数学必修五知识点总结

必修五知识点总结归纳

（一）解三角形

1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，

则有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c

C R

=；

③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===A +B +A B ．

2、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ?AB =A ==B ．

3、余弦定理：在C ?AB 中，有2

2

2

2cos a b c bc =+-A ，2

2

2

2cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

4、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac

+-B =，222

cos 2a b c C ab +-=．

5、射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+

6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2

2

2

a b c +=，则90C =

； ②若2

2

2

a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C >

．

(二)数列

1.数列的有关概念：

（1） 数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子

集{1,2,3,…,n }上的函数。

（2） 通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。如: 2

21n a n =-。

（3） 递推公式：已知数列{a n }的第1项（或前几项），且任一项a n 与他的前一项a n -1（或前几项）

可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。 如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。

2．数列的表示方法：

???无穷数列有穷数列按项数 22

21,21(1)2n

n a a n a a n a n

=??=+=??=-+??=-??n n n n n

常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:

（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。

（3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：

4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:

123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +->

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-<

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若

2

a c

b +=

，则称b 为a 与c 的等差中项． 13、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 14、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1

1

n a a d n -=-； ④11n a a n d -=

+；⑤n m

a a d n m

-=-． 15、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+． 16、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=

；②()

112

n n n S na d -=+

． 17、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()

*

2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，

1

n n S a

S a +=奇偶． ②若项数为()

*

21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，

1

S n

S n =

-奇偶 （其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．

18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

19、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比项 ．若2

G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．注意：a 与b 的等比中项可能是G ± 20、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． 21、通项公式的变形：①n m

n m a a q

-=；②()

11n n a a q

--=；③1

1n n a q

a -=

；④n m

n m

a q

a -=．

22、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比

数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =?．

23、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()

()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =??

=-?-=≠?

--?

．

24、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()

*

2n n ∈N ，则

S q S =偶奇

．

②n n m n m S S q S +=+?．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（0n S ≠）．

（三）不等式

1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -

2、不等式的性质： ①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n

a b a b n n >>?>∈N >；

⑧)0,1a b n n >>?>∈N >．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

若二次项系数为负，先变为正

5、设a 、b 是两个正数，则

2

a b

+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 6、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2

a b

+≥ 7、常用的基本不等式：①()2

2

2,a b ab a b R +≥∈；②()22

,2

a b ab a b R +≤∈；

③()20,02a b ab a b +??

≤>> ???；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???

．

8、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 一元二次不等式解法：

（1）化成标准式：2

0,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题：

1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解

2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤：

（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。 两类主要的目标函数的几何意义:

①z ax by =+-----直线的截距；②2

2

()()z x a y b =-+------两点的距离或圆的半径；

4、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥2a b +≥ ()20,02a b ab a b +??≤>> ???

；

2

a b

+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。