约数的个数与约数的和(一)
约数的个数与约数的和（一）
姓名：家庭作业成绩：
知识要点：
在分解质因数的过程中，应掌握下面这些重要的基本定理：
算术基本定理：
任何一个大于1的整数总可以写成几个因数的乘积。如果不考虑质因数排列的前后次序，这种写法是唯一的，即：N=P1a1P2a2…Pn ak。
这里k是大于或等于1的整数，P1、P2、……、Pk是彼此不同的质数；a1、a2、……、ak为大于或等于1的整数，且分别叫做P1、P2、……、Pk的指数。P1a1P2a2…Pn ak叫做整数N的标准分解式。
依据整数的标准分解式，通过推理归纳的方法，我们可以求得这个整数的约数的个数与约数的和。
一、课堂部分
1.72共有几个约数
2.225共有几个约数
3.900有多少个约数
2^2 * 3^2 * 5^2
4.1400有多少个约数
5.200的全部约数的和是多少
6.360的全部约数的和是多少
7.任选一个自然数，用一个记号T(a)表示a的约数个数，用另一个记呈S(a)表示a的所有
约数的和，例如a=8时，T(8)=4，S(8)=1+2+4+8=15，求T(240)、S(240)。
8.求T(500)、S(500)。
9.已知abc是一个质数，那么abcabc有几个约数
10.已知ab是一个质数，那么ababab有几个约数
11.一个自然数2012，除了本身之外，最大的约数是多少
二、家庭作业（15题，每题10分，共150分）
1.下列式子中，是标准分解质因数式子的，请在后面的括号里打勾：
n=24×32×5×5 （）
n=24×5×72×11 （）
n=a2×b2×a×c （）
n=a2×b4×d×f2（）
2.依据标准分解式：n=a2×b4×d×f2，填空：
求n的约数个数的式子是：
求n的所有约数的和的式子是：
3.依据标准分解式：n=2a×3b×7c，填空：
求n的约数个数的式子是：
求n的所有约数的和的式子是：
4.用标准分解式分解质因数：
（1）450 （2）600
5.abcd为一个质数，abcdabcd的标准分解式是：
6.一个六位数666666，依次写出它的第一大、第二大、第三大、第四大约数：
7.依据标准分解式：2500= ，填空：
求2500所有约数的式子是：
8.求1200的约数的个数。
9.求：T(800)=
S(800)=
10.已知a是一个质数，那么aaaa共有（）个约数。
11.求400的约数的个数。
12.求420的全部约数的和。
13.求T(540)、S(540)。
14.已知a2（自然数）有3个约数，那么49a2有多少个约数
15.一个自然数2010，最大的约数是它本身，其第四大的约数是多少
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用． 1.数360的约数有多少个这些约数的和是多少 【分析与解】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5； 360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～ 1)． 因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24． 我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w； 我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w； 最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)． 于是,我们计算出值:13×15×6=1170． 所以,360所有约数的和为1170． 评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论： I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后 所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身) Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880． 2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少 【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．
求一个自然数的约数的个数,和所有约数的和
求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)， 所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个， 也可如此算:（1+1)(1+1)=4 所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)， 所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算:（1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)= （1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12………… 72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2) 所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195 240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5
所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+ 5)=744 【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5 种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。所以，240的约数个数为5×2×2=20个】 练习 1、1998的所有约数的和是多少？ 解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37 约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个 约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560 2、720的所有约数的倒数之和是多少？ 解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1 所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6 所以720的所有约数的倒数之和是31×13×6/720=403/120
约数与倍数
约数与倍数 基础知识： 1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数. 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示. 例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3. 2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质. 3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数. 在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示. 例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90. 4.约数个数公式、约数和公式. 例1.360有多少个约数？ [答疑编号5721260101] 1
【答案】24 【解答】，所以360共有24个约数. 例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是. [答疑编号5721260102] 【答案】36 【解答】这个数可以表示成，与6互质， 所以x≥2，y≥2， 故最小数为 . 基础知识 5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法： （1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数， ①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数. （2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）. 2
求一个自然数的约数的个数和所有约数的和
求一个自然数的约数的个数和所有约数的和 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)， 所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个， 也可如此算:（1+1)(1+1)=4 所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)， 所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算: （1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)= （1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12………… 72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2) 所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195
240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5 所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+5) =744 【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。所以，240的约数个数为5×2×2=20个】 练习 1、1998的所有约数的和是多少？ 解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37 约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个 约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560 2、720的所有约数的倒数之和是多少？ 解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1 所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6
08约数个数和完全平方数
基础知识 四、求约数个数与所有约数的和 1．求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为32257??，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2．求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如：33210002357=???，所以21000所有约数的和为 2323(1222)(13)(1555)(17)74880 ++++++++=此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。 3．约数的积:设M 的约数个数为x 个，那么M 所有约数的积为2x M 。(如果是完全平方数， 先开方求得值为A，再计算 x A 的值，即为所求)。 如：21分解质约数为3×7，所以有(1＋1)×(1＋1)＝4个，所以21的所有约数的积为2421＝441。又如：9分解质约数为23，所以有(1＋2)＝3个约数，为完全平方数，9开方为3，所以9的所有约数的乘积为33＝27。 1.平方数的概念：一个数能写成两个相同数相乘的形式的数是平方数。 偶指性，奇约性。（根据概念得到）平方数的因数个数是奇数个。 2.20以内的平方数要求记忆。1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289.324,361,400平方数的判断：看个位：只能是0,1,4,5,6,9不能是2,3,7,8 3.平方数的末两位只有（00）（01,21,41,61,81）（04,24,44，64,84,）（25）（09,29,49,69,89，）（16,36,56,76,96），因个位是0,1,4,5,6,9得到。 思维数学第08讲 约数个数和平方数（一）
找一个数的因数的方法
找一个数的因数的方法答案 例1．现有草莓40个，可以平均分给多少个小朋友？ 考点：找一个数的因数的方法． 分析：根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出40的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，那就不是1个．由此解答． 解答：解：40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40． 根据题意不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个． 答：可以分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个小朋友． 点评：此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题． 例2．只有一个因数的数是1 只有两个因数的数是质数 有三个因数以上的数是合数． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：数的整除． 分析：在自然数中，只有一个因数的数是1；除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数； 除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；据此解答即可． 解答：解：只有一个因数的数是1； 只有两个因数的数是质数； 有三个因数以上的数是合数． 故答案为：1；质数；合数． 点评：此题考查了质数与合数的含义以及找一个数的因数的方法．属于识记内容． 例3．有144块糖平均分成若干份，要求每份不得少于10颗，也不能多于50颗，那么一共有6种分法． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：约数倍数应用题． 分析：找到144的约数中大于10且小于50的即可求解． 解答：解：因为144=2×2×2×2×3×3，所以144在10到50之间的约数有：12、16、18、24、 36、48，所以有6种； 答：一共有6种分法． 故答案为：6． 点评：解答此题的关键是先把144进行分解质因数，然后找出符合条件的数解答即可． 例4．a、b、c是三个互不相等的自然数，而且a÷b=c，a至少有4个约数． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：压轴题． 分析：首先a．b．c肯定是a的因数，而且互不相等，所以算三个；然后考查1，1肯定是a 的因数，问题是会不会与上面的三个重复
阶乘的因数的个数
给定两个数m,n 求m!分解质因数后因子n的个数。 这道题涉及到了大数问题，如果相乘直接求的话会超出数据类型的范围。 下面给出一种效率比较高的算法，我们一步一步来。 m!=1*2*3*……*(m-2)*(m-1)*m 可以表示成所有和n倍数有关的乘积再乘以其他和n没有关系的 =(n*2n*3n*......*kn)*ohter other是不含n因子的数的乘积因为kn<=m 而k肯定是最大值所以k=m/n =n^k*(1*2*......*k)*other =n^k*k!*other 从这个表达式中可以提取出k个n，然后按照相同的方法循环下去可以求出k!中因子n的个数。 每次求出n的个数的和就是m!中因子n的总个数 先说一个定理： 若正整数n可分解为p1^a1*p1^a2*...*pk^ak 其中pi为两两不同的素数,ai为对应指数 n的约数个数为(1+a1)*(1+a2)*....*(1+ak) 如180=2*2*3*3*5=2^2*3^2*5 180的约数个数为(1+2)*(1+2)*(1+1)=18个。 若求A/B的约数个数，A可分解为p1^a1*p2^a2*...*pk^ak，B可分解为q1^b1*q1^b2*...*qk^bk,则A/B 的约数个数为(a1-b1+1)*(a2-b2+1)*(a3-b3+1)...*(ak-bk+1). 然后说N的阶乘： 例如:20! 1.先求出20以内的素数,(2,3,5,7,11,13,17,19) 2.再求各个素数的阶数 e(2)=[20/2]+[20/4]+[20/8]+[20/16]=18; e(3)=[20/3]+[20/9]=8; e(5)=[20/5]=4; ... e(19)=[20/19]=1; 所以 20!=2^18*3^8*5^4*...*19^1
一个数的因数的个数是
一个数的因数的个数是（）的，其中最小的因数是（），最大的因数是（）。一个数的倍数的个数是（）的，其中最小的倍数是（）。 18的因数有（）。 写出30以内3的倍数（） 5、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）。 6、一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）。 7、我是54的因数，又是9的倍数，同时我的因数有2和3。（） 8、我是50以内7的倍数，我的其中一个因数是4。（） 9、我是30的因数，又是2和5的倍数。（） 10、我是36的因数，也是2和3的倍数，而且比15小。（） 11、根据算式25×4=100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。 12、在18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中，2的倍数有（）；3的倍数有（）；5的倍数有( )，既是2的倍数又是5的倍数有（），既是3 的倍数又是5的倍数有（）。 13、48的最小倍数是（），最大因数是（）。最小因数是（）。 14、用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是（）；组成一个是3的倍数的最小三位数是（）。 15、一个自然数的最大因数是24，这个数是（）。 16、从0、3、5、7、这4个数中，选出三个组成三位数。 （1）组成的数是2的倍数有：（） （2）组成的数是5的倍数有：（）。 （3）组成的数是3的倍数有：（） 它是42的因数又是7的倍数，它可能是（）。 它的最大因数和最小倍数都是18，它是（）。 它的最小倍数是1，它是（）。 二、判断题 1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。( ) 2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。( ) 3、个位上是0的数都是2和5的倍数。( ) 4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。( ) 5、5是因数，10是倍数。( ) 6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。( ) 7、因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。( ) 9、任何一个自然数最少有两个因数。( ) 10、一个数如果是24的倍数，则这个数一定是4和8的倍数。( ) 11、15的倍数有15、30、45。( ) 12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。( ) 13、15的因数有3和5。( ) 14、8的因数只有2，4。( ) 三、选择题 1、15的最大因数是（），最小倍数是（）。 ①1 ②3 ③5 ④15 2、在14＝2×7中，2和7都是14的（）。
约数与倍数(一)(含详细解析)
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而 且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 知识点拨 教学目标 5-4-1.约数与倍数（一）
六年级上册数学试题-第二十节约数的个数与和 全国通用
第二十节 约数的个数与和 【知识要点】 自然数d c b a P P P P N 4321???=，4321P P P P 均为质数，a 、b 、c 、d 为自然数，则 约数的个数等于 ()()()()1111+?+?+?+d c b a ，所有约数的和等于()()b a P P P P 221111+++?+++ ()()d c P P P P 443311+++?+++? 【典型例题】 例1 用枚举法求120所有的因数。 例2 180共有几个约数？所有约数的和是多少？ * 例3 1～500中有奇数个约数的数有哪些？只有3个约数的数有哪些？ * 例4 共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？ * 例5 有12个不同约数的最小自然数是多少？
【小试锋芒】 1．用枚举法求90的所有因数。 2．720的约数有多少个？约数的和是多少？ * 3．200～600之间有奇数个约数的自然数有几个，都是哪些？* 4．小于200的有14个约数的自然数有哪些？
* 5．某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？ ** 6．少年宫游乐厅内悬挂着100个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗十分有趣。这100个灯泡按1～100编号，它们的亮暗规则是： 第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗； 第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮； …… 一样的，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。 这样继续下去，每2分钟一个周期。问：第100秒时，亮着的灯泡有多少个？ ** 7．3个孩子分20个苹果，每人至少一个，分得的苹果个数是整数，则分配的方法一共有多少种？
如何找一个数的因数
如何找一个数的因数 ----《因数和倍数》学习辅导 文/春秋书生 五年级下学期第二单元的第一节课就是《因数和倍数》，记得以前的老教材叫“约数和倍数”，我们学生家长在学习这部分内容的时候，可能都是学习的“约数”，所以，在辅导孩子或检查作业的时候，一定要注意因数概念的名称不能叫错，否则，孩子在学习时，容易混淆。 对于因数和倍数的定义，学生不难掌握，找一个数的倍数的方法有：依次加这个数或依次乘1、2、3……、用乘法口诀等，也比较容易。这节课的难点在于，找一个数的因数。在找一个数的因数时最常犯的错误就是漏找，即找不全。 找一个数的因数的方法，就用这个数从1开始去除，一直除到除数和商出现相近、相邻、相同时，然后找出等号左右两边的数，这些数就是要找的这个数的因数，重复的因数，只写一个。这种方法有助于学生的有序的思考，能形成明晰的解题思路，不容易漏找。 例如：找出36的因数，我们也可以可以直接用36去除以1、2、3、4、5……，一直除到除数和商是同一个数时，就不再去除了。36不是5的倍数，那么就可以不用去除以5。36÷1=36、36÷2=28、36÷3=12、36÷4=9、当36÷6=6时我们就不用往下除了，在这些算式中就可以找出36的所有因数，36的因数有1，36，2，18，3，12，4，9，6。也就是刚才算式中等号左右两边的数。可以按照从小到大的顺序写，36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。让学生学会有序思考。 我们还可以让学生用“想乘法算式，找一个数的因数”的方法。比如：找出18的因数，我们就想哪两个数相乘得18，1×18=18、2×9=18、3×6=18，所以18的因数有：1和18，2和9，3和6。如果按照从小到大的顺序写18的因数有：1，2，3，6，9，18。
约数的个数与约数的和(一)
约数的个数与约数的和（一） 知识要点： 在分解质因数的过程中，应掌握下面这些重要的基本定理： 算术基本定理： 任何一个大于 1 的整数总可以写成几个因数的乘积。如果不考虑质因数排列的前后次 序，这种写法是唯一的，即： N=P 何P2a2- Pn ak 。 这里k 是大于或等于1的整数，P1、P2、……、Pk 是彼此不同的质数； ak 为大于或等于1的整数，且分别叫做 P1、P2、……、Pk 的指数。P 1a1 P2a2…卩呼'^叫 做整数 N 的标准分解式。 依据整数的标准分解式，通过推理归纳的方法，我们可以求得这个整数的约数的个数 与约数的和。 、课堂部分 姓名： 家庭作业成绩： a1、 a2、 1. 72 共有几个约数 2. 225 共有几个约数 900 有多少个约数 3. 22 * 3人2 * 人 4. 1400 有多少个约数 5. 200 的全部约数的和是多少 6. 360 的全部约数的和是多少
任选一个自然数，用一个记号 T(a)表示a 的约数个数，用另一个记呈 S(a 表示a 的所有 约数的和，例如 a=8 时，T(8)=4, S(8)=1+2+4+8=15,求 T(240)、S(240)。 8. 求 T(500)、 S(500)。 9. 已知 abc 是一个质数，那么 abcabc 有几个约数 10. 已知 ab 是一个质数，那么 ababab 有几个约数 11. 一个自然数 2012，除了本身之外，最大的约数是多少 二、家庭作业 (15题，每题 10分，共 150 分) 1. 下列式子中，是标准分解质因数式子的，请在后面的括号里打勾： n=24x 32x 5x 5 n=24x5x 72x 11 n=a 2x b 2x ax c n=a 2x b 4x dx f 2 ( ( ( ( ) ) ) ) 2.依据标准分解式：n=a 2x b 4x d x f 2 ,填空: 7.
1.7正整数地正约数个数与总和
§1.7正整数的正约数个数与总和 一、正整数的正约数个数 我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为1~100的100盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有100个人依次进入房间,第k 个人把编号是的k 倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着? 解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题. 设为n 正整数,的n 正约数最小为1,最大为,n 因此的n 正约数的个数有限. 为了叙述更方便，我们把正整数的n 正约数个数记作()d n . 例如, (1)1d =,(2)2d =,(5)5d =,(8)4d =,(12)6d =. 从理论上讲,求d(n)只要把n 的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如(360)d ,(450000)d .下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法. 由于3602332=??5,其正约数比形如323n 2γ=??5,其中α可取0~3四个数之一,β可取0~2三个数之一, γ可取0,1两个数之一. α,β,γ各选定一个允许值,构成一个组合,代入n 即可得到360的正约数个数是24,故(360)43224d =??=. 同理由144=4322?,可知(144)(41)(21)15d =++=. 定理1 设正整数n 的标准分解式为1212n p p αα=…m m p α,则 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 证明: n 的正约数必形如1212k p p αα=…m m p α,其中1β可取0至1α中任意一个,共有11α+种取法; 2β可取0至2α中任意一个, 共有21α+种取法;…;m β可取0至m α中任意一个,共有1m α+种取法,那么 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 例1 求(300000)d . 解: 因为55 30000025 =?3?,所以 (300000)(51)(11)(51)72d =+++=. 例2 若n p q αβ =,其中p ,q 为不同质数, α≥1, β≥1.且2n 有15个正约数,求
约数
约数 编辑 范例 在自然数（0和正整数）的范围内， 任何正整数都是0的约数。 4的正约数有：1、2、4。 6的正约数有：1、2、3、6。 10的正约数有：1、2、5、10。 12的正约数有：1、2、3、4、6、12。 15的正约数有：1、3、5、15。 18的正约数有：1、2、3、6、9、18。 20的正约数有：1、2、4、5、10、20。 注意：一个数的约数必然包括1及其本身。 相关概念 如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。 两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。 约数，也叫因数。 2 求法 编辑 枚举法 枚举法：将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。 例：求30与24的最大公因数。 30的正因数有：1,2,3,5,6,10,15,30 24的正因数有：1,2,3,4,6,8,12,24 易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。 短除法 短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所 求12和18的最大公约数有的除数相乘，其积即为A，B的最大公 因数。 短除法（短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数 与最后所得的商相乘即可） 例：求12和18的最大公约数。 解：用短除法，由左图，易得12和18的最大公约数为2×3=6.。 分解质因数 将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。 例：求48和36的最大公因数。 把48和36分别分解质因数： 48=2×2×2×2×3
数的拆分和奇约数问题
数的拆分和奇约数问题（儒风海韵原创）整数的拆分：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。 整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。 奇约数：首先要知道什么是奇约数，简单的说就是一个数约数当中的奇数，比如说6的奇约数就只有1，3. 那么如何算一个数字的奇约数的个数， 如果一个数字A若可以写成A=M a*N b*Q c....的形式 他的奇约数就有（a+1)(b+1)(c+1)....个 其中M,N,Q必须是奇数。 特别的，A=a*b=c*d=e*f=.........=g*h, 一般约数都是成对出现，只有当约数出现g=h，A为平方数时，整体约数为奇数个。 例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？ 【解析】这个题比较简单，由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地
少。 1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为 1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。所以就是7天。类似于某年国考题。 例2 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。 【解析】：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11 倍。这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。 对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为 45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。 于是495=45+46+ (54)
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法 , 两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系, 分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用． 1.数360 的约数有多少个?这些约数的和是多少? 【分析与解】360 分解质因数 :360=2 × 2 × 2× 3 × 3 × 5=23×32×5； 360 的约数可以且只能是 2a×3 b×5c,(其中 a,b,c 均是整数 , 且 a 为 0 ～ 3,6 为 0 ～2,c 为 0 ～ 1) ． 因为 a、b、c 的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1) ×(1+1)=24． 我们先只改动关于质因数 3 的约数 , 可以是 l,3,32, 它们的和为(1+3+32), 所以所有 360 约数的和为(1+3+32)×2y×5w； 我们再来确定关于质因数 2 的约数 , 可以是 l,2,22,23, 它们的和为 (1+2+22+23) ，所以所 有 360 约数的和为 (1+3+32) × (1+2+22+23)×5 w； 最后确定关于质因数 5 的约数, 可以是 1,5, 它们的和为 (1+5), 所以所有 360 的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)． 于是,我们计算出值:13×15×6=1170． 所以,360 所有约数的和为 1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法 . 下面我们给出一般结论： I. 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 , 将每个质因数的指数( 次数 ) 加 1 后所得的乘积 . 如 :1400 严格分解质因数后为 23×52×7, 所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24 个.(包括 1 和它自身) Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将 M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如： 21000=23×3×53×7,所以21000 所有约数的和为(1+2+22+23) × (1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880． 2.一个数是5 个 2,3 个3,6 个 5,1 个 7 的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少? 【分析与解】设这个数为 A,有 A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97 均不是 A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．
小学奥数约数与倍数
本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住. 本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构” 一、 约数的概念与最大公约数 0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a 即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 知识点拨 教学目标 5-3约数与倍数
约数与倍数
约数与倍数 约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质： 1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。 2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 例如：12的约数有1、2、3、4、6、12； 18的约数有：1、2、3、6、9、18； 那么12和18的公约数有：1、2、3、6； 那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6； 求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 12的倍数有：12、24、36、48……； 18的倍数有：18、36、54、72……； 那么12和18的公倍数有：36、72、108……； 那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36； 最小公倍数的性质： 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
17．数的整除 一、基本概念和符号： 1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。 2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”； 二、整除判断方法： 1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
因数的个数
因数的个数 例：30的因数有多少个？140的因数有多少个？ 解答要点： 方法一：可根据一个合数的因数出现的“成对性”，进行从小到大的有序排列。 “成对性”口诀：弟弟牵着哥哥的手，一对一对向中间走； 中间相同就取一个，1和它本身不能丢。 方法二：分解质因数法 将这个合数分解质因数，相同的质因数按指数的形式计，如M＝2a×3b×5c×7d×……。则这个合数的因数个数等于每个质因数的指数加上1再连乘的积。如M的因数个数为（a＋1）×（b＋1）×（c＋1）×（d＋1）×……。 例题解答： 因为30＝21×31×51，所以30的因数个数等于（1＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝8（个） 因为140＝22×51×71，所以30的因数个数等于（2＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝12（个） 拓展练习： 1、写出一个只有6个因数的最小合数。 分析：因为M＝□5或M＝□1×□2， 所以M＝25或M＝21×32或M＝31×22 则M最小为：31×22＝3×4＝12。
2、只有24个因数的最小合数是多少？ 分析：M＝□23 ＝□11×□1＝□7×□2＝□5×□3 ＝□5×□1×□1＝□3×□2×□1 ＝□2×□1×□1×□1 则M＝23×32×51＝8×9×5＝360 窍门：在判断是否是最小的合数时，多采用从小质因数开始“试一试”的办法。但在“试一试”的过程中，可利用以下三点规律：（1）指数要尽量用小的；（2）指数大的，它下边的质因数（底数）要尽量小；（3）整个式子不应拉得过长。 3、A、B两个数，都只含有质因数3和5，它们的最大公因数是75。已知A有12个因数，B有10个因数，求A＋B。 分析：因为A、B两个数，都只含有质因数3和5， 所以A＝□5×□1＝□3×□2 B＝□1×□4 又因为它们的最大公因数是75＝31×52，所以A＝□3×□2。 即：A＝33×52＝（31×52）×32＝675 B＝31×54＝（31×52）×52＝1875 故A＋B＝675＋1875＝2550 4、甲、乙两数都只含有两种质因数，甲只有18个因数，乙只有16个因数。已知甲、乙两数的最小公倍数是864，求甲、乙两数的最大公因数是多少？ 分析：因为甲、乙两数都只含有两种质因数，所以
合数的约数个数及总和
合数的约数个数及总和 一个合数的全部约数，等于它的质因数分解式中不同质因数的指数加1的连 乘积，即若自然数N分解质因数的结果是N＝P 1r1·P 2 r2……P n rn(P 1 、P 2 ……P n 为互 不相同的质数，r 1、r 2 …r n 为自然数，分别为P 1 、P 2 ……P n 的指数)，那么N的约 数的个数是：（r 1＋1）×（r 2 ＋1）×…×（r n ＋1） N的所有约数的和是： （1＋p 1＋p 1 2＋…＋p 1 r1）×（1＋p 2 ＋p 2 2＋…＋p 2 r2）×…×（1＋p n ＋p n 2＋…＋ p n rn） 1．把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出它们分别有多少个两位数的约数。 (1)146 (2)255 (3)360 (4)400 2．已知自然数B有2个约数，那么3B有多少个约数? 3．求165有多少个约数，这些约数的和为多少? 4．有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少? 5．长和宽为自然数，面积为180的形状不同的长方形共有多少种？ 6．在100—300之间的自然数中有多少个数，它们的约数个数为奇数个? 7．若一个自然数N分解质因数为N=2× 3×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数? 8．房间里有100盏电灯，并且编号号码为1，2，3……100，每盏灯上有一个拉线开关，开始时电灯全都是关的，100位同学由房间外逐个走进去，第一位同学把编号是1的倍数的灯的开关拉动一下，第二位同学把编号是2的倍数的灯的开关拉动一下，第三位同学把编号是3的倍数的灯的开关拉动一下……第100位同学把编号是100的倍数的灯的开关拉动一下，这时房间里有哪些号码的灯是亮的？ 9．参加团体操比赛的共有若干人，如果每行12人或16人或18 人都正好是整行，求参加体操比赛的学生至少有多少人? 10．某汽车站有甲、乙、丙开往三地的汽车通过，甲车每隔15分钟开过此站，乙车每隔10分钟开过此站，丙车每隔12分钟开过此站，现三辆汽车在同一时刻从此站开过后再过多长时间又同时从此站开过? 11．在一条笔直的公路的一边每隔80米插一根旗杆，甲、乙两人同时从起点出发，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，记时表每走一分钟都要敲一下，比赛以谁能在表敲响时恰好走到旗杆旁谁为胜，问谁胜?另外一个人走了多少米? 12．加工机器零件，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时完成8个，要使生产顺利进行，又不浪费人力、时间，三道工序至少各分配多少人? 13．两个数的最大公约数为3，最小公倍数是165，求这两个数的差最小为多少? 14．已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数。