不等式压轴题汇总(精品)
不等式压轴题
1. 若对任意的 x,y ∈(0,+∞)，不等式 e x+y?4+e x?y?4+6≥4xlna 恒成立，则正实
数 a 的最大值是 ( )
A. √e
B. 1
2e C. e D. 2e
2. 已知数列 {a n } 中，a 1=a ，{b n } 是公比为 23 的等比数列．记 b n =a n ?2
a n
?1(n ∈N ?)，
若不等式 a n >a n+1 对一切 n ∈N ? 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (2,+∞) B. (1,3) C. (3,+∞) D. (2,4)
3. 设 △A n B n C n 的三边长分别为 a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为 S n （ n =1，2，
3，? ）．若 b 1>c 1，b 1+c 1=2a 1，a n+1=a n ，b n+1=c n +a n
2
，c n+1=
b n +a n
2
，则
( ) A. {S n } 为递减数列 B. {S n } 为递增数列
C. {S 2n?1} 为递增数列，{S 2n } 为递减数列
D. {S 2n?1} 为递减数列，{S 2n } 为递增数列
4. 设函数 f (x )=√x +2?a √x ?a ，若存在唯一的整数 x 0 使得 f (x 0)<0，则实数
a 的取值范围为 ( ) A. (√63,
√35?√7
4
] B. (√63,
√15?√5
2
] C. (2√2?2,
√32
] D. (2√2?2,
√15?√5
2
]
5. 已知实数 x ，y 满足约束条件 {x ≥1,
x +y ≤4,ax +by +c ≤0, 且目标函数 z =2x +y 的最大值
是 6，最小值是 1，则 c
b 的值是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 已知函数 f (x )={2
x+2+a,x ≤0,
f (x ?1)+1,x >0, 若对任意的 a ∈(?3,+∞)，关于 x 的方程
f (x )=kx 都有 3 个不同的根，则 k 等于 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 已知函数 f (x )=(x ?a )2+(lnx 2?2a )2，其中 x >0，a ∈R ，存在 x 0，使得
f (x 0)≤4
5 成立，则实数 a 的值为 ( )
A. 1
5B. 2
5
C. 1
2
D. 1
8. 已知函数f(x)=e x?ax有两个零点x1，x2，且x1 A. a>e B. x1+x2>2 C. x1x2>1 D. f(x)有极小值点x0，且x1+x2<2x0 9. 设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x?a?2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一个零点，则a2+b2的最小值为( ) A. 1 100B. 1 10 C. 4 289 D. 1 (2√5+4)2 10. 已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B，C在平面α的同一侧，D为 BC的中点，若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围是( ) A. [√6 3,1) B. [√6 3 ,√3 2 ) C. [1 2 ,√3 2 ) D. (1 2 ,√6 3 ] 11. 如果函数f(x)=1 2(m?2)x2+(n?8)x+1（m≥0，n≥0）在区间[1 2 ,2]上单 调递减，那么mn的最大值为( ) A. 16 B. 18 C. 25 D. 81 2 12. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e x(x+1)．给出 以下命题： ①当x>0时，f(x)=e x(1?x)； ②函数f(x)有3个零点； ③f(x)>0的解集为(?1,0)∪(1,+∞)； ④?x1，x2∈R，都有∣f(x1)?f(x2)∣≤2． 其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13. 过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿 直线l翻折到另一个部分上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为( ) A. 2 B. 2(3?√2) C. 4(2?√2) D. 4(3?2√2) 14. 设函数f(x)=x2?ax+a+3，g(x)=ax?2a．若存在x0∈R，使得f(x0)< 0与g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为( )． A. (?∞,2) B. (0,4) C. (6,+∞) D. (7,+∞) 15. 已知圆 O 的半径为 1，PA 、 PB 为该圆的两条切线，A 、 B 为两切点，那么 PA ????? ?PB ????? 的最小值为 ( ) A. ?4+√2 B. ?3+√2 C. ?4+2√2 D. ?3+2√2 16. 已知函数 f (x )=x 2+ax +1x 2+a x +b(x ∈R,且x ≠0)．若实数 a ，b 使得 f (x )=0 有实根，则 a 2+b 2 的最小值为 ( ) A. 4 5 B. 3 4 C. 1 D. 2 17. 抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，点 A ，B 在抛物线上，且 ∠AFB =2 3π，弦 AB 的中点 M 在准线 l 上的射影为 M ?，则 ∣∣MM ?∣∣ ∣AB∣ 的最大值为 ( ) A. 4√3 3 B. √3 3 C. 2√33 D. √3 18. 设 S 为半径等于 1 的圆内接三角形的面积，则 4S +9 S 的最小值是 ( ) A. 3 4 √3 B. 5√3 C. 7√3 D. 9 4√3 19. 设 a n =sin12+sin222+?+sinn 2n ，则对任意正整数 m ，n (m >n )，都成立的是 ( ) A. ∣a n ?a m ∣< m?n 2 B. ∣a n ?a m ∣> m?n 2 C. ∣a n ?a m ∣<1 2n D. ∣a n ?a m ∣>1 2n 20. 已知集合 A ={(x,y )∣x =n,y =na +b,n ∈Z }，B ={(x,y )∣x =m,y =3m 2+ 12,m ∈Z }．若存在实数 a ，b 使得 A ∩B ≠? 成立，称点 (a,b ) 为“ ￡ ”点，则“ ￡ ”点在平面区域 C ={(x,y )∣x 2+y 2≤108} 内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 21. 设实数 x >0，y >0 且满足 x +y =k ，则使不等式 (x +1 x )(y +1 y )≥(k 2+2k )2 恒成立的 k 的最大值为 ． 22. 对于实数 a 和 b ，定义运算" ? "：a ?b ={a 2?ab,a ≤b, b 2?ab,a >b. 设 f (x )=(2x ?1)? (x ?1)，且关于 x 的方程 f (x )=m (m ∈R ) 恰有三个互不相等的实数根 x 1，x 2， x 3，则 x 1x 2x 3 的取值范围是 ． 23. 已知 OA ????? ，OB ????? 是非零不共线的向量，设 OC ????? =1r+1OA ????? +r r+1 OB ????? ，定义点集 M ={K∣ ∣KA ?????? ?KC ????? ∣∣KA ?????? ∣ ∣= KB ?????? ?KC ????? ∣∣KB ?????? ∣ ∣}．当 K 1,K 2∈M 时，若对于任意的 r ≥2，不等式 ∣∣K 1K 2????????? ∣∣≤ c ∣∣AB ????? ∣∣ 恒成立，则实数 c 的最小值为 ． 24. 已知 f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，且方程 f (x )=x 无实数根，下列命题： ①方程 f [f (x )]=x 也一定没有实数根； ②若 a >0，则不等式 f [f (x )]>x 对一切实数 x 都成立； ③若 a <0，则必存在实数 x 0，使 f [f (x 0)]>x 0； ④若 a +b +c =0，则不等式 f [f (x )] 中，正确命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的所有序号都填上） 25. 若函数 f (x )=ax 2+20x +14(a >0) 对任意实数 t ，在闭区间 [t ?1,t +1] 上 总存在两实数 x 1，x 2，使得 ∣f (x 1)?f (x 2)∣≥8 成立，则实数 a 的最小值为 ． 26. 若函数 f (x )=∣asinx +bcosx ?1∣+∣bsinx ?acosx∣(a,b ∈R ) 的最大值为 11，则 a 2+b 2= ． 27. 已知 f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，且方程 f (x )=x 无实数根，下列命题： （1）方程 f [f (x )]=x 一定有实数根； （2）若 a >0，则不等式 f [f (x )]>x 对一切实数 x 都成立； （3）若 a <0，则必存在实数 x 0，使 f [f (x 0)]>x 0； （4）若 a +b +c =0，则不等式 f [f (x )] 其中，正确命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的所有序号都填上） 28. 设单位向量 a ，b ? 的夹角为锐角，若对任意的 (x,y )∈{(x,y )∣∣xa +yb ? ∣= 1,xy ≥0}，都有 ∣x +2y ∣≤ √15 成立，则 a ?b ? 的最小值为 ． 29. 若整数 m 满足不等式 x ?12 ≤m 2 （x ∈R ），则称 m 为 x 的“亲密整 数”，记作 {x }，即 {x }=m ，已知函数 f (x )=x ?{x }．给出以下四个命题： ① 函数 y =f (x )（x ∈R ）是周期函数，且其最小正周期为 1； ② 函数 y =f (x )（x ∈R ）的图象关于点 (k,0)（k ∈Z ）中心对称； ③ 函数 y =f (x )（x ∈R ）在 [?12,1 2] 上单调递增； ④ 方程 f (x )=1 2sin(π?x) 在 [?2,2] 上共有 7 个不相等的实数根． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）． 30. 已知正数a,b,c满足：5c?3a≤b≤4c?a，clnb≥a+clnc，则b a 的取值范围是． 31. 定义M{x,y}={x,x≥y y,x 2+xy+x，b=4y2+xy+2y(x,y∈R)， 则M{a,b}的最小值为，当M取到最小值时，x=，y=． 32. 设a，b为正实数．现有下列命题： ①若a2?b2=1，则a?b<1； ②若1 b ?1 a =1，则a?b<1； ③若∣√a?√b∣=1，则∣a?b∣<1； ④若∣a3?b3∣=1，则∣a?b∣<1． 其中的真命题有（写出所有真命题的编号）． 33. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值 是． 34. 对于c>0，当非零实数a,b满足4a2?2ab+4b2?c=0且使∣2a+b∣最大 时，3 a ?4 b +5 c 的最小值为． 35. 如图所示，函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成．若?x∈R， f(x)>f(x?1)，则正实数a的取值范围为． 36. 已知x,y满足{y+∣x?2∣≤3, y≥2,不等式x 2+9y2≥axy恒成立，则a的取值 范围为． 37. 已知实数x，y同时满足4?x+27?y=5 6，log27y?log4x≥1 6 ，27y?4x≤1，则 x+y的取值范围是． 38. 设a+b=2，b>0，则当a=时，1 2∣a∣+∣a∣ b 取得 最小值． 39. 若实数x，y满足x≥?1，y≥?1且2x+2y=4x+4y，则22x?y+22y?x的 取值范围是． 40. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f (x )=12(∣∣x +12 tanα∣∣+∣x +tanα∣+32tanα)（α 是常数，且 ? π2 <α< π2 ，若 ?x ∈R ，都有 f (x ?3)≤ f (x ) 恒成立，则实数 α 的取值范围是 ． 41. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=1 2(∣x ?a∣+ ∣x ?2a∣?3∣a∣)．若集合 {x∣ ∣f (x ?1)?f (x )>0,x ∈R }=?，则实数 a 的取值范围为 ． 42. 在 △ABC 中，AC ????? ?BC ????? =0，点 M 在 BC 边上，且满足 BM ?????? =2MC ?????? ，则 cos ∠MAB 的最小值为 ． 43. 若对 ?x 1∈(0,2]，?x 2∈[1,2]，使 4x 1lnx 1?x 12+3+4x 1x 22 +8ax 1x 2?16x 1≥0 成立，则 a 的取值范围是 ． 44. 已知函数 f (x )=x ∣2x ?a ∣，g (x )=x 2?a x?1(a ∈R )．若 0 t ∈[3,5]，方程 f (x )=g (t ) 在 x ∈[3,5] 时总存在两不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ． 45. 已知实数 y >x >0，若以 x +y ，√x 2+y 2，λx 为三边长始终能构成一个三角形，则实数 λ 的取值范围为 ． 46. 若对于给定的正实数 k ，函数 f (x )=k x 的图象上总存在点 C ，使得以 C 为圆心、 1 为半径的圆上有两个不同的点到原点 O 的距离为 2，则 k 的取值范围是 ． 47. 已知函数 f (x )={?∣x 3?2x 2+x ∣,x <1,lnx,x ≥1, 若对于 ?t ∈R ，f (t )≤kt 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ． 48. 曲线 C 是平面内到直线 l 1:x =?1 和直线 l 2:y =1 的距离之积等于常数 k 2(k >0) 的点的轨迹．给出下列四个结论： ①曲线 C 过点 (?1,1)； ②曲线 C 关于点 (?1,1) 对称； ③若点 P 在曲线 C 上，点 A,B 分别在直线 l 1,l 2 上，则 ∣PA∣+∣PB∣ 不小于 2k. ④设 P 0 为曲线 C 上任意一点，则点 P 0 关于直线 x =?1 、点 (?1,1) 及直线 y =1 对称的点分别为 P 1 、 P 2 、 P 3，则四边形 P 0P 1P 2P 3 的面积为定值 4k 2 ． 其中，所有正确结论的序号是 ． 49. 已知点 A (1,?1)，B (4,0)，C (2,2)．平面区域 D 由所有满足 AP ????? =λAB ????? +μAC ????? （1≤λ≤a ，1≤μ≤b ）的点 P (x,y ) 组成的区域．若区域 D 的面积为 8，则 a +b 的最小值为 ． 50. 记实数 x 1,x 2,?,x n 中的最大数为 max {x 1,x 2,?,x n }，最小数为 min {x 1,x 2,?,x n }．已知实数 x ，y 满足 1≤x ≤y 且 1，x ，y 能构成三角形的三边，若 t =max {1x ,x y ,y}?min {1x ,x y ,y}，则 t 的取值范围是 ． 51. 设 △ABC 的内角 A ，B ，C 所对边的长分别为 a ，b ，c ，则下列命题正确的 是 （写出所有正确命题的编号）． ①若 ab >c 2，则 C <π 3； ②若 a +b >2c ，则 C <π 3； ③若 a 3+b 3=c 3，则 C <π 2； ④若 (a +b )c <2ab ，则 C >π2； ⑤若 (a 2+b 2)c 2<2a 2b 2，则 C >π 3． 52. 已知曲线 C:y 2=2x +a 在点 P n (n,√2n +a)(a >0,n ∈N ) 处的切线 l n 的斜率 为 k n ，直线 l n 交 x 轴，y 轴分别于点 A n (x n ,0)，B n (0,y n )，且 ∣x 0∣=∣y 0∣．给出以下结论： ① a =1； ②当 n ∈N ? 时，y n 的最小值为 54； ③当 n ∈N ? 时，k n <√2sin √2n+1 ； ④当 n ∈N ? 时，记数列 {k n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n <√2(√n +1?1)． 其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 53. 已知函数 f (x )=4x x 2+1，g (x )=cos2πx +kcos πx ，若对于任意的 x 1∈R ，总存在 x 2∈R ，使得 f (x 1)=g (x 2)，则实数 k 的取值范围为 ． 54. 若存在实常数 k 和 b ，使得函数 f (x ) 和 g (x ) 对其定义域上的任意实数 x 分 别满足：f (x )≥kx +b 和 g (x )≤kx +b ，则称直线 l:y =kx +b 为 f (x ) 和 g (x ) 的"隔离直线"．已知函数 f (x )=x 2?1 和函数 g (x )=2lnx ，那么函数 f (x ) 和函数 g (x ) 的隔离直线方程为 ． 55. △ABC 中，a ，b ，c 分别是内角 A 、 B 、 C 的对边，已知 A =60°，a =6， 现有以下判断： ① 若 b =√3，则 B 有两解； ② 若 AB ????? ?AC ????? =12，则 △ABC 的面积为 6√3； ③ b +c 不可能等于 13； ④ (AB ????? +AC ????? )?BC ????? 的最大值为 24√3． 请将所有正确的序号写在横线上 ． 56. 记实数 x 1,x 2,?,x n 中的最大数为 max {x 1,x 2,?,x n }，最小数为 min {x 1,x 2,?,x n }．设 △ABC 的三边边长分别为 a 、b 、c ，且 a ≤b ≤c ，定义 △ABC 的倾斜度为 t =max {a b ,b c ,c a }?min {a b ,b c ,c a }． （1）若 △ABC 为等腰三角形，则 t = ； （2）设 a =1，则 t 的取值范围是 ． 57. 若二次函数 f (x )=ax 2?4x +c 的值域为 [0,+∞)，则 a c 2+4+c a 2+4 的最小值为 ． 58. 在平面直角坐标系中，点集 A ={(x,y )∣x 2+y 2≤1}，B ={(x,y )∣x <4,y > 0,3x ?4y >0}，则 （1）点集 P ={(x,y )∣x =x 1+3,y =y 1+1,(x 1,y 1)∈A } 所表示的区域的面积 为 ； （2）点集 Q ={(x,y )∣x =x 1+x 2,y =y 1+y 2,(x 1,y 1)∈A,(x 2,y 2)∈B } 所表示的区域的面积为 ． 59. 若 f (x ) 是定义在 R 上的函数，对任意的实数 x ，都有 f (x +4)≤ f (x )+4 和 f (x +2)≥f (x )+2, 且 f (3)=4,f (2007) 的值是 ． 60. 在平面直角坐标系中，点集 A ={(x,y )∣x 2+y 2≤1}，B ={(x,y )∣x ≤4,y ≥ 0,3x ?4y ≥0}，则 （1）点集 P ={(x,y )∣x =x 1+3,y =y 1+1,(x 1,y 1)∈A } 所表示的平面区域的 面积为 ； （2）点集 Q ={(x,y )∣x =x 1+x 2,y =y 1+y 2,(x 1,y 1)∈A,(x 2,y 2)∈B } 所表示的平面区域的面积为 ． 61. 已知 AC 、 BD 为圆 O:x 2+y 2=4 的两条相互垂直的弦，垂足为 M(1,√2)，则四边形 ABCD 的面积的最大值为 ． 62. 定义：若平面点集 A 中的任一个点 (x 0,y 0)，总存在正实数 r ，使得集合 {(x,y )∣√(x ?x 0)2+(y ?y 0)2 ③ {(x,y )∣∣x +y∣∣≤6}； ④ {(x,y )∣0 其中是开集的是 ．（请写出所有符合条件的序号） 63. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在非零实数 l 使得对于任意 x ∈M (M ?D )， 有 x +l ∈D ，且 f (x +l )≥f (x )，则称 f (x ) 为 M 上的 l 高调函数． （1）如果定义域为 [?1,+∞) 的函数 f (x )=x 2 为 [?1,+∞) 上的 m 高调函数， 那么实数 m 的取值范围是 ． （2）如果定义域为 R 的函数 f (x ) 是奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=∣x ?a 2∣?a 2，且 f (x ) 为 R 上的 4 高调函数，那么实数 a 的取值范围是 ． 64. 函数 f (x )=sin (ωx +φ) 的导函数 y =f ′(x ) 的部分图象如图所示，其中，P 为图象与 y 轴的交点，A,C 为图象与 x 轴的两个交点，B 为图象的最低点． （1）若 φ=π 6，点 P 的坐标为 (0, 3√3 2 )，则 ω= ； （2）若在曲线段 ABC ? 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 △ABC 内的概率为 ． 65. 记 [x ] 为不超过实数 x 的最大整数，例如，[2]=2,[1.5]=1,[?0.3]=?1．设 a 为正整数，数列 {x n } 满足 x 1=a ，x n+1=[ x n +[ a x n ]2 ](n ∈N ?)，现有下列命题： ①当 a =5 时，数列 {x n } 的前 3 项依次为 5,3,2； ②对数列 {x n } 都存在正整数 k ，当 n ≥k 时总有 x n =x k ； ③当 n ≥1 时，x n >√a ?1； ④对某个正整数 k ，若 x k+1≥x k ，则 x n =[√a]． 其中的真命题有 ．（写出所有真命题的编号） 66. 在矩形 ABCD 中，E 、 F 分别为 AB 、 BC 的中点，记 △DEF 三边及内部组 成的区域为 Ω，AP ????? =xAB ????? +yAD ????? ，当点 P 在 Ω 上运动时，2x +3y 的最大值为 ． 67. 已知点 P (a,b ) 与点 Q (1,0) 在直线 2x ?3y +1=0 两侧，有下列说法： ① 2a ?3b +1>0； ②当a≠0时，b a 有最小值无最大值； ③?M∈(0,+∞)，使2+b2>M恒成立； ④当a>0且a≠1，b>0时，b a?1的取值范围为(?∞,?1 3 )∪(2 3 ,+∞)． 其中正确说法的序号是． 答案 1. A 【解析】设 f (x )=e x+y?4+e x?y?4+6，则问题转化为不等式 4xlna ≤f (x ) 恒成立． 又因为 f (x )=e x?4(e y +e ?y )+6≥6+2e x?4（当且仅当 y =0 时取等号）， 所以 4xlna ≤6+2e x?4 ，即有 2lna ≤ 3+e x?4 x 在 x >0 时恒成立， 记 g (x )= 3+e x?4 x ，则 g ?(x )= e x?4(x?1)?3 x 2 ， 令 g ?(x )=0，即 (x ?1)e x?4=3， 记 ?(x )=(x ?1)e x?4，则 ??(x )=xe x?4， 因为 x >0，e x?4>0，所以 ??(x )>0， 所以 ?(x ) 在 (0,+∞) 上单调递增， 又因为 ?(4)=3，即有 (x ?1)e x?4=3 的根为 4， 所以当 x >4 时 g (x ) 递增，当 0 2， 所以 0 ?1(n ∈N ?)，所以 a n =b n ?2 b n ?1， 所以 a n+1?a n =b n+1?2 b n+1?1 ?b n ?2 b n ?1 = b n+1?b n (1?b n+1)(1?b n ) = ?13 b n (1?23 b n )(1?b n ) <0， 解得 b n >3 2 或 03 2，则 b 1(23) n?1 >3 2 对一切正整数 n 恒成立，显然不可能； 若 0 n?1 <1 对一切正整数 n 恒成立，只要 0 即 0 a 1 ?1<1，解得 a 1=a >2． 3. B 【解析】b 1=2a 1?c 1 且 b 1>c 1， 所以 2a 1?c 1>c 1， 所以 a 1>c 1， 所以 b 1?a 1=2a 1?c 1?a 1=a 1?c 1>0， 所以 b 1>a 1>c 1， 又 b 1?c 1a 1， 所以 c 1> a 12 ． 由题意，得 b n+1+c n+1= b n + c n 2+an ， 整理，得 b n+1+c n+1?2a n =1 2(b n +c n ?2a n )， 结合 b 1+c 1=2a 1 递推，得 b n +c n ?2a n =0， 所以 b n +c n =2a n =2a 1， 即 b n +c n =2a 1． 又由题意，得 b n+1?c n+1=c n ?b n 2 ， 所以 b n+1?(2a 1?b n+1)= 2a 1?b n ?b n 2 =a 1?b n ， 化简，得 b n+1?a 1=1 2(a 1?b n )， 则 b n ?a 1=(b 1?a 1)(?12) n?1 ， 所以 b n =a 1+(b 1?a 1)(?12) n?1 ， c n =2a 1?b n =a 1?(b 1?a 1)(?12)n?1 ， 由海伦公式，得 S n 2= 3a 12 ( 3a 12 ?a 1) [ 3a 12 ?a 1?(b 1?a 1)(?12)n?1 ][ 3a 12 ?a 1+(b 1?a 1)(?12) n?1 ]= 3 4a 12[a 124 ?(14) n?1 (b 1?a 1)2]. 显然 S n 2 是关于 n 的增函数（可证当 n =1 时 a 1 24?(b 1?a 1)2>0）． 4. A 【解析】f (x )<0，即 √x +2√x+2 √x+1 ． 令 g (x )= √x+2 √x+1 ，则 g ?(x )= 2√x (x+2) (√x?2) (√x+1) 2 ，令 g ?(x )=0 得 x =4， 所以 g (x )= √x+2 √x+1 在 (0,4) 为减函数，在 (4,+∞) 为增函数， 所以若存在唯一的整数 x 0 使得 f (x 0)<0，只需满足 {min {g (3),g (5)}≥a, g (4) 所以 a ∈(√63,√35?√7 4 ]． 5. D 【解析】提示：直线 x =1 与 x +y =4 的交点为 (1,3)，所以 2x +y =5，不成立；直线 2x +y =6 与 x +y =4 的交点为 A (2,2)，则点 A (2,2) 在直线 ax +by +c =0 上，所以 2a +2b +c =0??①；直线 2x +y =1 与 x =1 的交点为 B (1,?1)，点 B (1,?1) 在直线 ax +by +c =0 上，所以 a ?b +c =0??②；由①②得 c =4b ． 6. C 【解析】由于对任意的a∈(?3,+∞)，关于x的方程f(x)=kx都有3个不同 ． 的根，所以不妨设a=0，则当x≤0时，f(x)=2 x+2 (?1 x+2 上的上的图象； 将f(x)在(0,1]上的图象分别向右、向上移动1个单位，得到f(x)在(1,2]上的图象； 将f(x)在(1,2]上的图象分别向右、向上移动1个单位，得到f(x)在(2,3]上的图象； 将f(x)在(2,3]上的图象分别向右、向上移动1个单位，得到f(x)在(3,4]上的图象； ?? 作出函数f(x)的图象． 当k=1时，函数f(x)的图象与直线y=x有1个交点，不适合题意； 当k=2时，函数f(x)的图象与直线y=2x有4个交点，不适合题意； 当k=3时，函数f(x)的图象与直线y=3x有3个交点，适合题意； 当k=4时，函数f(x)的图象与直线y=4x有2个交点，不适合题意． 7. A 【解析】函数f(x)可以看作是动点M(x,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，动点M(x,lnx2)在函数y=2lnx的图象上，N(a,2a)在直线y=2x上，于是“存在x0，使得f(x0)≤4 成立”就转化为“求直线y=2x上的动点到曲线y=2lnx 5 的最小距离”． 由y=2lnx，得y?=2 ，令y?=2，解得x=1， x 所以曲线 y =2lnx 上点 M (1,0) 到直线 y =2x 的距离最小，且最小距离为 d = √5 = 2√5 5 ，则 f (x )≥4 5． 根据题意，要使存在 x 0，使得 f (x 0)≤4 5 成立，则 f (x 0)=4 5，此时点 N 恰好为垂足． 由 k MN = 2a?0a?1 =?1 2，解得 a =1 5． 8. C 【解析】因为 f ?(x )=e x ?a ，则当 a ≤0 时，f ?(x )>0 恒成立， 所以 f (x ) 在 R 上单调递增，此时函数 f (x ) 至多有一个零点，不满足题意； 当 a >0 时，由 f ?(x )>0，得 x >lna ，有 f ?(x )<0，得 x 因为 e x 1=ax 1，e x 2=ax 2， 所以 e x 2?x 1=x 2x 1 ． 设 t =x 2x 1 ，则 t >1，e (t?1)x 1=t ，得 x 1=lnt t?1， 因此 x 1+x 2?2=(t +1)x 1?2=t+1t?1(lnt ?2×t?1t+1)=t+1t?1(lnt ?2+4 t+1)． 令 g (t )=lnt ?2+4 t+1，则 g ?(t )=1 t ?4 (t?1)2=(t?1)2 t (t+1)2 >0， 所以 g (t ) 为增函数，则 g (t )>g (1)=0， 因此 x 1+x 2?2>0，x 1+x 2>2， 所以B 正确． x 1x 2?1=tx 12 ?1=(√t lnt t?1?1)(√t lnt t?1+1)=√t t?1(lnt ? √ t )(√t lnt t?1+1)， 令 ?(t )=lnt ? t ，则 ??(t )=1t ?2t t =√t?1)2 2t t <0， 所以 ?(t ) 为减函数，则 ?(t ) 又在 f (x ) 上 (?∞,lna) 单调递减，在 (lna,+∞) 上单调递增， 所以 f (x ) 有极小值点 x 0=lna ， 由 e x 1=ax 1，e x 2=ax 2 得 x 1=lna +lnx 1，x 2=lna +lnx 2， 因此 x 2+x 2=2lna +lnx 1+lnx 2，即 x 1+x 2?2lna =lnx 1x 2<0， 所以 x 1+x 2<2lna =2x 0， 所以D 正确． 9. A 【解析】解法 1： 由已知得，设 t 为二次函数在 [3,4] 上的零点，则有 at 2+(2b +1)t ?a ?2=0， 变形 (2?t )2=[a (t 2?1)+2bt ]2≤(a 2+b 2)((t 2?1)2+4t 2)=(a 2+b 2)(1+t 2)2， 于是 a 2 +b 2 ≥(t?21+t )2 = 1 (t?2+ 5 t?2 +4)2≥1 100 ， 因为 t ?2+5 t?2 在 t ∈[3,4] 是减函数，上述式子在 t =3，a =?2 25，b =?3 50 时取等号，故 a 2+b 2 的最小值为 1 100． 解法 2： 把等式看成关于 a ，b 的直线方程 (x 2?1)a +2xb +x ?2=0，利用直线上一点（a,b ）到原点的距离大于原点到直线的距离，即 √a 2+b 2≥222 （以下同 上）． 10. B 【解析】如图，设 B,C,D 在平面 α 内的射影分别是点 E,F,G ，设 △ABC 边长为 1，设 BE =a ，CF =b ，EF =c ．因为 D 为 BC 的中点，所以 G 是 EF 中点，所以 AD = √3 2 ，DG =a+b 2 ．因为 △AEF 是 以 A 为直角顶点的直角三角形，所以 (1?a 2)+(1?b 2)=c 2??①,AG =1 2 c ．又因为 AG 2+DG 2=AD 2，所以 c 24+(a +b )24=34 ??② 由①②两式可得 ab =1 2．所以 sin ∠DAG =DG AD = a + b √3=a +12a √3