人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13
人教版一般高中课程标准实验教科书必修5第一章解三角形
一、教材剖析
本节内容选人教A版一般高中数学必修五的阅读与思虑“海伦与秦九韶”。主假如学习怎样利用三角形三边求其面积，属于拓展学生知识宽度和思想活跃的课程。在初中数学八年级下《二次根式》这一章，海伦—秦九韶公式以阅读与思虑的形式出现，但《初中数学新课程标准》中并无作要求。在必修四中，学生学习了同角三角函数的基本关系，学生有了利用公式进行正、余弦之间互相转变的工具。在必修五第一章《解三角形》中，学生已经学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，为本节课供给了理论依照，为学生的思想发展供给了很好的空间和平台。
本节课内容在教材中固然不过一个阅读资料，但是是三角形面积公式的持续与拓展，意在增补课外知识，为解决问题供给更多方法和思路，陶冶学生的数学情操，感觉数学的魅力，培育学生对数学的兴趣，弘扬数学文化，让学生享受此中的中西方文化盛宴，教师要注意指引学生察看、思虑、对照、转变与化归，找寻解决问题的思路。二、学情剖析
学生已经学习了同角三角函数的基本关系，也学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，拥有必定的运算能力和推理能力，初中对
海伦秦九韶公式也有所认识，但是公式的出处还不甚清楚，本着“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”
的原则，追根寻由，同时着重对学生数学文化修养的培育。
三、教课目的
1.知识与技术
1）掌握海伦公式和三斜求积，学会利用三角形三边求其面积。
2）理解海伦公式与三斜求积之间的关系，理解它们之间的数学实质是相同的。
3）应用海伦公式与三斜求积解决实质问题。
2.过程与方法：经过海伦—秦九韶公式的证明，感觉察看、思虑、
对照、转变与化归等数学思想，逐渐培育学生剖析问题和解决问题的
能力。
3.感情态度
1）从不同的文化中感觉数学文化的丰富内涵，领会中西方文化的多样性，领会到数学的不变性。
2）从海伦公式中领会到数学公式的简短美。四、教课重、难点
1.要点：掌握海伦公式与秦九韶公式的证明及应用
2.难点：理解海伦公式与秦九韶公式之间的联系
五、教法、学法
教课
流程
情形设计
设计企图
问题1：上节课我们推导了三角形的面积公式：
指引回想
起已知三
S
1
acsinB 1absinC 1
bcsinA
角形的两
边以及夹
2 2 2
复习问题2：余弦定理的推论
角推导出
的求三角
回首
b 2
c 2 a 2
a 2c 2
b 2
形面积的 公式。
cosA
2bc
cosB
2ac
a 2
b 2
c 2
cosC 2a b
1.我国古代传统数学文化介绍
利用数学
史吸引了
秦九韶（约1202-1261），字道古，四川安岳人。
学生的兴 趣，而且对
南宋官员、有名数学家，著有巨著《数书九章》，
有关人物 的介绍，可
《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，
以更好的 认识有关
情境在《数书九章》中给出了用三角形的三边表达三
的数学历 史，激发学
问题角形的面积的公式——三斜求积术。
生的学习
兴趣
引入2. 提出问题
《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问
沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百
步。欲知为田几
何。”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少。①你能转变以上数学语言为图形吗？②你可否直接运用含三角形三边的公式求出三
角形的面积？
3.三斜求积术
教师指引学生经过已学的面积公式求解问题1
∵S△
ABC
=2acsinB（sinB>0）①
秦九
sinB=1cos2B②
韶公
a2c2b2
cosB
2ac③式
将②③代入①获得
S1
ac1(c2a2b2
)
2
]
1
a
2
c
2
[1
(c2a2b2)2
]
22ac44a2c2
1
[c 2
a
2
(
c2a2b2
)
2
]
42
秦九韶的“三斜求积”固然从三角形三边求出了三
角形的面积，但是三斜求积形式较为繁琐，公式
不简短，也不便于记忆。
海伦公式历史介绍
不足为奇的是，在世界上的另一个国家的另一个数学家，也相同求出了已知三角形三边求面积的公式，他就是古希腊的数学家海伦，海伦在其著作《测地术》中就记录了从三角三边求面积的一个公式减每一条边后的乘积，能够发现，海伦求出的这个公式比秦九韶的三斜求积形式美丽多了，特别简短，也便于记忆。
1.海伦公式与三斜求积的联系
由已有知识推导秦九韶公式，培育学生的剖析问题能力和运算能力，培育学生的转变和化归思想。海伦公式的引入，西方数学史与数学文化的介绍，进一步吸引兴趣。
问：海伦公式与三斜求积相同是已知三角形的三 边求三角形的面积的公式，那么这两条公式有没
有什么样的联系呢？
由秦九韶
海
1ac
2 2 2
1[c 2a 2 2 2 2 2 2公 2式推导2 2 2
S 1 (c a b )
2] (c
a b )2] 1 (ca c a b )(ca c a b )
2 2ac 4 2 4 2 海伦公
式，
2 伦
1 2ac-(c
2 a 2 b 2
) 2ac+c 2 a 2 b 2
) 培育学生
4 2 ( 2
的转变和
化归思
想。
公
1 b 2
-(a c)2 (a c)
2 b 2
4 2 2
式
1 (b -a c)(b+a c ) (a c b)(a c b )
4 2 2
b-a c b+a c a c b a c b
2 2 2
2
p a b c
2
b-a c p b+
a c p ac b
p b
2 a, 2 c
,
2
S= p(p a)(p b)(
p c)
文化盛宴
中西方的文化固然不同，但知识确是举一反三的，能够看到海伦公式与三斜求积形式上是不相同的，但经过等式变形，能够看到他们的实质倒是相同的。海伦公式与三斜求积的提出，无疑是两个不同时空的伟大数学家之间的完满沟通。同时，我们也能够看到数学在变化中的不变性。这两个数学家真的给我们带来了一个丰厚的文化
盛宴
例1：在 ABC 中，若 a+b=12c=8
ABC ， ，请用海伦公式求
面积的最大值. 解：
ab
12，p
ab
c
10
2
S= p(p a)(pb)(p c) 20(10 a)(10b
)
2 5 (10a)(a2) 25 2
12a20
a 2 5 (a-6)2
16,a (0,12)
公式 当a 6时，S 有最大值，S max =8 5
应用 例：在 ABC 中，
若
b2 ， sinC 3sinA ，请用秦九 2
韶公式（三斜求积术）求 ABC 面积的最大
值.
【分析】由sinC 3sina 得a 3c ，
S 1[a 2c 2 (a 2
c 2
b 2
)2] 1
[a 2
3a 2
(a 2
3a 2 22
)2] 4 2 4
2 1 [3a 4 (4a 4
8a 2 4)] 1 (a 4 8a 2 4) 1 (a 2 4)2 3 4 4 4
当a 2
4即a 2时，S max 3. 经过详细问题，
剖析题目中的已知
量，结合公式解决问题，提高学生疏析问题，解决问题
的能力。小结 1. 海伦公式： S= p(p
a)(pb)(pc)
使学生对 自己所学
概括 2. 秦九韶公式（三斜求积术）
知识有更
深刻的认
12 c 2 a 2 b 2
识。 S 2 2 ]
[c a ( 2 )
4
作业是课
堂的持续， 课
见PPT
除了查验 学生对本
节课知识
后
的理解程
度，还在于 作
指引学生 对本课知
业
识的进一步研究思考。
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理学案(含解析)新人教A版必修5(2021学年)
２017-20１8学年高中数学第一章解三角形1.1.2 余弦定理学案（含解析)新人教Ａ版必修５ 编辑整理: 尊敬的读者朋友们: 这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(２0１7-２０１８学年高中数学第一章解三角形 1．１．2 余弦定理学案(含解析）新人教A版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2０17-2０１8学年高中数学第一章解三角形 1.1.2 余弦定理学案（含解析）新人教A 版必修5的全部内容。
错误! 余弦定理[提出问题] 在△ABC中,若AＢ=２，ＡC＝3，A＝６0°. 问题１：这个三角形确定吗？ 提示:确定． 问题2:你能利用正弦定理求出BC吗? 提示:不能． 问题3：能否利用平面向量求边BＣ?如何求得? 提示：能. ∵错误!=错误!－错误!, ∴|错误!｜２＝｜错误!|2+|错误!｜2－2错误!·错误! =｜错误!|2＋｜错误!|2－2｜错误!||错误!｜ｃｏs A =4＋9－2×2×3cｏs 60° ＝７。 ∴|错误!｜＝错误!. 问题4:利用问题3的推导方法，能否推导出用b,c，A表示a?提示：能． ［导入新知] 余弦定理 余 弦定公式表达 a２＝b2＋ｃ2－2ｂc cos_A, b2＝a2+c2－2ac cos_B, c2＝a2+b2-2ａbｃｏs_C
理 语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 推论ｃos A=错误!, ｃos B＝＼ｆ(a2+ｃ2－b２,2ａc)，coｓC=错误! [化解疑难] 对余弦定理的理解 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2）结构特征:“平方”“夹角"“余弦". (３）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系. （４)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 已知三角形的三边解三 角形 ［例1] 在△ABC (1）a=3，b=4,c=错误!,求最大角； (2)a∶b∶c＝１∶错误!∶２，求Ａ，B,C的大小． [解] （1）由c>b>a，知C最大, ∵cos C＝＼f(ａ2＋b２-ｃ２,2ａb)=错误!=-错误!, ∴C=1２0°. （2)∵a∶b∶ｃ＝1∶错误!∶2, ∴设a＝ｘ，则b=＼r（3)ｘ，c＝2x(x〉０). 由余弦定理,得 cｏs A=＼f（b２＋c2－a2，2bc)=错误!=错误!, ∴A=3０°. 同理coｓB＝错误!,ｃos C=0, ∴B＝60°,Ｃ=９0°。 ［类题通法]
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识 点
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 《秦九韶－海伦公式》教案 【教学内容】人教版数学必修五《秦九韶－海伦公式》 【教学对象】高一学生 【教材分析】 本节内容是高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分中的内容，本节课的主要意在引领学生运用所学知识对“秦九韶－海伦公式”进行证明，并进行有效的应用，让同学们从中体会到数学之美。 【知识背景】 海伦公式与秦九韶公式 古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式“如果一个三角形的三边长分别为a，b， c，记那么三角形的面积为：..这一公式称为海伦公式；海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式。 中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边长求面 积的秦九韶公式：.其实这两个公式实质是一致的，聪明的你能够推导出来吗？ 对比这两个公式，我们发现海伦公式形式漂亮，便于记忆，但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候，还是秦九韶公式处理比较方便，现在请您选择适当的公式解决一些问题吧。 【学情分析】 高二学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。【教学目标】 1、知识与技能： （1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同； （2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法：（ 1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维； （2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观： （1）体会到数学的简洁美； （2）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】证明秦九韶－海伦公式的过程。 【教学难点、关键】秦九韶－海伦公式的本质。 【教学方法】引导探究、实例运用。 【教学过程设计】 一、回顾旧知 1、三角形面积公式。提问，让学生回答出已经学习过的公式。 板书：S△＝1 2×a×h a＝ 1 2×ac×sinB＝p×r等 第一章、解三角形 一、教学目标 1、理解海伦与秦九韶面积公式的推导过程。 2、会用海伦与秦九韶面积公式解决一些简单的数学问题，体会海伦与秦九韶面积公式在处理与三角形三边有关的面积问题上的优越性。 3、通过介绍相关的数学史激发学生学数学的兴趣，培养学生的人文精神，增强学生的名族自豪感。 二、教学重点与难点 重点：（1）海伦与秦九韶面积公式的推导； （2）应用海伦与秦九韶面积公式解决一些简单的数学问题。 难点：(1)如何合理选择海伦与秦九韶面积公式解决实际问题； (2)理解海伦与秦九韶面积公式在处理与三角形三边有关问题上的优越性。 三、教学过程设计 （一）情景引入 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）的著作《数学九章》卷五“田域类”里有个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为几何.” 转化为数学语言为下列图形： 设计意图：从数学史角度看，用自己本民族的语言叙述数学问题能够拉近学生的心理距离，同时让学生了解本民族的数学名词，增强对本民族数文化的认同感，激发学习兴趣。 用符号语言表述即为： 在ABC ?中，已知13,14,15===c b a ， 求三角形的面积ABC S ?. 思考：你有哪些方法呢？ 设计意图：为引入秦九韶面积公式作铺垫。 （二）问题导学 问题1、我国古代数学家秦九韶在《九章算术》中记录了“三斜求积术”，即已知三角形的 三边边长，求它的面积，用现代面积公式可以表示为：S =能推导该公式吗？ 证明：由余弦定理： 222 cos 2a c b B ac +-= ， 111sin 222S ac B === 数学5 第一章解三角形 章节总体设计 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。 新课标理念下高中数学必修5第一章解三角形教法学法的探究交流 本章概述：本章是在学习三角函数、平面向量的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章的主要内容是两个重要定理，即正弦定理和余弦定理以及这两个定理在解斜三角形中的应用。教材地位：本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的。正、余弦定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它们进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求解三解形的重要工具。 本章内容与三角形定性研究的结论相联系，与三角函数相联系，同时也体现了向量及其运算的应用。高考中常与三角函数和向量知识联系起来考查，是高考的一个热点内容。 课标要求：1、理解并掌握正弦定理和余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 学法指导：1、重视数学思想方法的运用。解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用。 2、加强新旧知识的联系。本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有着密切联系。同时，要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力。 3、提高数学建模能力。利用解三角形解决相关的实际问题，根据题意，找出量与量之间的关系，作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型。 学科实践：本章知识在现实生活中有着广泛的应用，如天文测量、航海测量、地理测量以及日常生活中的距离、高度、角度的测量等，解三角形的理论被用于解决许多测量问题。因此，通过本章的学习，能提高学生解决关于测量和几何计算的实际问题的能力和数学建模能力。 知识点1正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 人教版一般高中课程标准实验教科书必修5第一章解三角形 一、教材剖析 本节内容选人教A版一般高中数学必修五的阅读与思虑“海伦与秦九韶”。主假如学习怎样利用三角形三边求其面积，属于拓展学生知识宽度和思想活跃的课程。在初中数学八年级下《二次根式》这一章，海伦—秦九韶公式以阅读与思虑的形式出现，但《初中数学新课程标准》中并无作要求。在必修四中，学生学习了同角三角函数的基本关系，学生有了利用公式进行正、余弦之间互相转变的工具。在必修五第一章《解三角形》中，学生已经学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，为本节课供给了理论依照，为学生的思想发展供给了很好的空间和平台。 本节课内容在教材中固然不过一个阅读资料，但是是三角形面积公式的持续与拓展，意在增补课外知识，为解决问题供给更多方法和思路，陶冶学生的数学情操，感觉数学的魅力，培育学生对数学的兴趣，弘扬数学文化，让学生享受此中的中西方文化盛宴，教师要注意指引学生察看、思虑、对照、转变与化归，找寻解决问题的思路。二、学情剖析 学生已经学习了同角三角函数的基本关系，也学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，拥有必定的运算能力和推理能力，初中对 海伦秦九韶公式也有所认识，但是公式的出处还不甚清楚，本着“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行” 的原则，追根寻由，同时着重对学生数学文化修养的培育。 三、教课目的 1.知识与技术 1）掌握海伦公式和三斜求积，学会利用三角形三边求其面积。 2）理解海伦公式与三斜求积之间的关系，理解它们之间的数学实质是相同的。 3）应用海伦公式与三斜求积解决实质问题。 2.过程与方法：经过海伦—秦九韶公式的证明，感觉察看、思虑、 对照、转变与化归等数学思想，逐渐培育学生剖析问题和解决问题的 能力。 3.感情态度 1）从不同的文化中感觉数学文化的丰富内涵，领会中西方文化的多样性，领会到数学的不变性。 2）从海伦公式中领会到数学公式的简短美。四、教课重、难点 1.要点：掌握海伦公式与秦九韶公式的证明及应用 2.难点：理解海伦公式与秦九韶公式之间的联系 五、教法、学法 教课 （新课标）2015-2016学年高中数学第一章解三角形教学设计新 人教A版必修5 从容说课 本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业． 正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究． 本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习. 教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形. 2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用. 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． 教学难点定理及有关性质的综合运用． 教具准备多媒体投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良； 2.三角形各种类型的判定方法； 3.三角形面积定理的应用. 二、过程与方法 通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题． 三、情感态度与价值观 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系． 教学过程 导入新课 师 本章我们共学习了哪些内容？ 生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？ 生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2 =b 2 +c 2 -2bcco s A ， b 2=a 2+ c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ; ab c b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 2 22222222-+=-+=-+=. 师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形. 生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式： C ab B ac A bc S sin 2 1 sin 21sin 21===C ， 利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积. 师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习. 推进新课 多媒体投影 解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注 余弦定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C (1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角 类型（1）（2）有解时只有一解 正弦定理 （3）已知两角和类型（3）在有解时只有一解， 人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习 知识梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理： （1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=， C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 2 22-+=，（角到边的 转换） 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21 acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=R ab c 4(R 为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A …… 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ， 再求b 、c. (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B b sin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =B b sin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： A>90° A=90° A<90° a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 absinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解 a 海伦—秦九韶公式【教课内容】数学必修五第一章《解三角形》阅读资料(人教A 版) 【教课对象】高一学生 【教材剖析】在达成《解三角形》的学习以后，引领学生运用所学知识对秦九韶公式与海伦公式进行证明，并让同学们从中领会到数学之美。 【学情剖析】学生在进入本节课的学习以前，已经熟习余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完好平方公式。 【教课目的】 1、知识与技术： 1）理解秦九韶公式与海伦公式的实质同样； 2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的实质； 3）会用海伦公式解决简单的波及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法： 1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培育学生谨慎的数学逻辑思想； 2）提升学生应用海伦公式解决波及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、感情态度价值观： （1）领会到数学的简短美； （2）领会数学以不变应万变的魅力。 【教课要点】证明海伦—秦九韶公式的过程。 【教课难点、要点】海伦公式的实质。 【教课方法】指引研究、实例运用。 【教课过程设计】 一、回首旧知 1、三角形面积公式。经过发问，让学生回答出已经学习过的公式， 板书：S ABC 1底高1两邻边夹角的正弦 . 22 2、余弦定理的变形： b2c2a2a2c2b2a2b2c2 cosA 2bc ，cosB 2ac ，cosC 2ab . 二、问题引出问题：ABC中,已知a 4,b 5,c6,求ABC的面积. 运用我们已经学习过的知识能够直接求解吗？ 在黑板演出示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过 程。 我国南宋期间数学家秦九韶（约1202—约1261）在《数书九章》中记述“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，就面积的有名公式——秦九韶公式。 1.1.2 余弦定理 课时过关·能力提升 基础巩固 1在△ABC 中,符合余弦定理的是( ). A.c 2=a 2+b 2-2ab cos C B.c 2=a 2-b 2-2bc cos A C.b 2=a 2-c 2-2bc cos A D.cos C =a 2+b 2+c 22ab 答案:A 2已知在△ABC 中,b cos A=a cos B ,则△ABC 是( ). A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 解析:由余弦定理得,b ·b 2 +c 2-a 22bc =a ·a 2+c 2-b 22ac , 整理得,a=b.故选B . 答案:B 3在△ABC 中,若a=7,b=8,cos C =1314,则最大角的余弦值是( ). A.−15B.−16 C.−17 D.−18 解析:因为c 2=a 2+b 2-2ab cos C=72+82-2×7×8×1314=9,所以c=3. 根据三边的长度知角B 为最大角, 故cos B =a 2+c 2-b 2 2ac =49+9-642×7×3=−17. 所以cos B=−17. 答案:C 4在△ABC 中,已知a=2,则b cos C+c cos B 等于( ). A. 1 B .√2 C.2 D.4 解析:b cos C+c cos B=b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =2a 22a =a =2. 答案:C 5在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.若a 2-b 2=√3bc,sin C =2√3sin B,则A 等于( ). A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:根据正弦定理,由sin C=2√3sin B 可得c=2√3b, 把它代入a 2-b 2=√3bc 得a 2-b 2=6b 2, 即a 2=7b 2. 结合余弦定理得 cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+12b 2-7b 2 2b ·2√3b =√32. 又∵0° §3.2等比数列前n项和 一、应用创新点 教学模式：本课采用“探究—发现—应用”教学模式． 教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导． 学生的学法：突出探究、发现与应用. 二、教材分析 1、教学内容：《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用． 2、教材分析：《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 三、学情分析：1、知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.2、认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．3、任教班级学生特点：我班学生基础知识还行、思维较活跃，应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题． 三、教学目标 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能简单的应用公式. 2．过程与方法 在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化学生思维品质． 3.情感态度与价值观 通过故事引入，学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美及学好数学的必要性. 四、教学重难点分析及解决措施 1.重点：等比数列的前n项和公式的推导和公式的简单应用，先会进行简单的公式套用。 2.难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式以及错位相减法求和，学生多动手多思考，归纳总结题型。 五、教学过程 《海伦——秦九韶公式》教案 【教学内容】 人教A版普通高中课程标准试验教科书必修5 第一章“阅读与思考”海伦与秦九韶. 【教学对象】 高一学生. 【教材分析】 本节内容选自高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分的内容，在《高中数学新课程标准》中并没有做要求，教材中只占用一篇幅叙述了海伦公式与秦九韶公式（“三斜求积”公式）的记载历史，并未给出证明和应用.本节内容之前学生已经学习了解三角形，从而这节课是三角形面积公式的延续与拓展.本节课的主要设计对象为数学学习程度较好的学生——在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的学生，意在引领学生了解数学文化史，同时启发学生运用所学知识由“三斜求积”公推导海伦公式，并让学生从中体会数学之美. 【学情分析】 高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的三角形面积公式，余弦定理的推论，同角三角函数的平方关系以及平方差公式和完全平方公式. 【教学目标】 ∙知识与技能：（1）会推导秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（2）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同.（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题. ∙过程与方法：（1）经历推导秦九韶公式与海伦公式的全过程，培养学生严谨的的数学逻辑思维；（2）提高学生会应用海伦公式解决涉及到三角形三边与面积之间关系问题的能力. ∙情感态度与价值观：（1）体会公式书写的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力. 【教学重点】 秦九韶公式与海伦公式的推导及其应用. 【教学难点】 秦九韶公式与海伦公式的本质. 【教学方法】 引导探究、实力应用. 【教学过程】 （一）旧知回顾 1.三角形的面积公式： （1）ah S ABC 2 1=∆（h 为边a 上的高）； （2）==∆C ab S ABC sin 2 1 = . 2.余弦定理的推论：bc a c b A 2cos 2 22-+=；=B cos ；=C cos . 3.同角三角函数的平方关系：+α2sin 1=. [师生活动]通过提问，让学生回答出本节课涉及到的已经学习过的公式. (二)新课引入 【引例】问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？ 转化成数学语言为： 在ABC ∆中，151413===c b a ，，，求三角形的 面积ABC S ∆. [教师活动]经历古文到现代文再到数学语言的过程，让学生感受数学来源于生活,服务于生活. (三)中西结合 1.古希腊数学家海伦（Heron,约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《测地术》一书中，给出了一个公式“如果一个三角形的三边长分别为 c b a ，，,记)(2 1c b a p ++=，那么这个三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=为”， 这一公式称为海伦公式.并在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中给出了证明. 2.中国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也发现了与海伦公式等价的从三角形 三边求面积的公式，在他的著作《数书九章》的求法就是以下公式： ⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b c a c a S ，由于秦九韶把这种计算方法称为“三斜求积术”，从 第3课时 三角形中的几何计算 1．三角形的面积公式 (1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝1 2c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)； (2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1 2ca sin B ； (3)S ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 为内切圆半径)． 思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？ (2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？ [提示] (1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解． 2．三角形中常用的结论 (1)A ＋B ＝π－C ， A ＋ B 2＝ π 2－C 2 ； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式 sin(A ＋B )＝ sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2， sin A ＋B 2＝cos C 2， cos A ＋B 2＝sin C 2 ． 1．下列说法中正确的是________(填序号)． ①已知三角形的三边长为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积S ＝(a ＋b ＋c )r ； ②在△ABC 中，若c ＝b ＝2，S △ABC ＝3，则A ＝60°； ③在△ABC 中，若a ＝6，b ＝4，C ＝30°，则S △ABC 的面积是6； ④在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B . ③ [①中三角形的面积S ＝1 2(a ＋b ＋c )r . ②由S ＝12bc sin A 可得sin A ＝3 2， ∴A ＝60°或120°. ④在△ABC 中由sin 2A ＝sin 2B 得A ＝B 或A ＋B ＝π 2 .] 2．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知A ＝180°－120°－30°＝30°，由a sin A ＝b sin B 知b ＝6，∴S ＝1 2 ab sin C ＝18× 3 2 ＝9 3.] 3．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________． 3 [由题知S △ABC ＝12ab sin C ＝153得sin C ＝32 . 又由c sin C ＝2R 得c ＝23×3 2 ＝3.] 【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝3，cos A ＝5，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． [解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角， 且B ＝π3，cos A ＝45，∴C ＝2π3－A ，sin A ＝3 5. ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2π3－A ＝32 cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋43 10 . （新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5 从容说课 本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业． 正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究． 本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习. 教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形. 2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用. 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． 教学难点定理及有关性质的综合运用． 教具准备多媒体投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良； 2.三角形各种类型的判定方法； 3.三角形面积定理的应用. 二、过程与方法 通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题． 三、情感态度与价值观 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系． 教学过程 导入新课 师本章我们共学习了哪些内容？ 生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？ 生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2 =b 2 +c 2 -2bcco s A ， b 2=a 2+ c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ; ab c b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 2 22222222-+=-+=-+=. 师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形. 生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式： C ab B ac A bc S sin 2 1 sin 21sin 21===C ， 利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积. 师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习. 推进新课 多媒体投影 解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注 余弦定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C (1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角 类型（1）（2）有解时只有一解 正弦定理 （3）已知两角和一边 类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无 精选文档 1.2正弦定理和余弦定理应用举例（学生版） 【知识梳理】 （1）正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等． 即： a b c 2R ，此中R 为该三角形外接圆的半径． sinA sinB sinC （ 2）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 即：c 2a 2b 22abcosC ，a 2b 2c 22bccosA ，b 2a 2c 22accosC ． （3）面积公式：S ABC 1ah 1absinC 1acsinB 1 bcsinA ． 2 2 2 2 证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ，此时有CD 1 1 bsinA ， S ABC cCD bcsinA ， 1 1 1 2 2 同理可得 S ABC absinC acsinB bcsinA ． 2 2 2 2．正弦定理和余弦定理的应用 考点1：三角形面积公式的应用 【例1】在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，求△ABC 的面积． 练习1．已知△ABC 的面积为 3 2，且b ＝2，c ＝3，则( ) A ．A ＝30° B ．A ＝60° C ．A ＝30°或150° D ．A ＝60°或120° 2．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，则cos ∠ABC 等于( ) A. 3 3 C ．－ 3 2 5 B ．± 5 D ．± 5 5 3．在△ABC 中，已知b=1，c=3，A=600，则S △ABC = 。 4．在△ABC 中，若a 7,b 3,c 8，则其面积等于（ ） A ．12 21 C ．28 D ．63 B ． 2 考点2：判断三角形的形状 【例2】（1）已知△ABC 的三边的长度分别为5、7、8，试判断△ABC 的形状． （ 2）已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab 且2cosAsinB ＝sinC ，试判断此三角形 的形状．人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课教案_28
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