华师大二附中 高二 上 第一学期 数学 行列式 预习教案
二阶行列式
设二元一次方程组（A ）??
?=+=+)
2()1(2
221
11c y b x a c y b x a
其中y x 、是未知数，2121b b a a 、、、
是未知数的系数且不全为零，21c c 、是常数项。 12)2()1(b b ?-?，得 12211221)(b c b c x b a b a -=-； 21)1()2(a a ?-?，得 12211221c a c a y b a b a -=-）（。
当01221≠-b a b a 时，方程组有唯一解??
???==----12211
2211
2211221b a b a c a c a b a b a b c b c y x 。 令12212211b a b a b a b a -=。
2
211b a b a 叫做二阶行列式，1221b a b a -叫做行列式2
2
11b a b a 的展开式，1221b a b a -的计算结果叫做二阶行列式的值，2121b b a a 、、、
叫做行列式2
211b a b a 的元素。
记2
2
112
2
112
2
11c a c a D b c b c D b a b a D y x =
=
=
，，。
当0≠D 时，方程组（A ）的解是 D
D D
D y
x
y x =
=，。
1.展开并化简下列行列式：
（1）4321； （2）21202221；
（3）ααααsin cos cos sin -； （4）b a b a
b a ++2。
2.解下列二元一次方程组：
（1）???=+=-2
431134y x y x ；
∵ 254334=-=D ，5042311=-=x D ，252311
4-==y D ，
∴ 12-==
==
D
D D
D y
x y x ，。
（2）???=+-=+1
34425y x y x 。
∵ 73425==D ，143124-=-=x D ，21144
5=-=y D ，
∴ 32==
-==
D
D D
D y
x y x ，。
研究题：
1.由4321、、、
四个元素可以组成多少个二阶行列式？这些二阶行列式有多少不同的值？值相
同的二阶行列式的元素分布有什么特点？值互为相反数的二阶行列式的元素分布有什么特 点？
可以组成24个二阶行列式，这些二阶行列式有6个不同的值。 21
23
4423113244321-====， 交换对角线上的元素的位置，行列式的值不变。 交换行或者列，行列式的值变为原先的相反数。
2.计算：4321，4342，4622，8
64
2，你有何想法？有何猜测？
d c b a h d c b h a h =，d c b a k d c k b a k =，d c b
a k
h d c k b h a k h =。
二元一次方程组研究
回顾：
对于二元一次方程组（A ）??
?=+=+)
2()1(2221
11c y b x a c y b x a
当0≠D 时，方程组有唯一解：D
D D
D y x y x ==
，。
当0=D 时，研究二元一次方程组（A ）的解。
???=-=-164132y x y x （1）和??
?=-=-2
641
32y x y x （2）的系数行列式均为0， 方程组（1）无解，方程组（2）有无数组解。 当0=D 时，若0≠x D ，或0≠y D ，
则不妨设0≠x D ，但x D x D =，方程组（A ）无解。 若0==y x D D ，则不妨设01≠a ，
由00==y D D ，
，得=2b 1
1
2a b a ，=
2c 112a c a 。
第二个方程可以表示为+
x a 21
121
12a c a a b a y =
，即 12112)(c a y b x a a =+。
∵ 方程111c y b x a =+解都是方程222c y b x a =+的解，且方程111c y b x a =+有无数组解，
∴ 方程组（A ）有无数组解。
1.判断下列二元一次方程组解的情况：
（1）???=+=+1
54132y x y x ；
∵ 02543
2≠-==D ， ∴ 方程组有唯一解。
（2）???=+=+9
64432y x y x ；
∵ 3693
406432-≠===
x D D ，， ∴ 方程组无解。 （3）???=-=-2
64132y x y x 。
∵ 02
41
20623106432===--==--=y x D D D ，，， ∴ 方程组有无数组
解。
2.解关于y x 、的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论：?
?
?=++=+m y m x m y x m 21
。 ∵ 1112
-==m m m D ，)
1(211-=+=m m m
m m D x ，)12()1(211+-=+=m m m m m D y ，
∴ 当1±≠m 时，方程组有唯一解1
1
21
+++=
=m m m m
y x ，；当1-=m 时，方程组无解；
当1=m 时，方程组有无数组解 R t t y t x ∈-==，，2。
三阶行列式
3332221
11c b a c b a c b a 叫做三阶行列式， 3
3
3
2221
11c b a c b a c b a 123312231213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++=。 123312231213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++叫做三阶行列式的展开式， )321(，，，，=i c b a i i i 叫做三阶行列式的元素。
1.用对角线法则计算行列式：
（1）1
322133
21；
1
322133
216668271---++=18=； （2）9
876543
2
1
----。
9
87
65
43
21----1057248849645---++=0=。 2.已知在直角坐标系中，点C B A 、、的坐标分别是C B A y x y x y x 、、，、，、，()()()(332211按逆时针方向排列)，求ABC ?的面积公式。 设BAD CAD ∠∠、分别为βα、。
=
S 2
1)(sin ||||βα-?AB AC 2
1=
)sin cos cos sin (||||βαβα-?AB AC
21
=)sin ||cos ||cos ||sin ||(βαβαAB AC AB AC ?-? 21=])()()()([13121213x x y y x x y y ----- 2
1=
)(231231133221y x y x y x y x y x y x ---++。
S 2
1=
1
1133
2211y x y x y x 。 另解：分别作'''CC BB AA 、、垂直于x 轴，垂足分别是'''C B A 、、。 B B AA B B CC C C AA S S S S ''''''梯形梯形梯形-+=
21=)()(1331x x y y -?+2
1+
)()(3232x x y y -?+2
1-
)()(1221x x y y -?+
2
1=
)(231231133221y x y x y x y x y x y x ---++。
S 2
1=
1
1133
2211y x y x y x 。
在直角坐标系中，点C B A 、、
的坐标分别是)()()(332211y x y x y x ，、，、，。 C B A 、、三点共线的充要条件是01
1133
22
11
=y x y x y x 。 1233122312131323213
3
3
2221
11c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++= )
()()(122133113223321c b c b a c b c b a c b c b a -+-+-=2
2
1133311233221
c b c b
a c
b
c b a c b c b a +-=。
把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按原来的位置关系
组成的二阶行列式叫做该元素的余子式，把余子式添上相应的符号叫做该元素的代数余子式。
代数余子式的符号：+-+-+-+
-+。记33
32
312322
21131211a a a a a a a a a A =。 3332
2322
11a a a a A =
，3331232112a a a a A -=，32
3122
2113a a a a A =。 13131212111133
32
31
2322
2113
1211A a A a A a a a a a a a a a a A ++==。
3.按下列要求计算行列式9
876543
2
1
----=D ：
（1）按第一行展开；
9876543
21----=D 8
75
439764)2(9865--?
+--?----=09123=-+-=。 （2）按第二列展开。
9
876
54321----=D 6
43
1)8(9
73159
7
64)2(--?
--?
+--?
--=0486012=+-=。
研究题.利用二阶行列式的性质研究三阶行列式的性质。 332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，33
32
3123222113
1211333231131211232221a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=，
3332
31232221
1312113332
31232221131211a a a a a a a a a k a a a a a a a k a k a k =，03332
3123222123
2221=a a a a a a a k a k a k ， 33
32
31
232221131312121111'''a a a a a a a a a a a a +++33
32
31
232221
13121133
32
31
232221131211'''a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=， 33
32
31
23222123
1322
12211133
32
31
2322
21131211a a a a a a a k a a k a a k a a a a a a a a a a +++=。
三元一次方程组的行列式解法
设三元一次方程组（B ）???
??=++=++=++3333
22221111d
z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a
其中z y x 、、是未知数，321321321c c c b b b a a a 、、、、、、、、
是未知数的系数且不全为零，321d d d 、、
是常数项。 记3
3
3
222
1
11c b a c b a c b a D =。用D 的元素321a a a 、、
的代数余子式321A A A 、、依次乘以方程组（B ）的各方程，得
11111111A d z A c y A b x A a =++， 22222222A d z A c y A b x A a =++， 33333333A d z A c y A b x A a =++。
3
3
3
222
1113
3
3
222111333222111333222111c b d c b d c b d z c b c c b c c b c y c b b c b b c b b x c b a c b a c b a =++，即
3
33222
1113
3
3
222111c b d c b d c b d x c b a c b a c b a =。 同理可得，333222
1113
33
222
111
c d a c d a c d a y c b a c b a c b a =，3
3
3
222
111333222111d b a d b a d b a z c b a c b a c b a =。 记3
3
3
222
1
113
3
3
222
1113
3
3
222
111
d b a d b a d b a D c d a c d a c d a D c b d c b d c b d D z y x ===，，。 当0≠D 时，D
D D
D D
D z
y
x z y x =
=
=，，。
1.解三元一次方程组：??
?
??=++=++=++133213231032z y x z y x z y x 。
解
：
，
，541
31321133210181
32213321====x D D 1813
3213131021361
132********====z y D D ，，
∴ 123==
====
D
D D
D D
D z
y
x
z y x ，，。
2.研究下列方程组的解：
（1）??
?
??=++=++=++333322221z y x z y x z y x ；
0====z y x D D D D ，方程组有无数组解。
背景：三个平面重合。
（2）??
?
??=++=++=++022221z y x z y x z y x ；
0====z y x D D D D ，方程组无解。
背景：一个平面与两个重合平面平行。
（3）??
?
??=-+=++=++122221z y x z y x z y x ；
0====z y x D D D D ，方程组有无数组解。
背景：一个平面与两个重合平面相交。
（4）??
?
??=++=++=++210z y x z y x z y x ；
0====z y x D D D D ，方程组无解。
背景：三个平面平行。
（5）??
?
??=-+=++=++010z y x z y x z y x ；
20==x D D ，，方程组无解。
背景：一个平面与两个平行平面相交。
（6）??
?
??=+=-+=++111y x z y x z y x 。
0====z y x D D D D ，方程组有无数组解。
背景：三个平面相交于一条直线。
3.解关于y x 、的方程组??
?
??=+-=++=++31z y x m z y m x z m y x 。
)1()1(11111
11-+-=-=m m m
m
D ，)1()1(41
13
111-+-=-=m m m
m
m
D x ，
)1()3(1
3
11111---==m m m
m D y ，)1(43
111
1
11-=-=m m m
D z 。
)1()1(-+-=m m D ，)1()1(4-+-=m m D x ， )1()3(---=m m D y ，)1(4-=m D z 。
当1±≠m 时，方程组的解是???
????-===++-1413
4m m m z y x 。
当1=m 时，?????=+-=++=++311z y x z y x z y x ，方程组的解是??
?
??∈-=-==R t t z y t x ，，，21。
当1-=m 时，??
?
??=+-=+-=-+311z y x z y x z y x ，方程组无解。
定义
141413131212111144
43
42
413433323124
23222114
131211
A a A a A a A a a a a a a a a a a a a a a a a a +++=， 其中j i A 是元素j i a 的代数余子式（4321，，，、=j i ）
。代数余子式的符号：+
-+--+-++-+--+-+。
4.计算：
1615141312111098
7
6
54321。
解：
016
15141312
11109
8
7
6
54321=。
学生编题研讨
周成浩.求)83()45()34()21(，、，、，、，
-组成的四边形的面积。
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+， 2 π βα=-，则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2．定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4． 若行列式21 24 1 013 9x x =-，则=x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ，则 x y -=_______． 7．矩阵1141?? ???? 的特征值为 ． 8．已知变换100M b ?? =? ??? ，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618 法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知 ， ，则y= ． 11．若2211 x x x y y y =--，则______x y +=
2018-2019学年上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题(解析版)
上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题 一、单选题 1．关于x 、y 的二次一次方程组50 234 x y x y +=??+=?，其中行列式x D 为（ ） A. 0543 - B. 1024 C. 0543 D. 05 43 - 【答案】C 【解析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解． 【详解】 解：关于x 、y 的二元一次方程组50 234 x y x y +=?? +=?的系数行列式： 453 0x D = ． 故选：C ． 【点睛】 本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用． 2．使复数z 为实数的充分而不必要条件的是（ ） A.2z 为实数 B.z z +为实数 C.z z = D.z z = 【答案】D 【解析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个项加以判别，发现A 、B 都没有充分性，而C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项． 【详解】 解：设复数z a bi =+（i 是虚数单位），则 复数z 为实数的充分必要条件为0b = 由此可看出： 对于A ，2z 为实数，可能z i =是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于B ，同样若z 是纯虚数，则0z z +=为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于C ，若,,z a bi z a bi z z =+=-=等价0b =，故是充分必要条件，故不符合题 意；
对于D ，若0z z =≥，说明z 是实数，反之若z 是负实数，则z z =不成立，符合题意． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握复数有关概念，是解决本题的关键． 3．下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（ ） A.动点M 到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3 B.动点M 到直线()1,0和()1,0-的距离和为2 C.动点M 到直线()0,2和()0,2-的距离差为4 D.动点M 到点()2,3和到210x y --=的距离相等4 【答案】A 【解析】利用平行线之间的距离，判断选项A 的正误；利用两点间距离个数判断B 的正误；轨迹方程判断C ，D 的正误； 【详解】 解：直线4350x y +-=和43100x y ++= 3=，所以动点M 到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意． 动点M 到直线（1，0）和（?1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B 不正确； 动点M 到直线（0，2）和（0，?2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C 不正确； 动点M 到点（2，3）和到210x y --=的距离相等，动点M 的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D 不正确； 故选：A ． 【点睛】 本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和22 2:14C x y +=，又点A
高中数学沪教版(上海)高二第一学期9.3二阶行列式_导学案
二阶行列式 【学习目标】 1．理解二阶矩阵的概念。 2．会利用对角线写出二阶行列式的展开式。 【学习重难点】 1．熟练掌握二元一次方程与二阶矩阵之间的转化。 2．会化简二阶矩阵。 【学习过程】 一、新课的概念 1．称为______________，算式_____________叫做此行列式的展开式，其计算结果叫做_____________，_____________叫做行列式的元素。 2．利用对角线可把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的_____________； 3．二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a （其中x ，y 未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项）的系数行列式是D ＝________，Dx ＝________，Dy ＝________， 当0≠D 时，方程组的解可用二阶行列式表示为???==y x ________。 二、例题讲解 展开并化简下列行列式： （1）43 75； （2）3475 ； （3） cos sin sin cos θθθθ-。
2．若236 031x x -=+，求x 的值。 4．用行列式解下列二元一次方程组： （1）???=+=+-61548 115y x y x ； （2）???=+=01-20 5--3y x y x 。 三、练习： 1．二元一次方程组???=+=+37 23y x y x 的系数行列式是D ＝________， Dx ＝________，Dy ＝ ________，则x ＝________，y ＝_______。 2．展开并化简下列行列式： （1）12 34--； （2 ；
2020-2021年高二数学二阶行列式教案 上教版
2019-2020年高二数学二阶行列式教案上教版 【学习目标】 1.通过加减消元法解二元一次方程组理解行列式的定义 2.掌握二元一次方程组的行列式解法 【学习重点与难点】 用行列式解二元一次方程组 【教学过程】 1．自学指导 （1）回忆初中知识，想想我们是如何来解一个二元一次方程组的？ （2）对于一个二元一次方程组（A）它的解是什么？ （3）观察（A）的解你能发现其中的特征吗？ （4）课本中行列式是怎么定义的？又是怎么引入的？它的本质是什么？什么是二阶行列式？ （5）你能把方程组（A）的解用行列式的形式表示出来吗？通过这一步骤，你能体会到二元一次方程组的行列式解法吗？用行列式解二元一次方程组的时候，你觉得应该注意一些什么问题？ （6）用行列式求二元一次方程组有哪些优越性？ 2．自学效果检验、点评及拓展
（1） 一次方程称之为线性方程，一元方程组称之为线性方程组，则二元一次方程组即 二元线性方程组。 （2） 我们以前所学解二元线性方程组普遍应用的都是加减消元法，用加减消元法解得 二元一次方程组（A ）的解为??? ????--=--=12212 12112211221b a b a a c c a y b a b a b c b c x ，通过观察可以发现，它的解的 分子、分母都是两数的乘积差。 （3） 为了简化，我们用记号（B ） 来表示算式，他的运算法则就是用主对角线两数 乘积减去副对角线两数乘积，即对角线法则。（B ）就是行列式。 （4） 方程组（A ）的解的分子部分用行列式（）的表示方法、方程组（A ）的解整体用 行列式的表示方法，要求学生给出。 （5） 行列式的实质是数（或式）的特定算式的一种记号。 （6） 附带介绍二阶行列式、展开式、行列式的值、行列式的元素、系数行列式的概念。 （7） 提示学生观察，行列式分别是由行列式D 做怎样的变化而来，便于学生记忆。 3． 例题自学检查学生用行列式解二元线性方程组的能力。提示学生解题过程中应该注 意的问题。 4． 学习效果检验 I ． 必做题 ① 课本P7练习9.1（1）
沪教版(上海)高二上学期数学第 九 章 矩阵和行列式初步
第 九 章 矩阵和行列式初步 格致中学 王国伟 第一课时 9.1 矩阵的概念（1） [教学目标] 1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题； 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念； 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念； 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点] 1、与矩阵有关的概念； 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点] 学习矩阵的目的。 [教学过程] 一、情境设置、引入： 引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13?? ??? ； 引例2：2008 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ? ? ??? ； 引例3：将方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为 2332441m n ?? ?- ? ? -?? ；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ?? ? - ? ?-??。 二、概念讲解：
1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -? ?这样的矩形数表 叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数 组成的向量12 n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵， m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列）， 可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余 元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ? ?? 为 3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
高考数学《矩阵与行列式》专题复习
高考数学《矩阵与行列式》专题复习 1.矩阵：n m ?个实数n j m i a ij ,,2,1;,,2,1, ==排成m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn n m n n a a a a a a a a a A 2122212 11211叫做矩阵。记作n m A ?，n m ?叫做矩阵的维数。 矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。 2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。 ?? ?=+=+222 1 11c y b x a c y b x a 3.线性方程组矩阵的三种变换： ①互换矩阵的两行； ②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个数加到另一行。 变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。 4.矩阵运算：加法、减法及乘法 （1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A-B ）. 运算律：加法交换律：A+B=B+A ；加法结合律：（A+B ）+C=A+（B+C ） （2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作：α A.
运算律：分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(； 结合律：()()()A A A γλλγγλ==； （3）矩阵的乘积：设A 是k m ?阶矩阵，B 是n k ?阶矩阵，设C 为n m ?矩阵。如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积，记作：C m ×n =A m ×k B k ×n . 运算律：分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(； 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB =； 注意：矩阵的乘积不满足交换律，即BA AB ≠. 5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法： 设二元一次方程组（*）?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数 且不全为零，21,c c 是常数项） 用加减消元法解方程组（*）: 当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：??? ? ???--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ， 引入记号 21a a 2 1b b 表示算式1221b a b a -，即 21a a 2 1b b 1221b a b a -=． 从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。 记= D 21a a 2 1b b ，= x D 21c c 2 1b b ，= y D 21a a 2 1c c ，则： ①当= D 21a a 2 1b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解， 可用二阶行列式表示为??? ? ?? ? ==D D y D D x y x . ②当D =0时，0x y D D ==方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0≠x D 或0≠y D ，方程组（*）无解。 系数行列式11 22 a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。
高二数学上册 9.3《二阶行列式》教案(2) 沪教版
二阶行列式与二元一次方程组 教学目的：理解二阶行列式的定义； 掌握用二阶行列式解二元一次方程组； 用行列式判断二元一次方程组解的情况。 教学过程： 一、 设问：什么叫二阶行列式？ （一）定义： 1、 我们用记号1 122a b a b 表示算式1221,a b a b - 即1 122a b a b = 1221,a b a b - 其中记号1 122a b a b 叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。 2、 1221,a b a b -叫做行列式1 12 2a b a b 的展开式，其计算结果叫做行列式的值。 3、 1221,,,,a b a b 叫做行列式1 122a b a b 的元素。 （二）二阶行列式的展开满足：对角线法则 1 122a b a b 实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。 二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． （三）例和练习： 例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。 （1）1 11222 a b c a b c （2）sin cos cos sin α ααα
（3）12 3456 （4）sin cos sin cos sin cos a a a a a a -+ （5 ）1212 3434 12242 363 -- 例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？ （1）22 14;(2)5;(3)422b ac x y x x ---+ 二、 用二阶行列式解二元一次方程组 (四)设有二元一次方程组 111222,(1) ().(2)a x b y c A a x b y c +=??+=? 用加减消元法 得 1221122112211221(); ().a b a b x c b c b a b a b y a c a c -=--=- (1)当 12210a b a b -≠ 时，有（A ）有唯一解，
上海高二数学行列式初步(有详细答案)绝对精品
2013年暑期高二数学 行列式初步 § 二阶行列式(1)——二阶行列式 一．引入 观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组() () 111222 12a x b y c a x b y c +=???+=?? 用加减消元法来解， ()()()211221122112b b a b a b x c b c b ?-??-=-; ; ()()()121221122121a a a b a b y a c a c ?-??-=- 当12210a b a b -≠时，有122112212 21122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -?=?-? ?-?=?-? . 二. 定义二阶行列式及展开 用记号112 2 a b a b 来表示算式122a b a b -,即 111222 2 a b a b a b a b =-. 说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式 | 思考与运用 1. 解方程:3 621 x x =-. 解: ()23 1661204321 x x x x x x orx x =?--=?--=?==-. 2. 求函数()2 2 1 2sin 2 2cos 1 2 x f x x = 的值域. 解: ()[]22 222 1 2sin 212sin cos 1sin cos 0,1 222cos 1 2 x x x f x x x x ??= =-=-=∈ ? ??. 3．行列式???? ?? a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________． 解析：? ?? ?? a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.
《三阶行列式》
9.4（1）三阶行列式 一、教学内容分析 三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容． 二、教学目标设计 经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用． 三、教学重点及难点 三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程． 四、教学用具准备 可以计算三阶行列式值的计算器 五、教学流程设计 六、教学过程设计一、情景引入 1．观察三阶行列式 的概念 三阶行列式 的应用
(1)观察二阶行列式的符号特征： 13 25 02 31 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13 112321 =?-? 02 013(2)31 -=?-?- 612 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？ 二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】 结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题： 问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？ 问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？ (① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出
2020-2021年高二数学上册9.3《二阶行列式》教案(3)沪教版
2019-2020年高二数学上册9.3《二阶行列式》教案（3）沪教版 一、教学内容分析 行列式是引入新的记号后的一种特定算式，是学习矩阵后的一个延续．二阶行列式的展开是本节教学内容的基础，用二阶行列式求解二元一次方程组或讨论它的解的情况是本节教学内容的核心． 二、教学目标设计 1.了解行列式产生的背景； 2.经历引入二阶行列式的过程； 3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征． 三、教学重点及难点 二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组． 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、介绍背景 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念． 德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思
维劳动”．他创造的数学符号有商“”、比“:”、相似“∽”、全等“≌”、并“”、交“”等，最有名的要算积分和微分符号了． [说明]教师、学生课前收集有关资料，在授新课前（由学生或老师）作简单介绍，这是数学文化的一种渗透． 二、学习新课 1．二阶行列式的引入 设二元一次方程组（*） （其中是未知数，是未知数的系数且不全为零，是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）．当时，方程组（*）有唯一解：??? ????--=--=12211 22112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记 号 表示算式，即 ． 从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等． 记 ， ， ，则当 =时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为???????==D D y D D x y x ． 2．例题分析 分析讲解教材例题1、例2； 例1．展开并化简下列行列式： （1） （2） （3） （4） 点评：①正确运用对角线法则展开；②由（1）（2）可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的． 例2．用行列式解下列二元一次方程组： （1） （2） [说明] ①当所给方程组的形式不是方程组（*）的形式时，应先化为方程组（*）的形式，才能得到正确的和；②注意到这两个方程组的系数行列式的值均不为零．
高中数学(矩阵行列式)综合练习试题含解析
高中数学(矩阵行列式)综合练习试题含解析 1 / 15 高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??????=?????????????1514543021.已知πβα=+，2πβα= -，则=?????????????ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2．定义运算a b ad bc c d =-,则符合条件120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4． 若行列式21241013 9x x =-，则 =x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ，则x y -=_______． 7．矩阵1141?????? 的特征值为 ． 8．已知变换100M b ??=???? ，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知，，则y= ． 11．若2211 x x x y y y =--，则______x y +=
2019年上海高考数学第一轮复习 第46讲 矩阵与行列式
第46讲 矩阵与行列式 [基础篇] 一、矩阵的有关概念： （1）矩阵的定义：由m n ?个数(1,2,3,;1,2,3,)ij a i m j n ==，按一定次序排列成的矩阵表 11 121212221 2 ()n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ??? ? ? == ? ??? ，叫做一个m 行n 列的矩阵，简记为m n ?矩阵. （2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222 221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=??++=?? ??++= ?，矩阵 A =11 12121 2221 2 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ??? 叫做一般线性方程组的系数矩阵， A -=1112112122221 2 n n m m m a a a b a a a b a a b ?? ? ? ? ??? 叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x y x y -=?? +=?对应系数矩阵1231-?? ??? ， 其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-???? ? ????? 叫做系数矩阵的列向量； （3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001?? ??? ，叫做单位矩阵. 和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. ,2,3,;1,2,3,)m j n =都成立时，这两个矩
二阶三阶行列式
精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 二阶三阶行列式 教学目的 1、掌握行列式及算法有关的概念；掌握行列式的初等变换;理解行列式的意义； 2、掌握二阶行列式展开的对角线法则。 教学内容 【知识梳理】 1、掌握行列式展开的对角线法则：11 122122 b b a a b a b a =- 2、二元一次方程组：111222 , a x b y c a x b y c +=??+=?，其中x,y 为未知数，方程组系数不全为0 系数行列式11 22 b b a D a =；11 22 b b x c D c =；1122 c c y a D a = （1）当0D ≠时，方程有唯一解x y D x D D y D ?=????=?? （2）当0D =，0x y D D ==时，方程组有无穷多解； （3）当0D =，,x y D D 中至少有一个不为零，方程组无解. 3、掌握三阶行列式展开的对角线法则，以及按某一行（列）展开的方法； 【典型例题分析】 【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - （3）432101421--
巩固练习1.计算 a b b a log 21log =__________________ 2． y x y x y x y x sin sin cos cos cos cos sin sin +-+- 3．将函数 3sin ()1cos x f x x = 的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数， 则a 的最小值为___________ 【例2】不解方程，判断下列方程组解的情况 （1）?? ?=-=+1232y x y x （2）???=+=+5918324y x y x 巩固练习：1. 用行列式法求解下列方程组： （1）???=-=+1232y x y x （2）???=-+-=-0 9218.05.1y x y x
高二第一学期数学-矩阵和行列式初步
矩阵与行列式习题 本试卷共18题，时间60分钟，满分100分） 班级： 姓名： 一、填空选择题：（每题3分，共36分） 1、已知46x A y ??= ???，13u B v ?? = ??? ，且A B =，那么A+AB= 。 2、设231001252437A B -???? ? ? ==- ? ? ? ?-?? ?? ，则3A –4B 为 。 3、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+，i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那 么矩阵 A= . 4、设2442,1221A B -???? == ? ?-???? 則32A B - = ,=AB ， =BA 5、若点A 在矩阵1222-????-?? 对应的变换作用下得到的点为（3，- 4），那么点A 的坐标 为 . 6、若202137x y -?????? = ??? ?-?????? ，则x y +=___________. 7、 1212a a b b =1,则1212 2233b b a a =-- _____ 。 8、（1）行列式z kc c y kb b x ka a = ；（2）211 12 1__________11 2 -= 9、已知1 24 2 21342 D -=---，则21a 的代数余子式21A = 。 10、已知2 4132 01x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A
11、设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=______________ 12、如果方程组???=++=++010 1dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为 二、简答题（每题8分，共64分） 1、已知? ??? ??-=533201A ? ??? ? ??-=013164245B 求()AB . 2. 已知1011A ??= ??? ，分别计算23 A A 、，猜测*(2)n A n n ≥∈N ，； 3. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解: ⑴ 32110250x y x y --=??+-=? ； ⑵111612102113x y z ?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-?????? . 4、已知函数f(x)=x a x +1111 1 1 1 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的 最小值。
高二数学：9.3《二阶行列式》教案(4)(沪教版上)
理解作为判别式的 二元一次方程组的 系数行列式的含义 判别数字系数的二元一次方程组的解的情况 9.3（2）作为判别式的二阶行列式 一、教学目标设计 1.通过经历在二元一次方程组系数行列式 和两种情形下讨论它的解的不同情况的过程，体验二元一次方程组系数行列式 作为解的判别式的含义； 2.学会并掌握用二元一次方程组系数行列式判别（数字系数的）方程组解的情况的方法； 3.通过经历讨论字母系数二元一次方程组解的情况的过程，体验并掌握讨论的依据、步骤及（书写）表达． 二、教学重点及难点 二元一次方程组解的情况的判别与讨论． 三、教学流程设计 四、教 学过程设计 一、温故求新 由上节课的例2解二元一次方程组及课后训练可以知道，这些方程组的系数行列式的值均不为零，即，它们的解是唯一的．我们还通过举例得到了一些二元一次方程组，它 们的系数行列式的值为零（即 ），但它们的解并不是唯一的，可能无解，也可能有无穷多解．那么，这样的情况是否具有一般性呢？二元一次方程组解的情况与其系数行列式的值到底有怎样的关系呢？ [说明]温故求新是常用的教学策略． 二、学习新课 1．作为判别式的二元一次方程组系数行列式的研究 一般地，通过消元法可将二元一次方程组（*）转化为，其中 ， ， ，然后根据的取值情况进行分类 讨论． 2．例题分析 讨论字母系数的二元一次方程组的解的情况
分析讲解教材例题3、例4； 例3．判别下列二元一次方程组解的情况： （1）（2）（3） [说明]体会判别方程组解的情况的依据与过程． 例4．解关于、的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论： [说明]注意讨论的依据、一般顺序及书写表达． 3．问题拓展 ①“二元一次方程组系数行列式”是“方程组无解” 的________________条件．（编制类似的问题若干） ②构造一个二元一次方程组，使它的解的情况分别是“有唯一解”、“无解”、“有无穷多解”． [说明]“换个角度看问题”是常用的“变式教学”的一种，也是帮助学生理解巩固教学内容（知识点）的常用手段． 三、巩固练习 数学课本第94页，练习9.3（2）． 四、课堂小结 判断二元一次方程组解的情况的依据、步骤及表达． 五、作业布置 数学练习部分第52页，习题9.3 A组，第4、5、6、7题．
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题
上海中学高二期中数学试卷 一、填空题 1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为． 2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为． 3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝． 4．若（1，﹣2），（x，1），（1，2），且（）⊥，则x＝． 5．以（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为． 6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是． 7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝．8．如图，△ABC中D在边BC上，且2，E为AD的中点，记，，则（用、的线性组合表示） 9．二阶方阵A称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为． 10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为． 12．如图，已知向量，的夹角为，||＝6，向量，的夹角为，||＝2，则与的夹角为，的最大值为．
二.选择题 13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分 C．充要D．既不充分也不必要 14．在下列向量组中，可以把向量（3，2）表示出来的是（） A．（0，0），（1，2） B．（﹣1，2），（5，﹣2） C．（3，5），（6，10） D．（2，﹣3），（﹣2，3） 15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记??m，??n，则（） A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝1 C．m＝2，n＝6 D．m＝3n，但m，n的值不确定 三、解答题 17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．
高二数学上册 9.3《二阶行列式》教案(2) 沪教版
高二数学上册 9.3《二阶行列式》教案（2） 沪教版 教学目的：理解二阶行列式的定义； 掌握用二阶行列式解二元一次方程组； 用行列式判断二元一次方程组解的情况。 教学过程： 一、 设问：什么叫二阶行列式？ （一）定义： 1、 我们用记号1 122a b a b 表示算式1221,a b a b - 即1 122a b a b = 1221,a b a b - 其中记号1 122a b a b 叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。 2、 1221,a b a b -叫做行列式1 12 2a b a b 的展开式，其计算结果叫做行列式的值。 3、 1221,,,,a b a b 叫做行列式1 122a b a b 的元素。 （二）二阶行列式的展开满足：对角线法则 1 122a b a b 实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。 二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． （三）例和练习： 例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。 （1）1 11222 a b c a b c （2）sin cos cos sin α ααα
（3）12 3456 （4）sin cos sin cos sin cos a a a a a a -+ （5 ）1212 3434 12242 363 -- 例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？ （1）22 14;(2)5;(3)422b ac x y x x ---+ 二、 用二阶行列式解二元一次方程组 (四)设有二元一次方程组 111222,(1) ().(2)a x b y c A a x b y c +=??+=? 用加减消元法 得 1221122112211221(); ().a b a b x c b c b a b a b y a c a c -=--=- (1)当 12210a b a b -≠ 时，有（A ）有唯一解，
上海市徐汇区2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题
徐汇区统考高二期末数学试卷 2018.1 一、填空题（本大题共有12题，满分40分，第1-8题每题3分，第9-12题每题4分） 1 ．直线310x +=的倾斜角的大小为 ． 2．若矩阵A 得155132121A ???? += ? ?--???? ，则A = ． 3．抛物线22y x =的准线方程为 ． 4．双曲线22 1916 x y -=的左焦点到渐近线的距离为 ． 5．行列式631 25142 k --中元素3-的代数余子式的值为5，则k = ． 6．过点()0,1且以直线230x y +-=的一个法向量为一个方向向量的直线方程为 ． 7．设点(),x y 是曲线2cos sin x y θθ =-+??=?（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则y x 的最大值 为 ． 8．若点()3,a 在两条平行直线2610x y -+=和340x y --=之间（不在两条直线上），则实数a 的取值范围是 ． 9．在ABC ?中，已知4A B =u u u r ，1A C =u u u r ，A BC S ?=A B A C ?u u u r u u u r 的值为 ． 10．设不等式组041x y x y x -? 表示的平面区域为M ，若直线()2y k x =+上存在区域M 内的点， 则实数k 的取值范围是 ．
11．已知()()1,11,1A B -、，点P 在圆2 2 1x y +=上运动，若(),OP m OA nOB m R n R =+∈∈u u u r u u u u r u u u r ， 则mn 的最小值为 ． 12．以下是矩阵的一种运算：a b x ax by c d y cx dy +?????? ?= ? ? ?+??????， 该运算的几何意义为平面上的点(),x y 在矩阵a b c d ?? ???的作用下变成点()ax by cx dy ++．若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ?? ??? 的作用 下变换成曲线2221x y -=，则a b +的值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确答案． 13．设a R ∈，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与2:20l x y a +-=平行”的（ ）． ()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充 分也不必要条件 14．已知a r 、b r 均为单位向量，且a b b +-r r r ，则a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ）． ()A 13- ()B 1 3 ()C 23- ()D 2 3 15．已知椭圆的焦点1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是（ ）． ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线的一支 ()D 抛物线 16．已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）． ()A (][),10,1-∞-U ()B (]1,1- ()C [)1,1- ()D []()1,01,-+∞U