随机信号分析基础第三章课后答案

第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。同样均方值也应是常数。（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。则称他们是联合宽平稳的。

第三章

Chapter 3 ==========================================

3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为

()02

222

>=

-

a e

a

a P a A ，σσ

，()πΦ20，

在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:

()[]()

()0021

21020

2222

200

02

22

2=⇒+=*+=

⎰

⎰⎰⎰∞

-

-

∞

φφωπσφπσφωX E π

σ

σ

πd t cos da e a a dad e

a

t cos a t a a ()()()[]()()

()()

()()[]()()()()()1202120212020

21202022212020

220

21012022022

20

2010022

2

22

20020

1021212

1

22112210212212

121221212

22

2222

22

2

2

22

2t t cos t t cos t t cos de

t t cos da e e a t t cos de

a d t t cos t t cos a d e

a d t cos t cos da e

a

a

dad e a

t cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-

∞

∞---

∞

∞

-

∞

-

-∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφ

φωωπσφπ

φωφωσφ

σ

πφωφωX X E σσσσπ

σ

π

σ

σπ

XX ）

（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

∴()t X 是平稳过程

另解：

()[][][][]

[]

))(cos()cos())(cos()cos(),(;

][)][cos()]cos([Φ++Φ+=Φ++Φ+=+==Φ+=Φ+=X E τωωτωωτωωt t E A E t t A E t t R x A E t E A E t A E t 0020020000

[][][]

)

cos()cos())cos((τωτωτωω02

00022

222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程

3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,

为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。 解：

)()()()()([),(tan )()()()()()([)](''''

'''

'τφφτφφφτφφ

φτφφφτφττφφφ

φφφφφτ

ττ

τ

R d S T d S T

d t t S T d T t t S t t t t R t cons dx x S T dx x S T d S T

d t S T d T t S d T t S t T

t

T T

T

T

T T t

T T T =+=+=+++=+++=Φ++Φ+=+====+=

+=+=Φ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++++0

t 0

00

t

00)S(1)S(1)S(1

1)S()])S(S(E 1

11

1

11 )]S(E t E[X ∴()t X 是平稳过程

3.4 设X(t)随相周期过程, 图？给出了其一个样本函数，周期T,幅度a 都是常数，t0为（0，

T ）上均匀分布。求均值。

解： 样本函数为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

++≤≤+

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--++≤≤+-=∑∑∞

∞-∞

∞

-4

T nT t 8T nT t )nT 4T -t -(t T

8a 8

T

nT t nT t )nT t -(t T 8a )t (x 000000t t

8a )8T ((T/8)-T 4a )4T t -(t )t -(t T 4a )dt 4T

t -(t )dt t -(t T 8a x(t)dt T 1)]t (X [E 22

2T/8-t T/4-t 20t T/8-t 202T/8-t T/4t 00t T/8-t 00200000=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--

=⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡---=⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==⎰⎰⎰-∞∞- otherwise 0t X E =)]([

3.6 随机过程)t (Acos

)t (X 0Φ+=ω A 或为随机变量或不是， 式中0ω为常数，

)2,0(~πΦ上均匀分布，求：（1）时间自相关函数及集自相关函数。（2）A 具备什么

条件两种自相关函数才相等。 解：

(1) 集自相关

{}

()(){}

())

(cos 2

1

][)

t t (cos 21

][)t t (cos )2t t (cos E ]A [E )t (cos )t (cos A E )t ,t (R 02210221021022010221τωωωωωωA E A E =-=-+Φ++=Φ+Φ+=

（2）时间自相关

[]2

2)

(dt )()(lim

dt

)()(lim )(T

T

T T

T T τωτωΦτωωΦτωωΦωτ02

0002

0002

cos A cos t cos 2T21

A t cos t cos A 2T 1R =+++=+++=⎰⎰-∞→-∞→

22A ]A [E =∴时， 即A 为常数时，两者相等。

3.7随机过程Bcost Asint )t (X += 式中，A ，B 均为零均值的随机变量，求证：X(t) 是均值各态历经， 而均方值无各态历经性。 解：

E[X(t)]= 0E[B]cost E[A]sint Bcost]E[Asint =+=+

0Bcost]dt [Asint 21

[X(t)]E 20

=+=

⎰

π

π

()t

]cos E[B t ]sin E[A ostsint 2E[A]E[B]c t ]cos E[B t ]sin E[A ]Bcost Asint E[(t)]E[X 2

2

2

2222

22

2

+=++=+=

)(222

20

2

B A 41

dt Bcost][Asint 21(t)][X E +=

+=

⎰

π

π

π

故，X(t)均值各态遍历，均方值则非。

3.8 设X(t) 与Y(t)为统计独立的平稳过程，求证他们的乘积构成的随机过程Z(t)=X(t)Y （t ）

也是平稳的。 解： Y X m m t E t ===)]Y [)]t (X [E )]Y )t (X [E )]t (Z [E （（

{}{}{})

t ,t (R )t ,t (R ))Y(t Y(t E ))X(t X(t E ))Y(t )X(t )Y(t X(t E )t ,t (R 21Y 21X 2221221121Z ===

∴()t X 是平稳过程

3.9设X(t) 与Y(t)为单独和联合平稳，求： （1）Z （t ）=X(t)+Y(t)的自相关函数 （2）X(t)与Y （t ）统计独立时的结果

（3）X(t)与Y （t ）统计独立时且均值为零时的结果。 解：

{}{})

()()()(),(ττττXY XY Y X 22212121221121Z R R R R ))Y(t Y(t ))Y(t X(t ))X(t Y(t ))X(t X(t E )]Y(t ))][X(t Y(t )[X(t E t t R +++=+++=++=

Y X Z m 2m R R R ++=)()()(τττY X )()()(τττY X R R R Z +=

3.10 平稳过程X(t)的自相关系数为：πτπτττ

cos3cos 4e )(R X +=-

（1） 求E[X2(t)]和2

σ

（2） 若将正弦分量视为信号，其他为噪声，求功率信噪比 解：

（1）

5

R 1lim 5

140R )]t (X [E 2X 222

X 2=-==∞==+==∞→m T

m T ψσ）（）（ πττcos3R S =)(; 10R S =)(

πτττ

cos 4R N -=e

)(； 40R N =)(

41/=N

S

3.12随机过程X(t)为：

)t (A c o s )t (X Φ+=ω，式中A,0ω, Φ统计独立随机变量， 其

中 A 的均值为2，方差位4， ),(~ππ-Φ上均匀分布。]5,5[~-ω上均匀分布，X （他t ）是否各态历经，并求出相关函数。

解：

{}0

t]E[sin sin E E[cos t cos E A E tsin sin tcos cos E A E t A]E[cos E t E[X =Φ-Φ=Φ-Φ=Φ+=]

[]][][][][)]([)](ωωωωω

0)dt t cos(w a 2[X(t)]E i

i

/20

i

i

i

=Φ+=

⎰ωππ

ω

所以是均值各态历经。

3.13 设X(t) 与Y(t)为平稳过程，且相互独立，他们的自相关函数分别为：

()()2

3Y 2X 9R cos 2R ττ

τωτ

τ--+==e

e

设 Z （t ）=VX(t)Y(t)

V 是均值为2，方差为9的随机变量，求Z(t)的均值，方差，和相关函数。 解：

()()()()2

32232990210

902202

2

Y

X

m e

m

e

e cos e

==+=∞===∞=+===----ττ

ττ

ωτY X Y X R R R R

{}{})

()(V [E V [E ),(ττY X 2221221121Z R ]R ))Y(t )}E{Y(t )X(t X(t ]E )])Y(t )][VX(t )Y(t [VX(t E t t R 22===

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛+*=--232926ττ

ωττe

cos e

Z R ()()()260

0260

002=∞-===Z Z Z R R R E[Z(t)]Z σ

3.14 设X(t)是雷达的发射信号，遇到目标后的回波信号 1,1),(ττ<<-a t aX 是信号返回时间，回报信号必然伴有噪声，计为N(t), 于是接收到的全信号为：

)t (N )-t (aX )t (Y 1+=τ

（1） 若X （t ）和Y （t ）联合平稳，求互相关函数()τXY R

（2） 在（1）条件下，N(t)均值为零，并与X(t)相互独立，求()τXY R 解：

{}{}{}XY 12111211212X 1

XN 12R (t ,t )E [(aX(t -)N(t )]Y(t )aE X(t -)Y(t )E N(t )X(t )aR -R (t t )ττττ=+=+=+（），

（2）

{}{}{}XY 12111211212X 1XN 12X 1

R (t ,t )E [(aX(t -)N(t )]X(t )aE X(t -)X(t )E N(t )X(t )aR -R (t t )aR -ττττττ=+=+=+=（），（）

3.15

设X(t) 与Y(t)单独且联合平稳，且相互独立，

)

t bsin(Y(t)t cos a X(t)00Φ+=Φ+=ωω）（ 式中 a,b 为常量，),(~ππ-Φ上均匀分布。

求 互相关函数()τXY R ， 并讨论在本题的具体情况下，0=τ的互相关函数的意义。 解：

{}{}{}{})sin(2ab

)sin(2ab

)2)(2t sin(E 2ab )sin()2)(2t sin(E 2ab

)sin()2)(2t sin(E 2ab

)(t in b t cos [a E )t ,t (R 0010010010101021XY τωτωτωτωτωτωτωτωω=+Φ++=+Φ++=+Φ++=

Φ++Φ+=）

（）（s

()00R XY ==τ 表明了X(t)，Y （t ）两过程同时刻正交。

3.16 设X(t) 与Y(t)为非平稳过程，且相互独立，

)

t B(t)sin(Y(t)t cos A(t)X(t)00ωω==）（ 式中 A （t ）,B(t)为相互独立且均值为零的平稳过程，并有相

同的相关函数，求证：Z （t ）=X(t)+Y(t)是宽平稳过程。 证明：

0)]t (B(t)sin )t (A(t)cos [E )]t (E[Z =+=

{}

[][]

)

cos()()t cos(t )t cos(t )(5.0)t cos(t )t cos(t )(0.5]sint sint )t (B )t (B costsint )t (2A(t)B cost cost )t (A )t (A [)]Y(t ))][X(t Y(t )[X(t E )t ,t (R A 2121B 2121A 21212121221121Z ττττR R R E =+--+-++=++=++=

3.17 如图所示的随机过程X(t)的样本函数，它在a 0nt t +时刻有宽度为b 的矩形脉冲，脉冲幅度以等概率取a ±，0t 是在周期a t 上均匀分布的 随机变量，而且0t 解：

[]a c n b t t c s s ±=±±=+-----=,......2,1,0,)n t t (U )n t t (U )t (x 00

[][]{}

[][]{}[][]()(){}()

-

--≤≤--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+--=+-----+-----=+-----+-----=+-----+-----=⎰s

s

s s s s s

t s s s s s s s s s s s s s others it b t i b b t c t b t t c b t t b t t t c b t t b t t c b t t b t t c s

ττ)1(01]E[n t t n t t 1

]

E[dt

)n t t (U )n t t (U )n t t (U )n t t

(U 1]

E[)n t t (U )n t t (U )n t t (U )n t t (U ]E E[)n t t (U )n t t (U )n t t (U )n t t (U E )t ,t (R 220210120

02020101

202020101202020101221Z

[]

s

s t t c b

a b 1]

E[)0(R (t)X E 22X 2=== 3.20 设X(t)为零均值的高斯平稳过程，若又有一个新的随机过程Y(t)满足)t (X )t (Y 2

=,求证：)(2R )0(R )(R 2

X 2

X Y ττ+= 证明：

=

=+=)]t (X [E )]t (X )t (X [E )t ,t (R 22221Y τ

？？？？？？？？？？？？

3.21 设 U （t ）是电阻热噪声产生的电压随机过程，并有平稳高斯分布，若RC=10-3s

F 38x10.3x1C 9

-=,T=300K, 并知热噪声电压的自相关函数为：

RC

c C kT a 1

,)(R U ==

-αττ 式中 J/K,38x10.1k 23

-=为波尔兹曼常数，求热噪声电压的均值，方差，及在某一时刻

电压超过1uV 的概率。 解：

12

U 2X 2U 2

X 10)(R -R(0)R(0);0)(R m --==∞=====

∞=C

kT

C

kT c C

kT X

a σψτ

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=

C kT v C

kT v f 2exp 21)(2

π {}{}

0.1587

8413.012exp 21

12exp 21

1101101

2102

666

=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--

=≤-=>⎰⎰

∞

-∞

----dv

v dv C kT v C

kT v P v P ππ

3.14 设X(t)是雷达的发射信号，遇到目标后的回波信号 1,1),(ττ<<-a t aX 是信号返回时间，回报信号必然伴有噪声，计为N(t), 于是接收到的全信号为： )t (N )-t (aX )t (Y 1+=τ （3） 若X （t ）和Y （t ）联合平稳，求互相关函数()τXY R

（4） 在（1）条件下，N(t)均值为零，并与X(t)相互独立，求()τXY R 解：

{}{}{})t t (R -R a ))X(t N(t E ))X(t -X(t E a ))]X(t N(t )-[(aX(t E )t ,t (R 21XN 1X 2212112211121XY ，）

（+=+=+=ττττ

（2）

{}{}{}）

（，）（1X 221XN 1X 2212112211121XY -R a )t t (R -R a ))X(t N(t E ))X(t -X(t E a ))]X(t N(t )-[(aX(t E )t ,t (R ττττττ=+=+=+=

3.7随机过程Bcost Asint )t (X += 式中，A ，B 均为零均值的随机变量，求证：X(t) 是均值各态历经， 而均方值无各态历经性。 解：

E[X(t)]= 0E[B]cost E[A]sint Bcost]E[Asint =+=+

0Bcost]dt [Asint [X(t)]E 20

=+=

⎰

π

()t

]cos E[B t ]sin E[A ostsint 2E[A]E[B]c t ]cos E[B t ]sin E[A ]Bcost Asint E[(t)]E[X 2

2

2

22

2

2

2

2

2

+=++=+=

)B A (41

dt Bcost][Asint 21(t)][X E 22220

2+=

+=

⎰

π

π

π

故，X(t)均值各态遍历，均方值则非。