matlab最佳平方逼近.docx

最佳平方逼近试验

任 兵 ( 200820302025)

、问题叙述

求函数f(x)=exp(x)在［-1，1］上的二、三次最佳平方逼近多项式。 二、问题分析

由教材定义6.5有：对于给定的函数f(x)^C[a,b]如果存在

S *(x) Spar{ 0(x), ι(X)Jn ) n (x)}

使得

a P(X) [f (X) — S * (X)『dx = m? L P (X) I f (X) - s(x) f dx

则称S (X)是f (X )在集合Spar{ 0(x), ι(x)JH ) n (x)}中的最佳平方逼近函数。

n

显然，求最佳平方逼近函数S *(x)

a *j

?j (x)的问题可归结为求它的系数

j =0

a ；,a ；,…,a ；,使多元函数

取得极小值，也即点(a 0,a 1*, , a ；)是I (a o ,…，a ∏)的极点。由于I (a o , a ι, a n )是关于a o )a ι,…，a ∏的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件,

I (a °, a ι,

“gw 二a%”

.:I 0

-Z a k

(k = 0, 1,2,…,n)

^=

2

af f(X

)「

n

a j

j -0

'j

(X ^i k (X)d ^0

得方程组

∏

b

Σ a j a P(X^k (X^j (x)dx

j =0 a

b

=a ?

(x)f(x) k (x)dx, (k=0,1,2, ,n)

如采用函数内积记号

b

(d j)= a「(x) t(x)「j(x)dx.

q

(f,

那么，方程组可以简写为

n

X ( I, j)a^(f, k) (k =0,1,2川I, n) .................. (1)

j=o

这是一个包含n + 1个未知元a o, aι,…,a∏的n + 1阶线性代数方程组，写成矩阵

形式为Array

(2)

此方程组叫做求a j

显然，其系数行列式就是克莱姆行列式Gn = Gn Cah…,;：n)o由于S 「1,…，-n线性无关，故Gn = 0 ,于是上述方程组存在唯一解

a k =a：(k =0,1,…，n)。从而肯定了函数f (x)在SParn o(x), 1(x)J∣∣, ∏(X)｝中如果存在最佳平方逼近函数，则必是

n

S*(x)八a* j(x) .............................................. .??(3)

j=0

三、实验程序

1、最佳平方逼近算法

(1)输入被逼近函数f(x)和对应的逼近区间［a,b］并选择逼近函数系{为(X)} 和

权函数；

(2)解方程组(1)或(2),其中方程组的系数矩阵和右端的项由式(3)得至V;

(3)由式(3)得到函数的最佳平方逼近。

2、将上述算法编写成MATLAB程序共需三个程序：

(1) 第一个程序(函数名：squar_approx.m)

计算最佳逼近函数的系数，源代码如下：function S=SqUar_approx(a,b ,n) %定义

逼近函数

global i;global j; %全局变量

if nargin<3 n=1;end ％判断

Phi2=zeros(n+1); ％生成一个n+1*n+1 大小的全0 矩阵数组

for i=0:n

for j=0:n;

Phi2(i+1,j+1)=quad(@rho_phi,a,b); %求rho_phi 积分

end

end

PhiF=zeros(n+1,1); %生成一个n+1*n 大小的全0矩阵数组for i=0:n

PhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b); % 求fun_Phi 积分

end

s=Phi2\PhiF;

( 2)第二个程序(函数名：rho_phi.m)

代码如下：

function y=rho_phi(x) global i;global j;

y=(rho(x).*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j);

(3)第三个程序(函数名：fun_phi.m)

function y=fun_phi(x) global i;

y=(rho(x).*phi-k(x,i)).*obj(x);

四、试验结果

f(x)=exp(x) 在［-1，1］上的二、三次最佳平方逼近多项式。

(1)编写下面三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数；

function y=rho(x) %外部函数

y=1;

function y=phi_k(x,k) %多项式函数

if k==0 y=ones(size(x));

else

y=x.^

k;

end function y=obj(x) %被逼近函数y=exp(x)

(2)当求的是二次逼近时得到如下结果

>> clear

>> S=squar_approx(-1,1,2)

0.9963

1.1036

0.5367

绘制两者的图形：

>> fun='exp(x)：

>> fplot(fu n,[-1,1])

>> hold On

>> xi=-1:0.1:1;

>> yi=polyval(S,xi);

>> plot(xi,yi,'r:')

得到如下结果：

(3) 当求的是三次逼近时得到如下结果

>> S=SqUar_approx(_1,1,3)

0.9963

0.9980

0.5367

0.1761

绘制图形如下：

>> fun='exp(x)';

>> fplot(fu n, [-1,1])

>> hold On

>> xi=-1:0.1:1;

>> yi=polyval(S,xi);

>> plot(xi,yi,'r:')

得到如下所得图形:

五?试验结论

在该次实验中较顺利的达到了预期的结果。从试验结果看出三次逼近没有二次逼近效果理想，验证了最佳平方逼近理论。