第11章 整数规划方法
·166
·
第十一章 整数规划方法
11.1 整数规划的模型
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策变量要求必须取整数，则这样的问题称为整数规划问题，其模型称为整数规划模型。
如果整数规划的目标函数和约束都是线性的，则称此问题为整数线性规划问题。在里我们只就整数线性规划问题进行讨论，整数线性规划的一般模型为：
????????=≥???=≥=≤=∑∑==)
,,2,1(,0),,2,1(),(..max(min)1
1
n j x x m i b x a t s x c z j j
i n
j j
ij n
j j
j 为整数 （11.1） 对于实际中的某些整数规划问题，我们有时候可以想到先略去整数约束的条件，即视为
一个线性规划问题，利用单纯形法求解，然后对其最优解进行取整处理。实际上，这样得到的解未必是原整数规划问题的最优解，因此，这种方法是不可取的，但可借鉴于这种思想。 整数规划求解方法总的基本思想是：松弛问题(11.1)中的约束条件（譬如去掉整数约束条件），使构成易于求解的新问题――松弛问题(A)，如果这个问题(A)的最优解是原问题(11.1)的可行解，则就是原问题(11.1)的最优解；否则，在保证不改变松弛问题(A)的可行性的条件下，修正松弛问题(A)的可行域(增加新的约束)，变成新的问题（B ），再求问题(B)的解，重复这一过程直到修正问题的最优解在原问题(11.1)的可行域内为止，即得到了原问题的最优解。
注意到: 如果每个松弛问题的最优解不是原问题的可行解时，则这个解对应的目标函数值z 一定是原问题最优值*
z 的上界(最大化问题)，即z z ≤*，或下界(最小化问题)，即z z ≥*
。
11.2 整数规划的分枝定界法
11.2.1. 分枝定界法的基本思想
将原问题（11.1）中整数约束去掉变为问题（A ），求出问题（A ）的最优解，如果它不是原问题（11.1）的可行解，则通过附加线性不等式约束（整数），将问题（A ）分枝变为若干子问题),,2,1)((I i B i ???=，即对每一个非整变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型约束，就得两个子问题，继续求解定界，重复下去，直到得到最优解为止。
·167·
例11.1 用分枝定界法求解下列整数规划问题
（A ） ???
??≥≤+≤++=且为整数,0,7020756
799040max 2
121212
1x x x x x x x x z
解（1）去掉21,x x 为整数的约束，变为问题)(0A ，求解可得)(0A 的最优解为
z z x x ====356,82.1,81.4021，令0=z ，且3560*=≤≤=z z z 。显然不是（A ）的
可行解。
（2）分枝：对81.41=x 附加约束条件5,411≥≤x x ，将（A ）分为两个子问题)(1B 和
)(2B ：
)(1B ??
?
??≥≤≤≤+≤++=0
,407020756
799040max 212
1212
1x x x x x x x x z )(2B ???
??≥≥≤+≤++=0
,57020756
799040max 21
212121x x x x x x x x z
求解可得)(1B ：349,1.2,4121===z x x ，)(2B ：341,57.1,5221===z x x 。仍不
是问题（A ）的可行解，取0,349==z z 。
（3）对问题)(1B ，)(2B 分枝：
对问题1.2:)(21=x B 附加约束3,222≥≤x x 分为问题)(1C ，)(2C 对问题57.1:)(22=x B 附加约束2,122≥≤x x 分为问题)(3C ，)(4C
)(1C ??
?
??≤≤≤≤≤+≤++=2
0,407020756
799040max 212
1212
1x x x x x x x x z )(2C ??
?
??≥≤≤≤+≤++=3
,407020756
799040max 212
12121x x x x x x x x z )(3C ???
??≤≤≥≤+≤++=1
0,57020756
799040max 21
21212
1x x x x x x x x z )(4C ???
??≥≥≤+≤++=2
,57020756
799040max 21
21212
1x x x x x x x x z
分别求解可得：
340,2,4:)(3211===z x x C ； 327,3,42.1:)(4212===z x x C ； 308,1,44.5:)(5213===z x x C ； )(4C ：无可行解。
因为)(1C 的解为（A ）的可行解，故取341,340==z z ，注意到340,54= ·168 · 的最优解340,2,4** 2*1===z x x 。 11.2.2 分枝定界法的一般步骤 （1）将原整数规划问题（11.1）去掉所有的整数约束变为线性规划问题（A ），用线性规划的方法求解问题（A ），则有下列情况： 1） 问题（A ）无可行解，则原问题（11.1）也无可行解，停止计算； 2）问题（A ）有最优解* X ，并是原问题（11.1）的可行解，则此解就是（A ）的最优解，计算结束； 3） 问题（A ）有最优解*X ，但不是原问题（11.1）的可行解，转下一步。 （2）将* X 代入目标函数，其值记为z ，并用观察法找出原问题（11.1）的一个可行解（整数解，不妨可取),,2,1(0n j x j ???==），求得目标函数值（下界值），记为z ，则原问题（11.1）的最优值记为* z ，即有z z z ≤≤*，转下一步； （3）分枝：在问题（A ）的最优解中任选一个不满足整数约束的变量j j b x =（非整数），附加两个整数不等式约束：][j j b x ≤和1][+≥j j b x ，分别加入到问题（A ）中，构成两个新的子问题)(1B 和)(2B ，仍不考虑整数约束，求问题)(1B 和)(2B 的解。 定界：对每一个子问题的求解结果，找出最优值的最大者为新的上界z ，从所有符合整数约束条件的分枝中找出目标函数值最大的一个为新的下界z 。 （4）比较与剪枝：将各分枝问题的最优值同z 比较，如果其值小于z ，则这个分枝可以剪掉，以后不再考虑。如果其值大于z ，且又不是原问题（11.1）的可行解，则继续分枝，返回（3），直到最后得到最优解使z z =*，即),,2,1(* n j x j ???=为原问题（11.1）的最优解。 11.3 整数规划的割平面法 11.3.1 割平面法的基本思想 首先把原整数规划问题（11.1）去掉整数约束条件变为线性规划问题（A ），然后引入线性约束条件（称为Gomory 约束，几何术语割平面）使问题（A ）的可行域逐步缩小（即切割掉一部分），每次切割掉的是问题的非整数解的一部分，不切掉任何整数解，直到最后使得目标函数达到最优的整数解（点）成为可行域的一个顶点为止，这就是原问题（11.1）的最优解。即利用线性规划的求解方法逐步缩小可行域，最后找到整数规划的最优解。 例11.2 用割平面法求解下列整数规划问题 ·169· ??? ??≥≤+≤+-+=且为整数,0,4 31 m a x 2 121212 1x x x x x x x x z 将其化为标准型 （A ） ??? ??≥=++=++-+=且为整数,0,,,4 31 max 4 3214213212 1x x x x x x x x x x x x z 去掉整数约束条件，用单纯形法求解相应的线性规划问题，可得非整数的最优解为 2 5 ,0,47,434321===== z x x x x ，由变量之间的关系可以得到关系式 ??? ???? +==++=+-4314741434 34141432431x x x x x x 将整数与真分式分开有??? ??????? ??+-=-?? ? ??+-=-43 24331 4143431414343x x x x x x x 因为0,,,4321≥x x x x ，且为整数，即左端为整数，右端也必为整数，所以 041434343≤?? ? ??+-x x ，即3343-≤--x x 为所求的切割方程。将其加到问题的约束条件之中，构成新的问题（B ），求解引入松弛变量5x ，则有33543-=+--x x x ，即求问题 （B ） ????? ? ?≥-=+--=++=++-+=0 ,,,,33431 m a x 543215434213212 1x x x x x x x x x x x x x x x x z 用单纯形法求解，则可得到问题（B ）的最优解为1321===x x x ，显然是原问题的可行解，即为所求的最优解，其最优值为2=z 。 ·170 · 11.3.2 割平面法的计算步骤 设原问题（11.1）中有n 个决策变量，m 个松弛变量，共m n +个变量，略去整数约束求解线性规划问题，将最终的求解结果放入如表11-1（称为单纯形表）。其中),,2,1(m i x i ???=表示基变量，),,2,1(n j y j ???=表示非基变量，则具体计算步骤如下： (1) 在最优解中任取一个具有分数值的基变量，不妨就是)1(m i x i ≤≤，由表11-1可以得到关系i n j j ij i b y a x =+ ∑=1 ，即 )1(1m i y a b x n j j ij i i ≤≤-=∑= （11.2） 表11-1：单纯形表 （2）将i b 和),,2,1;1(n j m i a ij =≤≤（为假分数）分为整数部分和非负的真分数，即 ),,2,1(,n j f N a f N b ij ij ij i i i ???=+=+= 其中i N 和ij N 表示整数，而)10(< )1(1 1 m i y f f N y N x n j j ij i j n j j ij i ≤≤-=-+∑∑== （11.3） （3）要使i x 和j y 都有为整数，（11.3）式的左端必为整数 ，右端也是整数，而且由 ·171· j ij y f ,0≥是非负整数，故此01 ≥∑=n j j ij y f ，又因0>i f 是真分数，于是有 11<≤-∑=i n j j ij i f y f f ，则必有 )1(01 m i y f f n j j ij i ≤≤≤-∑= （11.4） 这就是所要求的一个切割方程（Gomory 约束条件）。 （4）对（11.4）式引入一个松弛变量i S ，则（11.4）式变为 )1(1 m i f y f S i n j j ij i ≤≤-=- ∑= 将其代入原问题中去，求解新的线性规划问题。 （5）应用对偶单纯形法求解，如果所求解为原问题的可行解（均为整数解），则就是原问题的最优解，计算结束。否则继续构造Gomory 约束条件，直到最优解为整数解为止。 说明：在这里为什么要用对偶单纯形法求解呢？主要是在Gomory 方程 i n j j ij i f y f S -=-∑=1 中，当非基变量0=j y 时，条件变为i i f S -=为负数，变为不可行，通 常的单纯形法无法求解，而用对偶单纯形法从不可行到可行，即可得到最优解。 11.4 0—1整数规划 11.4.1 0—1规划的模型 如果整数线性规划问题的所有决策变量i x 仅限于取0或1两个数值，则称此问题为0—1线性整数规划，简称为0—1规划。变量i x 称为0—1变量，或二进制变量，其变量取值的约束可变为0=i x 或1，等价于1≤i x 和0≥i x ，且为整数，于是0—1规划的一般模型为 ????????==???=≥=≤=∑∑==),,2,1(10),,2,1(),(..max(min)1 1 n j x m i b x a t s x c z j i n j j ij n j j j 或 ·172 · 例11.3 背包问题（或载货问题） 一个旅行者要在背包里装一些最有用的东西，但限制最多只能带b kg 物品，每件物品只能是整件携带，对每件物品都规定了一定的“使用价值”（有用的程度）。如果共有n 件物品，第j 件物品重kg a j ，其价值为j c ，问题是：在携带的物品总重量不超过b kg 的条件下，携带哪些物品可使总价值最大？ 设决策变量? ??=种物品时当不携带第种物品时当携带第j j x x j j ,0,1:，则问题的模型为 ?????=≤=∑∑==10..max 1 1或j n j j j j n j j x b x a t s x c z 例11.4 指派（或分配）问题 在生产管理上，为了完成某项任务，总是希望把有关人员最合理地分派，以发挥其最大工作效率，创造最大的价值。 例如：设某单位有4个人，每个人都有能力去完成4项科研任务中的任一项，由于4个人的能力和经验不同，所需完成各项任务的时间如表11-2所示。问分配何人去完成何项任务使完成所有任务的总时间最少？ 设决策变量ij x 表示第i 个人去完成第j 项任务，即 表11-2 )4,1(,0,1≤≤???=j i j i j i x ij 项任务时个人不去完成第 当第项任务时个人去完成第 当第 每个人去完成一项任务的约束为 ???????=+++=+++=+++=+++1 111 444342413433323124 23222114131211x x x x x x x x x x x x x x x x 每一项任务必有一人去完成的约束为 ·173· ???????=+++=+++=+++=+++1 111443424144333231342 32221241312111x x x x x x x x x x x x x x x x 完成任务的总时间，即目标函数为 44 4342413433323124 232221141312119118713161491514410413152min x x x x x x x x x x x x x x x x z +++++++++++++++= 记系数矩阵为???? ? ???? ???=9118713161491514410411152ij c ，称为效益矩阵，或价值矩阵，ij c 表示第i 个人去完成第j 项任务时有关的效益（时间、费用、价值等）。故该问题的数学模型为 ij i j ij x c z ∑∑===4 14 1min ??? ?? ??????======∑∑==)4,3,2,1,(104,3,2,1,14,3,2,1,1..4 14 1j i x j x i x t s ij ij i ij j 或 一般的指派（或分配）问题： 设某单位有n 项任务，正好需要n 个人去完成，由于任务的性质和各人的专长不同，如果分配每个人仅能完成一项任务，应如何分派使完成n 项任务的总效益（或效率）最高。 设该指派问题有相应的效益矩阵() n n ij c C ?=，其元素ij c 表示分配第i 个人去完成第j 项 任务时的效益（0≥），或者说：以ij c 表示给定的第i 单位资源分配用于第j 项活动时的有关效益。 设问题的决策变量为ij x 是0—1变量，即 ),,2,1,(,0,1n j i j i j i x ij =???=项活动时个单位资源用于第 当不分配第项活动时个单位资源用于第 当分配第 其数学模型为 ·174 · ij n i n j ij x c z ∑∑===11 min ????? ?????????==???==???==∑∑==),,2,1,(10,,2,1,1,,2,1,1..1 1n j i x n j x n i x t s ij n i ij n j ij 或 （11.5） 11.4.2 0—1规划的隐枚举法 显枚举法（又称为穷举法）：主要是把问题的所有可能的组合情况（共n 2种）列举出来进行比较，找到所需要的最优解。 隐枚举法：主要是从实际出发，从问题所有可能的组合取值中利用“过滤条件”排除一些不可能是最优解的情况，只需考查其中一部分组合就可得到问题的最优解。因此，隐枚举法又称为部分枚举法。 隐枚举法不需要更多的理论和知识，当问题的维数n 不是特别大时，求解0－1是一种有效的方法，但对于过滤条件的确定，要根据实际问题的具体情况具体分析而定。 11.5 指派问题的匈牙利方法 “匈牙利方法”最早是由匈牙利数学家康尼格（D. Konig ）用来求矩阵中0元素的个数的一种方法，由此他证明了“矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直线数”。1955年由库恩（W.W. Kuhn ）在求解著名的指派问题时，引用了这一结论，并对具体算法做了改进，仍然称为“匈牙利方法”。 11.5.1 匈牙利方法的基本思想 由于每个问题都有一个相应的效益矩阵，可以通过初等变换修改效益矩阵的行或列的元素，使得在每一行或每一列中至少有一个零元素，直到在不同行、不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案，这个方案是原问题的一个最优分配方案。 定理11.1（指派问题的最优性） 如果问题（11.5）的效益矩阵n n ij c C ?=)(的第i 行、第 j 列中的每个元素分别减去一个常数a 、b 变为矩阵n n ij d D ?=)(，则以新的矩阵D 为效益 ·175· 矩阵和新的目标函数与原效益矩阵C 和原目标函数求得的最优解相同，最优值只差一个常数。 证明 只要证明新目标函数和原目标函数值相差一个常数。 事实上：因为),1(n j i b a c d ij ij ≤≤--=，则新的目标函数为 ) ()(11 1 1 1111b a z b a x c x b x a x c x d z ij n i n j ij ij n i ij n j ij n i n j ij ij n i n j ij +-=+-=--=='∑∑∑∑∑∑∑∑======== 故二者相差一个常数a +b ，最优解相同。 11.5.2 匈牙利方法的基本步骤 根据指派问题的最优性，“若从效益矩阵() n n ij c C ?=的一行（一列）各元素分别减去该 行（列）的最小元素，得到新矩阵() n n ij d D ?=，那么以D 为效益矩阵所对应问题的最优解 与原问题的最优解相同”。此时求最优解的问题可转化为求效益矩阵的最大1元素组的问题。 下面给出一般的匈牙利方法的计算步骤： 第1步：对效益矩阵进行变换，使每行每列都出现有0元素。 （1）从效益矩阵C 中每一行减去该行的最小元素； （2）再在所得矩阵中每一列减去该列的最小元素，所得矩阵记为() n n ij d D ?=。 第2步：将矩阵D 中0元素置为1元素，非零元置为0元素，记此矩阵为E 。 第3步：确定独立1元素组。 （1）在矩阵E 含有1元素的各行中选择1元素最少的行，比较该行中各1元素所在的列中1元素的个数，选择1元素的个数最少的一列的那个1元素； （2）将所选的1元素所在的行和列清0； （3）重复第2步和第3步，直到没有1元素为止.，即得到一个独立1元素组。 第4步：判断是否为最大独立1元素组 （1）如果所得独立1元素组是原效益矩阵的最大独立1元素组（即1元素的个数等于矩阵的阶数），则已得到最优解，停止计算。 （2）如果所得独立1元素组还不是原效益矩阵的最大独立1元素组，那么利用寻找可扩路的方法对其进行扩张，进行下一步。 第5步：利用寻找可扩路方法确定最大独立1元素组。 （1）做最少的直线覆盖矩阵D 的所有0元素； （2）在没有被直线覆盖的部分找出最小元素，在被直线覆盖的各行减去此最小元素，在被直线覆盖的各列加上此最小元素，得到一个新的矩阵，返回第2步。 ·176 · 说明：上面的算法是按最小化问题给出的，如果问题是最大化问题，即模型（11.5）中的目标函数换为∑∑=== n i n j ij ij x c z 11 max 。此令)(max ,ij j i c M =和0≥-=ij ij c M b ，则效率矩阵 变为n n ij b B ?=)(。于是考虑目标函数为∑∑=== n i n j ij ij x b z 11 min 的问题，仍用上面的方法步骤求 解所得最小解也就是对应原问题的最大解。 另外，按照匈牙利方法计算步骤，对于这一类问题的求解，我们可以用Matlab 编程实现。 11.6 玫瑰有约问题 11.6.1 问题的提出 目前，在许多城市大齡青年的婚姻问题已引起了妇联、工会和社会团体组织的关注。某单位现有20对大龄青年男女，每个人的基本条件都不相同，如外貌、性格、气质、事业、财富等。每项条件通常可以分为五个等级A 、B 、C 、D 、E ，如外貌、性格、气质、事业可分为很好、好、较好、一般、差；财富可分为很多、多、较多、一般、少。每个人的择偶条件也不尽相同，即对每项基本条件的要求是不同的。该单位拟根据他(她)们的年龄、基本条件和要求条件进行牵线搭桥。下面给出20对大龄青年男女的年龄、五项基本条件和要求条件(如表11-3和表11-4)。一般认为，男青年至多比女青年大5岁，或女青年至多比男青年大2岁，并且要至少满足个人要求5项条件中的2项，才有可能配对成功。该单位希望根据每个人的情况和要求，建立数学模型解决下列问题： (1) 在尽量满足个人要求的条件下，给出一种最佳的配对方案，并使得配对成功率尽可能的高。 (2) 给出一种20对男女青年可同时配对的最佳方案，使得全部配对成功的可能性最大。 11.6.2 问题的分析 该问题是现实生活中实际问题，主要就是确定合理配对方案，使得在尽量满足个人要求的条件下，使配对成功率尽可能高。由于每个人的基本条件和要求都是给定的，双方彼此是知道的，而且相互之间有很大的差异，如果完全按照要求条件来组合配对，则其成功的可能性是很小的。一对青年男女能否配对成功，主要是取决于相互之间的好感的程度－－“满意度”，单方面的高满意度也不一定能配对成功。任意一对男女的配对可以看成一个随机事件，按某一概率可能配对成功，或不成功。在这里双方的满意度主要反映出了一个人对另一个人的客观和主观的看法，因此，满意度的定义成为解决问题的一个关键。 所谓的“成功率”，就是男女双方最终配对成功的概率。实际上，可以用他们相互之间的满意度来间接刻画。相互的满意度越高，双方配对成功的概率就越大。 对题目进行分析不难看出，这是一个分派问题，但由于每个人的要求条件和配对所要求 ·177· 的最低条件的限制，这又不是一个标准的分派问题，因为不能保证每个人都能配对成功。 对问题（1），要使配对成功率尽可能的高，也就是给出一种方案，使得20对男女的配对后的满意度之和最高。为此，该问题可以用改进的匈牙利算法求解。 表11-3: 男青年的基本条件和要求条件 表11-4: 女青年的基本条件和要求条件 注：表中的要求的条件一般是指不低于所给的条件。 11.6.3 模型的假设与符号说明 (1) 模型假设 ● 题目所给出的男女青年的评价是客观真实的； ● 每个人在选择对方时都是理智的； ● 五项条件在选择对方时所起的作用是均等的。 (2) 符号约定 i B －－第)20,,2,1( i i 个男青年； ·178 · j G －－第)20,,2,1( =j j 个女青年； ij x －－第i 个男青年与第j 个女青年配对时取值1，否则取值0； ) 0(ik a －－第i 个女青年的第k 项基本条件的量化指标； ) 1(ik a －－第i 个男青年的第k 项基本条件的量化指标； ) 0(ik b －－第i 个女青年的第k 项要求条件的量化指标； ) 1(ik b －－第i 个男青年的第k 项要求条件的量化指标； )()0(k S ij －－第i 个女青年对第j 个男青年的第k 项条件的满意度； )()1(k S ij －－第i 个男青年对第j 个女青年的第k 项条件的满意度； ) 0(ij S －－第i 个女青年对第j 个男青年的各项条件的综合满意度； ) 1(ij S －－第i 个男青年对第j 个女青年的各项条件的综合满意度； ij SS －－第i 个男青年与第j 个女青年的综合相互满意度； ij P －－第i 个男青年与第j 个女青年配对成功的概率； T P －－所给方案的使配对成功的总概率； () 20 20)1(?=ij SS A －－所有男青年对女青年的满意度矩阵； () 20 20) 0(?=ij SS B －－所有女青年对男青年的满意度矩阵； d －－男（女）方的要求条件等级距离最高等级A 的档数； h －－男（女）方的基本条件等级高出对方所要求条件等级的档数。 其中 ;20,,2,1 =i ;20,,2,1 =j 5,,2,1 =k 。 11.6.4 模型的准备 1. 条件的量化处理 对于每个人的外貌、性格、气质、事业和财富五项条件的5个等级A 、B 、C 、D 和E 分别作量化处理，根据层次分析中关于条件等级差的度量标准，对A 、B 、C 、D 、E 分别赋权为9、7、5、3、1。于是根据表11-3和表11-4可以得到男女青年的基本条件量化矩阵和要求条件量化矩阵（或称权值矩阵）分别为 () ()() () ?? ???====????5 20) 0() 0(5 20) 1() 1(5 20) 0()0(5 20)1()1(,,ik ik ik ik b B B B a A a A （11.6） ·179· 2. 条件过滤 由于问题是明确要求“男青年的年龄至多比女青年大5岁，而女青年的年龄至多比男青年大2岁”，以及“至少满足个人要求5项条件中的2项”。在20对男女青年中所有可能的配对中首先应将不满足这些基本条件的情况过滤掉。由（11.6）式用Matlab 编程进行过滤可以过滤掉58对组合。 3. 满意度的确定 (1) 对单项条件的满意度 要确定j G 对i B 的第)51,20,1(≤≤≤≤k j i k 项条件的满意度。首先要注意到两个事实： 其一，如果i B 的基本条件) 1(ik a 比j G 的要求条件)0(jk b 差的越多，则j G 对i B 的第k 项条件的满 意度)() 0(k S ji 就越小，反之亦然。也就是说，如果一方的实际条件比对方期望（要求）的条件 差距越大，则对方对另一方失望就越大，即满意度就越小。其二，如果i B 的基本条件)1(ik a 比j G 的要求条件)0(jk b 高，则j G 对i B 的第k 项条件的满意度)() 0(k S ji 就会增加，但增加不会太多。即 当一方的实际条件高于对方期望（要求）的条件时，则对方对另一方的好感（相对要求条件）增加不会太大。 根据上面的两个事实，先以女青年j G 对男青年i B 的第k 项条件的满意度)() 0(k S ji 为例。若i B 的实际条件比j G 的要求差，那么j G 对i B 该项指标的满意度将迅速减小，减小的速度一般会与j G 的要求条件相差的档数有关，二者会成一定的比例关系。当i B 的实际条件比j G 的要求条件差得很大（例如，三个档次以上）时，则认为j G 对i B “失去信心”，即满意度为0。若i B 的实际条件比j G 的要求条件还要好，那么 j G 对 i B 的这项条件的满意度会略有提升，但提升的不会太大。 根据实际情况，一般认为如果男青年i B 的条件达到女青年j G 的要求条件时，那么，j G 会以90%的可能接受i B ，此时即可以认为j G 对i B 的第k 项条件的满意度)() 0(k S ji =0.9。 下面首先给出j G 对i B 的第k 项条件的满意度)() 0(k S ji 的定义： ??? ? ??==? ?? ? ?????≥-<<- ,03,9.0,1.09.0)()1()0()0()1() 1()0()0()1() 0() 1() 0()1()0( k j i a b b a a b b a b a b a h d k S ik jk jk ik ik jk jk ik jk ik jk ik ji 且且 （11.7） ·180 · 如果j G 的第k 项条件的要求为C ，则根据i B 的第k 项条件的不同情况，j G 对i B 的第k 项条件的满意度)()0(k S ji 的取值如图11-1所示。 同理定义i B 对j G 的第k 项条件的满意度)() 1(k S ij 如下： ??? ? ??==??? ? ?????≥-<<- ,03 ,9.0,1.09.0)()0()()1()0() 0()1()1()0()1() 0() 1()0()1( k j i a b and b a a b and b a b a b a h d k S jk i ik ik jk jk ik ik jk ik jk ik jk ij （11.8） )()0( ik 图11-1：j G 的要求为C 时，j G 对i B 的满意度 （2） 综合满意度 一对男女青年相互之间的综合满意度主要取决于对对方的各项条件的满意度)() 1(k S ij 和 )5,,2,1;20,1()()0( =≤≤k j i k S ji ，由假设,可以定义男青年i B 对女青年j G 的综合满意度为 ??? ? ??===∑=5,,2,120,,2,1,)(5151 ) 1() 1( k j i k S S k ij ij （11.9） 由（11.6）、（11.8）、（11.9）式计算可得到结果。 同理，定义女青年j G 对男青年i B 的综合满意度为 ??? ? ??===∑=5,,2,120,,2,1,)(5151 ) 0() 0( k j i k S S k ji ji （11.10） 由（11.6）、（11.9）、（11.10）式可以计算出结果。 ·181· （3）相互满意度： 男青年i B 与女青年j G 的相互满意度定义为 ?????=配对的条件时不满足可能 与当，配对的条件时满足可能 与当 0 ,)0()1(j i j i ji ij ij G B G B S S SS 经过计算可得到相互之间的满意度。 11.6.5 模型的建立与求解 问题（1） 根据问题的要求，欲使得在尽量满足个人要求的条件下，使配对成功率尽可能的高。事实上，我们可以用20对男女青年的满意度指标)20,,2,1,(, =j i SS ij 之和来刻画总的配对成功的成功率T P ,于是我们将问题归结为所有20 对男女青年如何配对能使得 ∑∑==20 120 1 i j ij ij x SS 有最大值，即问题的模型为 ???? ? ????=======∑∑∑∑====)20,,2,1,(1,020 ,,2,1,120,,2,1,1..max 201 20 120 120 1 j i x i x j x t s x SS z ij j ij i ij i j ij ij 或 （11.11） 这是一个0-1规划问题，用匈牙利方法求解可得最优配对方案如表11-5。最优值（总满意度）为75132.16=z 。 表11-5：问题（1）的最优配对方案 问题（2） 要使20对男女青年同时配对，使得全部配对成功的可能性最大。记20对男女青年可同时配对成功的概率为∏= j i ij P P ,，即问题为求 ·182 · ∏= j i ij P P ,max 由于ij ij SS P ∝，则问题等价于求一个20对男女青年同时配对的方案使目标函数 ∏∏===n i n j ij ij x SS z 1 1 max 有最大值，其约束条件与（11.11）式相同。 令)(ij ij SS Log C =，考虑相应的目标函数 ∑∑===n i n j ij ij x C Z 11 max 约束条件不变，同理求解可得最优的配对方案如表11-6，其最优值为0197.0=z 。 表11-6：问题（2）的最优配对方案 管理信息系统规划的主 要方法 标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N] 管理信息系统规划的主要方法用于管理信息系统规划的方法很多，主要是关键成功因素法（Critical Success Factors，CSF）、战略目标集转化法（Strategy Set Transformation, SST）和企业系统规划法（Business System Planning, BSP）。其它还有企业信息分析与集成技术（BIAIT）、产出／方法分析（E/MA）、投资回收法（ROI）、征费法（chargout）、零线预算法、阶石法等。用得最多的是前面三种。 一、关键成功因素法（CSF) 1970年哈佛大学教授William Zani在MIS模型中用了关键成功变量，这些变量是确定MIS成败的因素。过了10年，MIT教授Jone Rockart 将CSF提高成为MIS的战略。作为一个例子，有人把这种方法用于数据库的分析与建立，它包含以下几个步骤： 1.了解企业目标。 2.识别关键成功因素。 3.识别性能的指标和标准。 4.识别测量性能的数据。 这四个步骤可以用一个图表示，见图3-2-1: 图3-2-1 关键成功因素法 关键成功因素法通过目标分解和识别、关键成功因素识别、性能指标识别，产生数据字典。关键成功因素就是要识别联系于系统目标的主要数据类及其关系，识别关键成功因素 所用的工具是树枝因果图。如图3-2-2，某企业有一个目标，是提高产品竞争力，可以用树枝图画出影响它的各种因素，以及影响这些因素的子因素。 树枝图 如何评价这些因素中哪些因素是关键成功因素，不同的企业是不同的。对于一个习惯于高层人员个人决策的企业，主要由高层人员个人在此图中选择。对于习惯于群体决策的企业，可以用德尔斐法或其它方法把不同人设想的关键因素综合起来。关键成功因素法在高层应用，一般效果好。 二、战略目标集转化法（SST） William King于1978年提出，他把整个战略目标看成“信息集合”，由使命、目标、战略和其它战略变量组成，MIS的战略规划过程是把组织的战略目标转变为MIS战略目标的过程。 第一步是识别组织的战略集，先考查一下该组织是否有成文的战略式长期计划，如果没有，就要去构造这种战略集合。可以采用以下步骤： ①描绘出组织各类人员结构，如卖主、经理、雇员、供应商、顾客、贷款人、政府代理人、地区社团及竞争者等。 ②识别每类人员的目标。 ③对于每类人员识别其使命及战略。 动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么 整数规划的数学模型及解的特点 整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。 松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。 若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。 一、整数线性规划数学模型的一般形式 ∑==n j j j x c Z 1 min)max(或 中部分或全部取整数n j n j i j ij x x x m j n i x b x a t s ,...,,...2,1,...,2,10 ),(.211 ==≥=≥≤∑= 整数线性规划问题可以分为以下几种类型 1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。有时，也称为全整数规划。 2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。 1 解整数规划问题 0—1型整数规划 0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的 ???? ? ????≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z 2设计动态规划算法的主要步骤为： （1）找出最优解的性质，并刻划其结构特征。（2）递归地定义最优值。（3）以自底向上的方式计算出最优值。（4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 3. 分治法与动态规划法的相同点是：将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。 两者的不同点是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。而用分治法求解的问题，经分解得到的子问题往往是互相独立的。 贪心选择算法与动态规划算法的异同点：同：都要求问题具有最优子结构性质；异：动态规划算法为自底向上的方式解各子问题，贪心算法为自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每做一次贪心选择问题就转换为规模更小的字问题。 6. 分治法所能解决的问题一般具有的几个特征是：（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质; （3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； （4）原问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 P：也即是多项式复杂程度的问题。 NP就是多项式复杂程度的非确定性问题。 NPC(NP Complete)问题 ADT 抽象数据类型 分析问题→设计算法→编写程序→上机运行和测试 算法特性1. 确定性、可实现性、输入、输出、有穷性 算法分析目的2. 分析算法占用计算机资源的 情况，对算法做出比较和评价，设计出额更好 的算法。 3. 算法的时间复杂性与问题的规模相关，是 问题大小n的函数。 算法的渐进时间复杂性的含义：当问题的规模 n趋向无穷大时，影响算法效率的重要因素是 T(n)的数量级，而其他因素仅是使时间复杂度 相差常数倍，因此可以用T(n)的数量级(阶) 评价算法。时间复杂度T(n)的数量级(阶)称为 渐进时间复杂性。 最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性有什么不同？ 最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性 考察的是n固定时，不同输入实例下的算法所 耗时间。最坏情况下的时间复杂性取的输入实 例中最大的时间复杂度： W(n) = max{ T(n，I) } , I∈Dn 平均时间复杂性是所有输入实例的处理时间 与各自概率的乘积和： A(n) =∑P(I)T(n，I) I∈Dn 为什么要分析最坏情况下的算法时间复杂 性？最坏情况下的时间复杂性决定算法的优 劣，并且最坏情况下的时间复杂性较平均时间 复杂性游可操作性。 1.贪心算法的基本思想？ 是一种依据最优化量度依次选择输入的分级处理方法。基本思路是：首先根据题意，选取一种量度标准；然后按这种量度标准对这n个输入排序，依次选择输入量加入部分解中。如果当前这个输入量的加入，不满足约束条件，则不把此输入加到这部分解中。 贪心选择算法与动态规划算法的异同点：同：都要求问题具有最优子结构性质；异：动态规划算法为自底向上的方式解各子问题，贪心算法为自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每做一次贪心选择问题就转换为规模更小的字问题。 整数规划模型 实际问题中 x x x x f z Max Min T n "),(),()(1==或的优化模型 m i x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件 多元函数决策变量个数n 和数 线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学 规 非线性规划解 的边界上取得划 整数规划 Programming +Integer 所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。 型整数规划 +整数线性规划 max(min) n z c x =1j j j n =∑1 s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m =≤=≥=∑"12 ,,,0 () n x x x ≥"且为整数 或部分为整数 +例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？ m 1?1 max j j j c y =∑ 1 0j j y =?被装载 s.t. m j j v y V ≤∑0 j ?没被装载1 j m =1 j j j w y W =≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m ==" (Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h 前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：https://www.360docs.net/doc/9b11008966.html, I）网址htt//li d LINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。 LINGO——解决线性规划LP—Linear Programming，非线性规划NLP—Nonlinear Programming，整数规划IP—Integer Programming g g整划g g g 问题。 1 整数规划的MATLAB 求解方法 （一） 用MATLAB 求解一般混合整数规划问题 由于MATLAB 优化工具箱中并未提供求解纯整数规划和混合整数规划的函数，因而需要自行根据需要和设定相关的算法来实现。现在有许多用户发布的工具箱可以解决该类问题。这里我们给出开罗大学的Sherif 和Tawfik 在MATLAB Central 上发布的一个用于求解一般混合整数规划的程序，在此命名为intprog ，在原程序的基础上做了简单的修改，将其选择分枝变量的算法由自然序改造成分枝变量选择原则中的一种，即：选择与整数值相差最大的非整数变量首先进行分枝。intprog 函数的调用格式如下： [x,fval,exitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInteger) 该函数解决的整数规划问题为： ????? ??????∈=≥≤≤=≤=） 取整数（M j x n i x ub x lb b x A b Ax t s x c f j i eq eq T ),,2,1(0..min Λ 在上述标准问题中，假设x 为n 维设计变量，且问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：c 、x 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为2m 维列向量，A 为n m ?1维矩阵，eq A 为n m ?2维矩阵。 在该函数中，输入参数有c,A,b,A eq ,b eq ,lb,ub,M 和TolXInteger 。其中c 为目标函数所对应设计变量的系数，A 为不等式约束条件方程组构成的系数矩阵，b 为不等式约束条件方程组右边的值构成的向量。Aeq 为等式约束方程组构成的系数矩阵，b eq 为等式约束条件方程组右边的值构成的向量。lb 和ub 为设计变量对应的上界和下界。M 为具有整数约束条件限制的设计变量的序号，例如问题中设计变量为621,,,x x x Λ，要求32,x x 和6x 为整数，则M=[2;3;6]；若要求全为整数，则M=1:6，或者M=[1;2;3;4;5;6]。TolXInteger 为判定整数的误差限，即若某数x 和最邻近整数相差小于该误差限，则认为x 即为该整数。 实验四 混合整数规划 一、问题重述 某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。 请帮该公司解决以下问题： (1) 就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？ (2) 在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A 1，A 3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A 4，A 5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A 2，A 6，A 7，A 8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？ 其中M 为你的学号后3位乘以10。 (3) 如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目 总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。 二、符号说明 i A :：投资额； i b ：i A 个项目所获得的年利润； i C ：第i A 个项目投资所获得的利润； 'i C ：第i A 个项目同时投资所获得的利润； i m ：投资i A 的上限； i y ：表示0—1变量； i p ：投资第i A 个项目的投资风险； 三、模型的建立 对于问题一 目标函数：8 1max i i i c x ==∑ s.t. 150000i i i i i i b x b x m ?≤? ??≤?∑ 对于问题二 设定0—1变量 131130...,1...,A A y A A ?? ?项目不同时投资项目同时投资 452450...,1...,A A y A A ???项目不同时投资 项目同时投资 2678326780...,,1...,,A A A A y A A A A ?? ?,项目不同时投资 ,项目同时投资 目标函数：'''' 11133111332445524455' '''322 66 77 88 322667788max ()(1)()()(1)()()(1)() y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c x c x c y x c x c x c x c =++-++++-++ ++++-+++ s.t. 1 13 131 24545 23267826783 1500001000i i i i i i b x k y x x x x y k y x x x x y k y x x x x x x x x y k b x m ?≤?? =??≤??≥?? ≤???≥? ?≤? ?≥?? ≤?∑ 对于问题三： 目标函数： max min max() i i i i i i c x b x p =∑ s.t. 150000i i i i i i b x b x m ?≤? ??≤?∑ 对于问题三模型的简化 固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险。 max i i i c x =∑ 第五章整数规划 一、填空题 1．用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的（）。 2．在分枝定界法中，若选Xr=4／3进行分支，则构造的约束条件应为（）。 3．已知整数规划问题P0，其相应的松驰问题记为P0’，若问题P0’无可行解，则问题P。（）。 4．在0 - 1整数规划中变量的取值可能是（）或（）。 5．对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其解中取值为1的变量数为（）个。 6．分枝定界法和割平面法的基础都是用（）求解整数规划。 7．若在对某整数规划问题的松驰问题进行求解时，得到最优单纯形表中，由X。所在行得X1+1／7x3+2／7x5=13／7，则以X1行为源行的割平面方程为（）。 8．在用割平面法求解整数规划问题时，要求全部变量必须都为（）。 9．用（）求解整数规划问题时，若某个约束条件中有不为整数的系数，则需在该约束两端扩大适当倍数，将全部系数化为整数。 10．求解纯整数规划的方法是割平面法。求解混合整数规划的方法是（）。 11．求解0—1整数规划的方法是隐枚举法。求解分配问题的专门方法是（）。 12．在应用匈牙利法求解分配问题时，最终求得的分配元应是（）。 13.分枝定界法一般每次分枝数量为（）个. 二、单选题 1．整数规划问题中，变量的取值可能是（）。 A．整数B．0或1C．大于零的非整数D．以上三种都可能 2．在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是A（）。 A．纯整数规划B．混合整数规划C．0—1规划D．线性规划 3．下列方法中用于求解分配问题的是（）。 A．单纯形表B．分枝定界法C．表上作业法D．匈牙利法 三、多项选择 动态规划 一·动态规划法的发展及其研究内容 动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解 创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。 二·动态规划法基本概念 一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素： 1．阶段 阶段（stage）是对整个过程的自然划分。通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。阶段变量一般用k=….n.表示。 1.状态 状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。 n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。 根据演变过程的具体情况，状态变量可以是离散的或是连续的。为了计算方便有时将连续变量离散化，为了分析的方便有时又将离散的变量视为连续的。 2．决策 当一个阶段的状态确定后，可以做出各种选择从而演变 到下一阶段的某个状态，这种选择手段称为决策 （decision），在最优控制问题中也称为控制（control）描述决策的变量称为决策变量（decision virable）。 变量允许取值的范围称为允许决策集合（set of 第11章 动态规划 一个随事件或阶段推移的系统叫做动态系统，动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。一个系统依据某种方式分为许多个不同的阶段，这些阶段不仅有着次序推移性，而且相互间有着依赖和影响。这样，在多阶段决策过程中，每个阶段决策的选择，不仅要依据次序来考查某阶段的效果，而且要顾及此决策对以后各阶段决策的影响。一般情况下，为得到整个系统的最优选择，必须放弃对某个阶段来说最佳的决策。对各个阶段所做的决策形成确定整个系统的决策序列，称这样的决策序列为系统的一个策略。对应某一确定的策略，整个系统依据某种数量指标衡量其决策的优劣。多阶段决策过程就是在所有允许策略集合中。确定一个达到最有指标的最优策略。这种衡量系统的指标一般取最大值或最小值的策略。因此，多阶段决策过程也是一个可以构成多个变量的最优化问题。动态规划就是解决此类多阶段决策过程的最优化方法。虽然动态规划主要解决多阶段决策的动态系统，但是可分阶段的静态系统问题也能作为特例用它有效地求解。 §11.1 动态规划的基本原理 本章通过构造数学模型，形成具有特殊的动态系统过程，将基于某种方式把整个过程分成若干个互相联系的阶段，在其每个阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最佳效果。同时，各个阶段决策的选择依赖于该阶段的状态以及前阶段或后阶段的变化。各个阶段决策确定后，组成一个决策序列，从而形成了整个过程具有前后关联的链状结构的多阶段决策过程，称为序贯决策过程。 先用下面的最短路问题（问题可分成阶段性）来说明动态规划的基本思想。 例 1，最短路问题。图11—1所示是一个路线网络图，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用），要求寻找一条由A 到E 的路线，使距离最短（或费用最省）。 对于这样的一个比较简单的问题，可直接使用枚举法例举所有从A 到E 得路线，确定 出所应走的路线是距离最短或费用最少，用 动态规划的思想，如果已找到由A 到E 得最 短路线是A —B 1—C2—D 2—E （记作L ），那 么当寻求L 中的任何一点（如C 2）到E 得最 短路时，它必然是L 子路线 C 2—D 2—E(记 作L 1)。否则，如D 2到E 的最短路是另一条 路线L 2，则把A —B 1—C 2与L2连接起来， 就会得到一条不同于L 的从A 到E 得最短 路，根据最短路的这一特性，可以从最后一 段开始，用逐步向前递推的方法，一次求出路段上各点到E 的最短路，最后得到A 到E 得最短路。上述这种由系统的最后阶段逐段向初始阶段求最优的过程称为动态规划的解法。该过程揭示了动态规划的基础思想，为便于对动态规划的思想和方法进行数学描述，下面先引入动态规划的基本概念并建立最优目标函数。 （1）分阶段：适当地依据具体情况将系统分成若干个相互联系的阶段，并将各个段按顺序或逆序加以编号（常用K ），描述阶段的变量称为阶段变量。如例1可分为5个阶段，k=1，2，3，4，5. （2）状态：状态表示系统在某一阶段所处的位置。描述过程状态的变量称为状态变量，第k 阶段的状态变量常用s k 表示，状态变量的集合用S k 表示。如在例1中，第一阶段有一个状态就是初始位置A ，第三阶段有3个状态，即集合S3=}{1,2,3C C C . (3)决策：当系统处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。如在例1第二阶段中，从状态B2出发，其允许决 动态规划理论 一．动态规划的逆向思维法 动态规划是一种思维方法，没有统一的、具体的模式。动态规划可以从多方面去考察，不同的方面对动 态规划有不同的表述。我们不打算强加一种统一的表述，而是从多个角度对动态规划的思维方法进行讨 论，希望大家在思维具体问题时，也能够从多个角度展开，这样收获会更大。 逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始状态或边界状态的思维方法。如果原问题可以分解成 几个本质相同、规模较小的问题，很自然就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。 你也许会想，这种将大问题分解成小问题的思维不就是分治法吗?动态规划是不是分而治之呢?其实， 虽然我们在运用动态规划的逆向思维法和分治法分析问题时，都使用了这种将问题实例归纳为更小的、 相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优值的思路，但动态规划不是分治法：关键在于分解 出来的各个子问题的性质不同。 分治法要求各个子问题是独立的(即不包含公共的子问题)，因此一旦递归地求出各个子问题的解后， 便可自下而上地将子问题的解合并成原问题的解。如果各子问题是不独立的，那么分治法就要做许多不 必要的工作，重复地解公共的子问题。 动态规划与分治法的不同之处在于动态规划允许这些子问题不独立(即各子问题可包含公共的子问题) ，它对每个子问题只解一次，并将结果保存起来，避免每次碰到时都要重复计算。这就是动态规划高效 的一个原因。 动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以下三个步骤： (1)分析最优值的结构，刻画其结构特征； (2)递归地定义最优值；0 (3)按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优值。 【例题1】背包问题描述： 有一个负重能力为m的背包和n种物品，第i种物品的价值为v，重量为w。在不超过背包负重能力的前 提下选择若干个物品装入背包，使这些的物品的价值之和最大。每种物品可以不选，也可以选择多个。 假设每种物品都有足够的数量。 分析： 从算法的角度看，解决背包问题一种最简单的方法是枚举所有可能的物品的组合方案并计算这个组合 方案的价值之和，从中找出价值之和最大的方案。显然，这种靠穷举所有可能方案的方法不是一种有效 的算法。 但是这个问题可以使用动态规划加以解决。下面我们用动态规划的逆向思维法来分析这个问题。 (1)背包问题最优值的结构 动态规划的逆向思维法的第一步是刻画一个最优值的结构，如果我们能分析出一个问题的最优值包含 其子问题的最优值，问题的这种性质称为最优子结构。一个问题的最优子结构性质是该问题可以使用动 态规划的显著特征。 对一个负重能力为m的背包，如果我们选择装入一个第 i 种物品，那么原背包问题就转化为负重能力 为 m-w 的子背包问题。原背包问题的最优值包含这个子背包问题的最优值。若我们用背包的负重能力来 划分状态，令状态变量s[k]表示负重能力为k的背包，那么s[m]的值只取决于s[k](k≤m)的值。因此背包 动态规划方法的matlab实现及其应用 （龙京鹏，张华庆，罗明良，刘水林） (南昌航空大学，数学与信息科学学院，江西，南昌) 摘要：本文运用matlab语言实现了动态规划的逆序算法，根据状态变量的维数，编写了指标函数最小值的逆序算法递归计算程序。两个实例的应用检验了该程序的有效性，同时也表明了该算法程序对众多类典型的动态规划应用问题尤其是确定离散型的应用问题的通用性，提供了求解各种动态规划问题的有效工具。关键词：动态规划基本方程的逆序算法 MATLAB实现 MATLAB Achieve For Dynamic Programming and Its Application (JingpengLong，HuaqingZhang，MingliangLuo，ShuilinLiu) （School of Mathematics and Information Science,Nanchang Hangkong University,Nanchang,China） Abstract:This article achieves the reverse algorithm of dynamic programming by using the matlab language，and prepares the recursive calculation program of reverse algorithm which thetargetfunctionvalueisthesmallest.Theapplicationoftwoexamplesshowthattheprogram is effective，and this algorithm program is general to many typical application of dynamic programming,especially the application of deterministic discrete.This algorithm program provides a effective tool to the solution of a variety of dynamic programming problems. Key words:dynamic programming；reverse algorithm；Matlab achievement 动态规划是一类解决多阶段决策问题的数学方法, 在工程技术、科学管理、工农业生产及军事等领域都有广泛的应用。在理论上,动态规划是求解这类问题全局最优解的一种有效方法,特别是对于实际中某些非线性规划问题可能是最优解的唯一方法。然而,动态规划仅仅决多阶段决策问题的一种方法,或者说是考查问题的一种途径,而不是一种具体的算法。就目前而言,动态规划没有统一的标准模型,其解法也没有标准算法,在实际应用中,需要具体问题具体分析。动态规划模型的求解问题是影响动态规划理论和方法应用的关键所在,而子问题的求解和大量结果的存储、调用更是一个难点所在。然而, 随着计算机技术的快速发展,特别是内存容量和计算速度的增加,使求解较小规模的动态规划问题成为可能,从而使得动态规划的理论和方法在实际中的应用范围迅速增加。 目前,在计算机上实现动态规划的一般求解方法并不多见,尤其是用来解决较复杂的具体问题的成果甚少。本文从实际出发,利用数学工具软件matlab 的强大功能, 对动态规划模型的求解方法做了尝试,编写出了动态规划逆序算法的matlab程序，并结合“生产与存储问题”[1] 和“背包问题”[1]进行了应用与检验,实际证明结果是令人满意的。 1 动态规划的基本模型 实际中,要构造一个标准的动态规划模型,通常需要采用以下几个步骤: ①划分阶段按照问题的时间或空间特征,把问题分为若干个阶段。这些阶段必须是有序的或者是可排序的(即无 后向性) ,否则,应用无效。 ②选择状态将问题发展到各个阶段时所处的各种客观情况用不同的状态表示,即称为状态。状态的选择要满足无后效性和可知性,即状态不仅依赖于状态的转移规律,还依赖于允许决策集合和指标函数结构。 ③确定决策变量与状态转移方程当过程处于某一阶段的某个状态时,可以做出不同的决策,描述决策的变量称为决策变量。在决策过程中,由一个状态到另一个状态的演变过程称为状态转移。状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。 ④写出动态规划的基本方程动态规划的基本方程一般根据实际问题可分为两种形式,逆序形式和顺序形式。这里只考虑逆序形式。动态规划基本方程的逆序形式为 f s k k( ) = opt gv s x{ ( k k k( , )+f s k+1( k+1))} x D s k∈ k k( ) k nn= , ?1, ,1 边界条件 f s n+1( n+1) = 0或f s v s x n n() = n n n( , ) 其中第k 阶段的状态为s k,其决策变量x k表示状s k的决策,状态转移方程为s k+1 =T s x k k k( , ), 态处于k 阶段的允许决策集合记为D s k k( ) , v s x k k k( , ) 为指标函数。 一、概述 1.BSP的概念 实行BSP研究的前提是，在企业内有改善计算机信息系统的要求，并且有为建设这一系统而建立总的战略的需要。因而，BSP的基本概念与组织内的信息系统的长期目标有关。 （1）一个信息系统必须支持企业的战略目标 （2）一个信息系统的战略应当表达出企业的各个管理层次的需求 （3）一个信息系统应该向整个企业提供一致的信息 （4）一个信息系统应该适应组织机构和管理体制的改变 （5）一个信息系统的战略规划，应当由总体信息系统结构中的子系统开始实现 2.BSP的目标 BSP的主要目标是提供一个信息系统规划，用以支持企业短期的和长期的信息需要。其具体目标可归纳如下: （1）为管理者提供一种形式化的、客观的方法，明确建立信息系统的优先顺序，而不考虑部门的狭隘利益，并避免主观性。 （2）为具有较长生命周期系统的建设，保护系统的投资做准备。由于系统是基于业务活动过程的，所以不因机构变化而失效。 （3）为了以最高效率支持企业目标，BSP提供数据处理和资源的管理。 （4）增加负责人的信心，坚信收效高的主要的信息系统能够实施。 （5）提供响应用户需求优先的系统，以改善信息系统管理部门和用户之间的关系。 将数据作为一种企业资源加以确定。为使每个用户更有效地使用这些数据，要对这些数据进行统一规划、管理和控制。 二、概述BSP方法的研究步骤 1.研究项目的确立（步骤1） BSP 的经验说明，除非得到了最高领导者和某些最高管理部门参与研究的承诺，不要贸然开始BSP的研究，因为研究必须反映最高领导者关于企业的观点，研究的成果取决于管理部门能否向研究组提供企业的现状，它们对于企业的理解和对信息的需求。因此，在一开始 第六章动态规划算法 §1.动态规划算法的基本思想 动态规划方法是处理分段过程最优化问题的一类及其有效的方法。在实际生活中，有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程是如何达到这种状态的方式无关。这类问题的解决是多阶段的决策过程。在50年代，贝尔曼（Richard Bellman）等人提出了解决这类问题的“最优化原则”，从而创建了最优化问题的一种新的算法动态规划算法。 最优化原则指出，多阶段过程的最优决策序列应当具有性质： 无论过程的初始状态和初始决策是什么，其余的决策都必须相对于初始决策所产生的状态构成一个最优决策序列。这要求原问题的最优解包含了其子问题的一个最优解（称为最优子结构性质）。 动态规划算法采用最优原则来建立递归关系式（关于求最优值的），在求解问题时有必要验证该递归关系式是否保持最优原则。若不保持，则不可用动态规划算法。在得到最优值的递归式之后，需要执行回溯以构造最优解。在使用动态规划算法自顶向下（Top-Down）求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个问题只计算一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次要解此子问题时，只是简单地调用（用常数时间）一下已有的结果。通常，不同的子问题个数随着输入问题的规模呈多项式增长，因此，动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。 例1．多段图问题 设G=(V,E)是一个赋权有向图，其顶点集V被划分成k>2个不相交的子集Vi: ，其中，V1和Vk分别只有一个顶点s(称为源)和一个顶点t(称为汇)，下图 中所有的边(u,v)的始点和终点都在相邻的两个子集Vi和Vi＋1中：， ＋1。 管理信息系统规划的主要方法 用于管理信息系统规划的方法很多，主要是关键成功因素法（Critical Success Factors，CSF）、战略目标集转化法（Strategy Set Transformation, SST）和企业系统规划法（Business System Planning, BSP）。其它还有企业信息分析与集成技术（BIAIT）、产出／方法分析（E/MA）、投资回收法（ROI）、征费法（chargout）、零线预算法、阶石法等。用得最多的是前面三种。 一、关键成功因素法（CSF) 1970年哈佛大学教授William Zani在MIS模型中用了关键成功变量，这些变量是确定MIS成败的因素。过了10年，MIT教授Jone Rockart 将CSF提高成为MIS的战略。作为一个例子，有人把这种方法用于数据库的分析与建立，它包含以下几个步骤： 1.了解企业目标。 2.识别关键成功因素。 3.识别性能的指标和标准。 4.识别测量性能的数据。 这四个步骤可以用一个图表示，见图3-2-1: 图3-2-1 关键成功因素法 关键成功因素法通过目标分解和识别、关键成功因素识别、性能指标识别，产生数据字典。关键成功因素就是要识别联系于系统目标的主要数据类及其关系，识别关键成功因素所用的工具是树枝因果图。如图3-2-2，某企业有一个目标，是提高产品竞争力，可以用树枝图画出影响它的各种因素，以及影响这些因素的子因素。 树枝图 如何评价这些因素中哪些因素是关键成功因素，不同的企业是不同的。对于一个习惯于高层人员个人决策的企业，主要由高层人员个人在此图中选择。对于习惯于群体决策的企业，可以用德尔斐法或其它方法把不同人设想的关键因素综合起来。关键成功因素法在高层应用，一般效果好。 二、战略目标集转化法（SST） William King于1978年提出，他把整个战略目标看成“信 动态规划方法的matlab实现及其应用（龙京鹏，张华庆，罗明良，刘水林） (南昌航空大学，数学与信息科学学院，江西，南昌) 摘要：本文运用matlab语言实现了动态规划的逆序算法，根据状态变量的维数，编写了指标函数最小值的逆序算法递归计算程序。两个实例的应用检验了该程序的有效性，同时也表明了该算法程序对众多类典型的动态规划应用问题尤其是确定离散型的应用问题的通用性，提供了求解各种动态规划问题的有效工具。关键词：动态规划基本方程的逆序算法 MATLAB实现 MATLAB Achieve For Dynamic Programming and Its Application (JingpengLong，HuaqingZhang，MingliangLuo，ShuilinLiu) （School of Mathematics and Information Science,Nanchang Hangkong University,Nanchang,China） Abstract:This article achieves the reverse algorithm of dynamic programming by using the matlab language，and prepares the recursive calculation program of reverse algorithm which thetargetfunctionvalueisthesmallest.Theapplicationoftwoexamplesshowthattheprogram is effective，and this algorithm program is general to many typical application of dynamic programming,especially the application of deterministic discrete.This algorithm program provides a effective tool to the solution of a variety of dynamic programming problems. Key words:dynamic programming；reverse algorithm；Matlab achievement 动态规划是一类解决多阶段决策问题的数学方法, 在工程技术、科学管理、工农业生产及军事等领域都有广泛的应用。在理论上,动态规划是求解这类问题全局最优解的一种有效方法,特别是对于实际中某些非线性规划问题可能是最优解的唯一方法。然而,动态规划仅仅决多阶段决策问题的一种方法,或者说是考查问题的一种途径,而不是一种具体的算法。就目前而言,动态规划没有统一的标准模型,其解法也没有标准算法,在实际应用中,需要具体问题具体分析。动态规划模型的求解问题是影响动态规划理论和方法应用的关键所在,而子问题的求解和大量结果的存储、调用更是一个难点所在。然而, 随着计算机技术的快速发展,特别是内存容量和计算速度的增加,使求解较小规模的动态规划问题成为可能,从而使得动态规划的理论和方法在实际中的应用范围迅速增加。 目前,在计算机上实现动态规划的一般求解方法并不多见,尤其是用来解决较复杂的具体问题的成果甚少。本文从实际出发,利用数学工具软件matlab 的强大功能, 对动态规划模型的求解方法做了尝试,编写出了动态规划逆序算法的matlab程序，并结合“生产与存储问题”[1] 和“背包问题”[1]进行了应用与检验,实际证明结果是令人满意的。 1 动态规划的基本模型 实际中,要构造一个标准的动态规划模型,通常需要采用以下几个步骤: ①划分阶段按照问题的时间或空间特征,把问题分为若干个阶段。这些阶段必须是有序的或者是可排序的(即无 后向性) ,否则,应用无效。 ②选择状态将问题发展到各个阶段时所处的各种客观情况用不同的状态表示,即称为状态。状态的选择要满足无后效性和可知性,即状态不仅依赖于状态的转移规律,还依赖于允许决策集合和指标函数结构。 ③确定决策变量与状态转移方程当过程处于某一阶段的某个状态时,可以做出不同的决策,描述决策的变量称为决策变量。在决策过程中,由一个状态到另一个状态的演变过程称为状态转移。状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。 ④写出动态规划的基本方程动态规划的基本方程一般根据实际问题可分为两种形式,逆序形式和顺序形式。这里只考虑逆序形式。动态规划基本方程的逆序形式为 f s k k( ) = opt gv s x{ ( k k k( , )+f s k+1( k+1))} x D s k∈ k k( ) k nn= , ?1, ,1 边界条件 f s n+1( n+1) = 0或f s v s x n n() = n n n( , )管理信息系统规划的主要方法
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