上海高二数学行列式初步(有详细答案)绝对精品

2013年暑期高二数学

行列式初步

§ 二阶行列式(1)——二阶行列式 一．引入

观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组()

()

111222

12a x b y c a x b y c +=???+=?? 用加减消元法来解，

()()()211221122112b b a b a b x c b c b ?-??-=-;

;

()()()121221122121a a a b a b y a c a c ?-??-=-

当12210a b a b -≠时，有122112212

21122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -?=?-?

?-?=?-?

.

二. 定义二阶行列式及展开

用记号112

2

a b a b 来表示算式122a b a b -,即

111222

2

a b a b a b a b =-.

说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式

|

思考与运用 1. 解方程:3

621

x x =-.

解:

()23

1661204321

x x x x x x orx x =?--=?--=?==-.

2. 求函数()2

2

1

2sin 2

2cos

1

2

x

f x x =

的值域.

解: ()[]22

222

1

2sin 212sin cos 1sin cos 0,1

222cos 1

2

x

x x f x x x x ??=

=-=-=∈ ?

??. 3．行列式????

??

a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．

解析：? ??

??

a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.

答案：6

~

三. 利用二阶行列式解二元一次方程组

将1221c b c b -和1221a c a c -分别用行列式来表示,可以表示为

112

2

c b c b 和

112

2

a c a c ,即

112

2

0a b D a b =

≠,112

2

x c b D c b =

,112

2

y a c D a c =

,

于是上述二元一次方程组的解可以表示为

x

y D x D

D y D

?=????=??

(0D ≠).

§ 二阶行列式(2)——作为判别式的二阶行列式

一．练习与复习

~

(一)展开下列行列式: 1. 2

1111a a a --++()()()231111a a a a =-++-?-=;

2.

22cos sin cos sin 1sin cos θθθθθθ

=--=--;

3.

5=;

4.

sin cos sin cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2αααααααα

α

=-=-.

(二)解下列方程组

1. 121032

14515x x y x y y ?=

?-=?????+=??=-??

; 2.

791313313312177135132x x y x y y x y

???+===???????????

???=+==??????;

3. 231

232x y x y +=??

+=? 无解; 4.

231

462x y x y +=??

+=?

无穷多解. )

二. 作为判别式的二阶行列式

通过加减消元法将二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=??+=?化为x

y D x D D y D ?=????=??

,

(1) 当0D ≠时,方程组有唯一解

(2) 当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解; 若0x y D D ==,则方程组有无穷多解. 感受与体验 P10 练习(2) 1; P10 习题 3 思考与运用

例 解关于,x y 的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:1

323

mx y mx my m +=-??

-=+?.

【

解: ()1

33m D m m m m

=

=-+-,()11

323x D m m m

-=

=-++-,1

1

323

y D m m m -=

=+-+,

当0D ≠,即0m ≠且3m ≠-时有唯一解11,x y m m

=

=-; 当0m =时,0D =,而30x D =-≠,方程组无解;

当3m =-时,0D =,且0x y D D ==,方程组有无穷多解. □

三. 拓展与提高

例1 已知三角形的三个顶点坐标分别为()0,0,()11,x y ,()22,x y ,试用行列式表示三角形的面积.

()()1121212211111

222

S x y x x y y x y x y =+

+--- 【

11222112112211111111

222222

x y x y x y x y x y x y x y =+-+--- ()1112212

2

1122x y x y x y x y =

-=. □

例2 （1）计算行列式

2346、79

2127

、34-912-的值； （2）从上述结果中得出一个一般的结论，并证明. 解: (1) 均为0; (2) 0a b

ka kb

=,证明:

0a b

kab kab ka kb

=-=.

同理

(

0a ka b kb

= □

§ 三阶行列式(1)——三阶行列式的展开(1)

一. 三阶行列式的概念

用记号1

11

2

223

3

3

a b c a b c a b c 表示算式123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---,称为三阶行列式. 二. 三阶行列式的展开 (一) 按对角线展开

]

例 计算三阶行列式1

242

2

1342

D -=---.

解: ()()()()122213424D =??-+??-+-?-?

()()()()11422242314-??-?-?---??-=-. 感受与体验 P12 练习(1)

—

(二)按一行(或一列)展开

1. 余子式 把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式称为该元素的余子式. 例如

113

3

a c a c 和

113

3

a b a b 分别是1

11

2

223

3

3

a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的余子式. 2. 代数余子式 把余子式添上相应的符号,某元素所在行列式中的位置第i 行第j 列,该元素的代数余子式的符号为()

1i j

+-

例如()

22

113

3

1a c a c +-和()

23

113

3

1a b a b +-分别是1

11

2

223

3

3

a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的代数余子式. 注：各元素代数余子式的符号如图所示:

+-+-+-+-+

3. 按一行(或一列)展开

[

111

2221111113

3

3

a b c a b c a A b B c C a b c =++112233a A a A a A =++=

例 按第一行和第一列展开行列式1

242

2

1342

D -=---.

解: 按第一行展开:1

242

1

2122

2

2

1124

423234342D -?-?-=-=?+?-- ?----??--14=-; 按第一列展开: 1

242

1

2424

22

112314424221342

D -?-?-=-=?

-?--=- ?--??

--. 感受与体验 P15 练习(2) 1; 2 a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32

a 11a 23a 32a 12a 21a 33a 13a 22

]

§ 三阶行列式(2)——三阶行列式的展开(2)

一.复习按对角线或按一行（一列）展开三阶行列式的方法 完成练习 P21 习题 1 (用适当的方法) 二.例题与练习

例1 若行列式00

2

1040938

k

=,求k 的值. 解: 00

2

108405938

k

k k ==?=.

□

例2 已知行列式11

1

102

1

1

λ

λ

-=-,求λ的值. 解: 211

1

13404121

1

or λ

λ

λλλλ-=--=?==--. □ 】

例3 已知()211

2150f x x x

=,若()0f x >,求x 的取值范围.

解:

()22211

212121522527505550f x x x x x x x x x x x

==-+=-+-=-+>()5,1,2x ??

?∈-∞+∞ ???

. □

例4 把下面的算式写成一个三阶行列式: (1)023*******

2

2

13231311

3

3

1

2

-----=-; (2)

1

12211

11

223

3

3

32

2

331

11

x y x y x y x y x y x y x y x y x y -

+=. (答案不唯一) □ 例5 验证三阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和为零. 解: 例如三阶行列式1

11

2

223

3

3

a b c a b c a b c 的第二行元素222,,a b c 分别与第一行的元素111,,a b c 的代数余子式相乘,即2222222121212

2

2

3

3

3

3

3

3

b c a c a b a A b B c C a b c b c a c a b ++=-+

^

211222222

2

22333222222

3

3

3

0a b c b c a c a

b a b

c a b c b c a c a b a b c ==-+=. □

例5 在直角坐标系中,不在一直线的三点:()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 依逆时针顺序排列. (1)探求用行列式表示ABC 的面积公式; (2)当,,A B C 三点依顺时针顺序排列式,

ABC 的面积公式有何变化

解: (1)记梯形,,EBCF EBAD DACF 的面积分别为123,,S S S ,

()()()1233211

22S EB FC EF x x y y =+?=+-,同理有 ()()2121212S x x y y =

+-,()()331311

2

S x x y y =+-,则 《

()()()1232332133112211

2S S S S x y x y x y x y x y x y =--=

---+-???

? 112

21

11

122333

322

331

111221

x y x y x y x y x y x y x y x y x y ??=-+= ? ??? (2)1

12

23

31

1

121

x y S x y x y =-. [说明] 本例可得两个结论:

(1) 定点坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 的ABC 的面积为11223

311121

x y S x y x y =; (2) 平面上三点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 共线的充要条件为1

12

23

31101

x y x y x y =. 三.布置作业

§ 三阶行列式(3)——三元一次方程组的行列式解法

/

一. 复习二元一次方程组的行列式解法及解的情况的判别方法

对于二元一次方程组x

y D x D D y D ?=???

?=??

当0D ≠时,方程组有唯一解;当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解;若

0x y D D ==,则方程组有无穷多解.

二. 三元一次方程组的行列式解法

对于三元一次方程组111122223

333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=??

++=??++=?,记其系数行列式为1112

2233

3

a b c D a b c a b c =, 用D 中第一列元素的代数余子式123,,A A A 依次乘以方程组的各方程,得

11111111a A x b A y c A z d A ++=, 22222222a A x b A y c A z d A ++=, 33333333a A x b A y c A z d A ++=,

…

将上述三个等式相加,得

()()()112233112233112233112233a A a A a A x b A b A b A y c A c A c A d A d A d A ++++++++=++，

其中记1

11

1122332

223

3

3

x d b c D d A d A d A d b c d b c =++=，则x D x D ?=,同理可得 y D y D ?=，z D z D ?=，

于是方程组x y z D x D D y D D z D ??=??=???=?当0D ≠时有惟一解x y z D x D D y D D z D ?=??

?

=??

?

=??

.

例 解三元一次方程组:6

32752215x y z x y z x y z ++=??

-+=??++=?

.

解: 1113129522D =-=,61171291522x D =-=,161

372185152

y D ==,116317275215z D =-=,

1,2,3x y z ∴===. □

\

感受与体验 P19练习(3) 用行列式解下列方程组

三. 当系数行列式0D =的情况

当0D =时三元一次方程组可能无解,也可能有无穷多解.

例 求关于,,x y z 的方程组1

3x y mz x mu z m x y z ++=??

++=??-+=?

有惟一解的条件,并在此条件下写出该方程组的解.

解: ()()111

11101111

m

D m m m m ==-+-≠?≠±-, 又()()1

114113

11

x m

D m

m

m m ==-+--,()()31y D m m =---,()41z D m =-,

…

所以当1m ≠±时,方程组的解为43141x m y m z m ?

?=?

-?

=?+?

?

=-?+?

. □

注意与二元一次方程组解的情况相区别。

感受与体验 P20 练习(4) 2

典型例题

1． (

上海 3) 若行列式417 5 x

x 3 8 9

中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是____x>8/3______ .

*

1．（2010年高考上海市理科4）行列式的值是 。

【解析】原式====0.

3．（2010年上海市春季高考11) 方程的解集为 。

答案：

解析：，即，故

1.(2011·上海)行列式????

??

a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．

解析：? ????

a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.

答案：6 >

1．(2012年高考上海卷理科3)函数1

sin cos 2)(-=

x x x f 的值域是 .

【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】若=6

4

2

5

31

222

c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于____ _______． 【答案】2

【KS5U 解析】由行列式的定义可知行列式的值为222222222662010184242b c a b a c a b c ++---=-+，所以

22C =

【上海市松江区2013届高三上学期期末文】若行列式

,02

1

4

21

=-x 则=x ▲ ． -

【答案】2

【Ks5U 解析】由124

012

x -=得12240x -?-=，即24x =，所以2x =。

高二Ａ数学讲义第十七讲（130809）课后作业

（本试卷共14题，时间45分钟，满分100分）

、

班级： 姓名：

一、选择题(每小题6分,共10个小题,共60分)

1．将函数1

002cos 11

sin 3)(x x x f -=的图像向右平移)0(>a a 个单位，所得图像的函数为偶函数，则a 的最小

值为 ( ) A ．6

5π B ．

3

2π C ．

3

π D ．

6

π 2．若

9

5632

13

221=

-+

y

x 则实数对),(y x 可以是 ．

3．方程组??

?=+=+2

1

ay bx by ax 的解的情况是 （ ）

—

（Ａ）唯一解； （Ｂ）无解； （Ｃ）无穷多解； （Ｄ）不确定．

4. 函数1

cos 2sin 21)(2

2x x

x f =的取值范围是 （ ） （Ａ）［－１，１］； （Ｂ）（－１，１）； （Ｃ）［０，１］； （Ｄ）（０，１）．

5．若数列{}n a 中，1

12

21

1

+=n n

a n ，则数列{}n

a 的前ｎ项和=n S ．

6．关于x 、y 的二元一次方程组1,

323,mx y mx my m +=-??-=+?

的系数行列式0D =是该方程组有解的（ ）．

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充分且必要条件

D ．既非充分也非必要条件

'

7、函数3

21)(+--=

x x

x x f 图像的顶点是),(c b ，且d c b a ,,,成等比数列，则_______=ad

8.设2

1

1

1

()1111

f x x

x =-()x R ∈，则方程()0f x =的解集为 . 9．三阶行列式2

1145324---k

第2行第1列元素的代数余子式为10-，则=k ____________．

10．若

11

{2,1,0}12x

∈--，则x = .

]

二．简答题（每题10分） 11. 展开行列式并化简：

β

β

ααcos sin cos sin -

12. 用行列式解下列方程组：

（1）???=++=+-0162032y x y x ；（2）???=+=++5

lg 4lg 30

1lg 5lg 2y x x y ．

13. 若关于x 、y 、z 的方程组：??

???=+=++=++m z x m z m y x z y x 212

有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯一解．

14. 解关于x 、y 、z 的三元一次方程组??

?

??=+-=++=++31z y x a z ay x az y x ，并讨论解的情况．