分式的各种题型专项练习
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
【例1】下列代数式中：y x y
x y x y x b
a b a y x x -++-+--1,
,,21,2
2
π，是分式的有： .
题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当x 有何值时，下列分式有意义
（1）
44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x
（5）x
x 11-
题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.
（1）3
1
+-x x
（2）
4
2
||2--x x （3）653
222----x x x x
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例4】（1）当x 为何值时，分式
x
-84
为正； （2）当x 为何值时，分式
2
)
1(35-+-x x 为负；
练习：
1．当x 取何值时，下列分式有意义：
（1）
3
||61
-x
（2）
1
)1(32
++-x x （3）
x
111+
2．当x 为何值时，下列分式的值为零：
（1）4
|1|5+--x x
（2）
5
62522+--x x x
（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：M
B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则：
b
a
b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1）y x y
x 4
1313221+- （2）
b
a b
a +-04.003.02.0
题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）y
x y
x --+- （2）b a a --- （3）b a ---
题型三：化简求值题
【例3】已知：511=+y x ，求y
xy x y
xy x +++-2232的值.
【例4】已知：21=-
x x ，求2
21
x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求
y
x 241
-的值.
练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
（1）
y
x y
x 5.008.02.003.0+-
（2）b a b
a 10
141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1
242
++x x x 的值.
3．已知：
311=-b a ，求a
ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b
a b
a 532+-的值.
5．如果21< x x --2|2|x x x x | ||1|1+ ---. （三）分式的运算 1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数； ②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分 （1）c b a c a b ab c 225, 3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3） 2 2 , 21, 1 222--+--x x x x x x x ； （4）a a -+21 , 2 题型二：约分 （1） 3 22016xy y x -；（3）n m m n --2 2；（3）6 222---+x x x x . 题型三：分式的混合运算 （1）4 2232)()()(a bc ab c c b a ÷-?-； （2）2 2233)()()3( x y x y y x y x a +-÷-?+； （3）m n m n m n m n n m ---+-+22； （4）11 2 ---a a a ； （5）8 7 4321814121111x x x x x x x x +- +-+-+--； （6）)5)(3(1 )3)(1(1)1)(1(1+++ ++++-x x x x x x ； （7）)12()2 1444 (222+-?--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题 （1）已知：1-=x ，求分子)]1 21()144[(4 8 122x x x x -÷-+--的值； （2）已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值； （3）已知：0132=+-a a ，试求)1 )(1 (22a a a a --的值. 题型五：求待定字母的值 【例5】若 1 11 312-+ += --x N x M x x ，试求N M ,的值. 练习（1）) 1(23 2)1(21)1(252+-+ +--++a a a a a a ； （2）a b ab b b a a --- -222； （3）b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-2 2； （5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-； （6）2 12 1111x x x ++ ++-； （7） ) 2)(1(1 )3)(1(2)3)(2(1--+ -----x x x x x x . 2.（1）11 124212 22-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()( y x x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值. 3．已知： 1 21)12)(1(45-- -=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式 2 805 399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算 【例1】计算：（1）3132)()(---?bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---? （3）2 4 253]) ()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x 题型二：化简求值题 【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算 【例3】计算：（1）223)102.8()103(--???；（2）3223)102()104(--?÷?. 练习： 1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|3 1|)51()5131 (?-+-+-÷?-- （2）3 2 2 231 )()3(-----?n m n m （3） 2 3232222)()3()()2(--??ab b a b a ab （4） 2 1222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x 2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值. 第二讲 分式方程 【知识要点】1.分式方程的概念以及解法; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. （一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程 （1） x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）11 4112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程 【例2】解下列方程 （1） 4441=+++x x x x ； （2）5 6 9108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，6 1 167++=++x x x . 【例3】解下列方程组 ?????? ???=+=+=+) 3(4 111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值 【例4】若关于x 的分式方程3 132--=-x m x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程12 2-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：03 2>-= a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程 【例6】解关于x 的方程 )0(≠+=--d c d c x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题 （1） 021211=-++-x x x x ； （2）3 423-=--x x x ； （3） 22 3 22=--+x x x ； （4）1 71372 22 2 --+ =-- +x x x x x x （5）21 23524245--+=--x x x x （6） 4 1 215111+++=+++x x x x （7） 6 8 11792--+-+=--+-x x x x x x x x 2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a x b b x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程 2 22-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值. 4．当k 为何值时，关于x 的方程1) 2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程 a x a =++1 1 2无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法例1．解方程：2 3 1+=x x 二、化归法例2．解方程： 01 2112=---x x 三、左边通分法例3：解方程： 871 78=----x x x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法例5．解方程：4 17 425254=-+-x x x x 六、分离常数法例6．解方程：87 329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法例7．解方程： 4 1 315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法 例1．若分式方程 x m x x -=--221无解，求m 的值。 例2．若关于x 的方程1 1122+= -+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例3．若关于x 分式方程4 3 2212 -=++-x x k x 有增根，求k 的值。 例4．若关于x 的方程1 151221--= +-+ -x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。 分式的运算及题型讲解 § 17.2分式的运算 一、分式的乘除法 1法则: （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 a c ac b，d bd 用式子表示： （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 a . c a d ad —~ = ?-= --- b d b c bc 用式子表示: 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的乘方 1法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。 / ■-n n a \ a 1 = 用式子表示: lb丿b n（其中n为正整数，a M 0） 2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一 个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有 多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简 三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 用式子表示: 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后， a c ad bc ad - bc ——土——= -- 土----- — 再加减。用式子表示：b d bd bd bd 。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关 键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘 分式的概念及基本性质-分式的运算 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析 （一)知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、B是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，Ｂ叫分式的分 母。 注: （１)分式的分母中必须含有字母 (2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式,且M≠0） ４. 分式的约分与通分 （1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 (2)通分:把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤: ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 (1)乘除运算 (2）分式的乘方 （３)分式的加减运算 (4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式,哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ,- - x x y ， x+1 π ， 1 4 () x y -, 1 y a b () +， 1 2 a- 例2．下列分式何时有意义 (1)x x - + 1 2 ??（２) 1 1 ||x- （３) 4 1 2 x x- (4） x x x 22 + 例３. 下列分式何时值为零 一、选择题 1．若m+2n ＝0，则分式22221m n m m mn m m n +??+÷ ?--??的值为（ ） A ． 32 B ．﹣3n C ．﹣ 32 n D ． 92 2．已知0 2 1 25,,0.253a b c --????=-== ? ? ????? ，a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a 3．把分式a 2a b +中的a 、b 都扩大2倍，则分式的值（ ） A ．缩小 14 B ．缩小 12 C ．扩大2倍 D ．不变 4．下列运算中，正确的是（ ） A ．； B ．； C ． ； D ． ； 5．已知：a ，b ，c 三个数满足，则 的值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．若代数式1 x x +有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x = B ．1x =- C ．1x ≠ D ．1x ≠- 7．与分式1 1 a a -+--相等的式子是（ ） A ． 1 1a a +- B ． 1 1 a a -+ C ．1 1 a a +- - D ．1 1 a a -- + 8．下列各式：351 ,,,,12a b x y a b x a b x π-+++--中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．如果把分式2++a b a b 中的a 和b 都扩大为原来的10倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．缩小10倍 C ．是原来的20倍 D ．扩大10倍 10．下列运算结果最大的是（ ） A ．1 12-?? ??? B ．02 C ．12- D ．()1 2- § 17.2分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则: （1） 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母 与分母相乘）。 a ?c ac 用式子表示：F?d bd （2） 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，再与被除式相乘。 a?d 翌 b c bc （1）分式中的符号法则与有理数乘除法 中的符号法则相同，即“同号得正，异号得 负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便 约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的乘方 1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把 将分子、分母分别乘方，然后再相除。 n n a a 用式子表示：b 『（其中n 为正整数，a z 0） 2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一 个算 用式子表示: 2、应用法则时要注意: 式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有 多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简 三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 用式子表示: 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后， a c ad be ad be 再加减。用式子表示：b d bd bd bd 。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关 键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1,然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 分式专项训练及答案 一、选择题 1．化简（a ﹣1）÷（ 1a ﹣1）?a 的结果是（ ） A ．﹣a 2 B ．1 C ．a 2 D ．﹣1 【答案】A 【解析】 分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 详解：原式=（a ﹣1）÷1a a -?a =（a ﹣1）?() 1a a --?a =﹣a 2， 故选：A ． 点睛：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 2．在等式[]209()a a a ?-?=中，“[]”内的代数式为（ ） A ．6a B ．()7a - C ．6a - D ．7a 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ?=，由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案. 【详解】 ()01a -=Q ，则原式化简为：[]29a a ?=， ∴[]927a a -==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算，熟练掌握相关概念是解题关键. 3．关于分式 2 5x x -，下列说法不正确的是（ ） A ．当x=0时，分式没有意义 B ．当x ＞5时，分式的值为正数 C ．当x ＜5时，分式的值为负数 D ．当x=5时，分式的值为0 【解析】 【分析】 此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x 的取值范围，分别计算即可求得解． 【详解】 A ．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意． B ．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意 C ．当0＜x ＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x ＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意． D ．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件． 4．若化简22121b a b b a a a -??-÷ ?+++?? W 的结果为1a a -，则“W ”是( ) A ．a - B ．b - C ．a D ．b 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意列出算式，然后利用分式的混合运算法则进行计算． 【详解】 解：由题意得： ()()() ()222111=1211111111b a a b a b a b b a b a b ab b a a a a a a a a a a W +-+--?=-?=+==+++-+-++++， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．计算(a 2)3＋a 2·a 3－a 2÷a －3的结果是( ) A ．2a 5－a B ．2a 5－1a C ．a 5 D ．a 6 【答案】D 【解析】 【分析】先分别进行幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算，然后再进行合并同类项即可. 【详解】原式=a 2×3+a 2+3-a 2-(-3) a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 初中数学分式专项训练 一、选择题 1．000 071 5=57.1510-? ,故选D. 2．当式子 2||323x x x ---的值为零时，x 等于（ ） A ．4 B ．﹣3 C ．﹣1或3 D ．3或﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分式为零，分子等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解. 【详解】 解：根据题意得，30x -=， 解得3x =或3-. 又2230x x --≠ 解得121,3x x ≠-≠， 所以，3x =-. 故选：B. 【点睛】 本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0.这两个条件缺一不可. 3．下列各式计算正确的是（ ） A ．（﹣x ﹣2y ）（x+2y ）＝224x y - B ．13x -＝13x C ．236(2)6y y -=- D ．32()(1)m m m m x x x -÷=- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据整式的相关运算法则计算可得． 【详解】 A ．（﹣x ﹣2y ）（x+2y ）＝﹣（x+2y ）2＝﹣x 2﹣4xy ﹣4y 2，此选项计算错误； B ．3x ﹣1＝3x ，此选项计算错误； C ．（﹣2y 2）3＝﹣8y 6，此选项计算错误； D ．（﹣x ）3m ÷x m ＝（﹣1）m x 2m ，此选项计算正确； 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则和负整数指数幂的规定． 4．已知17x x - =，则221x x +的值是( ) A ．49 B ．48 C ．47 D ．51 【答案】D 【解析】 【分析】 将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开即可得到所求式子的值． 【详解】 已知等式17x x - =两边平方得：22211()249x x x x -=+-=， 则22 1x x +=51． 故选D ． 【点睛】 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．0000025=2.5×10﹣6， 故选B ． 【点睛】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣ n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6．若a ＝－0.22，b ＝－2－2，c ＝（－ 12）－2，d ＝（－12）0，则它们的大小关系是（ ） A ．a 一、选择题 1．若 ()1311x x --=，则 x 的取值有 ( ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 2．下列式子中，错误的是 A ． 1a a 1 a a --=- B ．1a a 1 a a ---=- C ．1a 1a a a --- =- D ．1a 1a a a +--- = 3．下列分式：24a 5b c ，23c 4a b ，2 5b 2ac 中，最简公分母是 A ．5abc B ．2225a b c C ．22220a b c D ．22240a b c 4．下列运算，正确的是 A ．0 a 0= B ．11 a a -= C ．22a a b b = D ．()2 22a b a b -=- 5．下列变形正确的是（ ）. A ． 11a a b b +=+ B ．11 a a b b --=-- C ．221 a b a b a b -=-- D ． 22()1()a b a b --=-+ 6．如果 112111S t t =+，212111 S t t =-，则12 S S =（ ） A ．1221 t t t t +- B ．21 21 t t t t -+ C ．1221 t t t t -+ D ．1212 t t t t +- 7．下列等式成立的是（ ） A ．|﹣2|=2 B ．（2﹣1）0=0 C ．（﹣ 12 ）﹣1 =2 D ．﹣（﹣2）=﹣2 8．下列变形正确的是（ ）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 ()x y x y x y x y --=++ D ． 231 93 x x x -=-- 9．使分式29 3 x x -+的值为0，那么x （ ）． A ．3x ≠- B ．3x = C ．3x =± D ．3x ≠ 10．下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a ＜1的是（ ） A ．a 1- B ．1a - C ． () 2 1a - D ． 11a - 分式 A 级 基础题 1．(2017年重庆)若分式1x －3 有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x≠3 D．x ＝3 2．(2018年浙江温州)若分式x －2x ＋5 的值为0，则x 的值是( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－5 3．(2017年北京)如果a2＋2a －1＝0，那么代数式? ????a －4a ·a2a －2 的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 4．(2018年湖北武汉)计算m m2－1－11－m2 的结果是________． 5．(2017年湖南怀化)计算：x2x －1－1x －1 ＝__________. 6．(2018年浙江宁波)要使分式1x －1 有意义，x 的取值应满足________． 7．已知c 4＝b 5＝a 6≠0，则b ＋c a 的值为________． 8．(2017年吉林)某学生化简分式 1x ＋1＋2x2－1出现了错误，解答过程如下： 原式＝1x ＋1x －1＋2x ＋1x －1(第一步) ＝ 1＋2x ＋1x －1(第二步) ＝3x2－1 .(第三步) (1)该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是______________________． (2)请写出此题正确的解答过程． 9．(2018年湖北天门)化简：4a ＋4b 5ab ·15a2b a2－b2 . 10．(2018年山西)化简：x －2x －1·x2－1x2－4x ＋4－1x －2 . 11．(2018年四川泸州)化简：? ?? ??1＋ 2a －1÷a2＋2a ＋1a －1. 12．(2018年广西玉林)先化简，再求值：? ????a －2ab －b2a ÷a2－b2a ，其中a ＝1＋2，b ＝1－2. B 级 中等题 13．在式子1－x x ＋2 中，x 的取值范围是______________． 14．(2017年四川眉山)已知14m2＋14n2＝n －m －2，则1m －1n 的值等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－14 15．(2017年广西百色)已知a ＝b ＋2018，则代数式 2a －b ·a2－b2a2＋2ab ＋b2÷1a2－b2 的值为________． 16．(2018年山东烟台)先化简，再求值：? ????1＋x2＋2x －2÷x ＋1x2－4x ＋4 ，其中x 满足x2－2x －5＝0. 分式的化简 一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d = ?=，比例的两外项之积等于两内项之积. 知识点睛 中考要求 ⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c = ?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±= ?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= （k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n = ==，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??= ? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷ =?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?64748 L L L 1424314243个个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±± =±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 例题精讲 一、选择题 1．若分式5 5 x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．0 B ．5 C ．－5 D ．± 5 2．若分式||1 1 x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．± 1 D ．无解 3．分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5= 4．下列关于分式的判断，正确的是( ) A ．当x =2时， 1 2 x x +-的值为零 B ．无论x 为何值，2 3 1 x +的值总为正数 C ．无论x 为何值，3 1 x +不可能得整数值 D ．当x ≠3时， 3 x x -有意义 5．下列各式中，正确的是（ ）． A ． 11 22 b a b a +=++ B ．221 42a a a -=-- C ．22 11 1(1)a a a a +-=-- D ． 11b b a a ---=- 6．下列等式成立的是（ ） A ．|﹣2|=2 B ﹣1）0=0 C ．（﹣ 12 ）﹣1 =2 D ．﹣（﹣2）=﹣2 7．下列变形正确的是（ ）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 () x y x y x y x y --=++ D ． 231 93 x x x -=-- 8．使分式29 3 x x -+的值为0，那么x （ ）． A ．3x ≠- B ．3x = C ．3x =± D ．3x ≠ 9．若 a =20170，b =2015× 2017﹣20162，c =（﹣23）2016×（3 2 ）2017，则下列 a ，b ，c 的大小 分式计算练习二 周案序 总案序 审核签字 一.填 空： 1.x 时，分式 4 2-x x 有意义； 当x 时，分式122 3+-x x 无意义； 2.当x= 时，分式 2 152x x --的值为零；当x 时，分式x x --11 2的值等于零. 3.如果b a =2，则2 222b a b ab a ++-= 4.分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； 5.若分式2 31 -+x x 的值为负数，则x 的取值范围是 . 6.已知2009=x 、2010=y ，则()??? ? ??-+?+4422y x y x y x ＝ . 二.选 择： 1.在 31x+21y , xy 1 ,a +51 ,—4xy , 2x x , πx 中，分式的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2.如果把 y x y 322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A 、扩大5倍 B 、不变 C 、缩小5倍 D 、扩大4倍 3.下列各式：()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4.下列判断中，正确的是（ ）A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时，分式B A 无意义 C 、当A=0时，分式B A 的值为0（A 、 B 为整式） D 、分数一定是分式 5.下列各式正确的是（ ） A 、1 1++= ++b a x b x a B 、22 x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 《分式》专项练习题(中考题)精选及解析 《分式》练习题精选及解析 一．选择题（共10小题） 1．（2013?淄博）下列运算错误的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．（2013?重庆）分式方程﹣=0的根是（ ） A ． x=1 B ． x=﹣1 C ． x=2 D ． x=﹣2 3．（2013?漳州）若分式有意义，则x 的取值范围是（ ） A ． x ≠ 3 B ． x ≠﹣3 C ． x ＞3 D ． x ＞﹣3 4．（2013?湛江）计算的结果是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． ﹣1 D ． x 5．（2013?枣庄）下列计算正确的是（ ） A ． ﹣|﹣3|=﹣3 B ． 30=0 C ． 3﹣1=﹣3 D ． =±3 6．（2013?岳阳）关于x 的分式方程+3= 有增根，则增 根为（ ） A ． x=1 B ． x=﹣1 C ． x=3 D ． x=﹣ 3 7．（2013?厦门）方程的解是（ ） A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 8．（2013?乌鲁木齐）下列运算正确的是（ ） A ． a 4+a 2=a 6 B ． 5a ﹣3a=2 C ． 2a 3?3a 2=6a 6 D ． （﹣2a ）﹣ 2= 9．（2013?温州）若分式的值为0，则x 的值是（ ） A ． x=3 B ． x=0 C ． x=﹣3 D ． x=﹣ 4 10．（2013?威海）下列各式化简结果为无理数的是（ ） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（共10小题） 11．（2013?遵义）计算：20130﹣2﹣1=_________．12．（2013?株洲）计算：=_________． 13．（2013?宜宾）分式方程的解为_________．14．（2013?盐城）使分式的值为零的条件是x= _________． 15．（2013?新疆）化简=_________． 16．（2013?潍坊）方程的根是_________． 17．（2013?天水）已知分式的值为零，那么x的值是_________． 18．（2013?常州）函数y=中自变量x的取值范围是_________；若分式的值为0，则x=_________． §17.2分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则： （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示：bd ac d c b a =? （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示： 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的乘方 1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。 用式子表示：（其中n 为正整数，a ≠0） 2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bc ad c d b a d c b a =?=÷n n n b a b a =??? ?? 多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。 三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示： 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）b c a b c b a ±=± 一、选择题 1．下列变形中，正确的是（ ） A ．22 11x x y y -=- B ．22m m n n = C ．2 ()a b a b a b -=-- D ． 22 33 x x +=+ 2．设2222x 18n x 33x x 9 +=+++--，若n 的值为整数，则x 可以取的值得个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．若把分式x y xy +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍 4．小张在课外阅读中看到这样一条信息：“肥皂泡的厚度约为0.0000007m ”，请你用科学记数法表示肥皂泡的厚度，下列选项正确的是（ ） A ．0.7 ?10-6 m B ．0.7 ?10-7m C ．7 ?10-7m D ．7 ?10-6m 5．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．0.25×10–5米 B ．2.5×10–7米 C ．2.5×10–6米 D ．25×10–7米 6．蜜蜂建造的蜂巢坚固省料,其厚度约为0.000073米,0.000073用科学计数法表示为 A ．40.7310-? B ．47.310-? C ．57.310-? D ．67.310-? 7．把分式 ab a b +中的a 、b 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的6倍 B ．不变 C ．缩小为原来的 1 3 D ．扩大为原来的3倍 8．已知x 2－4xy ＋4y 2＝0，则分式x y x y -+的值为（ ） A ．13 - B ． 13 C ． 13y D ．y 31 - 9．下列运算正确的是（ ） A 3= B ．0(2)1-= C ．2234a a a += D ．2325a a a ?= 10．下列各式：351 ,,,,12a b x y a b x a b x π-+++--中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．下列运算结果最大的是（ ） A ．1 12-?? ??? B ．02 C ．12- D ．()1 2- 一、选择题 1．若分式 的值为0，则x 的值为 A ． B ． C ． D ．不存在 2．计算1÷11m m +-(m 2－1)的结果是( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－1 3．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ． B ． C ． D ． 4．分式 的值为0，则x 的值为 A ．4 B ．-4 C ． D ．任意实数 5．已知（x ﹣y ）（2x ﹣y ）=0（xy ≠0），则+的值是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．﹣2或﹣2 D ．2或2 6．若分式1 2+-x x 的值为0，则x 的值为（ ） A ．2或－1 B ．0 C ．－1 D ． 2 7．在分式 ab a b +（a ，b 为正数）中，字母a ，b 值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的 12 C ．不变 D ．不确定 8．已知，则的值是（ ） A ． B ．﹣ C ．2 D ．﹣2 9．已知+=3，则分式的值为（ ） A ． B ．9 C ．1 D ．不能确定 10．若分式23x x --有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≠2 C ．x ≠3 D ．x ≥3 11．如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A ．﹣12+8 B ．16﹣8 C ．8﹣4 D ．4﹣2 12．在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24 x y -中，分式的个数为（ ） A ．1 B.2 C.3 D ．4 13．把分式 2n m n +中的m 与n 都扩大3倍，那么这个代数式的值 A ．不变 B ．扩大3倍 C ．扩大6倍 D ．缩小到原来的13 14．下列变形正确的是（ ） A ．x y y x x y y x --=++ B ．222()x y x y y x x y +-=-- C ．2a a a ab b += D ．0.250.25a b a b a b a b ++=++ 15．已知 115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则abc ab bc ca ++的值是（ ） A ．121 B ．122 C ．123 D ．124 16．已知实数 a ， b ， c 均不为零，且满足a ＋b ＋c=0，则222222222 111b c a c a b a b c +++-+-+-的值是（ ） A ．为正 B ．为负 C ．为0 D ．与a ，b ，c 的取值有关 17．（2015秋?郴州校级期中）当 x=3，y=2时，代数式 的值是（ ） A ．﹣8 B ．8 C ． D ． 18．（2015秋?郴州校级期中）下列计算正确的是（ ） 最新分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中， 15 2 、 9a 、 5a b 、 3a 2 b 2 、2- 2 、 1 、 5xy 1 、 1 、 x 2 1 、 、8a b x y - 23 2x y 4 a m 6 x 2 2 3xy 、 3 、 1 中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) x a y m 5 练习题：（ 1）下列式子中，是分式的有 . ⑴ 2x 7 ； ⑵ x 1 ；⑶ 5a 2 ；⑷ x 2 x 2 ；⑸ 2 b 2 ；⑹ xy y 2 . x 5 2 3 a b 2x 2 （2）下列式子，哪些是分式？ a 3 ； y 3 7x ； x xy ； 1 b ； x 2 ； x 2 y . 5 4 y 8 4 5 2、分式有，无意义，总有意义： （1）使分式有意义：令分母≠ 0 按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母 =0 按解方程的方法去求解； 注意：（ x 2 1≠0） 例 1：当 x 时，分式 1 5 有意义； 例 2：分式 2x 1 中，当 x ____ 时，分式没 x 2 x 有意义 例 3：当 x 时，分式 1 有意义。 例 4：当 x 时，分式 x 有 x 2 x 2 1 1 意义 例 5： x ， y 满足关系 时，分式 x y 无意义； x y 例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 22x B. x C. 33x 1 D. x 2 5 x 1 2x 1 x x 例 7：使分式 x 有意义的 x 的取值范围为（ ）A ．x 2 B ．x 2 C ．x 2 D ．x 2 x 2 例 8：要是分式 x 2 没有意义，则 x 的值为（ ）A. 2 B.-1 或 -3 C. -1 D.3 分式的运算 （一）、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π,是分式的 有: ?. 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时,下列分式有意义 （1） 4 4+-x x (２) 2 32+x x （3） 1 22-x (4) 3 ||6--x x (5) x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1) 3 1 +-x x ? （2） 4 2||2 --x x ?（3) 6 5322 2----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例４】(1）当x 为何值时，分式 x -84 为正; （2）当x 为何值时，分式 2 )1(35-+-x x 为负； (3）当x 为何值时，分式3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1.当x 取何值时，下列分式有意义： (１） 3 ||61 -x ?（２） 1 )1(32++-x x (3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零: （1）4 | 1|5+--x x ?(2） 5 62522+--x x x 3.解下列不等式 (1)01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x (二)分式的基本性质及有关题型 1.分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则:b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. （1)y x y x 4 1313221+-? （２）b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （１） y x y x --+-? (2）b a a ---??（３）b a --- 题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x ，求 y xy x y xy x +++-2232的值. 【例4】已知:21=-x x ,求221 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 练习： 《分式》练习题精选及解析 一．选择题（共10小题） ． 2．（2013?重庆）分式方程﹣=0的根是（） 3．（2013?漳州）若分式有意义，则x的取值范围是（） 4．（2013?湛江）计算的结果是（） =±3 6．（2013?岳阳）关于x的分式方程+3=有增根，则增根为（） 7．（2013?厦门）方程的解是（） = 9．（2013?温州）若分式的值为0，则x的值是（） ．B C D 二．填空题（共10小题） 11．（2013?遵义）计算：20130﹣2﹣1=_________． 12．（2013?株洲）计算：=_________． 13．（2013?宜宾）分式方程的解为_________． 14．（2013?盐城）使分式的值为零的条件是x=_________． 15．（2013?新疆）化简=_________． 16．（2013?潍坊）方程的根是_________． 17．（2013?天水）已知分式的值为零，那么x的值是_________． 18．（2013?常州）函数y=中自变量x的取值范围是_________；若分式的值为0，则x= _________． 19．（2012?黔南州）若分式的值为零，则x的值为_________． 20．（2013?南京）使式子1+有意义的x的取值范围是_________． 三．解答题（共8小题） 21．（2013?自贡）先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值． 22．（2013?重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．23．（2013?张家界）先简化，再求值：，其中x=． 24．（2013?烟台）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣2=0．分式的运算及题型讲解
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