一类粘弹性流体模型与数值分析的分析

一类粘弹性流体模型与数值分析的分析

摘要

粘弹性流体问题一直是流体力学和理论数学研究的一个重要问题．本文主

要研究一类粘弹性流体的数学模型．耳POldroyd—B型流体的数学模型．这类数

学模型一直以来都是众多科学家感兴趣的研究内容，均归结为偏微分方程(组)的求解，因此，研究具有高效率高精度的算法是很有必要的．在本文

中我们提供了几种解决两类偏方程的数学方法．文章主要内容如下j

本文第一章介绍了非牛顿流体力学及相关数值分析综述．第二章着重讨论

了基于Oldroyd随体时间导数的01droyd-B型流体的数学模型的本构方程的

建立、求解，并最终给出了此类方程l级、2级变分一解析解，同时，我们还在

两个特殊情形(常压力梯度和周期性压力梯度)下，讨论了该变分一解析解具体表

达形式．

第三章主要工作是应用混合有限元、最小二乘混合有限元和V循环多重网格

法去解决Oldroyd B型流体流动问题．一方面，我们将混合有限元方法应用于求

解非定常型的服从Oldroyd B型本构律的黏弹性流体流动问题．另一方面，我们将

运用混合有限元方法、最小二乘混合有限元方法和Y循环多重网格法去逼近

Oldroyd B型流体流动问题，并讨论了逼近解与真解的误差估计和收敛性．其主要

内容如下：讨论用混合有限元方法去研究01droyd B型流体流动问题的解的存在

唯一性，并给出了逼近解的误差估计；介绍应用混合有限元的最小二乘法去逼近01droyd B型流体流动问题，并讨论了逼近解的收敛性；讨论01droyd B型流体

流动问题的V循环多重网格格式，并给出了迭代解的存在唯一性和误差估计．本文第四章的主要目的就是研究一类非对称椭圆问题的最小二乘混合有限

元方法的超收敛现象．特别是对一般的非自共扼二阶椭圆边值问题，我们讨论了其最小二乘混合元解的存在唯一性及超收敛性．在第五章中，我们分别对半线性反应扩散问题和非线性反应扩散问题的扩张混合有限元方法给出了几个两层网格方法，并对它们的收敛性进行了分析．关键词：Oldroyd—B型流体，反应扩散方程，有限元，混合有限元，超收敛，误差估计

Abstract

Lately,the viscoelastic fluid flow is one of the most important questions in Hydro-and theoretic mathematics．In this paper,we study one kind of viscoelastic fluid dynamics

flow model．It is Oldroyd-B type fluid，the models Can express using PDEs in math，and their solutions have received a great deal of attention．So，it is necessary to study

efficient and highly accurate algorithms for PDEs，we present some kinds of highly

method for solving PDEs using computational symbolic manipulation and finite element method．This paper includes five parts．

In chapter 1，we introduce the theoretic basis of non-Newtonian fluid mechanics and

Method．In rheology,and we introduce the mathematical foundation of Finite Element

chapter 2，we set up the constitutive equation of Oldroyd—B type fluid based on Oldroyd self-time differential，present the grade 1，grade 2 variational

analytical solutions respectively，specially,we present the concrete variational analytical solutions under constant pressure grade and periodic pressure grade．In chapter 3，our essential work is to solve viscoelastic fluid flow obeying an Oldroyd B type constitutive law by apply the mixed finite element method，least—square mixed finite element method and V-cycle multi-grid method．We study the mixed finite element method of Oldroyd B type viscoelastic fluid flow model，and we give the existence and uniqueness of approximation solution and error bounded；by applying the least-square

mixed finite element methodto study Oldroyd B type viscoelastic fluid flow

model，we discuss the existence and uniqueness of approximation solution and convergence；we analysis the V-cycle multi·grid formulation of Oldroyd B type viscoelastic fluid flow model，and we give the existence and uniqueness of iterative solution and error estimates．

In chapter 4，by using least-squares mixed finite element method over quadrilaterals，we investigate super convergence phenomena sep·-arately for boundary··value problems of un-symmetric elliptic equations，we obtain the super convergence result

n

of least．squares mixed finite element solu-tions on the basis of the pr L2-projection and some mixed finite element projeetions and the integral identities technique developed by Q．Lm and his collaborates．In chapter 5，we present some two一鲥d methods for solving two--dimensional reaction··diffusion using expanded mixed finite

element method，and we make our efforts to prove the convergence of the algorithms．We know the algorithms achieve asymptotically optimal approximation applying the two-grid methods．

Keywords：Oldroyd-B type fluid，reaction—diffusion equations，finite element，mixed finite element，superconvergence，error estimates．

III

原创性声明

本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。

储躲蝉盹耳年扯月牛日

关于学位论文使用授权说明

本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采取复印、缩印或其它手段保存学位论文：学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。

作者签名：日期：竺生年卫月堡日

第一章非牛顿流体力学及相关数值分析

综述

1．1非牛顿流体与流变学

在科学技术发展的长河中不断地产生和形成新理论、新学科，和新技术领域，

非牛顿流体力学和流变学是力学、化学及工程科学之间的新兴边缘学科，以其独

有特色迅速发展．上世纪初，Prandtl提出附面层新概念，并建立了附面层理论，

有力地推动了流体力学的发展．牛顿流体力学得到了迅速发展，其理论和结果应

用于不同的工业领域．尤其是航空业和航天技术的发展，极大地推动了流体力学，特别是空气动力学的发展．

非牛顿流体力学，作为一门新兴的边缘学科，则是近30—40年发展起来的．研

究非牛顿流体的流变性质及运动规律，是非牛顿流体力学基本研究内容．它已

成为现代流体力学的一个重要分支，同时也是现代流变学的重要组成部分．流变学

史研究材料流动和变形的科学．流变学的发展起源于高聚物加工的需要．为了研

究固体塑料和高分子熔体的物理力学行为，美国的化学工程师宾汉于1929年，

首先提出了流变学概念，并建立了第一个流变学会．尔后，流变学得到了十分

迅速的发展．在国际上，已建立了第一个国际流变学会．召开了12届国际流变学

学术会议．近20年来，非牛顿流体力学已经成为流变学的一个重要的，而且十

分活跃的分支．

1．1．1非牛顿力学理论基础根据物质状态，流变学研究对象包括固体、流体和悬浮物。因此，流变学科

划分为固体流变学、流体流变学和悬浮物流变学．非牛顿流体力学是研究流体物质的流变学。在现代流变学中，流变学包括非牛顿流体力学．

非牛顿流体力学的理论基础是建立在理性力学原理基础上．从1845年到1945年的100年中，力学工作者仅局限于研究材料的线性理论，即建立在Naive-Poisson本构关系的牛顿流体，称为线性材料．只有在20世纪，化学工

业迅速发展以后，有非线性效应的材料才显得日益重要．1950年，Oldroyd首先

提出了理性连续介质力学体系，他发展了非线性积分记忆原理，并提出了建立本构方程的一个重要的不变性原理，即物质无关性原理．继Oldroyd的工作以后，Nol l于1955年至1958年发展了有记忆的材料的一般概念，特别是关于简单流体理论。Oldroyd和Noll的工作，奠定了非牛顿流体力学的理论基础，也就是现代理性连续介质力学基础．如果不局限于考虑某一个别的学科，例如材料力

学、弹性力学、流体力学和土力学等各力学分支的特征，而是从总体方面研究材料(或物质)的力学行为，把各类物质作为连续介质统一考虑，且与现代数学，如张量分析、不变量理论、拓扑学和泛函分析等，有机地结合起来，并上升到新的数学理论高度，就形成理性连续介质力学．它由研究线性材料及线性本构方程，到研究非线性材料及非线性本构方程，这就是非线性连续介质力学的基本任务．

1．1．2非牛顿流体

牛顿流体是指服从牛顿常粘度定律的流体，经典的牛顿流体力学认为j在简单剪切流动中，即平行平板间的流动中，剪切应力与剪切速率成正比，其比例系数

称为粘度系数，即

dh

f=∥_『(1．1)

口1，

对于牛顿流体，粘度∥在一定压力条件下，是温度的函数。牛顿流体本构方程也可以写成张量的形式

T=2p (1．2)其中丁为应力张量，D为应变速度张量．在牛顿流体本构方程基础上，可以得出著名的Navier-Stokes方程，它已成为粘性牛顿流体的基本方程．在工业生产过程和自然界，发现存在大量不服从牛顿常粘度定律的流体，即非牛顿流体．

对于这类流体，它的本构关系与牛顿常粘度定律有显著区别．研究非牛顿流体的科学，称为非牛顿流体力学．高聚物熔体和高聚物溶液，是典型的非牛顿流体．在化学工业中的各类泥浆、悬浮物、油液、涂料、颜料、工业用油脂等，硅酸盐工业中的各类烧结块、均属于非牛顿流体．在现代流体力学的新分支中生物流体力学占有重要位置。生物流体，例如人体内和动物体内的血液、关节腔内的滑液。淋巴液、细胞液、脑脊液、支气管内分泌液等，都具有非牛顿流体性质．在地球物理学中，关于地幔对流研究中，地幔的模型也可以认为是非牛顿流体模型．实验证明，原油及黄河的高含砂水流均属于非牛顿流体性质．在食品中，如牛奶、巧克力、食用油、奶油、饮料等均具有非牛顿流体性质．当气体的分子平均自由

程与物体特征尺寸达到同一数量级时，进入稀薄空气动力学领域．关于稀薄气体流动的研究，不是从经典的连续介质出发，而是分子运动论出发，所以在更广义的涵义上稀薄气体也是一类非牛顿流体．因此，在自然界和工业生产过程中，普遍存在的是非牛顿流体，只有在一定条件下才有牛顿流体，例如，在标准状态下，水和空气是牛顿流体．

非牛顿流体具有一系列奇特的物理力学现象，因而与牛顿流体有显著区别．

①韦森堡效应

②挤出物胀大

③开口虹吸效应．

④减阻

⑤拉伸稀化，拉伸稠化

⑥电流变流体现象

⑦液晶高分子一各向异性非牛顿流体

1．2数值分析综述

偏微分方程的研究无论在理论和实践上都有很重要的意义，它的数值解法长期以来吸引着数学家、物理学家和工程师们的注意．有限元方法作为求解偏微分方程的一个强有力的手段随之产生．

有限元方法是R．Courant于1943年首先提出，二十世纪50年代由航空结构工程师们所发展，随着逐渐波及到土木结构工程，到了60年代，在一切连续领域都愈来愈广泛地得到运用．

我国冯康教授和西方科学家各自独立奠定了有限元方法的数学理论基础．由于愈来愈多的数学家加入了发展有限元方法的行列，这种方法便由工程局限性中解脱出来，代之以统一的观点和严密的数学描述，并确定了它的数学基础．数值分析的任务，就是从无限维空间转化到有限维空间，把连续型转变成离散型的结构．有限元方法是利用场函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程的，也就是说，有限元方法依赖于这样的有限维子空间，它的基函数系是具有微小支集的函数系，这样的函数系与大范围分析相结合，反映了场内任何两个局部地点场变量的互相依赖关系。任何一个局部地点，它的影响函数和影响区域正是基函数本身和它的支集．在线性力学范畴里，场内处于不同位置的力相互作用产

生的能量，可用双线性泛函B(仍，伊f)来表示，其中仍，妒f正是相应地点的基函数．B(仍，伊，)的大小与仍，伊，支集大小有关，如果两个支集的测度为零，则

有B(fo,，妒，)=0，因此，离散化所得到的方程其系数矩阵是稀疏的．若区域分

割细

小化，则支集不相交的基函数对愈多，矩阵也就愈稀疏．这给数值解法带来了极大的便利．

有限元方法之所以能获得如此迅速的发展和广泛的应用，是因为它具有独特的优越性．如以往常用的差分方法，其不足之处是，由于采用的是直交网格，因此它较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中轻重缓急之差异，此外他还有编制不出通用程序的困难．然而，有限元方法可以用任意形状的网格分割区域，还可以根据场函数的需要疏密有致地、自如地布置节点，因而对区域的形状有较大的适应性．另外，有限元方法在实用上更大的优越性还在于，它与大容量的计算机相结合，可以编制通用的计算程序，代表着数值计算方法的进步；反过来也促进了计算机科学的发展．

在连续介质力学中，有限元方法在弹性力学、结构力学的方面的应用已相当成熟，已成为在这些领域中用以解决实际问题的强有力的数值计算工具．至今出现的不少适应性很强的通用计算程序，己在工程实际中发挥极大作用．但在流体力学领域中，由于物理模型和数学方程比固体力学要复杂得多，因此有限元方法的应用要晚一些．1965年两位固体力学工作者Zienkiewicz和Cheung提出了用有限元方法解决位势流问题的可能性，被认为是有限元方法用于解决流体力学问题的起点．以后的几年，有限元方法被迅速应用到诸如位势流、渗流、低雷诺数流、润滑

等方面．

关于Dirichlet问题的最小二乘方法是由Bramble[21—26]和Nitsche[123，124]最早开始研究的，Raviart[135]、Thomas和Brezzi[32—35]，Carey和Oden[125]发展了这一方法．近年来，最小二乘混合有限元方法引起了国内外学者的广泛兴趣，Lazarov，Pehlivanov[127—132]，Ewing，Wang，Brandts和我国的羊丹平、罗振东[117]、黄云清和陈艳萍[37-46]、[102一103]都对最d,-乘混合有限元的发展做了卓有成效的工作．

针对椭圆边值问题许进超首次提出两层网格思想，之后Layton又将多层网

格法应用于Navier—Stokes方程．S．S．Brenner[28—31]，T．Arbogast，M．F．Wheeler以及陈传淼[36]、朱起定、黄云清和陈艳萍等人又对多层网格法作了进一步的研究，提出了～系列具有重要意义的结论，使混合有限元的误差估计和混合有限元的超收敛估计的精度得到显著的改进．V循环多层网格法的基本思想是：首先对定解区域建立一套粗、细网格，并形成有限元离散方程，然后在细网格上迭代消去残量的高频部分，最后将残量的低频部分在粗网格上进行一步校正．

近年来，最d,---乘混合有限元方法得到了越来越广泛的关注，原因就在于由它导出的代数系统不仅是对称的，并且有限元空间可以灵活选取，不必满足Ladyzhenskaya—Babuska—Brezzi(LBB)[108，7，32]条件．Pehl ivanov等人在1996年曾研究了一类二阶非自共扼椭圆型方程的最小二乘混合元方法，使用正规有限元剖分，得到了离散格式的最优阶r一模和日1一模误差估计．2001年，陈艳萍在文[43，44]采用最小二乘混合有限元方法，研究了一类系数为对角矩阵的

二阶椭圆边值问题的超收敛现象．不过，她所使用的是矩形剖分．

混合有限元的一般理论由Babu吾ka和Brezzi于20世纪70年代初创立，其主要结果就是所谓的B—B相容性条件[7，32]．Raviart和Thomas在1979年针对2阶椭圆问题，提出了Raviart—Thomas混合有限元的构造方法[135]．20世纪80年代初，Falk和Osborn提出了一种改进的方法[76]，扩展了混合有限元的适应性．混合有限元方法的优点是通过引入中间变量(一般它们也具有实际的物理意义)，可以将高阶微分方程降阶，从而也就能够降低有限元空间的光滑性要求．在处理多孔介质问题的时候，混合有限元方法可以同时获得压力和Darcy速度，或者是位移和应力的相同的准确率：譬如，看参考文献[30，64，135]．两层网格方法由许进超首次提出，根据文[180]中思想的启发，他将两层网格方法作为解非对称不定和非线性椭圆边值问题的一种标准有限元离散方法提出和

讨论[179]，即把非线性椭圆边值问题在两个子空间％和％上进行有限元离散化，在粗空间％中，我们利用标准的有限元离散化来获得一粗空间逼近，然后在粗空间逼近解的基础上在细空间圪上解一以牛顿迭代为基础的线性方程组，而获得～校正解．即将在一细网格上解一非线性方程组转化为在一粗网格上对有

限元方程组执行所有的非对称不定或非线性迭代，然后再在细网格上解一线性的有限元方程组，由于粗空间的维数远远小于细空间的维数，所以在粗空间上解一非线性组的工作量相对很小．运用这种两层网格法，可知解如此大的一非线性椭圆边值问题将不会比解一线性方程组难很多，他通过对其收敛性分析，表明了此两层网格方法确实具有高效率性．接下来，他在此文的基础上对半线性椭圆问题做进一步的粗网格校正，在粗网格上再一次解线性方程组，这样又提出了一种新的两层网格方法，且获得了更好的收敛性：然后，在此两层网格方法的基础上再进一步进行细网格校正，这样又建立了一种四步两层网格方法，这个算法获得了更强的收敛性[178]．从其中的理论分析中，我们可以知道当粗网格十分粗时，不会影响细网格上扩张混合有限元方法解的精度，从中我们可以看出两层网格方法是根据这样一个思想基础来建立的，即类似于低频的非对称不定性质或非线性的性质由粗网格来控制；相对的高频行为由一些线性的或对称正定的算子来控制。因此，两层网格方法的基本思想是：在一粗网格上(步长为H)解一复杂的问题

(非线性，非对称不定等问题)，然后在一细网格上亿<<日)解一较容易的问题(线性的，对称正定等问题)作为校正．通过理论分析，可知两层网格方法能够保持扩张混合有限元方法解的最优逼近．

第二章OLDROYD-B型流体本构方

程

物理学认为，任意一个物理量的时间导数与观察者的位置和运动有关．一般

地讲，一个物理量的时间导数，是相对于观察者的位于空间的固定坐标系而言，因

此，它有相对性，或某种意义上的“主观性”．为了保持其客观性，在研究一个物

理量的时间导数时，不宜取观察者所在空间的坐标为参考构形，而是应当取与物质

或材料联系在一起的坐标系．01droyd(1950)首先引入随体坐标系和随体时间导

数的新概念．应用这一概念非牛顿流体本构理论提高到一个新的高度．现代流变

学的本构理论是建立在01droyd观点基础上．

2．1随体坐标系

2．1．1随体坐标系

定义1：坐标系冻结在物体内，它随物体质点(确切地说是质点邻域)一同变

形，产生相同的平移和旋转．这类坐标系称为随体坐标系．

在随体坐标系中，物质客观性原理自然满足．下面将研究随体坐标系与固定

坐标系(观察者所在空l'i3J)之问的关系．将

研究两类坐标系，即坐标系A和坐标系B．坐标系A固定在与观察者相对静止的

空间，基向量为p．在该坐标系中任意质点的坐标为X‘．坐标系B是冻结在(或

嵌在)物质内的随体坐标系．根据随体坐标系定义，可以规定，当f_r时，坐

标系B与坐标系A重合．设随体坐标系中的坐标为，7。．则当以上两个坐标系重

合时，有r／‘=工。．对于某一确定的质点，随体坐标r／‘是确定值，随体坐标系是嵌入

物质内的坐标．而x‘是物理空间的坐标．对于随体坐标系，坐标面是由质点

组成的，它与物质一同变形，所以同一确定的质点中位于相同的坐标面上．若观察某一个质点的运动，在随体坐标系中，该质点的坐标为叩1=善1，I／2=孝2，r／3=孝3，在运动中，其坐标保持不变．在不动坐标系中，质点的坐标为G1，x2，x3)

该坐标值随时间而改变，只有当r=f时，才有x。=孝‘，x2=f2，x3=孝3．

3

t=臼

'17

图I

图l 给出了，=，。时的随体坐标系，其中质点M 的随体坐标(刁。，，7：，刁，)为 (2,2，2)，当质点集合体积运动至，=，：时，在其随体坐标中，该点的随体坐标仍 为(2，2，2)．然而相对固定坐标系，该质点A 在tI 和t2具有不同的坐标．现在，我

们将给出随体坐标系中的时间导数与不动坐标系中的时间导数之间的转换关系．

设口为某一向量，并设在固定坐标系中，基向量为P ，G)，而在随体坐标系中基 向量为白(，)，我们可以写出向量口在随体坐标系和固定坐标系中的分量

绨麓

∥

=口

P G

在(2．1)式的两边对，求导数，并令，=f ，得

[捌Ot 础)+6协de 赳e(t)，

(2．2)

根据定义PJ=可OOM ，可以导出

同时注意到，式(2．1)中右边项是物质导数，即

丑

纠；

一O a 'O t

I

f l f

O

t

一

(2．3)

因此，式(2．2)可以转化为

[掣q6iPM=型Ot∥口二 亿4)

在上式中第一项是随体坐标系中的时间导数，令

鱼!鱼!：!)： (2．5)

及

由式(2．5)可以得出

剑：型Ⅳ口二一v 二口m 6

Ot

’

’

(2．6)

在推导上式时，曾应用以下关系式，即当r=r 时，口，=b ，．式(2．6)可以 写

为如下向量形式

鱼

：

塑一——=一一L ．口

(2．7)L Z ．●，

l

&dI

其中L ．=gradV ． 定义2：式(2．7)表示的时间导数称为上随体Oldroyd 导数，或

称为上随

体导数．

与前面的分析类似，取逆变基向量P’(f)作为随体坐标系中的向量．而在固定 坐

标系中，取基向量

P ，(r)，则可以导出任意向量口的协变分量的时间导数变换 公

式

掣：导+V m a

&8l

式(2．8)可以写为如下向量形式

竺：生+r 口

(2．9)

‘

舀dt

定义3：式(2．9)表达的时间导数，称为下随体Oldroyd 导数，或称为下

随体导数．

现在研究张量彳白，r)在随体坐标系中的时间导数与固定坐标系中的时间

导数之间的关系．张量彳白，T)的协变分量在随体坐标系和固定坐标系中的分量

可表达为

彳=以67‘，，；f>‘(，)。eiO) (2．10)

=色G 。，，；f>‘p)圆e ，(『)

在上式中对时间求导数，并考虑等=一V 二Pt ，

可以得出

堡I P ，圆e 』

_[掣≥咆吐√酣

_’

在上式中，左边的第一项是物质导数，即

刭：娑

¨‘ t

研

在式(2．1 1)右端的第一项为随体坐标系的时间导数，令

一

翻。，

以2詈2

(2．13)

因此，在随体坐标中的时间导数变换公式可以表示为

万=鲁=鲁∥”V 以"∥k 睹

(2．

或

(2·15)

才=坐dt+k 彳+爿厶】

定义4：式(2．14)所表示的导数称为张量的协变分量A 。的下随体导数，或

称为Oldroyd 下随体导数． 类似地，可以通过逆变分量表

示张量A

4

一划

@

m 柏”唯以0 如一 ∽詹钆p 0知

可以导出张量的逆变分量的上随体导数

孑=警=警Ⅳ么：!：l —V 矽+V∥(2．17)

将上式改写成为张量形式

孑=警一k小彳口】(2．18)定义5：式(2．18)所表示的导数称为张量的协变分量A{，的上随体导数，或称为Oldroyd上随体导数．

2．1．2共转坐标系

除前述随体坐标系以外，还可以用其他形式构造与物质联系在一起的随体坐标系．在这里，我们应当特别指出的是共转坐标系．若在与物质一同变形的坐标系中，取协变基和逆变基任意线性组合所组成的向量作为基向量，也满足物质可观性原理．根据这一思想，作以下两组基向量

g，：委[P。(，)+g雎G≯t(，)】(2．19)

q，：昙k，(，)+g止(『>。(，)】(2．20)由于e,e’=纠，容易证明以下性质

g。l，Ir=印91。，=P’

q,eJ=6；，qtqj=6j t2．21、)现在我们将证明，所定义的基向量gj和g。具有一个重要的性质．首先将基向量e．的时间导数写为以下形式，即

冬：三∽(f)“”’(2．22)

础

兵中，式(2．22)司作为张量M【，)的足义。口】以将张重M分屉竿为对称张量Jj|：口反对称张量之和，即

‘

D=三k+r】

∥=三k—F】(2．23)显然

d衍e__L=(D+∥川(2．24)

根据基向量的正交性质，乞P7=彭，可以导出

掣Pm一生：o (2．25)

dl J dl

引用式(2．22)，有

等旷儿(，》，o)：o’(2．26)

“j¨

dl j

或

降叫枷=。(2．27)考虑到式(2．23)，由式(2．27)可以得出

等=z如一(。一∥k’d f 、。(2．28)

现在，在式(2．19)中，对时间，求导数，可得

乱=!学-‰I-dt一l=一l一口．Ir-—————=I|flr 2 【．dt ¨7(『)型dt]J，=r

(2．29)引用式(2．24)和式(2．28)，有

钆吨∽(2．30)式中W的分量可简化为缈：=V二_V．』．k 由式(2．30)，我们马上可以得出下面的性

质．

性质：以g．为基的坐标系与质点集合一同旋转，但不随质点集合一同平移．因此，这一类坐标系称为共转坐标系．在共转坐标系中，任意张量彳可

以表示为下述形式

≮

在式(2．31)中，对，求导数，有

≮

=

怪

m g 悬猫刊和峭

考虑剑

乱，叫G 舟叭

G 。。P‘)．(P ．@ej)一G 。o P ，)

i2．33)

并考虑到g ，的性质，式(2．32)可以化为

．

’

些：一dA'J 一彳旬∞：一A'ko)?

91f dt

‘ ‘

(2．34)

式中，—91A —'／称为共转坐标系中的共转导数．将上式写成张量形式

9It

五：—91A —'J ：一dA —WA+A

W

(2．35)

若采用式(2．19)中的表达的q ．作为基向量，可以导出协变分量A 。的共转导数 公

式为

百91A,j —d“A，,”A,／oj-A,k 矿

(2．36)

由于彳V ：g 止g ，_∥有以下形式关系式

一91A'。：e·^￡，f 堕

6 6

(2．37)

91t

91t

在前述随体导数基础上，推广Walters(1984)的定义，我们引进一种广义的随

体时间导数

．

万=口lA 一+a2A 一

(2．38)

其中，芽为广义随体导数标记，口。和口：为常数，若口。=0，口：=l ，则万=A 一，

即得上随体导数．若口。；1，口：：0，有i ：A 一，即为卞随体导数．若将式(2．15)

和(2．18)相加，碉

j：要伍+i) (2．39)

即导出上随体和下随体导数与共转导数之间关系．定理1．i=仁。坞)鲁一G。

￡喝r n+彳仁：￡飞Lr) 刚o)证明：由广义随体导数，当q=口：=％时，即可导出共转导数．将式(2．15)和(2．18)代入式(2．38)．可得(2．40)．

h昙+如》”+乃暑卜

‘2·41’

：ff+∥．昙+∥：軎≥+ +∥，导j。

m等吻。(。+如詈) 眨42，

2．2．1 0I droyd B流体本构方程Oldroyd提出了研究本构方程的新理论，开拓现代本构理论研究的前沿方向．

按照Oldroyd观点，在固定坐标系中(即观察者所位于的空间)建立的时间导数，不符合物质客观性原理．更确切地说，这些时间导数以及由此而建立的线性粘弹性理，只有在小变形下才成立，而在大变形下，上述线性理论已不成立．根据Oldroyd 发展的理论，在大变形或有限变形下，应当在随体坐标系中考察时间导数．在此基础上，推广线性粘弹性本构方程．因此，推广本构方程(2．42)，我们

可以得到广义随体导数模型如F ．

s膻+^蚕雎：，7。c4小+五i业) (2．43)

应用广义的随体导数式(2．38)式，我们可建立广义Oldroyd模型

[·+2刁1。etrS]js庸+二去s，s肚+^瓦+∥。护8) 。2．44，

嘲。(仇+如瓦)

其中^，如，∥。，r／。，s，口为物质常数．上式中，令风=／zI=∥2=O，口I=1，口2=0，即得到Oldroyd A流体本构

’

方程．

S琅+^豆让=7／oc4请+如万膻) (2．45) (2．44)式中，令风=∥I=∥2=0，口I=0，口2=1，即得到Oldroyd B流体本

构方程

S吠+五蚕政：叩。-止+以i庸) (2．46)式(2．46)若写成张量形式，Oldroyd B流体本构方程可以表达为

s+^；：‰c4+如i) (2．47)无论是在理论还是在应用中，Oldroyd B流体均占有重要的地位．以下我们丰耍研究Oldroyd B流体．

2．2．2 RiVI-n—Er icksen应变张量

在非牛顿流体本构方程中，Rivl in—Ericksen应变张量有其重要作用．定义6：称

铲蚓dr"I,．，=煎ot。剑I御(2．48)其中，C：FrF为右Cauchy-Green张量，F为任一可逆张量

为玎阶Rivlin—Ericksen张

量．令