分式及其运算题型总结1
xy xy x xy xy x --
+2
2分式专题复习
考点一：分式的概念
例1、代数式1
1
,,0,2,4,1222++-++-x x b a b a a y x x 中，是整式
的有____，是分式的有____
.例2、用分式表示（1）某工厂接到加工m 个零件的订单，原计划每天加工a 个，由于技术改革，实际每天多加工b 个，则比原计划提前________天完成任务.（2）轮船在静水中航行每小时走x 千米，水流速度为y 千米/时，则轮船逆流航行50千米用________小时. 例3. 当x 为何值时，下列各式有意义？（1）
1
2x
；（2）12||x ；（3）13x +；（4）1
1
||x +。
例4、 当x 取何值时，下列各式的值等于零？
（1）212
x x -+；（2）||x x -+11；（3）24
2--x x
考点二：分式的基本性质
例5、化简分式y
x xy xy y x 3
32
2-+得________ 例6、如果把分式y
x x
23-中的x 、y 的值都扩大2倍，
那么分式的值（ ）A. 扩大2倍 B. 扩大6倍 C. 扩大3倍 D. 不变
例6. 不改变分式的值，而使分母的第一项为正数，则下
列各式中正确的是（ ） （A ）---+=-+a b a b a b a b （B ）m n m n m n m n
---=-+ （C ）-+--=
-+x x x x 111
1（D ）----=+-p q q p p q q p 例7. 下列各式约分正确的是（ ）
（A ）()a b a b ++=2
22
1（B ）-+--=-a b a b 1 （C ）()()a b b a --=-2
2
1（D ）---=()a b b a 222
21 考点三：分式的乘除法
例8：(1)221a a 1
a a a
--÷+
2）211()(1)11x x x +?-+-
（3）
2a 1a 2a 1
a 22a 4--+÷--
考点四：同分母分式的加减
例9.（1）22
422b a a b b a
+--
（2）
例10、
考点五：异分母分式的加减
例11、a
a a +--222
14
例12、计算：1
2
-a a －a －1
2
12++-
+x x x x
考点六：分式的混合运算
例13、计算：3
x 1x 2x 1x 3x 1x x 2
2+++?-+--
例14、先化简，再求值：2
11122
x x x -??-÷ ?
++?
?
，其中2x =
考点七：拓展应用
例15、若x 1
－y 1=3，求y xy x y xy x ---+2232的值.
例16 若b a
=2，求分式2
22222b
ab a b ab a +--+的值.
例17若4x =4y =5z
,则 =_____________.
例18若x 2+3x+1=0, 试求的x 2+21
x
值。
例19.
考点八：分式方程的解
则a 的取值范围是（ ）
A ．-1.5
B ．1
C ．-1.5或2
D ．-0.5或-1.5
考点九：分式方程的增根问题
例 4 （2012?攀枝花）若分式方程：2+12kx x --根，则k= ． 1．若关于x 的分式方程有增根，则m 的值
为 _________ ．
考点十：列分式方程解应用题
例5 （2013?深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．
3
41213110822222
+++-?
-+-+=-+a a a a a a a a a a 求，
满足已知，实数z
y x y
x 32+-+
分式的运算及题型讲解
分式的运算及题型讲解
§ 17.2分式的运算 一、分式的乘除法 1法则: （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 a c ac b，d bd 用式子表示： （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 a . c a d ad —~ = ?-= --- b d b c bc 用式子表示: 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的乘方 1法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。 / ■-n n a \ a 1 = 用式子表示: lb丿b n（其中n为正整数，a M 0） 2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一
个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有 多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简 三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 用式子表示: 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后， a c ad bc ad - bc ——土——= -- 土----- — 再加减。用式子表示：b d bd bd bd 。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关 键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘
分式的概念及基本性质分式的运算
分式的概念及基本性质-分式的运算
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分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析 （一)知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、B是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，Ｂ叫分式的分 母。 注: （１)分式的分母中必须含有字母 (2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式,且M≠0） ４. 分式的约分与通分 （1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 (2)通分:把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤: ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 (1)乘除运算 (2）分式的乘方 （３)分式的加减运算 (4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式,哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ,- - x x y ， x+1 π ， 1 4 () x y -, 1 y a b () +， 1 2 a- 例2．下列分式何时有意义 (1)x x - + 1 2 ??（２) 1 1 ||x- （３) 4 1 2 x x- (4） x x x 22 + 例３. 下列分式何时值为零
分式的运算及题型讲解
§ 17.2分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则: （1） 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母 与分母相乘）。 a ?c ac 用式子表示：F?d bd （2） 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，再与被除式相乘。 a?d 翌 b c bc （1）分式中的符号法则与有理数乘除法 中的符号法则相同，即“同号得正，异号得 负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便 约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的乘方 1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把 将分子、分母分别乘方，然后再相除。 n n a a 用式子表示：b 『（其中n 为正整数，a z 0） 2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一 个算 用式子表示: 2、应用法则时要注意:
式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有 多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简 三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 用式子表示: 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后， a c ad be ad be 再加减。用式子表示：b d bd bd bd 。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关 键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1,然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。
初中数学分式方程典型例题讲解
a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
分式化简求值经典练习题带答案
分式的化简 一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d = ?=，比例的两外项之积等于两内项之积. 知识点睛 中考要求
⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c = ?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±= ?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= （k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n = ==，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??= ? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷ =?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?64748 L L L 1424314243个个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±± =±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 例题精讲
因式分解及分式的计算练习题(题型全)
分式计算练习二 周案序 总案序 审核签字 一.填 空： 1.x 时，分式 4 2-x x 有意义； 当x 时，分式122 3+-x x 无意义； 2.当x= 时，分式 2 152x x --的值为零；当x 时，分式x x --11 2的值等于零. 3.如果b a =2，则2 222b a b ab a ++-= 4.分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； 5.若分式2 31 -+x x 的值为负数，则x 的取值范围是 . 6.已知2009=x 、2010=y ，则()??? ? ??-+?+4422y x y x y x ＝ . 二.选 择： 1.在 31x+21y , xy 1 ,a +51 ,—4xy , 2x x , πx 中，分式的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2.如果把 y x y 322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A 、扩大5倍 B 、不变 C 、缩小5倍 D 、扩大4倍 3.下列各式：()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4.下列判断中，正确的是（ ）A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时，分式B A 无意义 C 、当A=0时，分式B A 的值为0（A 、 B 为整式） D 、分数一定是分式 5.下列各式正确的是（ ） A 、1 1++= ++b a x b x a B 、22 x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --=
(完整版)分式的运算及题型讲解
§17.2分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则： （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示：bd ac d c b a =? （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示： 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的乘方 1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。 用式子表示：（其中n 为正整数，a ≠0） 2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bc ad c d b a d c b a =?=÷n n n b a b a =??? ??
多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。 三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示： 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）b c a b c b a ±=±
人教版八年级数学分式知识点与典型例题
最新分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中， 15 2 、 9a 、 5a b 、 3a 2 b 2 、2- 2 、 1 、 5xy 1 、 1 、 x 2 1 、 、8a b x y - 23 2x y 4 a m 6 x 2 2 3xy 、 3 、 1 中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) x a y m 5 练习题：（ 1）下列式子中，是分式的有 . ⑴ 2x 7 ； ⑵ x 1 ；⑶ 5a 2 ；⑷ x 2 x 2 ；⑸ 2 b 2 ；⑹ xy y 2 . x 5 2 3 a b 2x 2 （2）下列式子，哪些是分式？ a 3 ； y 3 7x ； x xy ； 1 b ； x 2 ； x 2 y . 5 4 y 8 4 5 2、分式有，无意义，总有意义： （1）使分式有意义：令分母≠ 0 按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母 =0 按解方程的方法去求解； 注意：（ x 2 1≠0） 例 1：当 x 时，分式 1 5 有意义； 例 2：分式 2x 1 中，当 x ____ 时，分式没 x 2 x 有意义 例 3：当 x 时，分式 1 有意义。 例 4：当 x 时，分式 x 有 x 2 x 2 1 1 意义 例 5： x ， y 满足关系 时，分式 x y 无意义； x y 例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 22x B. x C. 33x 1 D. x 2 5 x 1 2x 1 x x 例 7：使分式 x 有意义的 x 的取值范围为（ ）A ．x 2 B ．x 2 C ．x 2 D ．x 2 x 2 例 8：要是分式 x 2 没有意义，则 x 的值为（ ）A. 2 B.-1 或 -3 C. -1 D.3
分式经典题型分类例题及练习题
分式的运算 （一）、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π,是分式的 有: ?. 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时,下列分式有意义 （1） 4 4+-x x (２) 2 32+x x （3） 1 22-x (4) 3 ||6--x x (5) x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1) 3 1 +-x x ? （2） 4 2||2 --x x ?（3) 6 5322 2----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例４】(1）当x 为何值时，分式 x -84 为正; （2）当x 为何值时，分式 2 )1(35-+-x x 为负； (3）当x 为何值时，分式3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1.当x 取何值时，下列分式有意义： (１） 3 ||61 -x ?（２） 1 )1(32++-x x (3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零: （1）4 | 1|5+--x x ?(2） 5 62522+--x x x 3.解下列不等式 (1)01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x
(二)分式的基本性质及有关题型 1.分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则:b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. （1)y x y x 4 1313221+-? （２）b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （１） y x y x --+-? (2）b a a ---??（３）b a --- 题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x ，求 y xy x y xy x +++-2232的值. 【例4】已知:21=-x x ,求221 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 练习：
分式知识点及例题知识讲解
分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=00 B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>0 0B A 或? ? ?<<00 B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><0 B A ） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示： C B C ??= A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B -- =--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件 B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然
后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： d b c a d c b a ??= ? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、 分式的加减法则：
七年级数学下册_分式的基本性质及其运算
分式的基本性质及其运算 【知识点归纳】 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><0 B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示： C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式 的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
分式及其运算题型总结-(1)
xy xy x xy xy x -- +2 2分式专题复习 考点一：分式的概念 例1、代数式1 1 ,,0,2,4,1222++-++-x x b a b a a y x x 中，是整式 的有____，是分式的有____ .例2、用分式表示（1）某工厂接到加工m 个零件的订单，原计划每天加工a 个，由于技术改革，实际每天多加工b 个，则比原计划提前________天完成任务.（2）轮船在静水中航行每小时走x 千米，水流速度为y 千米/时，则轮船逆流航行50千米用________小时. 例3. 当x 为何值时，下列各式有意义？（1） 1 2x ；（2）12||x ；（3）13x +；（4）1 1 ||x +。 例4、 当x 取何值时，下列各式的值等于零？ （1）21 2 x x -+；（2）||x x -+11；（3）242--x x 考点二：分式的基本性质 例5、化简分式y x xy xy y x 3 32 2-+得________ 例6、如果把分式y x x 23-中的x 、y 的值都扩大2倍， 那么分式的值（ ）A. 扩大2倍 B. 扩大6倍 C. 扩大3倍 D. 不变 例6. 不改变分式的值，而使分母的第一项为正数，则下 列各式中正确的是（ ） （A ）---+=-+a b a b a b a b （B ）m n m n m n m n ---=-+ （C ）-+--=-+x x x x 1111（D ）----= +-p q q p p q q p 例7. 下列各式约分正确的是（ ） （A ）()a b a b ++=2 22 1（B ）-+--=-a b a b 1 （C ）()()a b b a --=-2 2 1 （D ）---=()a b b a 22 221 考点三：分式的乘除法 例8：(1)221a a 1 a a a --÷+ 2）211()(1)11x x x +?-+- （3） 2a 1a 2a 1 a 22a 4--+÷-- 考点四：同分母分式的加减 例9.（1）22 422b a a b b a +-- （2） 例10、 考点五：异分母分式的加减 例11、a a a +--2 22 14 例12、计算：1 2 -a a －a －1 2 12++- +x x x x
分式与分式方程经典例题讲解
分式与分式方程复习 一.分式 例1：要使分式x 1 有意义，x 的取值满足（ ） A.x ＝0 B.x ≠0 C.x ＞0 D.x ＜0 【解析】分式有意义的条件是分母不为0，即x ≠0。 【答案】选：B ． 【点评】此题考查的是分式有意义的条件，属于基础题。 例2：使代数式12-x x 有意义的x 的取值范围是 A.0≥x B. 21≠x C. 0≥x 且21≠x D.一切实数 【解析】要使原代数式有意义，需要x 中的x ≥0；分母中的2x-1≠0. 【答案】解不等式组0210x x ≥??-≠? 得0≥x 且21≠x ，故选C ． 【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数． 例3：若分式1 2x x -+的值为0,则 ( ) A. x=-2 B. x=0 C. x=1或x=-2 D. x=1 【解析】若分式12x x -+的值为0,则需满足1020x x -=??+≠? ,解得x ＝1, 故选D. 【答案】D. 【点评】本题考查分式值为0时,x 的取值. 提醒注意:若使分式的值为0,需满足分子为零,同时分母不为零两个条件,缺一不可.
分式的乘除 例4：化简11122-÷-x x 的结果是 （ ） Ａ．12-x Ｂ．122-x Ｃ．12 +x Ｄ．()12+x 【解析】根据分式除法法则，先变成乘法，再把分子、分母因式分解，约分，得到正确答案C 【答案】C 【点评】分式的混合你算是近些年中考重点考查的对象，特别是化简求值题，在教学中加以针对性训练。本题属于简单题型。 例5：先化简，后计算：， 其中a ＝－3． 【解析】先将各分式的分子、分母分解因式，再进行分式乘除法混合运算，后代入计算． 【答案】原式＝ 919)3(2)3()9)(9(2+?-+?++-a a a a a a ＝32 +a 当33-=a 时，原式＝33 2 【点评】本题主要考察分式乘除法混合运算，注意解答的规范化，是基础题． 例6：化简代数式x x x 2122+-÷x x 1-，并判断当x 满足不等式? ??->-<+6)1(212x x 时该代数式的符号. 解析：先将分式化简，再解不等式组，在不等式的解集中选使分式有意义的数代入求值． 答案：原式=x x x 2122+-÷x x 1-=)2()1)(1(+-+x x x x ×1-x x =21 ++x x 解不等组得：-3 分式精华练习题 一．解答题 1．计算： （ 1） （2）（﹣ 2m 2 ﹣ 2 2 ﹣ 1 3 ﹣ 3 n ） ?（ 3m n ） 2．计算： 3．化简： ． 4．化简： 5． 计算： ． 6．化简 ?（ x 2 ﹣ 9） 7．计算： ． 8．计算： + ． 9．计算：（1） ； （2） ． 10． ． 11．计算： 12．计算： ﹣ a ﹣ 1． 13．计算： （ 1） （2） 14．计算： a ﹣ 2+ 15．计算： ． 16．化简： ，并指出 x 的取值范围． 17． 17．已知 ab=1，试求分式： 的值． 18．计算： ﹣ 19．计算： 20．化简 21．计算： 22．化简： 23．计算：（ 1） ； （ 2） ． 24．化简： 25．化简： ． 26 化简： 27．计算： 28．计算：（ ） ÷ ． 29．化简 ． 30．计算： ﹣x ﹣ 2） 1 1.在下列方程中，关于 x 的分式方程的个数（ a 为常数）有（ ） ① 1 x 2 2 x 4 0 ② . x 4 ③. a 4; ④ . x 2 9 1; ⑤ 1 2 3 a x x 3 x 2 ⑥ x 1 x 1 2 . A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 a a m 2. 关于 x 的分式方程 ） 1，下列说法正确的是（ x 5 A ．方程的解是 x m 5 B ． m 5 时，方程的解是正数 C ． m 5 时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程 1 5 3 ） x 2 x 1 1 的根是（ 1 x A. x =1 B. x =-1 C. x = 3 D. x =2 8 4.1 4 4 0, 那么 2 的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 x x 2 x 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） 1 x 2 1 去分母得， x 1 ( x 1)( x 2) 1； A. 1 x 1 x x 5 1 ，去分母得， x 5 2x 5 ； B. 5 5 2x 2x C. x 2 x 2 x x ，去分母得， (x 2) 2 x 2 x(x 2) ； x 2 x 2 4 2 6; D.-1 1 x 1 1 1 A.1- B. 1 C. x D. x x x x x 1 10.使分式 4 与 3 2 的值相等的 x 等于（ ） x 6 x 2 x 2 4 x 2 5x 6 A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11. 满足方程 1 2 的 x 的值是 ___ 12. 当 x=____ 时，分式 1 x 的值等于 1 5 x . x 1 x 2 2 13.分式方程 x 2 2x 0 的增根是 . x 2 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 v 1 千米， t 小时可到达，如果每小时多行驶 v 2 千米，那么 可提前到达 ________小时 . 15. 农机厂职工到距工厂 15 千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走 40 分钟后，其余人乘汽 车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的 3 倍，若设自行车的速度为 x 千米 /时， 则所列方程为 . 16.已知 x 4 , 则 x 2 y 2 . y 5 x 2 y 2 17. a 时，关于 x 的方程 x 1 2a 3 的解为零 . x 2 a 5 18.飞机从 A 飞到 B 的路程 S ’、速度是 v 1, ，返回的速度是 v 2 ，往返一次的平均速度是 . D. 2 1 , 去分母得， 2 ( x 1) x 3 ； 19.当 m 时，关于 x 的方程 m 2 1 有增根 . x 3 x 1 x 2 9 x 3 x 3 6. .赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完 .当他读了一半书时，发现平均每天要多 20. 某市在旧城改造过程中， 需要整修一段全长 2400m 的道路． 为了尽量减少施工对城市交通所造 读 21 页才能在借期内读完 .他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读 x 成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 小时完成任务．求原计划每小时修路 页，则下面所列方程中，正确的是 ( ) 的长度．若设原计划每小时修路 x m ，则根据题意可得方程 . 140 140 =14 280 280 140 140 10 10 三、解答题（共 5 大题，共 60 分） A. x x 21 B. x =14 C. x 21 =14 D. =1 21. .解下列方程 x 21 x x x 21 7.若关于 x 的方程 m 1 x 0 ，有增根，则 m 的值是（ ） (1) 1 4 x (2) 4 x 3 x 1 x 1 1 x 1 x 1 2 3 x 4 x 2 x 2 （ 3） ． x 3 x 2 x 2 x 2 4 A.3 B.2 C.1 D.-1 A B 2 x 1 22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期 3 天完成； 8.若方程 , 那么 A 、 B 的值为（ ） 现在先由甲、乙两队合做 2 天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日 x 3 x 4 ( x 3)( x 4) 期多少天？ A.2，1 B.1， 2 C.1， 1 D.-1 ， -1 24.小兰的妈妈在供销大厦用 12.50 元买了若干瓶酸奶， 但她在百货商场食品自选室内发现， 同样的 9.如果 x a 1,b a b （ ） 酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜 0.2 元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果 b 0, 那么 b 3 a 用去 18.40 元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？ 5 2 《分式》练习题精选及解析 一．选择题（共10小题） ． 2．（2013?重庆）分式方程﹣=0的根是（） 3．（2013?漳州）若分式有意义，则x的取值范围是（） 4．（2013?湛江）计算的结果是（） =±3 6．（2013?岳阳）关于x的分式方程+3=有增根，则增根为（） 7．（2013?厦门）方程的解是（） = 9．（2013?温州）若分式的值为0，则x的值是（） ．B C D 二．填空题（共10小题） 11．（2013?遵义）计算：20130﹣2﹣1=_________． 12．（2013?株洲）计算：=_________． 13．（2013?宜宾）分式方程的解为_________． 14．（2013?盐城）使分式的值为零的条件是x=_________． 15．（2013?新疆）化简=_________． 16．（2013?潍坊）方程的根是_________． 17．（2013?天水）已知分式的值为零，那么x的值是_________． 18．（2013?常州）函数y=中自变量x的取值范围是_________；若分式的值为0，则x= _________． 19．（2012?黔南州）若分式的值为零，则x的值为_________． 20．（2013?南京）使式子1+有意义的x的取值范围是_________． 三．解答题（共8小题） 21．（2013?自贡）先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值． 22．（2013?重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．23．（2013?张家界）先简化，再求值：，其中x=． 24．（2013?烟台）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣2=0． 分式方程典型易错点及典型例题分析 一、错用分式的基本性质 例1化简 错解：原式 分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质. 正解：原式 二、错在颠倒运算顺序 例2计算 错解：原式 分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误. 正解：原式 三、错在约分 例1 当为何值时，分式有意义？ [错解]原式. 由得. ∴时，分式有意义. [解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误. [正解]由得且. ∴当且，分式有意义. 四、错在以偏概全 例2 为何值时，分式有意义？ [错解]当，得. ∴当，原分式有意义. [解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误. [正解] ，得， 由，得. ∴当且时，原分式有意义. 五、错在计算去分母 例3 计算. [错解]原式 =. [解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，. [正解]原式 . 六、错在只考虑分子没有顾及分母 例4 当为何值时，分式的值为零. [错解]由，得. ∴当或时，原分式的值为零. [解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件. [正解]由由，得. 由，得且. ∴当时，原分式的值为零. 典例分析 类型一：分式及其基本性质 1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A. B. C. D. 2．若分式的值等于零，则x＝_______； 3．求分式的最简公分母。 【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（） A．－1B．0C．1D．±１ （2）当x________时，分式没有意义． 【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（） A．B．C． D． 分式全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算． 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系． 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想． 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂分式全章复习与巩固知识要点】 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即 当B≠0时，分式A B 才有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 a c ac b d bd ?=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 a c a d ad b d b c bc ÷=?=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4．零指数 . 5.负整数指数 6.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 要点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 第一章 分式期末复习 一、分式的定义： 1、下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、 212+x 、πxy 3、y x +3 、m a 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 二、分式有，无意义，总有意义： 2、写出下列分式有意义的条件： （1） 51-x ； ； 23x ++11 x +； ；23x x +； ； 3、写出下列分式没有有意义的条件： （1） x x -+212， ；) 3)(1(2 -+-x x x ； ； 4、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 三、分式的值为零,大于零，小于零： 5、当x 时，分式121+-a a 的值大于0 ； 6、当x 时，分式1 12+-x x 的值为0； 7、如果分式 2 2+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对 8、能使分式1 22--x x x 的值为零的所有x 的值是 （ ） A 0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x 9、若 01=+a a ,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 四、分式的值为整数： 如果分式的值是整数，那么分母必为分子的约数．若分式的分子、分母都含有字母，则用“分离常数法”。 10、如果m 为整数，那么使分式 1 3 ++m m 的值为整数的m 的值有（ ）(完整版)分式混合运算练习题(30题).doc
《分式》专项练习题(中考题)精选及解析
分式方程典型易错点及典型例题分析
21.分式全章复习与巩固基础知识讲解含答案
分式的知识点及重点题型讲解(老师)