空间X ，并不是总有),(),(r x S r x S =，x X ，r > 0． [例] 设X = {a , b }，定义d : X X 为d (a , a ) = d (b , b ) = 0，d (a , b ) = 1．

则(X , d )是距离空间．

当r = 1时，不论x 为a 还是b ，总有),(}{),(r x S X x r x S =≠=．

9. 设(X , d )是距离空间，X B A ?,．证明：B A B A ?=?，B A B A ???． [证明] 由于A A ?，B B ?，故B A B A ???．

由于A 和B 都是闭集，所以B A ?也是闭集，所以B A B A ???．

另一方面，由B A B A ??,，得B A B A ??,，所以B A B A ???； 这样就证明了第一个等式．

由B A B A ,??得B A B A ,??，所以B A B A ???。

10.证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并． [证明] 由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可． 设(X , d )是距离空间，A X ，A 是闭集．

若A = 则结论显然成立，下面设A ．

n +

，定义A n = x A S (x , 1/n )，则A n 是开集，且A A n ．因此A n A n ．

若x A ，则由于A 是闭集，N +

，使得S (x , 1/N ) A = ； 即x A N ，，所以x n A n ．这样就证明了A = n A n ． 因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交．

11.设(X , d )是距离空间，}{n x 是基本列，且有收敛子列x x k n →．证明x x n →． [证明] 0>?ε，由于}{n x 是基本列，存在自然数N ，当N n m >,时

2

),(ε

<

n m x x d ．

由于子列x x k n →，存在自然数K ，当K k >时，N n k >且2

),(ε

当N n >时，因N n K >+1，故2

),(1ε

<

+K n n x x d ，2

),(1ε

<

+x x d K n ，从而ε<),(x x d n ．

12.设在非空集合X 上定义了两种距离d 和1d ，且存在正数a 和b ，使得对任意的x , y X 总有a d 1(x , y ) d (x , y ) b d 1(x , y )．证明：在距离空间(X , d )和(X , d 1)中，基本列与收敛点列是共同的．并举出这种空间的例子．

[证明] 设{ x n }是(X , d )中的基本列，则

对 > 0，N +

，当m , n > N 时d (x m , x n ) < a ．

此时有d 1(x m , x n ) d (x m , x n )/a < a /a = ，所以{ x n }也是(X , d 1)中的基本列．

相反方向的证明是类似的．关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似． 一个简单的例子就是在至少两个点的距离空间(X , d )中定义新的距离d 1， 使得d 1 = 2d ．

13.设X 是正整数集合，令d (x , y ) = | x – y |，，证明(X , d )是完备距离空间．

[证明] 首先从距离定义看，(X , d )实际上是1的子空间，当然是距离空间．

因1是完备的，而X 又是1

中闭集，所以(X , d )是完备距离空间．

14.设X 是正整数集合，令d (x , y ) = | 1/x – 1/y |，证明(X , d )不是完备距离空间．

[证明] 首先直接验证可知(X , d )是距离空间．

n +

，设x n = n ．则{ x n }是(X , d )中的基本列．

若{ x n }收敛于x X ，则d (x n , x ) 0，即| 1/x n – 1/x | 0 (当n 时)．

由此推出1/x = 0，而这是不可能的．

所以基本列{ x n }不收敛，因此(X , d )不是完备距离空间．

15.证明：离散距离空间(X , d )是完备距离空间． [证明] 设}{n x 是(X , d )中的基本列，

则存在自然数N ，当N n m >,时1),(

由离散距离空间定义知，0),(=n m x x d ，所以应有n m x x =； 即从1+N 项开始}{n x 为常序列，因此}{n x 必为收敛列．

所以(X , d )是完备距离空间。

16. 证明：c 是可分的完备距离空间． [证明] 首先证明c 是完备距离空间．

设}{n x 是基本列，0>?ε，存在自然数N ，当N n m >,时ε<),(n m x x d ． 记)()(n i n x ξ=，则εξξ<-||)()(m i n i ，（1≥?i ）． 可见对1≥?i ，数列}1|{)(≥n n i ξ是1R 中的基本列，

因此设i n

n i ξξ??→?∞→)(，并记)(i x ξ=． 显然当N n >时，1≥?i 有εξξ≤-||)(i n i ，取1+=N n 则1≥?i 有εξξ≤-+||)1(i N i ． 由于)()1(1++=N i N x ξ是收敛列，存在N M >使得当M n m >,时，

εξξ<-++||)

1()1(N m N n ．

此时εξξξξξξξξ3||||||||)

1()1()1()1(<-+-+-≤-++++m N m N m

N n N n n m n ． 故)(i x ξ=是1R 中的基本列，所以c x ∈．

由前面可见，0>?ε，存在自然数N ，当N n >时1≥?i 有εξξ≤-||)(i n i ，

故有εξξ≤-≥||sup )(1

i n i i ，即ε≤),(x x d n ，所以基本列}{n x 是收敛的．

下面证明c 是可分的．

在c 中，令}|)({N i i i N i N x A ξξξξ=≥?==有使得为有理数，存在自然数． 则A 显然为可数集，且A 在c 中稠密，所以c 是可分的．

17.证明：s 是可分的完备距离空间． [证明] 首先证明s 是完备距离空间．

设}{n x 是基本列，0>?ε，存在自然数N ，当N n m >,时ε<),(n m x x d ． 记)()(n i n x ξ=，容易看出1≥?i ，数列}1|{)(≥n n i ξ是1R 中的基本列，

因此设i n

n i ξξ??→?∞→)(，并记)(i x ξ=． 注意εξξξξ<-+-?∑∞

=1)()()()(||1||21i m i n i m i n i i ，故εξξξξ<-+-?∑=M

i m i n i m i n i i 1)

()()()(||1|

|2

1 (对任意自然数M )． 令∞→m 得到εξξξξ≤-+-?∑=M

i i

n i i n i i 1)

()(||1|

|21，(对任意自然数M )． 所以有ε≤),(x x d n ．即基本列}{n x 是收敛的． 下面证明s 是可分的．

在s 中构造A 如下：}0|)({不为为有理数，只有有限项i i x A ξξ==．

显然A 为可数集，且A 在s 中中稠密，所以s 是可分的．

18.从集合的角度看，m s ，但s 是可分的而m 不是可分的，这能给我们什么启迪？

[答] 距离空间的可分性除了依赖于集合本身外，更重要的是依赖于集合上所给出的距离，仅对集合而言是谈不到什么可分不可分的．