高中数学 课时作业15 解三角形的实际应用举例 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题
课时作业(十五)
1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )
A．10°B．50°
C．120°D．130°
答案 D
2．一只船速为23米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )
A．120°B．90°
C．60°D．30°
答案 B
3．一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距82海里，则灯塔S在B处的
( ) A．北偏东75°B．南偏东15°
C．北偏东75°或南偏东15°D．以上方位都不对
答案 C
4．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°，然后朝新方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值是( )
A. 3 B．2 3
C.3或2 3 D．3
答案 C
5．一船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h后，该船实际航行为( )
A．215 km B．6 km
C.84 km D．8 km
答案 B
6．有货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货
轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A ．20(6＋2) 海里/小时
B ．20(6－2) 海里/小时
C ．20(6＋3) 海里/小时
D ．20(6－3) 海里/小时
答案 B
7.(2015·某某高二检测)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜率15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( ) A.3
2
B. 3
C.3－1
D.2－1
答案 C
8．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中
心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( ) A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时 D ．2小时
答案 B
9．河两岸A ，B 两点，现测得BC ＝32米，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________米(结果不要求取近似值)． 答案
326
3
解析 AB ＝BC·sinC sinA ＝32·sin45°sin60°＝326
3
(米)．
10．某市全运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A ，B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．
答案30
解析由题意可知∠BAM＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得
AN
sin45°
＝
106
sin30°
，解得AN ＝203米，在△AMN中，MN＝203×sin60°＝30(米)，故旗杆的高度为30米．
11．如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________(千米/分钟)．
答案
6
4
解析在△BCD中，
∠BDC＝30°＋60°＝90°，CD＝1，∠BCD＝45°，
∴BC＝ 2.
在△ACD中，∠CAD＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°，
∴
CD
sin45°
＝
AC
sin30°
，∴AC＝
2
2
.
在△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos60°＝
3
2
，
∴AB＝
6
2
，∴船速为
6
2
2
＝
6
4
千米/分钟．
12．在山脚A处测得山顶S的仰角为45°，沿倾斜角为15°的该斜坡向上走100 m到B，又测得S 的仰角为75°，求山高SD.
解析在△ABS中，∠SAB＝45°－15°＝30°，∠ASB＝30°，∠ABS＝120°，AB＝100 m，由正弦定理，得SA＝
100×sin120°
sin30°
＝1003(m)．
在Rt△SAD中，SD＝SA·sin45°＝1003×
2
2
＝506(m)．
所以山高SD为50 6 m.
13. (2015·某某高二检测)如图A，B是海面上位于东
西方向相距5(3＋3) 海里的两个观测点，现位于A
点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发
出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203
海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30
海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间．
解析由题意知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°
＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝
180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得
DB
sin∠DAB
＝
AB
sin∠ADB
.
所以DB＝
AB·sin∠DAB
sin∠ADB
＝
5（3＋3）sin45°
sin105°
＝
5（3＋3）sin45°
sin45°cos60°＋cos45°sin60°
＝
5（3＋3）·
2
2
2
2
·
1
2
＋
2
2
·
3
2
＝10 3.
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203，
在△DBC中，由余弦定理，得
CD 2＝
BD 2＋BC 2－2BD·BC·cos ∠DBC ＝(103)2＋(203)2
－2·103·203·12＝900，所以
CD ＝30.又航行速度为30海里/小时，所以该救援船到达D 点需要1小时．
14．(2013·某某)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝12
13，cosC
＝35
.
(1)求索道AB 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X 围内？ 解析 (1)在△ABC 中，因为cosA ＝1213，cosC ＝35，
所以sinA ＝513，sinC ＝4
5
.
从而sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C) ＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝513×35＋1213×45＝63
65. 由
AB sinC ＝AC sinB
，得 AB ＝AC sinB ×sinC ＝1 2606365×45
＝1 040(m)．
所以索道AB 的长为1 040 m.
(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得
d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213
＝200(37t 2
－70t ＋50)．
因0≤t≤
1 040
130
，即0≤t≤8，故当t＝
35
37
(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由
BC
sinA
＝
AC
sinB
，得
BC＝
AC
sinB
×sinA＝
1 260
63
65
×
5
13
＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤
500
v
－
710
50
≤3，解得
1 250
43
≤v≤
625
14
，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[
1 250
43
，
625
14
](单位：m/min)X围内．
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方
向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一
个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数
据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，
包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并
在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N
间的距离的步骤．
解析方法一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)．
②第一步：计算AM.
由正弦定理，得AM＝
dsinα2
sin（α1＋α2）
；
第二步：计算AN，由正弦定理，得
AN＝
dsinβ2
sin（β2－β1）
；
第三步：计算MN.由余弦定理
MN ＝AM 2
＋AN 2
－2AM×AN cos （α1－β1） 方法二：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；
B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d(如图所示)． ②第一步：计算BM.由正弦定理，得BM ＝dsin α1sin （α1＋α2）；
第二步：计算BN.由正弦定理，得BN ＝dsin β1
sin （β2－β1）
；
第三步：计算MN.由余弦定理，得MN ＝BM 2
＋BN 2
＋2BM×BN cos （β2＋α2）.
1．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asinBcosC ＋csinBcosA ＝1
2b ，且a>b ，则∠B＝( ) A.π6 B.π
3 C.2π3 D.5π6
答案 A
解析 根据正弦定理，得asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b 等价于sinAcosC ＋sinCcosA ＝1
2，即
sin(A ＋C)＝1
2
.
又a>b ，∴∠A ＋∠C＝5π6，∴∠B ＝π
6
.故选A 项．
2．(2014·某某)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 答案 2 3
解析 方法一：在△ABC 中，根据正弦定理，得
AC sinB ＝BC sinA ，所以4sinB ＝23
sin60°
，解得sinB ＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以C ＝30°，所以△ABC 的面积S △ABC ＝1
2
·AC ·BC ·sinC ＝2 3. 方法二：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sinB ＝BC sinA ，所以4sinB ＝23
sin60°，解得sinB ＝1.
因为B∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以AB ＝42
－（23）2
＝2. 所以△ABC 的面积S △ABC ＝1
2
·AB ·BC ＝2 3.
3．设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________． 答案
2π3
解析 ∵由(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，整理，可得a 2
＋b 2
－c 2
＝－ab. ∴cosC ＝a 2
＋b 2
－c 2
2ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π
3
.
4．(2014·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B.
(1)求a 的值；
(2)求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值． 解析 (1)因为A ＝2B ，所以sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB. 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2
＋c 2
－b
2
2ac .
因为b ＝3，c ＝1，所以a 2
＝12，a ＝2 3.
(2)由余弦定理得cosA ＝b 2
＋c 2
－a 2
2bc ＝9＋1－126＝－1
3.
由于0 A ＝ 1－19＝22 3 . 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sinAcos π4＋cosAsin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 5．(2013·)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1)求cosA 的值； (2)若c 的值． 解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A， 所以在△ABC 中，由正弦定理，得 3sinA ＝26 sin2A . 所以2sinAcosA sinA ＝263.故cosA ＝63. (2)由(1)知，cosA ＝ 63，所以sinA ＝1－cos 2 A ＝33 . 又因为∠B＝2∠A，所以cosB ＝2cos 2 A －1＝13. 所以sinB ＝1－cos 2 B ＝ 22 3 . 在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝53 9 . 所以c ＝asinC sinA ＝5. 6．(2013·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A －B 2 cosB －sin(A －B)sinB ＋cos(A ＋C)＝－3 5， (1)求cosA 的值； (2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC → 方向上的投影． 解析 (1)由2cos 2 A － B 2cosB －sin(A －B)sinB ＋cos(A ＋C)＝－3 5 ，得[cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－3 5 ， 即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－3 5. 则cos(A －B ＋B)＝－35，即cosA ＝－3 5. (2)由cosA ＝－35，0 5. 由正弦定理，得 a sinA ＝ b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝2 2 . 由题知a>b ，则A>B ，故B ＝ π 4 . 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2 －2×5c×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)． 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA → |cosB ＝22 . 7．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2 ＝b 2 ＋c 2 ＋3bc. (1)求A ； (2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cosBcosC 的最大值，并指出此时B 的值． 解析 (1)由余弦定理，得 cosA ＝b 2 ＋c 2 －a 2 2bc ＝－3bc 2bc ＝－32. 又因为0 6 . (2)由(1)得sinA ＝1 2，又由正弦定理及a ＝3，得 S ＝12bcsinA ＝12·asinB sinA ·asinC ＝3sinBsinC. 因此，S ＋3cosBcosC ＝3(sinBsinC ＋cosBcosC)＝3cos(B －C)． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π 12 时，S ＋3cosBcosC 取最大值3. 8．(2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1)求A ； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c. 解析 (1)由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理，得 sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0. 因为B ＝π－A －C ， 所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0. 由于sinC ≠0，所以sin(A －π6)＝12 . 又0 3 . (2)△ABC 的面积S ＝1 2bcsinA ＝3，故bc ＝4. 而a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bcosA ，故b 2 ＋c 2 ＝8.解得b ＝c ＝2. 9．(2012·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cosB 的值； (2)边a ，b ，c 成等比数列，求sinAsinC 的值． 解析 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cosB ＝1 2. (2)方法一：由已知b 2 ＝ac ，及cosB ＝12， 根据正弦定理，得sin 2 B ＝sinAsinC. 所以sinAsin C ＝1－cos 2 B ＝34. 方法二：由已知b 2 ＝ac ，及cosB ＝12 ， 根据余弦定理，得cosB ＝a 2 ＋c 2 －ac 2ac ，解得a ＝c. 所以A ＝C ＝B ＝60°，故sinAsinC ＝3 4 . 10．(2013·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC ＋(cosA －3sinA)cosB ＝0. (1)求角B 的大小； word 11 / 11 (2)若a ＋c ＝1，求b 的取值X 围． 解析 (1)由已知得－cos(A ＋B)＋cosAcosB －3sinAcosB ＝0，即有sinAsinB －3sinAcosB ＝0. 因为sinA ≠0，所以sinB －3cosB ＝0. 又cosB ≠0，所以tanB ＝ 3.又0 . (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2 －2accosB. 因为a ＋c ＝1，cosB ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14 . 又0 ≤b<1. 1.3.1解三角形应用举例(第一课时) 教学目标: 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 学法:让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。 教学设想: 1、复习旧知:正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、设置情境:请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 3、新课讲授:解决实际测量问题的过 程一般要充分认真理解题意，正确 做出图形，把实际问题里的条件和 所求转换成三角形中的已知和未 知的边、角，通过建立数学模型来 求解 例1、如图，设A、B两点在河的两岸， 要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C， 51， 测出AC的距离是55m，∠BAC=? ∠ACB=? 75。求A、B两点的距离(精确到0.1m) 启发提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 北师大版高三数学必修五《解三角形的实际应用举例》评课 稿 一、引言 《解三角形的实际应用举例》是北师大版高三数学必修五 中的一篇重要章节。本课以解三角形实际应用为切入点，帮助学生巩固和拓展三角形的知识，并通过实例让学生了解数学的实际运用。本文将对该课进行评课，分析其教学目标、教学内容、教学方法和教学评价，并提出改进建议。 二、教学目标 本节课的教学目标主要包括： 1.学习掌握解三角形的基本原理和方法； 2.了解解三角形在实际生活中的应用； 3.培养学生运用数学解决实际问题的能力； 4.开发学生的逻辑思维和问题解决能力。 三、教学内容 1. 解三角形的基本原理和方法 本节课首先介绍了解三角形的基本原理和方法，包括三角 函数、余弦定理、正弦定理等。通过具体的例题，让学生掌握解三角形的基本步骤和技巧，理解其中的数学思想和推理过程。 2. 解三角形的实际应用举例 随后，本节课以实际应用为背景，在解决实际问题的过程 中运用解三角形的知识。通过详细的实际案例，如测量高楼、测量河面宽度等，让学生了解数学在工程测量、地理测量等实际场景中的应用。通过实际案例的引入，激发学生的学习兴趣，培养他们应用数学解决实际问题的能力。 四、教学方法 1. 探究式教学法 本节课采用探究式教学法，通过引导学生观察、实验和探索，让他们从实际问题中发现解决问题的规律和方法。教师可以给学生提供一些实际测量数据，让他们根据已掌握的知识解决问题，并引导他们总结解决问题的思路和方法。 2. 合作学习法 在课堂中，教师可以将学生分为小组进行讨论和合作。通 过小组讨论，学生可以互相交流和分享解决问题的思路和方法，相互激发思维，提高问题解决的效率和质量。同时，教师可以对小组进行针对性的指导和辅导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。 3. 归纳总结法 本节课还采用了归纳总结法，即在学生进行实际应用实例 解题后，教师进行归纳总结，概括解决问题的基本方法和技巧。通过归纳总结，学生可以加深对知识的理解和掌握，提高解决问题的能力。 五、教学评价 本节课的教学评价主要从学生的学习效果、兴趣程度和问 题解决能力等方面进行评价。 首先，通过课堂观察和小组合作学习的表现来评价学生的 学习效果和兴趣程度。如果学生能够积极参与课堂讨论，提出问题和思考解决方法，展示出对解三角形实际应用的兴趣和热情，那么可以认为他们对课堂内容有较好的理解和掌握。 其次，通过学生在课后作业和实际应用实例解题中的表现 来评价他们的问题解决能力。如果学生能够运用解三角形的方 5.解三角形的实际应用举例 教学目标班级：_____ 姓名：____________ 1.掌握利用正、余弦定理及其推论测距、测高的几种方法. 2.了解数学建模思想，培养利用数学知识解决实际问题的能力. 教学过程 知识要点 1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线. 一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2.仰角和俯角：在同一铅垂平面内，水平视线和目标视线的夹 角，当目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视 线下方时叫俯角. 技能点拨 一、测量可到达点A与不可到达点B之间的距离. 方法：1.在可到达点A一侧再取一个点C，构造； 2.测量AC距离，及AC的两个邻角的度数；(“角角边”型问题) 3.利用正弦定理计算_____________________ 例1：海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C 岛和A岛成的视角，则B、C的距离为多少海里？ 练1：为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标记物C，测得， ，m.求河的宽度CD. 二、测量两个不可到达的点A 、B 之间的距离. 方法:1.在可到达一侧取两点C 、D ，构造三个三角形：； 2.在中，测边CD 、、,“角边角”问题，利用正弦定理求AC. 3.在中,测、 ，“角边角”问题，利用正弦定理求BC. 4.在中,测 ，“边角边”问题， 利用余弦定理求AB. 例2:如图,在四边形ABCD 中,已知CD AD ⊥, ,,, ,求BC 的长. 三、测量俯仰角求底部不可到达的建筑的高度. 方法：1.分别测量在C 、D 观测A 点的仰角ACB ∠、ADB ∠，及边CD.“角角边”问题，利用正弦定理求AC ； 2.在ABC Rt ?中，求AB. 例3：如图，在山根A 处测得山顶B 的仰角，沿倾斜角为的山坡向山顶 走1000m 到达S 点，又测得山顶仰角，则山高BC 为______m. 作业 如图，在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为 ，已知建筑物底部高出地面D 点20m （即OB=20），求建筑物高度AB. D D A C D O B S 6.解三角形的实际应用举例 教学目标 班级：_____ 姓名：____________ 1.掌握利用正、余弦定理及其推论，掌握方位角，三角形面积计算等问题. 2.了解数学建模思想，培养利用数学知识解决实际问题的能力. 3.体会数学的实用性. 教学过程 一、航海问题. 1.方位角的识别： （1）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角. （2）方向角：从指定方向到目标方向线所成的角. 例1：分别用方位角和方向角表示右图中A 、B 的方向. A 点：________________________________________ B 点：________________________________________ 例2：甲船在A 点发现乙船在北偏东 60的B 处，乙船以每小时10海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时310海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 练2：某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角 45，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为 105的方向，以10海里/小时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以310海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间. 二、三角形的面积公式： 1.高底??=2 1S ；（已知底和高）. 2.B ac A bc C ab S sin 2 1sin 21sin 21===；(已知两边及夹角) 例3：已知的面积为，且，则A=_________. 练3：在ABC ?中，已知23=a ，3 1cos = C ，34=?ABC S ，求边b 的长. 作业 1.一艘海轮从A 处出发，以40海里/小时的速度沿南偏东 40方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向为南偏东 70，在B 处观察灯塔，其方向为北偏东 65，那么B 、C 之间的距离为多少？ 2.3.4解三角形应用举例(第四课时) 教学目标： (a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 (b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点，。 (c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 学法：正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。 直角板、投影仪 教学设想：设置情境：师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在?ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？ 生：h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式S= 21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S= 21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=21bcsinA, S=2 1acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 1、 新课讲授 例1、在?ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?;（2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用S=21acsinB ，得 S=2 1?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm 2) 课时作业(十五) 1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC 等于( ) A．10°B．50° C．120°D．130° 答案 D 2．一只船速为23米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( ) A．120°B．90° C．60°D．30° 答案 B 3．一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距82海里，则灯塔S在B处的 ( ) A．北偏东75°B．南偏东15° C．北偏东75°或南偏东15°D．以上方位都不对 答案 C 4．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°，然后朝新方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值是( ) A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．3 答案 C 5．一船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h后，该船实际航行为( ) A．215 km B．6 km C.84 km D．8 km 答案 B 6．有货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货 轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( ) A ．20(6＋2) 海里/小时 B ．20(6－2) 海里/小时 C ．20(6＋3) 海里/小时 D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B 7.(2015·某某高二检测)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜率15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( ) A.3 2 B. 3 C.3－1 D.2－1 答案 C 8．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中 心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( ) A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时 D ．2小时 答案 B 9．河两岸A ，B 两点，现测得BC ＝32米，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________米(结果不要求取近似值)． 答案 326 3 解析 AB ＝BC·sinC sinA ＝32·sin45°sin60°＝326 3 (米)． 10．某市全运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A ，B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米． 高中数学必修5解三角形的实际应用精选题目（附答案） 实际测量中的有关名称、术语 方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 () A．α＞βB．α＝β C．α＋β＝90°D．α＋β＝180° 2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为() A.2a km B.3a km C．a km D．2a km 一：测量高度问题 3.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并 在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 二：测量角度问题 4.如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西 60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西 60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？ 三：测量距离问题 （一）：两点不相通的距离 5.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方 法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离． 即AB＝a2＋b2－2ab cos α. 若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长． （二）：两点间可视但有一点不可到达 6.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的 同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m. （三）：两点都不可到达 7.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达， 测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得 CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β， ∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB. 若测得CD＝ 3 2km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°， 求A，B两点间的距离． 巩固练习一 1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为() A．12 m B．8 m C．3 3 m D．4 3 m 2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为() A.176 2n mile/h B．34 6 n mile/h 玉山县樟村中学2015－2016学年度第二学期备课稿 高一年级数学学科主备人孙晶晶课题 1.1正弦定理第 1 课时 教学目标1、在创设日常生活的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，由简单到复杂，步步推进，探索和证明正弦定理。 2、能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题，并初步认识用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种情况。 重点难点重点：正弦定理的探索与证明；正弦定理的基本应用。 难点：正弦定理的探索与证明。 教学准备 PPT,三角板 教学方法以学生为中心，以教师为主导，启发式教学。 教学过程[创设情景] 固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点动。 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ [探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三 角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt?ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin1 c C c ==, 则 sin sin sin a b c c A B C === 从而在直角三角形ABC中， sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根 据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =, 则 sin sin a b A B = 同理可得 sin sin c b C B =， 二次备课 2.3解三角形的实际应用举例 本节教材分析 为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解. 三维目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题 过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间 情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的 教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 教学建议： 1.本节教学，要注意贯穿数学建模的思想，在例题的分析解决过程中，让学生讨论归 纳出街应用题的一般思路，建立数学模型. 2.如果有条件，最好采用多媒体演示例题中模型，帮助学生理解问题的背景，建立模 型，同时要求学生要注意观察周围生活中的事物. 新课导入设计 导入一: [问题导入现实生活中，人们又是怎样测量底部不可到达建筑物的高度呢？通过学习本节你将轻松愉快地测量出山高和工厂的烟囱高，在学生踊跃的状态下由此展开新课. 导入二：(情景导入)你有坐汽车（或者火车）经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标（100米杆）就会立即测算出你所看到的山的高度.利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何计算山高的期待中导入新课解三角2.3 形的实际应用举例（2） 本节教材分析 为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解. 三维目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问 【三维目标】： 一、知识与技能 1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式； 2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 3.通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性. 二、过程与方法 通过引导学生分析，解答几个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 三、情感、态度与价值观 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 【教学重点与难点】： 重点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 难点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向（三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求） 【学法与教学用具】： 1. 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 2. 教学方法：启发引导式 （1）启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等； （2）引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用 3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.复习公式：（本环节以学生自我归纳、自我总结为主）正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理： ,cos 22 2 2 A bc c b a -+=⇔bc a c b A 2cos 2 22-+= 北师大版高中高三数学必修5《解三角形的实际应用举例》评 课稿 一、评课内容概述 本文档是针对北师大版高中高三数学必修5中的《解三角形的实际应用举例》这一章节进行评课的详细记录和分析。该章节着重讲解了如何运用数学知识解决实际问题，通过解析不同的三角形应用例题，培养学生的实际运用能力和解题思维。本次评课将从以下几个方面进行详细分析和评价： 1.教学目标的明确性和合理性； 2.教学内容的组织结构和连贯性； 3.教学方法的多样性和可操作性； 4.学生学习效果的评估方式和可行性。 二、教学目标评价 通过对教学目标的明确性和合理性进行评价，可以判断教师是否准确地把握了学生的学习需求，并且能够向学生明确传达学习目标。鉴于本章节的特点，教师的教学目标需要有以下几个方面的考虑： 1.培养学生的实际应用能力和解题思维； 2.掌握解决三角形实际问题的基本方法和技巧； 3.培养学生的数学建模和推理能力。 在评价中发现，教学目标的明确性和合理性较为明确，能够有效地引导学生学习，使学生在学习过程中较为明确地知道自己的学习目标。 三、教学内容评价 本章节的教学内容旨在教授学生如何解决实际问题中的三角形应用题。教学内容的组织结构合理、生动有趣，能够引起学生的兴趣并激发学生的思考。教学内容的连贯性较好，从简单的例子开始，逐渐增加难度，层层递进，使得学生能够循序渐进地学习。 教学内容中不涉及图片、网址和表格，使得学生能够更加专注于问题本身的解决方法，同时也减少了学生对外部资源的依赖，培养了他们独立思考和解决问题的能力。 四、教学方法评价 在教学方法的评价中，需要考察教师的方法是否多样，并且是否能够帮助学生实际运用所学知识解决实际问题。在本章节中，教师采用了多种教学方法，如讲解、例题演练、小组合作等。这些方法能够很好地引导学生思考和实践。 特别值得称赞的是教师在引导学生进行例题演练时，充分鼓励学生多进行实际计算和推理，多进行思考和讨论。这种教学方法能够培养学生的实际运用能力和解题思维，增强学生的自主学习能力。 五、学习效果评价 学习效果的评估是对教学的最终评价，能够客观地反映教学的成果。在本章节中，学生的学习效果评价主要通过小组合作形式进行，通过小组讨论解决问题，促进了学生之间的互动和交流。学生在例题演练中，能够较好地运用所学知识解决问题，培养了学生的实际运用能力和解题思维。 综合评估后发现，学生的学习效果良好，大部分学生能够达到预期的学习目标。通过对学习效果的评价，能够为教师今后的教学改进提供有益的参考。 教学准备 1. 教学目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合训练强化相应的能力. 3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神. 2. 教学重点/难点 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合训练强化相应的能力. 3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神. 3. 教学用具 4. 标签 教学过程 一、设计问题,创设情境 提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题. 二、信息交流,揭示规律 在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗? 三、运用规律,解决问题 【例1】如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如 果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile) 问题1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东75°的方向”这指的是什么? 【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/ 时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船? 问题2:你能否根据题意画出方位图? §3 解三角形的实际应用举例 [学习目标] 1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有关学问加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的争辩、探究习惯.3.进一步培育同学学习数学、应用数学的意识及观看、归纳、类比、概括的力量． [学问链接] 在下列各小题的空白处填上正确答案： (1) 如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角．(如图所示) (2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝tan α＝h l (i 为坡比，α为坡角)． (3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线． (4)方位角：从某点的北方向线起，顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向． [预习导引] 1．仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)． 2．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示) ①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②北偏西α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 要点一 测量距离问题 例1 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 动身有一条南偏东35°走向的大路，在C 处测得与C 相距31千米的大路上的B 处有一人正沿此大路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？ 解 如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝23 31， 所以sin B ＝123 31 . 在△ABC 中，AC ＝BC sin B sin ∠CAB ＝31× 12331sin 60°＝24(千米)． 由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠CAB 得AB 2－24AB －385＝0， 解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)． ∴AD ＝AB －BD ＝15(千米)， 故此人在D 处距A 还有15千米． 规律方法 测量距离问题分为两种类型：两点间不行通又不行视，两点间可视但不行达．解决此问题的方法 是，选择合适的帮助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解． 跟踪演练1 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522 m 答案 A 解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°， 《解三角形的实际应用举例》同步练习 1.在某次测量中，在A处测得同一铅垂平面内的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BA C等于( ) A.10° B.50° C.120° D.130° 2.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A.米 B.米 C.米 D.米 3.在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么塔吊的高是( ) A.20m B.20(1+)m C.10(+)m D.20(+)m 4.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC=60m，则建筑物的高度为( ) A.15m B.20m C.25m D.30m 5.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄埔江西岸选择C，D两观测点，在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔底与C地连线及C，D 两地连线所成的角为120°，C，D两地相距500m，则电视塔的高度是( ) A.100m B.400m C.200m D.500m 30°角，树干底部与树尖着地处相距5m，则树干原来的高度为__________. 7.如图，跳伞塔CD高4，在塔顶测得地面上两点A，B的俯角分别是30°， 45°，又测得∠ADB=30°，则AB两地的距离为________. 8.在元宵节灯会上，小明在门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1m)。 9.如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得A B=20m，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB=60°，求旗杆的高度(结果保留整数)。 解三角形 第1课时 三角形中的有关问题 1．正弦定理： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角； ⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理： 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角； ⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 典型例题 例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ． 解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝ 226+A 2＝120° C 2＝15° c 2＝2 2 6-变式训练1：(1)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则c o s B = （ ） A ．14 B ．34 C ．24 D ．23解：B 提示：利用余弦定理 （2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） A.0020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A === D. 0 12,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解 （3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5 B =，则cos C 的值为（ ）A 1665 B 5665 C 1665或 5665 D 1665-解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角 （4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩ 可得（5）在△ABC 中，0 60,1,3,sin sin sin ABC a b c A b S A B C ++∠===++则= ． 《解三角形的实际应用举例》提高练习 1．如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( ) A ．1762 海里/小时 B ．346海里/小时 C ．1722海里/小时 D ．342海里/小时 2．如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心时，测得仰角∠BAC ＝30°时，气球的视角β＝1°，若θ很小时可取sin θ≈θ，试估算该气球的高BC 的值约为( ) A．72m B．86m C．102m D．118m 3．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000m 到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( ) A．2 500(3－1)m B．5 0002m C．4 000m D．4 0002m 4．渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)( ) A．14.5km/h B．15.6km/h C．13.5km/h D．11.3km/h 5．某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( ) A．20(1＋ 3 3 )m B．20(1＋3)m C．10(2＋6)m D．20(2＋6)m 6．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) 2019-2020年高中数学2.3.3解三角形应用举例（第三课时）教案北师大版 必修5 教学目标: （a ）知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的 实际问题 （b ）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了 解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了 既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学 生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探 究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。 （c ）情感与价值：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程 中激发学生的探索精神 教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 学法:能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者 混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解， 训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是 非、掌握方法。 教学设想: 1、 设置情境 提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角 求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如 何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和 航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量 问题。 2、 新课讲授 例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东 75的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B, 然后从B 出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需 要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile) 学生看图思考讲述解题思路；教师根据学生回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求 出AC 边所对的角ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角 CAB 。 解：在ABC 中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理， AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222 =︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722≈113.15 根据正弦定理, = ； sinCAB = = ≈0.3255, 一．选择题（共12题，每题5分，共60分） 1、已知ABC △中，a = b =，60B =，那么角A 等于（ ） A ．135 B ．90 C ．45 D ．30 2、在ABC ∆中，若 b B a A cos sin = ，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 3、在 ABC △中，角C 为最大角，且0222>-+c b a ，则ABC △是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 4、在ABC ∆中,若 cos 4 cos 3 A b B a ==,则AB C ∆是( ) A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰或直角三角形 D 、钝角三角形 5、已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ） A ．135° B ．90° C ．120° D ．150° 6、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km),灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ） A ．a (km) B ．3a(km) C ．2a(km) D ．2a (km) 8 、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 9、在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则AB BC ∙的值为（ ） A 、19 B 、-14 C 、-18 D 、-19 10、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝42，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝63，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30° 11、若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(222222c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图 象是 （ ） （A ）在x 轴的上方 （B ）在x 轴的下方 （C ）与x 轴相切 （D ）与x 轴交于两点 12. 在△ABC 中，若2 2 tan tan b a B A = ，则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 二、填空题(每小题5分，共20分) 13、在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝_____________ 14、在∆A B C 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________ 15、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的外接圆半径等 于________． 16、已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2 -9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是________ 三、解答题(共70分) 17、（本题满分12分）△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o ，∠ADC ＝150o ， 求AC 的长及△ABC 的面积． 18、（本题满分12分）在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322 =+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。 求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。 19、（本题满分12分）ABC △1+，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长；高中数学 2.3.1解三角形应用举例(第一课时)教案 北师大版必修5
北师大版高三数学必修五《解三角形的实际应用举例》评课稿
高中数学 必修5 5.解三角形应用举例1(测距测高)
高中数学 必修5 6.解三角形应用举例2(航行面积)
高中数学 2.3.4解三角形应用举例(第四课时)教案 北师大版必修5
高中数学 课时作业15 解三角形的实际应用举例 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题
高中数学必修5解三角形的实际应用精选题目(附答案)
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