正态分布在实际生活中的应用Word版
《概率论与数理统计》
论文
正态分布在实际生活中的应用
正态分布在实际生活中的应用
摘要：
正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。其密度函数为：)2/()(2221)(σμπ
σ--=x e x f ，由μ、σ决定其性质。生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；还有智力测试、填报志愿等问题。
关键词：正态分布 实际应用 预测
正文：
正态分布（normal distribution ）又名高斯分布（Gaussian distribution ），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态分布的密度函数 ：)2/()(2221)(σμπ
σ--=x e x f ? f(x)为与x 对应的正态曲线的纵坐标高度；
? μ为总体均数即数学期望决定了其图像位置
? σ为总体标准差决定了分布的幅度；
? π为圆周率，即3.14159；
? e 为自然对数的底，即2.71828。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定，他还具有如下特征：
1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N （μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
5、u 变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
6、σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。 也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
7、3σ原则：P（μ-σ 正态分布随处可见，处处显现着他神秘的身影。对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布。也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态。 对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身：有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常。这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布。 而对于若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况。这是反向推导的过程。 生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。 例如测试智力问题： 理查德·赫恩斯坦[（Richard J. Herrnstein 1930.05.20－1994.09.13），美国比较心理学家]和默瑞（Charles Murray）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈正态分布。以某校的入学新生的智力测试为例： 假设某校入学新生的智力测验平均分数与方差分别为100与12。那么随机抽取50个学生，他们智力测验平均分数大于105的概率？小于90的概率？ 本例没有常态分配的假设，还好中心极限定理提供一个可行解，那就是当随机样本长度超过30，样本平均数x近似于一个常态变量，因此标准常态变量Z = (x –μ) /σ/ √n。 平均分数大于105的概率p = p(Z> (105 –100) / (12 /√50))= p(Z> 5/1.7) = p( Z > 2.94) = 0.0016. 平均分数小于90的概率p = p(Z< (90 –100) / (12 /√50))= p(Z < 5.88) = 0.0000. 理查德·赫恩斯坦和默瑞他们利用应募入伍者的测试结果证明，黑人青年的智力低于白人和黄种人；而且，这些人的智力已经定型，对他们进行培训收效甚微。因此，政府应该放弃对这部分人的教育，把钱用于包括所有种族在内的启蒙教育，因为孩子的智力尚未定型，开发潜力大。由于此书涉及黑人的智力问题，一经出版便受到来自四面八方的围攻。 例如高考填报志愿的问题： 高考后，考生填报志愿时，下列两个问题就显得很重要：(1)高考后(或前)希望能准确估计自己的标准分和“百分位”(百人中所处的位置)；(2)希望从考生手册中。往年高校第一志愿实际录取的最高、最低、平均分三个数据获取更多更准确的信息。不以人们意志而转移的统计规律——正态分布理论，就可以帮助我们估计，实现这两个目的。 一个学校在正常情况下，同类考生都有一、二百人以上规模，这已经算大样本容量了。 一个学校、二百个以上考生成绩在全省里面有较高相对稳定性。所以只有把每一个考生考后所估比较真实的成绩放在整个学，以大样本来分析才能保证用总体正态的特征来判断考生绩所处位置的科学性。 这里以1998年西安电子科大在福建实录第一志愿40名考生为例，当时最低、最高、平均分分别是634、714、660分，现计算分析如下： (1)把[634，714]隔10分分为8个段．把分点换算为实际标准分； X0=(634—500)／100=1．34．Xl=1．44……x8=2.14 (2)查标准正态分布表算出大“曲边梯形”面积： S=Φ(0.24)-Φ(1.23)=0.07394 (3)查标准正态分布表算出8个小“曲边梯形”面积： S=Φ(1.44)一Φ(1.34)=0.01519 S1=0.01315，S2=0.00128．S3=0.00957， S4=0.00805， S6=0.00669． S7=0.010551， S8=0.00450 (4)算出落在80分数段的(理论)录取人数40Si／S。要注意的是，根据标准 正态分布的特征．8个数据40Si／S。均应采用去尾法．所得整数作为所估实录人数，但考虑到最高分数段录取人数往往手步一人．所以如果最高分数段录取人数出现0<40Sa 总结： 正态分布广泛存在于自然现象、生产、生活及科学技术的许多领域之中, 正态布在概率和统计中占有重要地位. 统计是不可忽视的重要工具，因此我们要认真学习《概率论与数理统计》这门课程，善于利用这个工具，解决好实际生活中的问题。 参考文献： 《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等主编 百度百科 维基百科 《趣味随机问题》孙荣恒 华北水利水电学院 正态分布的性质及实际应用举例 课程名称：概率论与数理统计 专业班级：电气工程及其自动化091班 成员组成：姓名：邓旗学号： 2 姓名：王宇翔学号：1 姓名：陈涵学号：2 联系方式： 2012年5月24日 1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在 统计学的许多方面有着重大的影响力。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。 2 研究问题及成果： 正态分布性质； 3原则及标准正态分布； 实际应用举例说明 摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。总之。正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。 关键词：正态分布 The nature of the normal distribution and the example of practical application 1. 正态分布的概念 随机变量X 的概率密度2()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞， 称X 服从正态分布， 记作),(~2σμN X 。 标准正态分布(0,1)N ，其概率密度22 (),()x x x ?- =-∞<<+∞，分布函数 为 2 2 ()t x x e dt φ- -∞ = 。 2. 设 ) ,(~2σμN X ， 则 {}x P X x μφσ-?? ≤= ? ?? ， {}b a P a X b μμφφσσ--???? <≤=- ? ????? ，()x φ的数值有表可查，特别有 (0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。 3. 设),(~2σμN X ，则2(),()E X D X μσ==。 4. 设),(~2σμN X ，则),(~22σμb b a N bX a Y ++=)0(≠b 。 若),(~211σμN X ，),(~2 22σμN Y ，X 与Y 相互独立，则 ),(~2 22121σσμμ+++N Y X 。 若12,,,n X X X 相互独立，),,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ，则 ∑∑∑===n i n i n i i i i n i i i c c c c c N X c 1 1 21221 )(,(~为常数） ，，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作 ），，，，（），（γσσμμ222121~N Y X ，其中12(),() E X E Y μμ==， 2212(),()D X D Y σσ==，(,)r R X Y =。 设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。 6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的和1n i i X =∑近似服从正态 分布2(,)N n n μσ。 特别是当n 充分大时，若相互独立的随机变量12,,,n X X X 都服从“0-1”分 《概率论与数理统计》 论文 正态分布在实际生活中的应用 正态分布在实际生活中的应用 摘要： 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。其密度函数为：)2/()(2221)(σμπ σ--=x e x f ，由μ、σ决定其性质。生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；还有智力测试、填报志愿等问题。 关键词：正态分布 实际应用 预测 正文： 正态分布（normal distribution ）又名高斯分布（Gaussian distribution ），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 正态分布的密度函数 ：)2/()(2221)(σμπσ--= x e x f ? f(x)为与x 对应的正态曲线的纵坐标高度； ? μ为总体均数即数学期望决定了其图像位置 ? σ为总体标准差决定了分布的幅度； ? π为圆周率，即； ? e 为自然对数的底，即。 我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。 服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定，他还具有如下特征： 1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。 6、σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。 7、3σ原则：P（μ-σ 大数据是当前很热的一个词。这几年来，云计算、继而大数据，成了整个社会的热点，不管什么，都要带上“大数据”三个字才显得时髦。大数据究竟是什么东西?有哪些相关技术?对普通人的生活会有怎样的影响?我们来一步步弄清这些问题。 一、基本概念 在讲什么是大数据之前，我们首先需要厘清几个基本概念。 1.数据 关于数据的定义，大概没有一个权威版本。为方便，此处使用一个简单的工作定义:数据是可以获取和存储的信息。 直观而言，表达某种客观事实的数值是最容易被人们识别的数据(因为那是“数”)。但实际上，人类的一切语言文字、图形图画、音像记录，所有感官可以察觉的事物，只要能被记下来，能够查询到，就都是数据(data)。 不过数值是所有数据中最容易被处理的一种，许多和数据相关的概念，例如下面的数据可视化和数据分析，最早是立足于数值数据的。 传统意义上的数据一词，尤其是相对于今天的“大数据”的“小数据”,主要指的就是数值数据，甚至在很多情况下专指统计数值数据。这些数值数据用来描述某种客观事物的属性。 2.数据可视化 对应英语的data visulization(或可译为数据展示)，指通过图表将若干数字以直观的方式呈现给读者。比如非常常见的饼图、柱状图、走势图、热点图、K线等等，目前以二维展示为主，不过越来越多的三维图像和动态图也被用来展示数据。 3.数据分析 这一概念狭义上，指统计分析，即通过统计学手段，从数据中精炼对现实的描述。例如:针对以关系型数据库中以table形式存储的数据，按照某些指定的列进行分组，然后计算不同组的均值、方差、分布等。再以可视化的方式讲这些计算结果呈现出来。目前很多文章中提及的数据分析，其实是包括数据可视化的。 第一节正态分布的概念和特征 一、正态分布的概念 由表1.1的频数表资料所绘制的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图3.1（3）。这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。 图3.1频数分布逐渐接近正态分布示意图 为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。 （3.1） 该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布 (standard normal distribution)，亦称u分布。u被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate）。 二、正态分布的特征： 1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。 2．正态分布以均数为中心，左右对称。 3．正态分布有两个参数，即均数和标准差。是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。 是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。 通常用表示均数为，方差为的正态分布。用N（0，1）表示标准正态分布。 4．正态曲线下面积的分布有一定规律。 实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。 查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数和标准差S分别代替μ和σ，按式求得u 值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。 正态分布曲线下有三个区间的面积应用较多，应熟记：①标准正态分布时区间（-1,1）或正态分布时区间（μ-1σ,μ+1σ）的面积占总面积的68.27%；②标准正态分布时区间（-1.96,1.96）或正态分布时区间（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面积占总面积的95%；③标准正态分布时区间（-2.58,2.58）或正态分布时区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面积占总面积的99%。如图3.2所示。 图3.2 正态曲线与标准正态曲线的面积分布 考试：大数据概述及基本概念 试卷年份：2015年 题量：10题 答题时间：分钟 总分：100分 合格线：60分 1 【单选】下列不属于商业大数据类型的是（） A. 传统企业数据 B. 机器和传感器数据 C. 社交数据 D. 电子商务数据 A B C D 正确答案：D 2 【单选】信息技术是指有关信息的收集、识别、提取、变换、存贮、传递、处理、检索、检测、分析和利用等的技术。凡涉及到这些过程和技术的工作部门，都可称作（）部门 A. 技术 B. 研究 C. 信息 D. 管理 A B C D 正确答案：C 3 【单选】数据本身所承载的信息内容是指（） A. 内容维度 B. 关系维度 C. 时空维度 D. 维度的交叉综合 A B C D 正确答案：A 4 【多选】大数据平台的三个重要的技术部分有（） A. 数据交易技术 B. 数据交互技术 C. 数据存储技术 D. 数据处理技术 A B C D 正确答案：A B D 5 【多选】互连网上出现的海量信息可以划分为三种，分别为（） A. 结构化信息 B. 非结构化信息 C. 半结构化信息 D. 特殊化信息 A B C D 正确答案：A B C 6 【多选】“大数据”的特点是（） A. 数据体量大 B. 数据类别大 C. 数据处理速度快 D. 数据真实性高 A B C D 正确答案：A B C D 7 【判断】结构化数据是指不方便用数据库二维逻辑表来表现的数据（） A. 正确 B. 错误 正确 错误 正确答案：错误 8 【判断】数据存储是大数据平台的根本。没有了存储平台，数据也就没有了载体（） A. 正确 B. 错误 正确 错误 正确答案：正确 9 【判断】可视化是给机器看的，数据挖掘就是给人看的（） A. 正确 B. 错误 正确 错误 正确答案：错误 10 【判断】全球数据的90%产生于过去2年内（） A. 正确 B. 错误 正确 错误 正确答案：正确 第一章工作分析的概述 第一节工作分析的基本概念 很多管理者在管理工作中常常会被这样一些问题所困扰： 各个职位的工作职责不清，有的工作没有人去做，有的工作看似很多人都在做，其实如果这项工作出了问题，大家就互相推卸责任，因为并没有明确的规定这项工作到底是谁的责任。 组织中一些重要的工作由于没有人负责而被耽搁，造成组织的某些重要职能无法在具体的工作中得以实现；而有些简单的工作，由于很多人在重复地做，工作环节过于繁琐而使得工作效率低下；有的事情由于没有人负责而变成了突发事件，管理人员花费很多事件在处理具体问题。 不同职位的权限不清楚，出了事情不知该由谁负责，很多事情无法及时做出决策。 对人们的工作结果和表现进行考核时，缺乏绩效的指标和标准。 对人员进行招聘和任用时，不知任职者应具备哪些条件，具备什么样素质的人能够胜任工作。 如何解决类似上面的这些问题呢？解决这些问题的方法之一就是运用系统性的方法收集有关工作的各种信息，确定组织中各个职位的工作职责、权限、关键绩效指标、对任职者的基本要求等，这就是工作分析所要做的工作。 一个组织中会有各种各样的职能，例如生产、销售、财务、人事、研发等等，这些职能需要由各个职位上的人来承担，工作分析就是将组织中的各项职能有效地分解到各个职位上。而在每一个职位上，明确地规定这个职位的目的或使命，规定该职位所承担的各项职责与所需完成的各项任务，并针对其职责和任务规定相应的绩效标准，明确各个职位与组织内外其它单位和个人所发生的关联关系，规定各个职位的权限，确定职位任职者的基本要求。工作分析是一项对事物进行分解的活动。分解就是将事物拆分成各个组成部分，同时研究这些组成部分是怎样构成整体的。因此，工作分析不仅仅关注构成整体的各个组成部分，即各个职位，同时关注各个职位之间的相互关系、各个职位与整个组织的关系、它们在整个组织中的地位和作用以及组织与其中的各项工作之间不断变化的关系。 工作分析能使工作目标、职权范围和工作流程与规范的变化适应组织变革与发展的要求。在以下几种情况下，组织最需要进行工作分析： 当新的组织建立时，需要分解和确定各项工作内容和条件时 当组织发展变化而使工作内容发生变化或产生新的工作内容时 论正态分布的重要地位 和应用 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 本科毕业论文（设Array计） 题目：论正态分布的重要地位和应用 学部：工学部 学生姓名：王梅影 年级：2011级 专业班级：信息与计算科学 指导教师：赵姣珍职称：讲师 完成时间：2015/5/15 中国·贵州·贵阳 成果声明 本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名： 日期年月日 目录 摘要：正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,是概率论中最重要的一中分布.在理论上和实际生活中正态分布具有重要地位，数理统计中的正态分布是很多重要问题的解决的基础，在理论研究中占有举足轻重的地位.本文首先针对正态分布这一理论研究与实际应用都占有重要地位的概率分布展开分析研究，从其基本概念出发，然后分析其特性以及各种应用价值，最后通过一系列研究给出正态分布具有重大作用的理论依据. 关键词：正态分布标准正态分布方差标准差 Abstract: The normal distributionis the most common distribution of acontinuous random variablewhether in theoretical research orpractical application. It occupiespride of placein that ithas awideapplication in the field . It cansolve many important problemsin the mathematical statisticswhich based on the normal distribution forthe normal distribution,soin theory to studythe normal paper analysis the normal probability distributionaccording to thetheoretical research and practical application which occupy an important position in many science fields from the basicconcept,analysis andapplication value of itscharacteristics.The theoretical basisis giventhrough a series ofstudies onthe normal distributionhas a significant role. Key words: The normal distribution Standard distribution Thecurve Standard deviation 正态分布 科技名词定义 中文名称：正态分布 英文名称：normal distribution 定义1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。 所属学科：生态学（一级学科）；数学生态学（二级学科） 定义2：一种最常见的连续性随机变量的概率分布。 所属学科：遗传学（一级学科）；群体、数量遗传学（二级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 百科名片 编辑本段 正态分布的由来 normal distribution 正态分布 一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。 正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。 生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中 考试：大数据概述及基本概念 1 【单选】下列不属于商业大数据类型的是（） ? A. 传统企业数据 ? B. 机器和传感器数据 ? C. 社交数据 ? D. 电子商务数据 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：D 2 【单选】信息技术是指有关信息的收集、识别、提取、变换、存贮、传递、处理、检索、检测、分析和利用等凡涉及到这些过程和技术的工作部门，都可称作（）部门 ? A. 技术 ? B. 研究 ? C. 信息 ? D. 管理 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：C 3 【单选】数据本身所承载的信息内容是指（） ? A. 内容维度 ? B. 关系维度 ? C. 时空维度 ? D. 维度的交叉综合 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：A 4 【多选】大数据平台的三个重要的技术部分有（）? A. 数据交易技术 ? B. 数据交互技术 ? C. 数据存储技术 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：A B D 5 【多选】互连网上出现的海量信息可以划分为三种，分别为（）? A. 结构化信息 ? B. 非结构化信息 ? C. 半结构化信息 ? D. 特殊化信息 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：A B C 6 【多选】“大数据”的特点是（） ? A. 数据体量大 ? C. 数据处理速度快 ? D. 数据真实性高 ? B ? C ? D ?正确答案：A B C D 7 【判断】结构化数据是指不方便用数据库二维逻辑表来表现的数据（） ? A. 正确 ? B. 错误 ?正确 ?错误 ?正确答案：错误 8 【判断】数据存储是大数据平台的根本。没有了存储平台，数据也就没有了载体（）? A. 正确 ? B. 错误 ?正确 正态分布概念及图表 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。 目录 1历史发展 2定理 3定义 ?一维正态分布 ?标准正态分布 4性质 5分布曲线 ?图形特征 ?参数含义 6研究过程 7曲线应用 ?综述 ?频数分布 ?综合素质研究 ?医学参考值 历史发展 正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。 其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差”之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性）为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。 定理 由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x 的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。 为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。 若 服从标准正态分布，通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例）。 正态分布在实际生活中 的应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 《概率论与数理统计》 论文 正态分布在实际生活中的应用 正态分布在实际生活中的应用 摘要： 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的分布，在的许多方面有着重大的影响力。其密度函数为：)2/()(2221)(σμπ σ--=x e x f ，由μ、σ决定其性质。生产与实验中很多的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗度、口径、长度等指标；还有智力测试、填报志愿等问题。 关键词：正态分布 实际应用 预测 正文： 正态分布（normal distribution ）又名（Gaussian distribution ），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的分布，在的许多方面有着重大的影响力。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 正态分布的密度函数 ：)2/()(2221)(σμπ σ--=x e x f ? f(x)为与x 对应的正态曲线的纵坐标高度； ? μ为总体均数即数学期望决定了其图像位置 ? σ为总体标准差决定了分布的幅度； ? π为圆周率，即； ? e 为自然对数的底，即。 我们通常所说的是μ = 0,σ = 1的正态分布。 服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定，他还具有如下特征： 1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为，左右完全对称。正态分布的均数、、相同，均等于μ。 6、σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。 7、3σ原则：P（μ-σ 学部：工学部 学生姓名：王梅影 学号：2011070102021 年级：2011级 专业班级：信息与计算科学 指导教师：赵姣珍职称：讲师完成时间：2015/5/15 中国·贵州·贵阳 成果声明 本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名： 日期年月日 目录 摘要 (1) Abstract (2) 1绪论 (3) 1.1研究背景 (3) 1.2研究目的 (3) 1.3研究现状 (4) 1.4研究意义 (4) 2 正态分布相关知识介绍 (5) 2.1正态分布的概念 (5) 2.2正态分布曲线特性 (5) 2.3 标准正态分布 (8) 3 正态分布的应用 (9) 3.1 正态分布应用实例 (9) 3.1.1 正态分布在生产中的应用 (9) 3.1.2正态分布在日常生活中的应用 (10) 3.1.3正态分布在销售分类中的应用 (11) 3.1.4正态分布在工作学习中的应用 (12) 3.1.5 正态分布在仪器测量中的应用 (12) 3.2 正态分布的应用价值 (14) 总结 (15) 参考文献 (16) 致谢 (17) 摘要：正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,是概率论中最重要的一中分布.在理论上和实际生活中正态分布具有重要地位，数理统计中的正态分布是很多重要问题的解决的基础，在理论研究中占有举足轻重的地位.本文首先针对正态分布这一理论研究与实际应用都占有重要地位的概率分布展开分析研究，从其基本概念出发，然后分析其特性以及各种应用价值，最后通过一系列研究给出正态分布具有重大作用的理论依据. 关键词：正态分布标准正态分布方差标准差 第二章 需求曲线和供给曲线概述以及有关的基本概念 1． 已知某一时期内某商品的需求函数为505d Q P =-，供给函数为 105s Q P =-+。 （1）求均衡价格e P 和均衡数量e Q ，并作出几何图形。 （2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为605d Q P =-。求出相应的均衡价格e P 和均衡数量e Q ，并作出几何图形。 （3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使攻击函数变为55s Q P =-+。求出相应的均衡价格e P 和均衡数量e Q ，并作出几何图形。 （4）利用（1）（2）和（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。 （5）利用（1）（2）和（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响。 解答：（1）将需要函数505d Q P =-和供给函数105s Q P =-+代入均衡条件 d s Q Q =，有： 505105P P -=-+ 得 6e P = 以均衡价格6e P =代入需求函数505d Q P =-，得： 505620e Q =-?= 或者，以均衡价格6e P =代入供给函数105s Q P =-+，得： 10562 0e Q =-+?= 所以，均衡价格和均衡数量分别为6e P =，20e Q =。如图１－１所示。 P 12 105S Q P =-+ 10 8 6 4 2 405S Q P =- -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 图1——1 （２）将由于消费者收入水平提高而产生的需求函数605d Q P =-和原供给函数 105s Q P =-+，代入均衡条件d s Q Q =，有： 605105P P -=-+ 得 7e P = 以均衡价格7e P =代入605d Q P =-，得： 605725e Q =-?= 或者，以均衡价格7e P =代入105s Q P =-+，得： 105725e Q =-+?= 所以，均衡价格很均衡数量分别为7e P =，25e Q =。如图１－２所示。 55s Q P =-+，代入均衡条件d s Q Q =，有： 50555P P -=-+ 得 5.5 e P = 以均衡价格 5.5e P =代入505d Q P =-，得： 正态分布的实际应用问题 例5 (2019·黄冈模拟)某市高中某学科竞赛中，某区4000名考生的竞赛成绩的 频率分布直方图如图所示． (1)求这4 000名考生的平均成绩x (同一组中数据用该组区间中点值作代表)； (2)认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差s 2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求P (ξ≤3)．(精确到0.001) 附：①s 2＝204.75，204.75＝14.31； ②z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ 第2章相关理论概述 2.1 内控理论 2.1.1 内部控制的概念 美国会计协会《内部控制》一文中明确指出，“内部控制值得是组织机构内设计与企业内部相互协调的措施与方法”；1992年，美国COSO报告指出，内部控制受到了董事会、管理者及其他员工的影响，是为了确保财务报告准确、可靠、合法、有效而提供一系列保证的过程；我国《独立审计具体准则第九号》中指出，“内部控制是为了确保相关业务合理有效进行，而采取措施，保证会计信息合法、完整、有效的政策及程序”；显然，这可以看做从国际领域到国内范围对于内部控制的重视实践。实际上，企业管理者对于内部程序管控不足、意识较差造成的重大失误和负面影响同样频仍。这些不仅抹黑了金融机构的形象，也造成了管理秩序与制度的混乱。即便对于某些已经采取了管控的农村商业银行，其操作中的独立因素和损失关系较难界定，造成的损失也难以估量。因此，如何借助风险管理的内容，不断提高服务的基本效率、优化服务的业务流程、降低整体的管理成本，显得极为重要。针对上述现状，我们将内部控制定义为：在特定的环境下，特定企业为达到主体特定目标而采取的管理方法与程序。 2.1.2内部控制的目标 要讨论内部控制的目标，我们首先要明确内部控制不当产生的风险，进而采取具有针对性的目标设置。内部控制的分类标准不同，具体的分类结果也就不同。从大的范围来看，内部控制风险可以分析损失事件以及非损失事件两种。其中，损失事件从主要类型、成因、损失的形态、后果程度等维度又可以分为不同的类型。第一，如果从损失的实践分类，可以分为内部的欺诈行为、外部的欺诈行为、客户业务活动、产品、资产损害、信息系统的事件、具体的执行交割等管理。第二，如果从业务的基本条线来看，损失的风险事件主要到公司的金融、销售、零售银行、支付及清算、资产管理、其他业务；第三，从风险的具体形成原因来说，内部控制风险产生可以从内部事件的程序、外在的人员原因、信息技术以及科技系统等方面的原因、外部的事件等方面的因素。第四，从信贷操作风险的损失基本形态的角度来说，内部控制产生的损失形态能够从七个角度进行分析，分别是资产上的损失、诉诸法律的基本成本、监管被罚款数量、对外赔偿的金额、追索上的效果、银行账目信息、其他损失等。第五，信贷操作风险后果严重程度上来区分，信贷操作风险的损失又可以从重大事件和一般事件进行分类。 针对上述风险类型，我们的内控目标需要从如下几个角度入手。一是强化对于董事会作为主体的内部控制目标，对外实现股东利益的最大化，对内保证公司经营的合法性、有效性和财务安全。二是对于经理人为目标的内控。经理人是公司的实际运营者和经营执行者，对于经理人的内控主要是更好地完成董事会交付的各种责任，其初衷与董事会内控基本类似。 正态分布在生活中的应用 摘要：正态分布和概率论在统计学中占有非常重要的地位，它广泛存在于自然现象、生产、生活以及科技领域，本文运用正态分布理论对现实生活中的一些问题进行详细解答。 在概率论与数理统计中，最重要的分布就是正态分布。正态分布的重要性在于：实际生活中有许多随机变量服从或近似服从正太分布（如一个人群中成年男子的身高、体重，工件的测量误差，气象学中的温度、湿度等）；正态分布的密度函数与分布函数具有许多良好的性质；正态分布是许多分布的极限分布；正态分布在数理统计中的基础作用等。所以，许多实际问题与理论问题的解决，都离不开正态分布。 一、安排座位数量问题 某学院有学生1600人，午餐时间到学院食堂就餐人数最多，约占学生人数的3/4，问学院食堂最多安排多少座位，使空座位超过100个的概率不超过 解：设X表示午餐时就餐人数，则X～B(1600,3/4)，np=1200，npq=300，近似地有X～ N(1200,300).设应安排N个座位，因为(N-100-1200)/ √300～N(0,1)，则 P(X≤N-100)≈Φ[(N-100-1200)/√300]≤ 查表得Φ（）=，故有（N-1300）/√300 ≤ 从而有N≤，即最多安排1259个座位。 二、学生考试问题 某专业招收研究生20名，其中有10名免费，报考人数为1000人，考试满分为500分。经过考试后才知道此专业考试总平均成绩为μ=300分，如果招收研究生的分数线确定为350分，试问，现在某人考360分，他有没有可能被录取为免费生 解：研究生考试成绩X～N(μ,σ2)，由已知μ=300，而σ未知。研究生考试分数超过350分的考生频率应该近似等于事件(X≥350)的概率， 所以有P(X≥350)=20/1000=，即P(X<350)=，即Φ（（350-300）/σ）= 查标准正态分布表Φ=≈ 所以取50/σ = ，解得σ=50/ 此人能否被录取为免费生，需估计一下他的排名，也就是算一下分数高于360分的概率， 正态分布的现实应用 摘要：连续型随机变量中，最重要的分布就是正态分布。本文将就正态分布在教育、医学、气象、林分等几个不同领域中的应用展开探讨，并得出正态分布在生活中广泛存在的结果。并且，根据得到的一些现象，我们可以知道理应服从正态分布的现象分布会不一定符合正态分布，这其中有很多的影响因素。 关键词：正态分布教育医学降雨林分 正态分布是最重要的一种概率分布。德国数学家高斯率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。适用于服从正态分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。为了控制实验中的测量误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量误差服从正态分布。正态分布是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和线性回归等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的 教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布。因而正常的考试成绩分布应基本服从正态分布。考试分析要求绘制出学生成绩分布的直方图，以“中间高、两头低”来衡量成绩符合正态分布的程度。其评价标准认为：考生成绩分布情况直方图，基本呈正态曲线状，属于好，如果略呈正或负的态状，属于中等，如果呈严重偏态或无规律，就是差的。生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。从概率统计规律看，“正常的考试成绩分布应基本服从正态分布”是正确的。但是必须考虑人与物的本质不同，以及教育的有所作为可以使“随机”受到干预，用曲线或直方图的形状来评价考试成绩就有失偏颇。现在许多教育专家已经通过实践论证，教育是可以大有作为的，可以做到大多数学生及格，而且多数学生可以得高分，考试成绩曲线是偏正态分布的。但是长期受到“中间高、两头低”标准的影响，限制了教师的作为，抑制了多数学生能够学好的信心。这是很大的误会。通常正态曲线有一条对称轴。当某个分数或分数段的考生人数最多时，对应曲线的最高点，是曲线的顶点。该分数值在横轴上的对应点与顶点连接的线段就是该正态曲线的对称轴。考生人数最多的值是峰值。我们注意到，成绩曲线或直方图实际上很少对称的，称之为峰线更合适。 某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或正态分布的性质及实际应用举例
正态分布的概念
正态分布在实际生活中的应用
大数据基本概念及技术
正态分布的概念和特征
大数据概述及基本概念
工作分析的概述工作分析的基本概念
论正态分布的重要地位和应用
正态分布定义 (2)
2017继教001-考试：大数据概述及基本概念
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布在实际生活中的应用
论正态分布的重要地位和应用2要点
需求和供给概述以及有关的基本概念1汇总
正态分布的实际应用问题
第2章 相关理论概述
正态分布在生活中的应用
正态分布的现实应用