初中数学专题_折叠问题

专题八折叠问题

学习要点与方法点拨：

出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题

折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；

考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。

基本图形：

在矩形ABCD中，将△ABF沿BE折叠至△FBE,可得何结论

（1）基本图形练习：

如图，将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得A 和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF是等腰三角形，对吗

（2）折叠中角的考法与做法：

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使得A落在BC边上的点F处，折痕为BE（图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE边上的点D’，折痕为EG（图2）,再展开纸片，求图（3）中角a的大小。

结论：（1）全等；（2）垂直。

（3）折叠中边的考法与做法：

如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，

折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是多少

★解题步骤：

第一步：将已知条件标在图上；

第二步：设未知数，将未知数标在图上；

模块精讲

例1.（2014?扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；

（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；

（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A 不重合），

动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

例2.（2013?苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则= 用含k的代数式表示）．

例3、（2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是

△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．

（1）当t= s时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

例4、如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD 交于点G，F，AE与FG交于点O．

（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；

（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．

例5、已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD 对称，AC与BD相交于点G，则（）

A．1+tan∠ADB=2 B．2BC=5CF

C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=6

课堂练习

1、

2、（2014连云港）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，则tan∠ANE=_________ ．

图3 图4

3、（2014?徐州）如图3，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=_________ °．

4、（2014?扬州）如图4，△A BC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为_________ cm2．

5、（2013?扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和

B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；

（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

课后巩固习题

1、（2014?淮安）如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．

2、（2013?宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．

（1）证明△AMF是等腰三角形；

（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；

（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．

3、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,把△BCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C'处,BC交AD于点G,E,F,分别是C'D 和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿着EF折叠,使点D落在D'处,点D'恰好与点A重合.

4、（1）求证:三角形ABG≌△C'DG

5、（2）求tan∠ABG的值；

6、（3）求EF的长。

3、