代数余子式
1.行列式215
53412
x ----中元素x 的代数余子式值为 。
2.行列式215
53542
x ----中元素x 的余子式值为 。
3.行列式315
56412
x --中元素x 的余子式值为 。
4.行列式236
017439
--中第2行第3列元素7的代数余子式为
。
5.行列式437
842
y x z --中元素y 的代数余子式值为 。
6.行列式215
0412
y x -----中元素y 的代数余子式值为 。
7.行列式215
53542
x ----中元素x 的余子式值为 。
8.行列式215
042
y x z -----中元素y 的代数余子式值为 。
9.行列式 x x y 213
1104201302
- 中含xy 的非零项为 。
1.行列式 x
y y x 120221
001
134-- 中含x 2 的非零项为 （ ） 。 A 24x -； B x 24； C 28x ； D x 28-。
2.行列式3
155
64
12x --中元素x 的余子式值为（ ）。 A.1 ； B.-1
； C.7 ； D.-7 。 3.行列式x 3
155
64
12---中元素x 的余子式值为（ ）。 A.1 ； B.-1
； C.7 ； D.-7 。
余子式
第二讲 行列式、矩阵 教学目的： 1. 举例介绍行列式的一些常用算法；重点是常用算法的掌握； 2. 介绍Cramer 法则及其推论； 3. 为“矩阵”开个头； 教学内容； 第一章 行列式 § 行列式按行（列）展开； § Cramer 法则 第二章 矩阵 § 矩阵的概念 教材相关部分： § 行 列 式 按 行（列）展 开 一、余子式与代数余子式 定义 在n 阶行列式nn n n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中任取一个元素ij a ，划去ij a 所在的第i 行、 第j 列，剩下的那个1-n 阶行列式 nn nj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a M 1 1 1 111111111111111111111+-+++-++-+----+-= ),,2,1,(n j i =， （） 称为元素ij a 的余子式。记ij j i ij M A +-=)1(，称为元素ij a 的代数余子式。 例 1.8 在9 63852 7 41=D 中，元素124a =的余子式是69 38 212-==M ， 而它的代数余子
式是6)6() 1(122 112=--=-=+M A 。 引理 如果n 阶行列式D 的第i 行除ij a 外的其余元素都为零，则这个行列式等于ij a 与其代数余子式ij A 的乘积，即ij ij A a D =。 证 先证最简单的情况：设 nn n n n a a a a a a a B 21 2222111 0= ， 这是例中1=k 时的情况，由例的结论，即有1111M a B =。又因11111 111)1(M M A =-=+，故得 1111A a B =。 再证一般的情况：设D 的第i 行除ij a 外的其余元素都为零： nn nj n ij n j a a a a a a a D 1 111100 = 将D 的第i 行依次与上面的1-i 行逐行对换，再将第j 列依次与左面的1-j 列逐列对调，共经 11-+-j i 次对调，将ij a 调到了第1行第1列的位置上，所得的行列式记为D '，则 D D D j i j i +-+-=-=')1()1(2， 而ij a 在D '中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式ij M 。利用已证的结果有ij ij M a D ='，因此 ij ij ij ij j i j i A a M a D D =-='-=++)1()1(。◆ 定理 n 阶行列式D 的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，等于D 的值，即 ∑== +++=n k ik ik in in i i i i A a A a A a A a D 12211 ),,2,1(n i =， 或 ∑== +++=n k kj kj nj nj j j j j A a A a A a A a D 1 2211 ),,2,1(n j =。 证 任选D 的第i 行，把该行元素都写作n 个数之和：
矩阵子式及结式的用法
矩阵子式及结式的用法 1 背景介绍 在现在的大学本科高等代数教科书中，涉及矩阵子式及结式的内容比较少，尤其是结式部分，只简单地介绍了结式与两个一元多项式的公因式的关系、解二元高次方程组的一般方法．而把其中最精彩、最生动的部分都隐藏起来，况且部分高校把它作为选修内容，学生不能从老师、课本那里学到发现问题、分析问题和解决问题的方法，影响学生对矩阵子式及结式的认识．基于上述现状，本文拟强调矩阵子式和结式在代数研究中的重要性． 2 矩阵结式 我们知道在多项式理论中，结式是个重要的概念．该理论提供了一个解二元高次方程组的一般方法．下面我们具体介绍结式的定义、性质及其计算问题． 2.1 基本概念 定义1 [1](P466) 设有多项式 1011()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，1011()n n n n g x b x b x b x b --=++++，则称m n +阶 行列式 (,)R f g = 1201 20 120120 12301230 1 23 m m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b b 为()f x 与()g x 的结式． 例1 设2 ()32,()1n f x x x g x x =-+=+，求结式(,)R f g ． 解 ()f x 与()g x 的结式为
(,)R f g = 13 21 321 3 2 1 321000 100 1 1 ----， 从最后一列开始，每列往前一列加，然后第一列提出２，再将第一列乘－１加到其余各列，得 (,)R f g = 1 1 1 1000012102 1 210 21 -----， 按最后两行利用拉普拉斯定理展开，得 ()() 2 2 1(,)221122n n n n R f g +++??=+--=+? ? ． 例２ 设2 ()1,()32n f x x x g x x x =++=-+，求结式(,)R f g 解 = ),(g f R 2 31 23 12 30 23100000231 00000 2 3 1110000010011000001------ ， 各列都加到第一列，再从第一列中提出３，接着将第一列乘－１加到第n+1列，即得
子式和代数余子式
3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开 教学目的： 1. 掌握计算行列 式的能力 2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学内容: 1. 子式和余子式: 定义1 在一 n 阶行列式D 中任意取定k 行k 列.位于这些行列相交处的元素所构成的k 阶行列式叫做行列式D 的一个k 阶子式. 例1 在四阶行列式 D= 44 43 42 41 343332312423222114131211 a a a a a a a a a a a a a a a a 中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D 的一个二阶子式 M= 34 31 2421a a a a 定义2 n(n>1)阶行列式 D= nn nj n in ij i n j a a a a a a a a a ? ? ????????????????????? ????1 11111 的某一元素ij a 余子式ij M 指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的n-1阶子式. 例2 例子的四阶行列式的元素 23 M = 44 42 41 3432311412 11a a a a a a a a a 定义 3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号j i +-) 1(后,叫做元素ij a 的代数余子 式. 元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示: ij A =j i +-)1(ij M . 例3 例1中的四阶行列式D 的元素23a 的余子式是 23 M =23 3 2) 1(M +-=-23 M =- 44 42 41 343231 141211 a a a a a a a a a
子式与代数余子式
子式和代数余子式 行列开的依行依列展开 教学目的： 1. 掌握计算行列 式的能力 2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学内容: 1. 子式和余子式: 定义1 在一个n 阶行列式D 中任意取定k 行k 列.位于这些行列相交处的元素所构成的k 阶行列式叫做行列式D 的一个k 阶子式. 例1 在四阶行列式 D= 44 43 42 41 343332312423222114131211 a a a a a a a a a a a a a a a a 中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D 的一个二阶子式 M= 3431 2421a a a a 定义2 n(n>1)阶行列式 D= nn nj n in ij i n j a a a a a a a a a ??????????????? ??????????? ? 11 1111 的某一元素ij a 余子式ij M 指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的n-1阶子式. 例2 例子的四阶行列式的元素 23M = 44 4241 343231 141211 a a a a a a a a a 定义 3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号j i +-)1(后,叫做元素ij a 的代数余子 式. 元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示: ij A =j i +-)1(ij M . 例3 例1中的四阶行列式D 的元素23a 的余子式是 23M =2332)1(M +-=-23M =- 44 4241343231 141211 a a a a a a a a a