数学物理方程期末考试
数学物理方程期末考试
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷
出卷人:欧峥
1、长度为 l 的弦左端开始时自由,以后受到强度为sin A t ω的力的作用,右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面;初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分)
2、长为l 的均匀杆,侧面绝热,一端温度为0度,另一端有已知的恒定热流进入,
设单位时间流入单位截面积的热量为q ,杆的初始温度分布是()
2
x l x -,试写出
其定解问题。(10分)
3、试用分离变量法求定解问题(10分):
.?
??
??
??
??===><?=??===x t x x u
t u u u u t x x 2,0,00,40,040
22
4、分离变量法求定解问题(10分)
2
22sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)64(,0)31,(,0)sin tt xx
t
u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???
==?????=+= ?????
5、利用行波法,求解波动方程的特征问题(又称古尔沙问题)(10分):
????
???==??=??=+=-).()(002
22
22x u
x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?=
6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题(10分)
?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0
,2sin 0,,cos 0022
2
22t t t u x u t x x x u a t u
7、用积分变换法求解定解问题(10分):
????
???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u
y u y x y x u
8、用积分变换法求解定解问题(10分):
??
?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt
9、用格林函数法求解定解问题(10分):
22220
0, y 0, () , .y u u
x y u f x x =???+=????=-∞<<+∞?
10、写出格林函数公式(三维)及满足的条件,并解释其物理意义。(10分)
考试内容分析
①用数理方程研究物理问题的一般步骤;数理方程的建立(导出),包括三类典型
方程的建立(导出)推导过程。这里的1,2两道题就是考察学生在实际物理背景下能否写出定解问题。这些定解问题并不复杂,主要就是让学生了解一下。
②3,4两道题主要考察分离变量法的精神、解题步骤和适用范围。第3题是最
基本的分离变量法的运用,分离变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项分离开来,从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程;2、运用线性叠加原理,将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程;3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法,求出各个方程的通解;4、最后将这些通解“组装”起来。第4题是非齐次方程,主要考察学生对非齐次方程的处理能力。
③5,6两道题是考察行波法。第5题就是书本中一维波动方程的D'Alembert
公式的推导,是最最基础的东西,在这里考察学生平时的基础,题目不难但是能很好的考察学生对行波法的理解。第6题考察了D'Alembert公式的应用,同时又因为方程式非齐次的,也考察了方程的齐次化。
④第7,8两道题是对积分变换法的考察。第7题是对拉普拉斯变换的考察拉普
拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换;利用拉普拉斯变换的基本定理,拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换。第8题主要考察傅里叶变换的基本定理及其性质。
⑤9,10两道题是考察格林函数法。第9题有些难度,是一道二维拉普拉斯的狄
利克雷问题,主要考察对第二格林公式的理解及其应用。第10题看似比较简单,但是也是大家比较容易忽略的问题,不一定能将其完整的解答。这里还要求你写出其物理意义,意图当然不言而喻了,就是想体现数学物理方程这门课的意义,将数学与物理结合起来,了解古典方程的类型,明白其物理意义和现象。
答案及分析
1、解: 这是弦的自由振动,其位移函数(,)u x t 满足
2,tt xx u a u = (2分) 其中2T
a ρ
=
.由于左端开始时自由,以后受到强度为sin A t ω的力的作用,所以
(0,0)0,
(0,)sin 0,0,x x u Tu t A t t ω=+=>
因此 sin (0,),0.x A t
u t t T
ω=-
≥ (2分) 又右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面,所以
(,)(,)0,x Tu l t ku l t --= 即 (,)(,)0.x Tu l t ku l t += (2分) 而初始条件为 0
(),().t t
t u
x u x ?ψ==== (2分)
因此,相应的定解问题为
200,0,0,sin (0,),(,)(,)0,0.(),().tt xx x
x t t t u a u x l t A t u t Tu l t ku l t t T u x u x ω?ψ==?=<<>?
?
=-+=≥??
==?? (2分)
2、解:侧面绝热,方程为
2,0,0t xx u a u x l t =<<> (3分)
边界条件为 0
0,,0x x
x l
q
u u t k
====
>
(3分)
初始条件为
()
,02
t x l x u x l =-=<< (3分)
因此,相应的定解问题为:
(1分)
3、解 令)()(),(t T x X t x u =(2分),代入原方程中得到两个常微分方程:
0)()('=+t T t T λ,0)()(''=+x X x X λ(2分),由边界条件得到0)4()0(==X X ,
对λ的情况讨论,只有当0>λ时才有非零解,令2
βλ=,得到
22
22
4πβλn ==为特征值,特征函数4sin )(πn B x X n n =(1分),再解)(t T ,得到16
;22)(t n n n e C t T π-
=(2
分),于是
,
4s i n (),(16
1
22x n e
C t x u t
n n n ππ-
∞
=∑=(1分)再由初始条件得到
1
40)1(164sin 242+-==?n n n xdx n x C ππ(1分),所以原定解问题的解为
,
4s i n )1(16
),(16
11
22x n e n t x u t n n n ππ
π-
+∞
=-=∑
(1分)
4、解:令(,)(,)()u x t V x t W x =+ (1分)
将其代入定解问题可以得到:
2,(0,0)(0,)0,(,)0
.....(1)4(,0)31(),(,0)sin tt xx t V a V x l t V t V l t x V x W x V x x l l π?
?=<<>??
==?????=+-= ?
????
(1分)
222()sin cos 0(2)(0)3,()6
a W x x x l l W W l ππ?''
+=??
?==? (1分)
(2)的解为:222
4()sin 3132l x W x x a
l l ππ?
?
=
++ ??
?
(2分)
对于(1),由分离变量法可得一般解为
1(,)cos sin sin n n n n at n at n x V x t a b l l l πππ+∞
=?
?=+ ?
?
?∑ (2分) 由初始条件可求得:
222
444(,)cos sin sin 324l a l at x
V x t t a l a l l πππππ??=-+ ??? (2分) 所以,原定解问题的解为:
222222
4444(,)cos sin sin sin 3132432l a l at x l x u x t t x a l a l l a l l πππππππ????
=-++++ ? ?????
(1分)
5、解:u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
(2分) 令 x-at=0 得 )(x ?=F (0)+G (2x ) (2分) 令 x+at=0 得 )(x ψ=F (2x )+G(0)
(2分) 所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G (x )=)2
(x
?-F(0).
(2分) 且 F (0)+G(0)=).0()0(ψ?= (1分) 所以 u(x,t)=(
?)2at x ++)2
(at
x -ψ-).0(?
(1分)
即为古尔沙问题的解。
6、解令)(),(),(x w t x v t x u +=(1分),代入原方程中,将方程齐次化,因此
x a x w x x w a x x w x v a t v cos 1)(0cos )(cos )]([2'
'2''22
222=?=+?++??=??(2分),再求
定解问题???
????
=??-
=>??=??==,
0),(cos 12sin 0,0
20
22
2
22t t t
v
x xw a x t x
v a t v v (2分)由达朗贝尔公
式
得
到
以
上
问
题
的
解
为
at
x a at x at x a
at x at a a at x t x v cos cos 1
cos sin 0
)]cos(1
)(2sin )cos(1)(2[sin 21),(222-=+---++-+= (4分)
故
.cos 1cos cos 1cos sin ),(22x a at x a at x t x u +-
=
(1分)
7、解 对y 取拉普拉斯变换),()],([p x U y x u L =(1分),对方程和边界条件同时对
y 取拉普拉斯变换得到
p p U p
dx dU p
x 1
1,1
20
+
=
==(3分),解这个微分方程得到
p p x p p x U 111),(22++=
(3分),再取拉普拉斯逆变换有1),(++=y yx y x u (2分)
所以原问题的解为1),(++=y yx y x u .(1分) 8、解:对于初值问题关于x 作Fourier 变换,得:
?????==>∈+0)0,(?),(sin )0,(?0,),,(?d ),(?d 2
22
2ωωωωωt u x F u t R x t u a t t u
(2分)
该方程变为带参数ω的常微分方程的初值问题。解得 t ja t ja e C e C t u
ωωω-+=21),(? (2分) 于是0)()0,(?,)(sin )0,(?2121=-=+==C C ja u C C x F u t ωωω
(2分)
则由)(sin 2121x F C C =
=,得:))((sin 2
1
),(?t ja t ja e e x F t u ωωω-+=。 (2分)
作像函数),(?t u
ω的Fourier 逆变换 []
at x at x at x e e x F F t u
F t x u t ja t ja cos sin )]sin()[sin(2
1
))((sin 21)],(?[),(11=++-=+===---ωωω
(2分)
9、解:设),(000y x M 为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式为
dS n
u
r r n M u M u MM MM )1ln )1(ln )((21)(000??-??-
=?Γπ (1分)
设v 为调和函数,则由第二格林公式知
0)()(2
2=??-??=?-????Γ
Ω
dS n
u
v n v u d u v v u σ (2) (1)+(2)可得
dS n u v r dS r n n v M u M u MM MM ])1ln 21(])1(ln 21)(
([)(000??Γ
Γ
??-+??-??=ππ (2分) 若能求得v 满足
???
?
??
?=<=?==0
0201ln 210
,0y MM y r
v y v π (3)
则定义格林函数v r M M G MM -=
1
ln 21),(0π,则有 dS n
G
M u M u ?Γ
??-=)
()(0 (2分)
由电象法可知,),(001y x M -为),(000y x M 的象点,故可取
1
1
ln
21MM r v π=
(1分)
显然其满足(3)。从而可得格林函数
))()()()()()((21
)1ln 1(ln 211
ln
211ln 21),(20200202000101
0y y x x y y y y x x y y r r y y G n G r r M M G MM MM MM MM ++-+-+-+---=-??=??=??-=ππππ (3分) 故而
ξξξπ
d f y x y dS n G M u M u ??+∞
∞-Γ
+--=??-=)()(1)
()(20200
0 (1分)
10、解:(1)格林函数公式(三维)为: G (M ,M 0)=0
1
4MM r π— g (M ,M 0) M ∈Ω
(2
分)
其中函数g 满足的条件为:
00
1|4MM g M g r
πΓΓ?=∈Ω??
?
=??
式中Γ为区域Ω的边界曲面 (3
分)
(2)格林函数的物理意义:在某个闭合导电曲面Γ内M 0点处放一个单位正电荷,
则有它在该导电曲面内一点M 处产生的电势为014MM r π(不考虑电介常数),
将此闭合导电曲面接地,又静电平衡理论,则M 0将在该导电曲面上产生负感应电荷,其在M 处的电势
— g (M ,M 0),并且导电面上的电势恒等于0,即有|g Γ=
1
4MM r πΓ
(5分)
最新数学物理方程期末试卷
最新数学物理方程期末试卷 出卷人:欧峥 1、长度为 l 数学物理方程期末试卷sin A t ω的力的作用,右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面;初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题.(10分) 2、长为l 的均匀杆,侧面绝热,一端温度为0度,另一端有已知的恒定热流进 入,设单位时间流入单位截面积的热量为q ,杆的初始温度分布是() 2x l x -,试 写出其定解问题.(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分): .? ?? ?? ?? ??===><?=??===x t x x u t u u u u t x x 2,0,00,40,04 022 4、分离变量法求定解问题(10分) 2 22sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)64(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法,求解波动方程的特征问题(又称古尔沙问题)(10分):
???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题(10分) ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题(10分): ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分): ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分): 222200, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=????=-∞<<+∞? 10、写出格林函数公式(三维)及满足的条件,并解释其物理意义.(10分)
成都理工大学数学物理方程试题
《数学物理方程》模拟试题 一、填空题(3分10=30分) 1.说明物理现象初始状态的条件叫( ),说明边界上的约束情况的条件叫( ),二者统称为 ( ). 2.三维热传导齐次方程的一般形式是:( ) . 3 .在平面极坐标系下,拉普拉斯方程算符为 ( ) . 4.边界条件 是第 ( )类边界条件,其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为,则方程的傅立叶变换 为 ( ) . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 ( ) . 7.根据勒让德多项式的表达式有= ( ). 8.计算积分 ( ) . 9.勒让德多项式的微分表达式为( ) . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P
10.二维拉普拉斯方程的基本解是() . 二、试用分离变量法求以下定解问题(30分):1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2
3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u
武大期末复习-数理方程教学指导纲要
第九章定解问题的物理意义 基本要求与教学内容: 1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意 义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题,掌握确 定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 本章重点: 掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法,即泛定方程和定解条件。
第十章利用积分变换解无界问题 基本要求与教学内容: 1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程,理 解其解的物理意义。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。 本章重点: 利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程
第十一章一维有界问题的分离变量 基本要求与教学内容: 1、理解分离变量法的基本概念:方法、条件、不同定解问题的通解 形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解:1)分离变量得到 的两个方程;2)由本征值问题确定相应的本征值和本征函数;3)确定关于)(t T方程的解(或者与其对应变量方程的解);4)定解问题的通解;5)由定解条件确定待定系数(通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法)。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程:1)对应齐次 方程和齐次边界条件的本征函数的确定;2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开;3)求解关于)(t T 方程的解;4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。 本章重点: ?第二类齐次边界条件的本征值和本征函数 ?用分离变量法求解一维有界问题的解 ?利用本征函数展开解一维有界非齐次方程 ?非齐次边界条件的齐次化
数学物理方程期末考试试题(A)答案
孝感学院
解:设)()(t T x X u =代于方程得: 0''=+X X λ,0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=,t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得: 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?,?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明:设代入方程: ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得: ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ,稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’)
解:设),(ηξp 是第一象限内一点,在该点放置单位点电荷,其对称点),(ηξ-p 格林函数: 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解:dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得: 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’)
数学物理方程第二版答案解析(平时课后知识题作业任务)
数学物理方程第二版答案 第一章. 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂平衡位置,试导出此线的微小横振动方程。 解:如图2,设弦长为l ,弦的线密度为ρ,则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移,取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理,消去x ?,再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证:函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法,求解波动方程的特征问题(又称古尔沙问题) ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解:u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F (0)+G (2x ) 令 x+at=0 得 )(x ψ=F (2x )+G(0)
数学物理方法期末考试规范标准答案
天津工业大学(2009—2010学年第一学期) 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示:请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为:i ee ; 三角形式为:)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心,以任意小正实数ε 为半径作一圆,则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系?). 4. 给出矢量场旋度的散度值,即=????f ? 0 . 5. 一般说来,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点,这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导,而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导,则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上,定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分,共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(,求该解析函数
最新数学物理方程期末考试试题及答案
数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程(15分) ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解:设? ??+=-at x at x ηξ=则方程变为: 0=ξηu ,)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得: )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得: )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。(15分) ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解:设)()(t T x X u =代于方程得: 0''=+X X λ,0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=,at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得:
21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?,?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三.证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明:设u e v ct -=代入方程: ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得: ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ,稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四.求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解:设),,(ζηξp 是上半平面内一点,在该点放置单位点电荷,其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数: 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x
武汉大学2008级数学物理方程试题
武汉大学2009 —2010 学年度第 一 学期 《数学物理方法》试卷(A ) 学院 专业 班 学号 姓名 分数 一.求解下列各题(10分×4=40分) 1.一条弦绳被张紧于点(0,0)与(1,0)两端之间,固定其两端,把它拉成x A πsin 的形状之后,由静止状态被释放而作自由振动。写出此物理问题的定解问题,并写出本征值和本征函数。 2.写出一维无界波动问题的达朗贝尔公式,利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题 ???????==>+∞<<-∞=-==x u x u t x u u t t t xx tt sin cos )0,(0200 并画出t =2时的波形。 3.定解问题???????==+==><<=-====2 ,sin 1,)0,0(000202t t t l x x xx tt u x u t u t u t l x u a u ,若要使边界条件齐次化,求其辅助函数,并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。 4.计算积分?-=1 12)(dx x P x I l 二.(本题15分)用分离变量法求定解问题 ???? ?????===><<=-===x l u u u t l x Du u t l x x x x xx t π2cos 0 )0,0(000 三.(本题15分)有一内半径为a ,外半径为2a 的均匀球壳,其内、外表面的温度分 布分别保持为零和θcos ,试求此均匀球壳的稳定温度分布。
四.(本题15分)计算和证明下列各题: (1) (10分) dx x J x I ?=)(03 (将计算结果中的贝塞尔函数化为零阶和一阶的,因为工程上有零阶、一阶贝塞尔函数表可查。) (2) (5分)利用递推关系证明: )(1)()('0''02x J x x J x J -= 五.(本题15分)设有一长为l 的圆柱,其半径为R 。若圆柱的侧面及下底面(0=z )接地,而上底面(l z =)保持电势分布为f (ρ)。1)写出该圆柱的电势分布的定解问题;2)本征值和本征值函数;3)定解问题的通解。 参考公式 .
数学物理方法试卷(全答案).doc
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题(共70 分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一( 6 分) 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别(6分) 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F( z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则 只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo 称为函数 F( z)的可去奇点,极点及本性奇点。 判别方法:洛朗级数展开法 A,先找出函数f(z)的奇点; B,把函数在的环域作洛朗展开 1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点; 2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点; 3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性( 6 分) 1,定解问题有解; 2,其解是唯一的; 3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些( 6 分) 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1)在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2)这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3)u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4)在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型( 6 分)
数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式( 6 分) f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式( 8 分) 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式: 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式:由三角形式得: 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数( 8 分) 7 1)( z 2) 2 (z 解: 奇点:一阶奇点 z=1;二阶奇点: z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
数理方程期末考试试题
2013-2014学年度第二学期数理方程(B )期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =(16分) (1)y x y x u 22=???(2)xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数(10分) ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。(12分) 四、用积分变换法求解下列方程。(12分)???=>+∞<∞+=). (),0()0,(,2x x u t x u u a u xx t ?五、用分离变量法求解下列方程。(15分) ????+=<=?=. 4cos 75sin 2sin |)2(,022θθθr u r u 六、用分离变量法求解下列方程。(15分) ??? ?????=+===><<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。(15分) ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。(5分) ?????==>+∞<∞++=.2),0(. cos 2),0()0,(,24x x u x x u t x u u u u t t tt xx 提示:先对泛定方程进行变换成为一个较为简单的泛定方程,再根据初始条件进行求解。可能用到的公式:略。包括极坐标和球坐标下的Laplace 变换公式、Fourier 级数及其系数的公式、Laplace 和Fourier 所有性质和变换公式及求解过程中用到的反变换公式、勒让德方程的固有值和固有函数以及勒让德函数n=1-5时的表达式。
数学物理方程期末试卷
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人:欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由,以后受到强度为sin A t ω的力的作用,右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面;初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆,侧面绝热,一端温度为0度,另一端有已知的恒定热流进入,设单位时间流入单位截面积的热量为q ,杆的初始温度分布是() 2 x l x -,试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分): .? ?? ?? ?? ??===><?=??===x t x x u t u u u u t x x 2,0,00,40,040 22 4、分离变量法求定解问题(10分) 222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)64(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法,求解波动方程的特征问题(又称古尔沙问题)(10分):
???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题(10分) ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题(10分): ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分): ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分): 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=????=-∞<<+∞?
数理方程期末试题B答案
北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷(B ) (参考答案) 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题(共80分,每题16分) 1. 求下列定解问题(15分) 2. 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题:(15分) 3. 设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。初速度为零,又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4. 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ,并由此求 出波动方程的通解。 5. 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示:1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导;2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ,其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法,有 于是 6. 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=,则可得
以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点,则问题(II )的特征值和特征函数分别为 问题(I )的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题(共2分,每题10分) 7. 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线,ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数,n 为C 的外法线方向,其方向余弦为βαcos ,cos ,则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数,在D+C 上有一阶连续偏导数,令 得到 交换u,v ,得到 上面第二式减去第一式,得到 证毕。 8. 证明关于Bessel 函数的等式:
数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案
成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题(3分?10=30分) 1.说明物理现象初始状态的条件叫( ),说明边界上的约束情况的条件叫( ),二者统称为 ( ). 2.三维热传导齐次方程的一般形式是:( ) . 3 .在平面极坐标系下,拉普拉斯方程算符为 ( ) . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第( )类边界条件,其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω,则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 ( ) . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d ( ) . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += ( ). 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([( ) . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为( ) . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是( ) . 二、试用分离变量法求以下定解问题(30分): 1.??? ? ? ????<<=??===><?=??====30,0,3,000,30,2003 222 22,0x t u x x t x x u t u t t x u u u
2.???? ? ?? ??===><?=??===x t x x u t u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题(10分) ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题(10分): ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式(10分): )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ,使它在球面上满足 θ21cos ==r u ,即所提问题归结为以下定解问题(10分):
2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷
2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷
电子科技大学研究生试卷 (考试时间: 14点 至 16 点 ,共 2小时) 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式: (学生填写) 1.把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型,指出其 类型,求出其通解. (10分) 2. 设定解问题:(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以……………
第 1页 3. 长为l 的均匀细杆,其侧面与左端保持零度,右端绝热,杆内初始温度分布为()x ?,求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4.求下面的定解问题:(10分) 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??.
第2页 5.求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.(10分) 6. 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++,求Laplace 逆变换1 (())L F s -.(10分)
数学物理方程期末试卷
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人:欧峥 、长度为 的弦左端开始时自由,以后受到强度为sin A t ω的力的作用,右端系在弹性系数为 的弹性支承上面;初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。 分 、长为l 的均匀杆,侧面绝热,一端温度为 度,另一端有已知的恒定热流进入,设单位时间流入单位截面积的热量为q ,杆的初始温度分布是 ()2 x l x -,试写出其定解问题。 分 、试用分离变量法求定解问题 分 : ?????????===><?=??===x t x x u t u u u u t x x 2,0,00,40,04022 、分离变量法求定解问题 分
222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)6 4(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???==?????=+= ????? 、利用行波法,求解波动方程的特征问题(又称古尔沙问题) 分 : ???????==??=??=+=-). ()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题( 分) ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u 、用积分变换法求解定解问题( 分): ???????=+=>>=???==,1, 10 ,0,1002y x u y u y x y x u 、用积分变换法求解定解问题 分 :
数理方程试卷A
一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u (0u 为常数) 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型,并化成标准形式. 解:因为)0(02≠<-=?y y ,所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+??? ??y dx dy …… 5分
即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换:???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ …… 10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解:x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得
2008年12月南京信息工程大学数理方程期终考试试卷A(1)
南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008年 12月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、 填空题(共60分) 1. 方程44442242(,)u u u f x y x x y y ???++=????是 四 阶 线性 (“线性”或“非线性”) 非齐次 (“齐次”或“非齐次”)偏微分方程(3分); 2. 方程222220u u a t x ??-=??的全部解可写为(,)u x y =()()f x at g x at ++-(,f g 是任意二阶连续可微函数) ;(3分) 3. 二维Laplace 方程22220u u u x y ???=+=??的基本解为(,)u x y =12π(3分) 4. 若(,)i u x t 是非齐次波动方程22222(,)i u u a f x t t x ??-=??的解,则1 (,)i i i c u x t ∞=∑满足的微分方程是222221 (,)i i n u u a c f x t t x ∞=??-=??∑;(3分) 5. 方程2222223260u u u u u x x y y x y ?????+-++=??????的类型属于 双曲型或波动方程 ,其特征方程为3dy dx =或1dy dx =-,特征曲线为 13y x c -=和 2y x c +=,可以将其化为标准型的自变量变换为3y x y x ξη=-??=+?,若要消去一阶导数项,可以通过函数变换 (,)(,) u v e λξμηξηξη+=(其中,λμ待定);(5分) 6. 定解问题2,0(,0)(),(,0)() tt xx t u a u x t u x x u x x x ?ψ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞?属于初值 问题(“初值”或“边值”),其解的表达式为(,)u x y = 11[()()]()22x at x at x at x at d a ??ψξξ+-++-+?;定解问题0u x u f x n ?=∈Ω????=∈Γ???属于
模拟试题及参考答案_数学物理方程
《数学物理方程》模拟试题 一、填空题(3分?10=30分) 1.说明物理现象初始状态的条件叫(),说明边界上的约束情况的条件叫(),二者统称为(). 2.三维热传导齐次方程的一般形式是:(). 3 .在平面极坐标系下,拉普拉斯方程算符为() . 4.边界条件 f u n u S = + ? ? ) (σ 是第()类边界条件,其中S为边界. 5.设函数 ), (t x u的傅立叶变换式为), (t Uω,则方程2 2 2 2 2 x u a t u ? ? = ? ? 的傅立叶变换 为(). 6.由贝塞尔函数的递推公式有 = ) ( x J dx d () . 7.根据勒让德多项式的表达式有 ) ( 3 1 ) ( 3 2 2 x P x P+ = (). 8.计算积分 = ?-dx x P 2 1 12 )] ( [ (). 9.勒让德多项式 ) ( 1 x P的微分表达式为() . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是() . 二、试用分离变量法求以下定解问题(30分): 1.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u 2.? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2
3. ????? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,1620020 22 222x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题(10分) ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题(10分): ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式(10分): ) (1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ,使它在球面上满足θ2 1 cos ==r u ,即所提问题归 结为以下定解问题(10分): . 0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222 πθθπθθθθ θ≤≤+=≤≤<<=????+????=r u r u r r u r r r (本题的u 只与θ,r 有关,与?无关) 《数学物理方程》模拟试题参考答案
数学物理方程习题解答案
数学物理方程习题解 习题一 1,验证下面两个函数: (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明:(1 )(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 (2)(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2,证明:()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -=
其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明:因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3, 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+,其中λ是一个待定的常数,求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解:令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数,所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=, 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解,12,f f 为任意的二阶可微函数,根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4,试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程(略去空气的阻力和杆的重量)。 解:弹性杆的假设,垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的,取杆的左端截面的形心为原点,杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元,杆的截面积为s ,由材料力学可知,微元两端处的相对伸长(应 变)分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??,又由胡克定律,微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??,因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为:()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-??