圆的方程讲义解析

圆的方程讲义解析

【课前双基巩固】 知识聚焦

1.(x-a )2

+(y-b )2

=r 2

(a ,b ) r x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0

2.(1)(x 0-a )2

+(y 0-b )2

>r 2

(2)(x 0-a )2

+(y 0-b )2

=r 2

(3)(x 0-a )2

+(y 0-b )2

对点演练

1.-1

+(0-m )2

<5,解得-1

2.(x-1)2

+(y+3)2

=29 [解析] 圆的方程为(x+4)(x-6)+(y+5)(y+1)=0,整理,得(x-1)2

+(y+3)2

=29. 3.(x-1)2

+(y+2)2

=9 [解析] 设圆的方程为(x-a )2

+(y-b )2

=r 2

,则由题意,得

{a +b +1=0,

(1-a)2+(1?b)2=r 2,(4-a)2+(?2?b)2=r 2,

解得a=1,b=-2,r 2=9,故圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2

=9. 4.x 2

+y 2

+8x-10y+40=0 [解析] 已知圆的圆心为O 1(2,-1),半径r 1=1,而点O 1(2,-1)关于直线

x-y+3=0的对称点为O'(-4,5),故所求圆的方程为(x+4)2+(y-5)2=1,即x 2+y 2

+8x-10y+40=0. 5.m<12 [解析] 方程x 2

+y 2

-x+y+m=0表示一个圆,则1+1-4m>0,∴m<1

2.

6.(x±2)2+(y±2)2

=4 [解析] 由题意,知圆心有四种情况,即坐标分别为

(2,2),(-2,2),(-2,-2),(2,-2),所以圆的方程为(x±2)2+(y±2)2

=4.

7.48 [解析] 由(x-2)2

+y 2

=4,得y 2

=4x-x 2

≥0,得0≤x ≤4,所以3x 2+4y 2=3x 2+4(4x-x 2)=-x 2+16x=-(x-8)2+64(0≤x ≤4),所以当x=4时,3x 2+4y 2

取得最大值48. 【课堂考点探究】

例1 [思路点拨] (1)设出圆的一般方程,然后将三点的坐标分别代入,建立方程组求解;(2)先求线段AB 的垂直平分线的方程,并与已知直线方程构成方程组可求得圆心坐标,然后求出圆的半径,进而可得圆的方程.

(1)C (2)C [解析] (1)设圆的方程为x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0,则由题意得{1+E +F =0,

4+2D +F =0,1?E +F =0,

解得

{D =?3

2,

E =0,

F =?1,

则圆的方程为x 2+y 2-3

2x-1=0,即x-342+y 2=2516

,故选C.(2)由题意知,圆心是线段AB 的

垂直平分线与直线x+y-2=0的交点,易知线段AB 的垂直平分线的方程为y=x ,与x+y-2=0联立,

得交点坐标是(1,1),即圆的圆心为(1,1),其半径r=√(1-1)2+(?1?1)2=2,则圆的方程是(x-1)2

+(y-1)2

=4,故选C.

变式题 (1)x 2

+(y-2)2

=9或(x-8)2

+(y-2)2

=73 (2)(x-2)2

+(y-2)2

=4或(x+2)2

+(y-2)2

=4 [解析] (1)

依题意,设圆心的坐标为(a ,2),圆C 的方程为(x-a )2

+(y-2)2

=r 2

(r>0),则{a 2+9=r 2,√2

=2√2,解得{

a =0,

r =3

或{a =8,r =√73,

故圆C 的方程为x 2+(y-2)2=9或(x-8)2+(y-2)2

=73. (2)由题意可得所求圆的圆心在第一象限或第二象限,当圆心在第一象限时,圆心为(2,2),半径

为2,故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2

=4.当圆心在第二象限时,圆心为(-2,2),半径为2,故圆的方程为

(x+2)2+(y-2)2

=4. 例2 [思路点拨] (1)因为

y -4x -2

表示的是圆上的点和点(2,4)之间的连线的斜率,所以利用圆心到

直线的距离不大于半径建立不等式求解;(2)先将所求式转化为关于y

x 的表达式,然后求圆上动点与原点连线的斜率的取值范围即可.

(1)B (2)D [解析] (1)将原方程,整理得(x-1)2

+(y-1)2=1,

y -4x -2

表示的是圆上的点和点(2,4)之间的

连线的斜率,设

y -4x -2

=k ,即kx-y-2k+4=0,则由

√1+k 2

≤1,解得k ≥43

,故选B.

(2)圆x 2

+(y-2)2

=1的圆心为(0,2),半径为1,可知x ∈[-1,1].当x=0时,显然

xy

4x 2+y 2

=0.当x ≠0

时,xy

4x 2+y 2=

xy x 24x 2+y 2x 2

=

y x 4+(y x

)

2,设k=y x ,k=y

x 表示圆上动点(x ,y )与原点(0,0)连线的斜率,则k ≥√3或k ≤

-√3,所以问题转化为求k

4+k 2=1

4k

+k

的取值范围.易知k+4

k ≥4或k+4

k ≤-4,所以-1

4≤k

4+k 2<0或0

4+k 2

≤14.综上所述,xy 4x 2+y 2∈-14,1

4,故选D.

例3 [思路点拨] (1)设x-2y=b ,则问题转化为求一组平行线x-2y=b 在y 轴上的截距的最值,作出图形,知当直线与圆相切时,b 取得最大值或最小值;(2)直线z=2x+ay 与圆相切时z 取得最大值8,从而得出a 的值,进而求2x+ay 的最小值.

(1)10 0 (2)-2 [解析] (1)原方程可化为(x-1)2

+(y+2)2

=5,表示以(1,-2)为圆心,√5为半径的

圆.

设x-2y=b,即x-2y-b=0,作出圆(x-1)2+(y+2)2=5与一组平行线x-2y-b=0,如图所示,

当直线x-2y-b=0与圆相切时,纵截距-1

b取得最大值或最小值,

2

此时圆心到直线的距离d=

=√5,解得b=10或b=0,

1+4

所以x-2y的最大值为10,最小值为0.

(2)依题意,直线2x+ay=8与圆(x-1)2+(y-1)2=5相切,所以圆心到直线的距离d=

=√5,解得

√4+a2

≤√5,化简得|z-3|≤5,解得-2≤z a=1(舍去a=-4),所以2x+ay即为2x+y,令2x+y=z,由d=

√5

≤8,得z的最小值为-2,即2x+y的最小值为-2.

例4[思路点拨](1)求解圆上动点到定点距离的最值通常转化为求圆心到定点的距离;(2)求解圆上动点到过定点的动直线的距离的最值通常转化为圆上动点到定点的距离的最值,再转化为圆心到定点的距离求解.

(1)1(2)B[解析](1)圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1表示圆心为C(2,-m+4),半径r=1的圆,求得

|OC|=√22+(?m+4)2,∴m=4时,|OC|的最小值为2,故当m变化时,圆C上的点与原点的最短距离是(|OC|min-r)=2-1=1.

(2)易知圆心坐标为(-3,3),半径r=1.由题意,知直线y=kx-1恒过定点(0,-1),所以圆心到定点(0,-1)的距离为√(-3-0)2+(3+1)2=5,所以圆上任一点P到直线y=kx-1的距离的最大值为

5+1=6,故选B.

例5[思路点拨]根据条件将所求问题转化为求A关于x轴的对称点A1与圆心C间的距离. A[解析]易知点A关于x轴的对称点为A1(-1,-1),圆心为C(2,3),所以

|A1C|=√(2+1)2+(3+1)2=5,所以所求最短路径长为5-1=4.故选A.

强化演练

1.C [解析] 设k=y x ,则y=kx ,∵实数x ,y 满足(x+2)2

+y 2

=3,∴直线y=kx 与圆有交点,∴

√1+k 2

≤

√3,∴k 2

≤3,∴-√3≤k ≤√3,∴实数k 的取值范围是[-√3,√3].

2.B [解析] 把圆的方程化为标准方程得(x+2)2+(y+1)2

=4,∴圆心M 的坐标为(-2,-1),半径r=2.∵直线l 过圆M 的圆心,∴-2a-b+1=0,即2a+b-1=0,∴点(a ,b )为直线2x+y-1=0上一点.∵点(2,2)到直线2x+y-1=0的距离d=

√5

=√5,∴(a-2)2

+(b-2)2

的最小值为5,故选B.

3.A [解析] 圆C 1:(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为C 1(2,3),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+(y-4)2

=9的圆心为C 2(3,4),半径r 2=3.设圆心C 1关于x 轴的对称点为A (2,-3),连接AC 2与x 轴交于点P ,则|PC 1|+|PC 2|=|PA|+|PC 2|=√(3-2)2+(4+3)2=5√2,此时x 轴上的动点P 到两圆心的距离之和最小,∴|PM|+|PN|的最小值为|PA|+|PC 2|-r 1-r 2=5√2-4.

4.4 [解析] 由题意得|PM |=√|PC|2-16≥√(2

)2-16=4,即|PM |的最小值为4.

5.15 [解析] 令3x+4y=b ,即3x+4y-b=0,则由题意,得√32+42

≤1,解得1≤b ≤11,即1≤

3x+4y ≤11,∴-25≤3x+4y-26≤-15,∴15≤|3x+4y-26|≤25,故|3x+4y-26|的最小值为15.

6.2(√5+√3) [解析] 若对于圆C 上的任意一点Q ,∠EQF ≥π2

,则圆C 上的任意一点都在以线段EF 为直径的圆内(含圆周).因为圆心C (0,-1)到直线l 的距离d=

5

=√5,所以圆上的点到直

线l 的距离的最大值为√5+√3,所以以线段EF 为直径的圆的半径的最小值为√5+√3,则|EF |的最小值是2(√5+√3).

例6 [思路点拨] (1)根据题意利用直接法求解;(2)涉及相关点的运动,可利用代入法求解. (1)C (2)A [解析] (1)设P (x ,y ),则x ≠±1,所以k PA =y -0x+1,k PB =y -0

x -1,∵动点P 与定点A (-1,0),B (1,0)的连线的斜率之积为-1,∴k PA ×k PB =-1,∴y 2

x 2-1=-1,即x 2

+y 2

=1.∴点P 的轨迹方程为x 2

+y 2

=1(x ≠

±1),故选C.

(2)设圆上任一点为Q(x0,y0),线段PQ的中点为M(x,y),根据中点坐标公式,得{x0=2x-4,

因为

y0=2y+2.

Q(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.

变式题(1)D(2)D[解析](1)由题意得√|PC|2-22=|PO|,所以(x-3)2+(y+4)2-4=x2+y2,即

6x-8y-21=0,故选D.

(2)设Q(x,y),P(x0,y0),由PA????? =2AQ????? ,得x0=-2x+3,y0=-2y,代入圆的方程,得x-3

2+y2=1.

2

课时作业

一、填空题

1．以点A(－5，4)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是．

答案(x+5)2+(y－4)2=16

解析∵所求的圆以点A(－5，4)为圆心，且与x轴相切，∴所求圆的半径R=4，

∴圆的标准方程为(x+5)2+(y－4)2=16．

2．若一圆的标准方程为，则此圆的的圆心和半径分别为．

答案

解析圆的标准方程为，表示圆心为，半径为的圆．

3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．

答案(x－2)2＋(y－1)2＝1

解析设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，

∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.

所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

4．点(2a，a－1)在圆x2+y2－2y－4=0的内部，则a的取值范围是．

答案－＜a＜1

解析由题意，4a2+(a－1)2－2(a－1)－4＜0，即5a2－4a－1＜0,

解之得：－＜a＜1．

5．圆的圆心坐标是．

答案(2，－3)

解析将方程化为圆的标准方程得，所以圆心是(2，－3).

6．圆x2+y2=16上的点到直线x－y=3的距离的最大值为．

答案4+

解析圆心即原点到直线的距离，所以直线与圆相交，则圆上的点到直线的最大距离为.

7．若方程x2+y2－x－2y+c=0(c∈R)是一个圆的一般方程，则c的范围是．

答案c＜

解析化为标准方程为：，由题意得，，∴．

8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．

答案(x－2)2＋(y－1)2＝1

解析由已知设所求圆的圆心坐标为：C(a，b)(a>0且b>0)，由已知有：，所以所求圆的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝1．

9．圆的方程过点和原点，则圆的方程为．

答案

解析设圆的一般方程为，

将三点代入得：，解得，

所以圆的方程为.

10．方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．

答案(3，0)，3

解析(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.

11．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为

答案

解析把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A与直线x－y ＋3＝0垂直时，过垂足作圆的切线，切线长最短，连接AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x－y＋3＝0的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长．由于圆心(2，2)，半径为1，那

么可知圆心到直线的距离为，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为

二、解答题

12．求下列各圆的标准方程：

(1)圆心在y=－x上且过两点(2，0)，(0，－4)

(2)圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y－1=0切于点(2，－1)

解析(1)设圆心坐标为()，则所求圆的方程为，

∵圆心在上，∴，①

又∵圆过(2，0)，(0，－4)

∴，②

，③

由①②③联立方程组，可得.

∴所求圆的方程为.

(2)∵圆与直线相切，并切于点M(2，－1)，则圆心必在过点M(2，－1)且垂直于

的直线：上，，即圆心为C(1，－2)，

r=，∴所求圆的方程为：

13．求经过三点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标. 解析设所求圆的方程为

点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的坐标满足上述方程，分别代入方程，

可得

解得：D=8，E=－6，F=0 .

于是得所求圆的方程为：,

圆的半径r=,

圆心坐标是.