一个整数的约数个数和约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c
为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．
2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?
【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．
3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?
18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．
即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．
4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?
【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．
所以,最多可以分成14堆．
5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?
【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．
所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．
6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?
【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．
即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．
有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．
即在30分钟后,3人又可以相聚．
7.3
条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长
1
5
千米,中圈跑道长
1
4
千米,外圈跑道长
3
8
千米.甲每小时跑3
1
2
千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?
【分析与解】甲跑完一圈需
112
3
5235
÷=小时,乙跑一圈需
11
4
416
÷=小时,丙跑一圈需
33
5
840
÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为
2
35
,
1
16
,
3
40
的倍数,即它们的公倍数．
而
213
,,
351640
??
??
??
[]
()
2,1,3
35,16,4
=
6
6
1
==.
所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.
评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；
求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.
8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？
【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．
9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有
10个约数，那么A,B两数的和等于多少?
【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.
即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)
由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，
所以
21
,
01
x x
y y
==
??
??
==
??
4
x
y
=
?
?
=
?
或.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或
31+0×52+4=46875；
由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以
2
m
n
=
?
?
=
?
.对应B
为31+0×52+2=1875．
只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．
那么A,B两数的和为675+1875=2550．
方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个
12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．
那么A,B两数的和为675+1875=2550．
10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?
【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．
它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①
它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，
且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②
综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．
第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；
第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的
q1,q2；
一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．
所以,这个两个自然数的差为33．
11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?
【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．
它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①
它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，
且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②
联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，
有(
)[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=???+=+=+=??a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定 60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k 为非零整数．
对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．
进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),
(30,30)．
评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．
12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?
【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；
若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a +2)=9828×2，
当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．
对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．
则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×
7×13．
13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．
所以,这三个数的和为26+27+28=81．
评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即
[0,b]=a ×b．
记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．
有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a ×(a+1)，(a +1)×(a+2)]=(a +1)×
[a,a+2]．
因为a,a+2同奇同偶，
当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为
()22
a a ?+； 当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a ×(a+2)．
所以(a+1)×[a,a+2]=
()
()
()()
2
1
2
12
a a
a a
a a a a
?+
?
+?
?
?
?+??+
?
为偶数
为奇数
.
即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或
()()
12
2
a a a
++
若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．
13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?
【分析与解】对90分解质因数:90=2×3×3×5.
因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．
因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．
因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．
第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；
第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．
评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．
如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．
14.a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?
【分析与解】由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a﹥b所以450
75
a
b
=
?
?
=
?
或
225
150
a
b
=
?
?
=
?
[b,c]=1050=2×3×52×7.
当
450
75
a
b
=
?
?
=
?
时有
()()
[][]
450,75,75,15
,75,1050
c c
b c c
?==
?
?
==
??
，因为两个数的最大公约数与
最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；
当
225
150
a
b
=
?
?
=
?
时有
()()
[][]
225150,75,15
,150,1050
c c
b c c
?==
?
?
==
??
，
,则c=105,c﹤b,满足,即
225
150
105
a
b
c
=
?
?
=
?
?=
?
为满足
条件的为一解．
那么c是105.
15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?
【分析与解】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．
将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．
综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．
评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用． 1.数360的约数有多少个这些约数的和是多少 【分析与解】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5； 360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～ 1)． 因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24． 我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w； 我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w； 最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)． 于是,我们计算出值:13×15×6=1170． 所以,360所有约数的和为1170． 评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论： I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后 所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身) Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880． 2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少 【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．
求一个自然数的约数的个数,和所有约数的和
求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)， 所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个， 也可如此算:（1+1)(1+1)=4 所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)， 所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算:（1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)= （1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12………… 72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2) 所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195 240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5
所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+ 5)=744 【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5 种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。所以，240的约数个数为5×2×2=20个】 练习 1、1998的所有约数的和是多少？ 解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37 约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个 约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560 2、720的所有约数的倒数之和是多少？ 解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1 所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6 所以720的所有约数的倒数之和是31×13×6/720=403/120
约数与倍数
约数与倍数 基础知识： 1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数. 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示. 例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3. 2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质. 3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数. 在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示. 例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90. 4.约数个数公式、约数和公式. 例1.360有多少个约数？ [答疑编号5721260101] 1
【答案】24 【解答】，所以360共有24个约数. 例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是. [答疑编号5721260102] 【答案】36 【解答】这个数可以表示成，与6互质， 所以x≥2，y≥2， 故最小数为 . 基础知识 5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法： （1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数， ①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数. （2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）. 2
找一个数的因数的方法 - 答案
找一个数的因数的方法答案 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例1．现有草莓40个，可以平均分给多少个小朋友？ 考点：找一个数的因数的方法． 分析：根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出40的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，那就不是1个．由此解答． 解答：解：40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40． 根据题意不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个． 答：可以分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个小朋友． 点评：此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题． 例2．只有一个因数的数是1 只有两个因数的数是质数 有三个因数以上的数是合数． 考点：找一个数的因数的方法．
专题：数的整除． 分析：在自然数中，只有一个因数的数是1；除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数； 除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；据此解答即可． 解答：解：只有一个因数的数是1； 只有两个因数的数是质数； 有三个因数以上的数是合数． 故答案为：1；质数；合数． 点评：此题考查了质数与合数的含义以及找一个数的因数的方法．属于识记内容． 例3．有144块糖平均分成若干份，要求每份不得少于10颗，也不能多于50颗，那么一共有6种分法． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：约数倍数应用题． 分析：找到144的约数中大于10且小于50的即可求解． 解答：解：因为144=2×2×2×2×3×3，所以144在10到50之间的约数有：12、16、18、24、 36、48，所以有6种； 答：一共有6种分法． 故答案为：6． 点评：解答此题的关键是先把144进行分解质因数，然后找出符合条件的数解答即可． 例4．a、b、c是三个互不相等的自然数，而且a÷b=c，a至少有4个约数． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：压轴题． 分析：首先a．b．c肯定是a的因数，而且互不相等，所以算三个；然后考查1，1肯定是a 的因数，问题是会不会与上面的三个重复 首先a≠1，这个很明显；然后，如果b=1，则a=c，这是不行的，所以b也不等于1，同样地，c也不等于1；也就是说1．a．b．c是互不相等的，至少有这四个数是a的因数． 解答：解：由分析知：a的约数有1、a、b、c；共4个； 故答案为：4． 点评：根据找一个的因数的方法进行解答即可． 例5．5是15的因数，又是5的倍数．×．（判断对错） 考点：找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法． 专题：数的整除． 分析：因数和倍数是相对的，是相互依存的，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数，不能单独存在． 解答：解：根据因数和倍数的关系，我们可以说5是15的因数，15是5的倍数，不能说5是15的因数，又是5的倍数． 故答案为：×． 点评：解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析．
求一个自然数的约数的个数和所有约数的和
求一个自然数的约数的个数和所有约数的和 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)， 所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个， 也可如此算:（1+1)(1+1)=4 所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)， 所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算: （1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)= （1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12………… 72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2) 所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195
240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5 所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+5) =744 【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。所以，240的约数个数为5×2×2=20个】 练习 1、1998的所有约数的和是多少？ 解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37 约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个 约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560 2、720的所有约数的倒数之和是多少？ 解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1 所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6
找一个数的因数的方法
找一个数的因数的方法答案 例1．现有草莓40个，可以平均分给多少个小朋友？ 考点：找一个数的因数的方法． 分析：根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出40的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，那就不是1个．由此解答． 解答：解：40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40． 根据题意不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个． 答：可以分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个小朋友． 点评：此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题． 例2．只有一个因数的数是1 只有两个因数的数是质数 有三个因数以上的数是合数． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：数的整除． 分析：在自然数中，只有一个因数的数是1；除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数； 除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；据此解答即可． 解答：解：只有一个因数的数是1； 只有两个因数的数是质数； 有三个因数以上的数是合数． 故答案为：1；质数；合数． 点评：此题考查了质数与合数的含义以及找一个数的因数的方法．属于识记内容． 例3．有144块糖平均分成若干份，要求每份不得少于10颗，也不能多于50颗，那么一共有6种分法． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：约数倍数应用题． 分析：找到144的约数中大于10且小于50的即可求解． 解答：解：因为144=2×2×2×2×3×3，所以144在10到50之间的约数有：12、16、18、24、 36、48，所以有6种； 答：一共有6种分法． 故答案为：6． 点评：解答此题的关键是先把144进行分解质因数，然后找出符合条件的数解答即可． 例4．a、b、c是三个互不相等的自然数，而且a÷b=c，a至少有4个约数． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：压轴题． 分析：首先a．b．c肯定是a的因数，而且互不相等，所以算三个；然后考查1，1肯定是a 的因数，问题是会不会与上面的三个重复
最多约数问题
问题描述： 正整数x的约数是能整除x的正整数。正整数x 的约数个数记为div(x)。例如，1，2，5，10 都是正整数10 的约数，且div(10)=4。设a 和b 是2 个正整数，a≤b，找出a和b之间约数个数最多的数x。 编程任务： 对于给定的2个正整数a≤b，编程计算a 和b 之间约数个数最多的数。数据输入： 输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。文件的第1 行有2 个正整数a和b。 结果输出: 程序运行结束时，找到a 和b之间约数个数最多的那个数及最多约数个数。 测试数据：【只给出最多约数个数, time limit: 1s】 [1, 36] 9 [1000000, 2000000] 288 [999998999, 999999999] 1024 [1, 1000000000] 1344 [999999999, 1000000000] 56 [100, 1000000000] 1344——————————————————————————————————————————————————— 法一：主要就是查找一个整数的约数个数的效率问题，首先想到的是1-√x遍历。逐个判断。但是效率太低。 [cpp]view plain copy print? 1.#include
3.#include
08约数个数和完全平方数
基础知识 四、求约数个数与所有约数的和 1．求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为32257??，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2．求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如：33210002357=???，所以21000所有约数的和为 2323(1222)(13)(1555)(17)74880 ++++++++=此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。 3．约数的积:设M 的约数个数为x 个，那么M 所有约数的积为2x M 。(如果是完全平方数， 先开方求得值为A，再计算 x A 的值，即为所求)。 如：21分解质约数为3×7，所以有(1＋1)×(1＋1)＝4个，所以21的所有约数的积为2421＝441。又如：9分解质约数为23，所以有(1＋2)＝3个约数，为完全平方数，9开方为3，所以9的所有约数的乘积为33＝27。 1.平方数的概念：一个数能写成两个相同数相乘的形式的数是平方数。 偶指性，奇约性。（根据概念得到）平方数的因数个数是奇数个。 2.20以内的平方数要求记忆。1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289.324,361,400平方数的判断：看个位：只能是0,1,4,5,6,9不能是2,3,7,8 3.平方数的末两位只有（00）（01,21,41,61,81）（04,24,44，64,84,）（25）（09,29,49,69,89，）（16,36,56,76,96），因个位是0,1,4,5,6,9得到。 思维数学第08讲 约数个数和平方数（一）
阶乘的因数的个数
给定两个数m,n 求m!分解质因数后因子n的个数。 这道题涉及到了大数问题，如果相乘直接求的话会超出数据类型的范围。 下面给出一种效率比较高的算法，我们一步一步来。 m!=1*2*3*……*(m-2)*(m-1)*m 可以表示成所有和n倍数有关的乘积再乘以其他和n没有关系的 =(n*2n*3n*......*kn)*ohter other是不含n因子的数的乘积因为kn<=m 而k肯定是最大值所以k=m/n =n^k*(1*2*......*k)*other =n^k*k!*other 从这个表达式中可以提取出k个n，然后按照相同的方法循环下去可以求出k!中因子n的个数。 每次求出n的个数的和就是m!中因子n的总个数 先说一个定理： 若正整数n可分解为p1^a1*p1^a2*...*pk^ak 其中pi为两两不同的素数,ai为对应指数 n的约数个数为(1+a1)*(1+a2)*....*(1+ak) 如180=2*2*3*3*5=2^2*3^2*5 180的约数个数为(1+2)*(1+2)*(1+1)=18个。 若求A/B的约数个数，A可分解为p1^a1*p2^a2*...*pk^ak，B可分解为q1^b1*q1^b2*...*qk^bk,则A/B 的约数个数为(a1-b1+1)*(a2-b2+1)*(a3-b3+1)...*(ak-bk+1). 然后说N的阶乘： 例如:20! 1.先求出20以内的素数,(2,3,5,7,11,13,17,19) 2.再求各个素数的阶数 e(2)=[20/2]+[20/4]+[20/8]+[20/16]=18; e(3)=[20/3]+[20/9]=8; e(5)=[20/5]=4; ... e(19)=[20/19]=1; 所以 20!=2^18*3^8*5^4*...*19^1
一个数的因数的个数是
一个数的因数的个数是（）的，其中最小的因数是（），最大的因数是（）。一个数的倍数的个数是（）的，其中最小的倍数是（）。 18的因数有（）。 写出30以内3的倍数（） 5、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）。 6、一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）。 7、我是54的因数，又是9的倍数，同时我的因数有2和3。（） 8、我是50以内7的倍数，我的其中一个因数是4。（） 9、我是30的因数，又是2和5的倍数。（） 10、我是36的因数，也是2和3的倍数，而且比15小。（） 11、根据算式25×4=100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。 12、在18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中，2的倍数有（）；3的倍数有（）；5的倍数有( )，既是2的倍数又是5的倍数有（），既是3 的倍数又是5的倍数有（）。 13、48的最小倍数是（），最大因数是（）。最小因数是（）。 14、用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是（）；组成一个是3的倍数的最小三位数是（）。 15、一个自然数的最大因数是24，这个数是（）。 16、从0、3、5、7、这4个数中，选出三个组成三位数。 （1）组成的数是2的倍数有：（） （2）组成的数是5的倍数有：（）。 （3）组成的数是3的倍数有：（） 它是42的因数又是7的倍数，它可能是（）。 它的最大因数和最小倍数都是18，它是（）。 它的最小倍数是1，它是（）。 二、判断题 1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。( ) 2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。( ) 3、个位上是0的数都是2和5的倍数。( ) 4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。( ) 5、5是因数，10是倍数。( ) 6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。( ) 7、因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。( ) 9、任何一个自然数最少有两个因数。( ) 10、一个数如果是24的倍数，则这个数一定是4和8的倍数。( ) 11、15的倍数有15、30、45。( ) 12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。( ) 13、15的因数有3和5。( ) 14、8的因数只有2，4。( ) 三、选择题 1、15的最大因数是（），最小倍数是（）。 ①1 ②3 ③5 ④15 2、在14＝2×7中，2和7都是14的（）。
约数与倍数(一)(含详细解析)
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而 且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 知识点拨 教学目标 5-4-1.约数与倍数（一）
六年级上册数学试题-第二十节约数的个数与和 全国通用
第二十节 约数的个数与和 【知识要点】 自然数d c b a P P P P N 4321???=，4321P P P P 均为质数，a 、b 、c 、d 为自然数，则 约数的个数等于 ()()()()1111+?+?+?+d c b a ，所有约数的和等于()()b a P P P P 221111+++?+++ ()()d c P P P P 443311+++?+++? 【典型例题】 例1 用枚举法求120所有的因数。 例2 180共有几个约数？所有约数的和是多少？ * 例3 1～500中有奇数个约数的数有哪些？只有3个约数的数有哪些？ * 例4 共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？ * 例5 有12个不同约数的最小自然数是多少？
【小试锋芒】 1．用枚举法求90的所有因数。 2．720的约数有多少个？约数的和是多少？ * 3．200～600之间有奇数个约数的自然数有几个，都是哪些？* 4．小于200的有14个约数的自然数有哪些？
* 5．某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？ ** 6．少年宫游乐厅内悬挂着100个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗十分有趣。这100个灯泡按1～100编号，它们的亮暗规则是： 第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗； 第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮； …… 一样的，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。 这样继续下去，每2分钟一个周期。问：第100秒时，亮着的灯泡有多少个？ ** 7．3个孩子分20个苹果，每人至少一个，分得的苹果个数是整数，则分配的方法一共有多少种？
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法 , 两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系, 分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用． 1.数360 的约数有多少个?这些约数的和是多少? 【分析与解】360 分解质因数 :360=2 × 2 × 2× 3 × 3 × 5=23×32×5； 360 的约数可以且只能是 2a×3 b×5c,(其中 a,b,c 均是整数 , 且 a 为 0 ～ 3,6 为 0 ～2,c 为 0 ～ 1) ． 因为 a、b、c 的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1) ×(1+1)=24． 我们先只改动关于质因数 3 的约数 , 可以是 l,3,32, 它们的和为(1+3+32), 所以所有 360 约数的和为(1+3+32)×2y×5w； 我们再来确定关于质因数 2 的约数 , 可以是 l,2,22,23, 它们的和为 (1+2+22+23) ，所以所 有 360 约数的和为 (1+3+32) × (1+2+22+23)×5 w； 最后确定关于质因数 5 的约数, 可以是 1,5, 它们的和为 (1+5), 所以所有 360 的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)． 于是,我们计算出值:13×15×6=1170． 所以,360 所有约数的和为 1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法 . 下面我们给出一般结论： I. 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 , 将每个质因数的指数( 次数 ) 加 1 后所得的乘积 . 如 :1400 严格分解质因数后为 23×52×7, 所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24 个.(包括 1 和它自身) Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将 M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如： 21000=23×3×53×7,所以21000 所有约数的和为(1+2+22+23) × (1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880． 2.一个数是5 个 2,3 个3,6 个 5,1 个 7 的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少? 【分析与解】设这个数为 A,有 A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97 均不是 A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．
如何找一个数的因数
如何找一个数的因数 ----《因数和倍数》学习辅导 文/春秋书生 五年级下学期第二单元的第一节课就是《因数和倍数》，记得以前的老教材叫“约数和倍数”，我们学生家长在学习这部分内容的时候，可能都是学习的“约数”，所以，在辅导孩子或检查作业的时候，一定要注意因数概念的名称不能叫错，否则，孩子在学习时，容易混淆。 对于因数和倍数的定义，学生不难掌握，找一个数的倍数的方法有：依次加这个数或依次乘1、2、3……、用乘法口诀等，也比较容易。这节课的难点在于，找一个数的因数。在找一个数的因数时最常犯的错误就是漏找，即找不全。 找一个数的因数的方法，就用这个数从1开始去除，一直除到除数和商出现相近、相邻、相同时，然后找出等号左右两边的数，这些数就是要找的这个数的因数，重复的因数，只写一个。这种方法有助于学生的有序的思考，能形成明晰的解题思路，不容易漏找。 例如：找出36的因数，我们也可以可以直接用36去除以1、2、3、4、5……，一直除到除数和商是同一个数时，就不再去除了。36不是5的倍数，那么就可以不用去除以5。36÷1=36、36÷2=28、36÷3=12、36÷4=9、当36÷6=6时我们就不用往下除了，在这些算式中就可以找出36的所有因数，36的因数有1，36，2，18，3，12，4，9，6。也就是刚才算式中等号左右两边的数。可以按照从小到大的顺序写，36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。让学生学会有序思考。 我们还可以让学生用“想乘法算式，找一个数的因数”的方法。比如：找出18的因数，我们就想哪两个数相乘得18，1×18=18、2×9=18、3×6=18，所以18的因数有：1和18，2和9，3和6。如果按照从小到大的顺序写18的因数有：1，2，3，6，9，18。
约数的个数与约数的和(一)
约数的个数与约数的和（一） 知识要点： 在分解质因数的过程中，应掌握下面这些重要的基本定理： 算术基本定理： 任何一个大于 1 的整数总可以写成几个因数的乘积。如果不考虑质因数排列的前后次 序，这种写法是唯一的，即： N=P 何P2a2- Pn ak 。 这里k 是大于或等于1的整数，P1、P2、……、Pk 是彼此不同的质数； ak 为大于或等于1的整数，且分别叫做 P1、P2、……、Pk 的指数。P 1a1 P2a2…卩呼'^叫 做整数 N 的标准分解式。 依据整数的标准分解式，通过推理归纳的方法，我们可以求得这个整数的约数的个数 与约数的和。 、课堂部分 姓名： 家庭作业成绩： a1、 a2、 1. 72 共有几个约数 2. 225 共有几个约数 900 有多少个约数 3. 22 * 3人2 * 人 4. 1400 有多少个约数 5. 200 的全部约数的和是多少 6. 360 的全部约数的和是多少
任选一个自然数，用一个记号 T(a)表示a 的约数个数，用另一个记呈 S(a 表示a 的所有 约数的和，例如 a=8 时，T(8)=4, S(8)=1+2+4+8=15,求 T(240)、S(240)。 8. 求 T(500)、 S(500)。 9. 已知 abc 是一个质数，那么 abcabc 有几个约数 10. 已知 ab 是一个质数，那么 ababab 有几个约数 11. 一个自然数 2012，除了本身之外，最大的约数是多少 二、家庭作业 (15题，每题 10分，共 150 分) 1. 下列式子中，是标准分解质因数式子的，请在后面的括号里打勾： n=24x 32x 5x 5 n=24x5x 72x 11 n=a 2x b 2x ax c n=a 2x b 4x dx f 2 ( ( ( ( ) ) ) ) 2.依据标准分解式：n=a 2x b 4x d x f 2 ,填空: 7.
找一个数的因数的方法 - 题目
找一个数的因数的方法 典题探究 例1．现有草莓40个，可以平均分给多少个小朋友？ 例2．只有一个因数的数是 只有两个因数的数是 有三个因数以上的数是． 例3．有144块糖平均分成若干份，要求每份不得少于10颗，也不能多于50颗，那么一共有种分法． 例4．a、b、c是三个互不相等的自然数，而且a÷b=c，a至少有个约数． 例5．5是15的因数，又是5的倍数．．（判断对错） 例6．两个不同质数相乘的积，一共有个约数． 演练方阵 A档（巩固专练） 一．选择题（共21小题） 1．（牡丹江）要把402个水杯装箱，选择每箱（）个水杯的包装箱正好装完． A．12 B．4C．3D．5 2．（广州）某小学的教师共有70人，这个学校男女老师人数的比不可能是（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：6 3．（建华区）自然数36的因数有（）个． A．10 B．8C．9 4．（郑州模拟）1，2，3，5都是30的（） A．质数B．质因数C．约数 5．（焦作模拟）在12的约数中，可以组成（）组互质数． A．5B．6C．7D．8 6．（东莞模拟）一个三位数，个位上的数是0，这个数一定能被（）整除． A．2和3 B．2和5 C．3和5 D．2、3和5 7．（普定县模拟）因为12=2×2×3，所以12的因数有（）个． A．3B．4C．5D．6
8．（哈尔滨模拟）48有（）因数． A．6个B．8个C．10个D．12个 9．（中山模拟）已知n=2×3×7，那么n的约数有（）个． A．5B．6C．7D．8 10．（安次区模拟）（）是12的质因数． A．1B．2C．4D．12 11．（京山县）一个自然数的最小倍数是18，这个数的因数有（）个． A．2B．4C．6 12．（绵阳）一个数它既是18的倍数，又是18的约数，这个数是（） A．1B．9C．18 D．324 13．（武昌区）一个数的最大因数（）这个数的最小倍数． A．大于B．等于C．小于 14．自然数A=2×3×5，A的全部因数有（）个． A．3B．4C．6D．8 15．1、2、3都是6的（） A．质数B．约数C．公约数 16．32的所有约数之和是（） A．30 B．62 C．63 17．360的因数共有（）个． A．26 B．25 C．24 D．23 18．已知m=2×2×3×5，那么m的因数有（） A．3B．4C．12 D．无数 19．7与15是105的（） A．因数B．质因数C．质数 20．已知自然数n只有2个约数，那么3n有（）个约数． A．2B．3C．4D．3或4 21．两个数的最小公倍数是36，下面哪个数不可能是这两个数的公因数？（）A．8B．9C．12 二．填空题（共7小题）
1.7正整数地正约数个数与总和
§1.7正整数的正约数个数与总和 一、正整数的正约数个数 我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为1~100的100盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有100个人依次进入房间,第k 个人把编号是的k 倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着? 解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题. 设为n 正整数,的n 正约数最小为1,最大为,n 因此的n 正约数的个数有限. 为了叙述更方便，我们把正整数的n 正约数个数记作()d n . 例如, (1)1d =,(2)2d =,(5)5d =,(8)4d =,(12)6d =. 从理论上讲,求d(n)只要把n 的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如(360)d ,(450000)d .下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法. 由于3602332=??5,其正约数比形如323n 2γ=??5,其中α可取0~3四个数之一,β可取0~2三个数之一, γ可取0,1两个数之一. α,β,γ各选定一个允许值,构成一个组合,代入n 即可得到360的正约数个数是24,故(360)43224d =??=. 同理由144=4322?,可知(144)(41)(21)15d =++=. 定理1 设正整数n 的标准分解式为1212n p p αα=…m m p α,则 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 证明: n 的正约数必形如1212k p p αα=…m m p α,其中1β可取0至1α中任意一个,共有11α+种取法; 2β可取0至2α中任意一个, 共有21α+种取法;…;m β可取0至m α中任意一个,共有1m α+种取法,那么 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 例1 求(300000)d . 解: 因为55 30000025 =?3?,所以 (300000)(51)(11)(51)72d =+++=. 例2 若n p q αβ =,其中p ,q 为不同质数, α≥1, β≥1.且2n 有15个正约数,求
约数
约数 编辑 范例 在自然数（0和正整数）的范围内， 任何正整数都是0的约数。 4的正约数有：1、2、4。 6的正约数有：1、2、3、6。 10的正约数有：1、2、5、10。 12的正约数有：1、2、3、4、6、12。 15的正约数有：1、3、5、15。 18的正约数有：1、2、3、6、9、18。 20的正约数有：1、2、4、5、10、20。 注意：一个数的约数必然包括1及其本身。 相关概念 如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。 两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。 约数，也叫因数。 2 求法 编辑 枚举法 枚举法：将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。 例：求30与24的最大公因数。 30的正因数有：1,2,3,5,6,10,15,30 24的正因数有：1,2,3,4,6,8,12,24 易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。 短除法 短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所 求12和18的最大公约数有的除数相乘，其积即为A，B的最大公 因数。 短除法（短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数 与最后所得的商相乘即可） 例：求12和18的最大公约数。 解：用短除法，由左图，易得12和18的最大公约数为2×3=6.。 分解质因数 将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。 例：求48和36的最大公因数。 把48和36分别分解质因数： 48=2×2×2×2×3
数的拆分和奇约数问题
数的拆分和奇约数问题（儒风海韵原创）整数的拆分：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。 整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。 奇约数：首先要知道什么是奇约数，简单的说就是一个数约数当中的奇数，比如说6的奇约数就只有1，3. 那么如何算一个数字的奇约数的个数， 如果一个数字A若可以写成A=M a*N b*Q c....的形式 他的奇约数就有（a+1)(b+1)(c+1)....个 其中M,N,Q必须是奇数。 特别的，A=a*b=c*d=e*f=.........=g*h, 一般约数都是成对出现，只有当约数出现g=h，A为平方数时，整体约数为奇数个。 例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？ 【解析】这个题比较简单，由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地
少。 1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为 1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。所以就是7天。类似于某年国考题。 例2 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。 【解析】：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11 倍。这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。 对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为 45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。 于是495=45+46+ (54)